Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

26 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme
(mit Z 0 (β) =1) gegeben, wobei
Q k (β) = ∑ i
e −kβɛ i
(3.3)
die Ein-Teilchen-Zustandssumme bei der Temperatur kβ ist. Bei den ɛ i handelt es sich um
die Ein-Teilchen-Energien. Durch Berechnung der inversen Laplace-Transformation von
(3.2) erhält man das mikrokanonische Phasenvolumen
Γ N (E) = 1 N
= 1 N
N∑ 1
2πi
k=1
∫ E
N∑
k=1
0
∫ c+i∞
c−i∞
dβe βE Q k (β)Z N−k (β) (3.4)
dE ′ Γ k 1 (E′ )Γ N−k (E − E ′ ), (3.5)
wobei Γ k 1(E) die inverse Laplace-Transformation von Q k (β) und Γ 0 (E) =δ(E) ist.
Die Rekursionsformel wird beispielsweise in [12] erfolgreich angewendet, hat aber den
Nachteil, daß der Rechenaufwand mit N 2 steigt. Um nämlich thermodynamische Größen
mit ihr zu berechnen, tritt jedesmal der Normalisierungsfaktor Z N (β) auf und muß explizit
ermittelt werden. Weiterhin steigt Z N (β) exponentiell mit der Teilchenzahl, so daß mit
einer hohen Rechengenauigkeit gearbeitet werden muß. Bei numerischen Rechnungen ist
daher die maximale Anzahl Teilchen auf etwa 2000 beschränkt.
3.2 Die neue Rekursionsformel
Ein neuerer Ansatz verwendet (3.2), um eine Rekursion zu erhalten, deren Rechenaufwand
nur mit N steigt und ist in [15] beschrieben. Die Herleitung der Rekursionsformel soll an
dieser Stelle skizziert werden, da sie in späteren Kapiteln benutzt wird und einige Rechnungen
aus dieser Arbeit verwendet werden, um die Nützlichkeit des Verfahrens in [15] zu
veranschaulichen.
Zur Vereinfachung wird Z N (β) mit der sogenannten Z-Transformation neu geschrieben:
∞∑ Z k (β)
Z(Z) =F (x) =
(3.6)
x k
Z(Q) =G(x) =
(mit Q 0 (β) =0). Gleichung 3.2 wird damit zu
k=0
∞∑
k=0
Q k (β)
x k (3.7)
und es ergibt sich
−x d F (x) =F (x) G(x), (3.8)
dx
(
∑ ∞
F (x) =exp
k=1
)
Q k (β)
x −k . (3.9)
k