Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.4 Die Gross-Pitaevskii-Theorie 21
2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Theorie
1947 formulierte Bogoliubov als erster eine Theorie zur Beschreibung dünner Bose-Gase
[13], deren Grundidee hier dargelegt werden soll.
Der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator für N wechselwirkende Bosonen lautet
∫ (
Ĥ = dr ˆΨ + (r) − ~
)
2m ∆+V ext(r) ˆΨ(r)
+ 1 ∫
dr dr ′
2
ˆΨ+ (r) ˆΨ + (r ′ ) V (r − r ′ ) ˆΨ(r ′ ) ˆΨ(r). (2.65)
Bei ˆΨ + (r) und ˆΨ(r) handelt es sich um Boson-Feldoperatoren, die ein Teilchen am Ort r
erzeugen oder vernichten, und V (r − r ′ ) beschreibt das Zwei-Teilchen-Potential. Mit den
Ein-Teilchen-Wellenfunktionen ψ α (r) und den dazugehörigen Vernichtungsoperatoren â α
kann der Feldoperator als Summe ausgedrückt werden:
ˆΨ(r) = ∑ α
ψ α (r)â α (2.66)
Die Ein-Teilchen Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren sind mit den Eigenwerten n α
des Teilchenzahl-Operators ˆN α =â + α âα durch die Relationen
und
gegeben.
â + α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α +1| n 0 ,n 1 , ..., n α +1, ...〉 (2.67)
â α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α | n 0 ,n 1 , ..., n α − 1, ...〉 (2.68)
Eine Bose-Einstein-Kondensation findet statt, wenn die Anzahl Atome n 0 in einem bestimmten
Ein-Teilchen-Zustand sehr groß wird. Dann gilt n 0 = 〈η 0 〉, und es ergibt sich
â 0 =â + 0 = √ 〈η 0 〉. (2.69)
Bei einem gleichmäßigen Gas mit Volumen V, in dem die Kondensation im Ein-Teilchen-
Zustand ψ 0 =1/ √ V stattfindet, kann der Feldoperator durch
ˆΨ(r) = √ 〈η 0 〉 /V + ˆΨ ′ (r) (2.70)
ausgedrückt werden, wenn man eine kleine Störung ˆΨ ′ (r) einführt.
Bogoliubovs Beschreibung läßt sich dann auf ungleichmäßige und zeitabhängige Konfigurationen
verallgemeinern:
ˆΨ(r,t)=φ(r,t)+ ˆΨ ′ (r,t), (2.71)