Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Einführung in die 

Finanzmathematik: Diskrete Modelle 

Skriptum zur Vorlesung (Teile Kainhofer) 

Reinhold Kainhofer 

FAM, TU Wien 

Mai 2007

Inhaltsverzeichnis 

1 Das Ein-Perioden-Modell 1 

1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.1 dominierende Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.2 Lineare Preismaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.3 Gesetz des eindeutigen Preises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.4 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.3 Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.4 Bewertung von Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.4.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.5 Vollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.5.1 Unvollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.6 Risiko und Ertrag (Return) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.7 Optimale Portfolios, Zulässigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2 Wh. Wahrscheinlichkeitstheorie 21 

3 Mehr-Perioden-Modell in diskreter Zeit 22 

4 Wh. Martingaltheorie 23 

5 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 24 

6 Das Binomialmodell 25 

6.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

6.1.1 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell als Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

6.2 Arbitrage-Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

6.3 Bepreisung im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

6.5 Verteilung des Maximums im Binomialmodell (Reflection Principle) . . . . . . . . . . . . 30 


7 Markov Modelle 33 

7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

8 Grenzübergang im Binomialmodell: Das Black-Scholes Modell 37 

8.1 Schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz in schwacher Formulierung . . . . . . . . . 37 

8.2 Reskalierung des Binomialmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

8.3 Die Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

8.3.1 Ableitung der Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

9 Amerikanische Optionen im diskreten Modell 42 

9.1 Die Snell-Envelope (Snell’sche Einhüllende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

9.2 Zerlegung von Supermartingalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

9.3 Anwendung auf Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

9.4 Zusammenhang der Preise von Amerikanischen und Europäischen Optionen . . . . . . . . 46 

i

INHALTSVERZEICHNIS 

ii 


10 Optimale Portfolios und Martingalmethoden 47 

10.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

Stichworte zum Inhalt der Lehrveranstaltung 50 

Anhang 52

Kapitel 1 

Das Ein-Perioden-Modell 

1.1 Definitionen 

(Dieses Kapitel hält sich zu einem großen Teil an Kapitel 1 des Buches [Pli97]) 

Das Ein-Perioden-Modell ist ein simples Modell, das aber trotzdem die meisten Begriffe, Effekte und 

grundlegenden Gedanken der Finanzmathematik gut darstellen lässt. 

Definition 1.1. Das Ein-Perioden-Modell besteht aus 

1. Start- und Endzeitpunkt t 0 und t 1 , üblicherweise t 0 = 0 und t 1 = 1. Handel ist nur zu t 0 und 

t 1 möglich 

2. Endlicher Ereignisraum Ω, |Ω| = k < ∞ 

Ω = {ω 1 , . . . , ω k } 

ω ∈ Ω beschreibt den allgemeinen Marktzustand zu t 1 

3. Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P(ω i ) > 0∀ω i ∈ Ω 

4. Bankkonto-Prozess B = (B t ) t=0,1 

, B 0 = 1, B 1 ist Zufallsvariable ( risikolose Anlage“), B ” 1 > 0 

( 

) 

5. Preisprozess S = (S t ) t=0,1 

mit S t = S (1) 

t , . . . , S (N) 

t , N < ∞. Es existieren N risikobehaftete 

Anlagen ( Assets“), S (n) 

” 

t ist der Preis der n-ten Anlage zur Zeit t. Zu t = 0 sind die Preise 

S (n) 

0 bekannt, die Preise S (n) 

1 jedoch nicht-negative Zufallsvariablen (S (n) 

1 (ω)) 

t 1 ⩵1 

Preisentwicklung Bankkonto 

B 1 ⩵1r 

t 0 ⩵0 

r 

1 

B 0 ⩵1 

S 0 

n 

t 0 ⩵0 

Preisentwicklung Asset n 

Ω 1 

Ω 2 

Ω 3 

PΩ 1 

PΩ 2 

PΩ 3 

t 1 ⩵1 

S 1 n Ω 1 

S n 1 Ω 2 

S n 1 Ω 2 

S 1 n Ω 3 

Ω 4 

PΩ 4 

Immer positiv↑ 

0 

S 1 n Ω 4 

Abbildung 1.1: Entwicklung des Bankkontos und eines Assets n im Einperiodenmodell. 

1

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 2 

Bemerkung 1.1. B t ist meist fest-verzinst gewählt, typischerweise positiv: r = B 1 − B 0 = B 1 − 1. 

