Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen Ensemble 9
wobei die Doppelsumme eine unabhängige Summation über alle η i darstellt. In der großkanonischen
Zustandssumme lassen sich die Summationen besonders einfach durchführen
und dadurch beispielsweise die Besetzungszahlen berechnen (siehe unten). Das ist der
Grund dafür, warum diese Näherung in den meisten Lehrbüchern zur Beschreibung der
Bose-Einstein-Kondensation benutzt wird. Die Auswertung der kanonischen Zustandssumme
ist dagegen wegen der Teilchenzahlbeschränkung weitaus komplizierter und nur mit
relativ aufwendigen Verfahren, wie den in Abschnitt 3 beschriebenen Rekursionsformeln,
möglich. Somit erhalten wir nach [69]
Ξ µ (β,V )= ∏ ( )
∑ (
ze
−βɛ i
) ηi
(2.26)
i η i
= ∏ i
1
1 − ze −βɛ i . (2.27)
Die mittlere Anzahl Teilchen mit der Energie ɛ i ist dann die Bose-Einstein-
Verteilungsfunktion:
〈η i 〉 = − 1 β ∂ ɛ i
ln Ξ µ (β,V ) (2.28)
= ze−βɛ i
1 − ze −βɛ i
=
1
e β(ɛ i−µ)
− 1
(2.29)
2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen
Ensemble
In der großkanonischen Beschreibung ergibt sich die Zustandsgleichung eines idealen
Bose-Gases aus N Teilchen der Masse m in einem Volumen V zu [69]
N
V = 1 λ 3 g 3/2(z)+ 1 V
1
1 − z . (2.30)
Dabei ist
√
2π~
2
λ =
(2.31)
mT
die thermische De-Broglie-Wellenlänge, und für die weitere Beschreibung wird das spezifische
Volumen v = V/N eingeführt. Die Funktion g 3/2 (z) ist ein Spezialfall der allgemeinen
Klasse von Funktionen, die durch
∞∑ z l
g n (z) =
(2.32)
l n
definiert ist. Damit g 3/2 (z) die Zustandsgleichung erfüllt, muß die Fugazität z zwischen 0
und 1 liegen, so daß g 3/2 (z) eine beschränkte, positive, monoton wachsende Funktion ist.
Nach Definition 2.32 erhält man
g 3/2 (z) =z + z2
2
l=1
3/2
+
z3
+ ..., (2.33)
33/2