Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

A
Lösung
der Schrödinger-Gleichung
für verschiedene Potentiale
Im folgenden wird die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung für verschiedene Potentiale
in jeweils angepaßten Koordinaten gelöst. Die hier erhaltenen Energieeigenwerte wurden
für die Berechnungen in Abschnitt 3.2 benutzt. Es werden jeweils die Wellenfunktion
ψ und die Energieeigenwerte E für ein Teilchen mit der Masse m angegeben. Soll tiefer
in die Details eingestiegen werden, so sei auf die Standardliteratur der Quantenmechanik
verwiesen (z.B. [19, 89, 111]).
Während der Ansatzpunkt dieser Arbeit das Verhalten eines Teilchengases in einer Falle,
beziehungsweise einem dreidimensionalen Potential ist, wurden ähnliche Ansätze bereits
in der Kernphysik gemacht, um beispielsweise die Form eines Atomkerns als hartes Kugelpotential
zu nähern [63].
Im Anschluß an die analytische Berechnung der Eigenwerte sind die niedrigsten fünf Energien,
sowie deren Entartung, für flüssiges Helium mit der Masse m = 4u und der Dichte
ρ = 0, 0216Å −3 angegeben.
Das Volumen V eines hier berechneten Körpers ist eindeutig durch die Dichte und die Teilchenzahl
N bestimmt, so daß daraus in Abhängigkeit der Form der Potentiale Durchmesser,
Höhen oder Kantenlängen bestimmt werden können.
Für die Box und die Zylinder werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische
Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird grundsätzlich von einer quadratischen
Grundfläche (L x = L y ) mit Kantenlänge a und Höhe L ausgegangen. Ähnliches gilt für
den Zylinder, dem statt einer Kantenlänge ein Durchmesser d zugewiesen wird. Der Hohlzylinder
und die Hohlkugel erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis aus
Außen- und Innenradius angibt.
Die Berechnungen wurden für verschiedene Teilchenzahlen und Größenverhältnisse durchgeführt
und da die Entartung unabhängig von der Teilchenzahl ist, wird sie nur einmal pro
Tabelle abgedruckt.
Weiterhin entsprechen die Parameter für die in den Tabellen angegebenen Werte denen aus
Kapitel 3.3.
A.1 Harmonischer Oszillator
Das Potential des dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist wohl das in der Praxis am
häufigsten vorkommende, da es keine harten, sondern elastische Randbedingungen bietet.
Die Lösung des Problems verläuft analog zum eindimensionalen Oszillator und soll hier
nur kurz skizziert werden.
87