Definition 1.2 (Handelsstrategie). Eine Handelsstrategie H = (H 0 , . . . , H N ) beschreibt ein Portfolio, 

das von t 0 bis t 1 gehalten wird. H ist durch die zu t = 0 bekannten Daten bestimmt (d.h. auch 

zu t = 0 ist H keine Zufallsvariable ). H 0 ist der Investitionsbetrag ins risikolose Asset, H n die 

Anzahl der Anteile an Wertpapier n (zum Preis S (n) 

t ). 

Bemerkung 1.2. Alle H i können positiv oder negativ sein 1 

Definition 1.3 (Wertprozess). Der Wertprozess V = (V t ) t=0,1 

beschreibt den Wert des Portfolios 

H zu jedem Zeitpunkt: 

N∑ 

V t = H 0 B t + H n S (n) 

t , t = 0, 1 

n=1 

Definition 1.4 (Gewinnprozess). Der Gewinnprozess G beschreibt die Wertänderung des Portfolios 

H für jeden Zeitschritt (d.h. im Ein-Perioden-Modell von t 0 bis t 1 ): 

G = H 0 · r + 

N∑ [ 

H n 

n=1 

S (n) 

t 1 

] 

− S (n) 

t 0 

} {{ } 

∆S n 

Bemerkung 1.3. Es gilt V 1 = V 0 + G, d.h. Wertänderungen geschehen nur durch Änderung der Kurse der 

Wertpapiere, nicht durch Kapital von außen. 

Preisänderungen werden oft nur relativ zum Bankkonto betrachtet ( ” 

Um wie viel ist das Wertpapier 

besser als das Bankkonto?“), d.h. man kann auch den Wert des Bankkontos als Geldeinheit benutzen. 

Dies führt zu den diskontierten Prozessen: 

Definition 1.5 (diskontierte Prozesse). 

• diskontierter Preisprozess ˜S 

( ) 

= ˜St 

˜S (n) 

t 

• diskontierter Wertprozess Ṽ = (Ṽt 

) 

t=0,1 

mit 

= S (n) 

t /B t , n = 1, . . . , N, t = 0, 1 

t=0,1 

mit 

Ṽ t = V t /B t = H 0 + 

• diskontierter Gewinnprozess ˜G 

( ) 

= ˜Gt 

Damit gilt auch Ṽ1 = Ṽ0 + ˜G. 

˜G t = G t /B t = 

t=0,1 

N∑ 

n=1 

N∑ 

n=1 

mit 

H n 

[ ˜S(n) t 1 

H n ˜S(n) t , t = 0, 1 

− 

] 

(n) ˜S t 0 

, t = 0, 1 

1 Das bedeutet, dass Short-selling bzw. Schulden bei der Bank zulässig sind. Short-selling ist der Verkauf von Wertpapieren, 

die man noch gar nicht hat. Vergleichbar ist dies mit der Aufnahme eines Kredits bei der Bank.


Beispiel 1.1. k = 2 Marktzustände, N = 1 risikobehaftetes Asset, Zins r = 1 9 

. Die Kursentwicklung 

verhält sich: 

B 0 = 1 B 1 (ω) = 1 + 1 9 = 10 9 

S 0 = 5 S 1 (ω 1 ) = 20 3 

S 1 (ω 2 ) = 40 9 

˜S 0 = 5 ˜S1 (ω 1 ) = 20 3 /10 9 = 6 ˜S1 (ω 2 ) = 40 9 /10 9 = 4 

Damit ergeben sich für eine Handelsstrategie H = (H 0 , H 1 ) die Werte zu t 0 = 0 und t 1 = 1 sowie der 

Gewinn als 

V 0 = Ṽ0 = 1 · H 0 + 5H 1 

V 1 (ω) = 10 9 H 0 + H 1 S 1 (ω) 

Ṽ 1 = H 0 + H 1 ˜S1 (ω) 

G(ω) = 1 9 H 1 + (S 1 (ω) − S 0 )H 1 

˜G(ω) = H1 ( ˜S 1 (ω) − S 0 ) 

Dies definiert uns also für jeden Marktzustand ω ∈ Ω eine Gleichung. 

Bemerkung 1.4. ω sind die möglichen Marktzustände zu t = 1. Deren tatsächliche Wahrscheinlichkeiten 

sind nicht näher gegeben (werden aber – wie wir später sehen werden – auch gar nicht zur Preisfestlegung 

eines Derivats benötigt)! 

Bemerkung 1.5. Unser erstes Ziel ist nun, für eine gegebene Verpflichtung Ṽ1(ω i ) (z.B. ein abgeschlossener 

Vertrag oder ein sonstiges Derivat, das abhängig vom Marktzustand Leistungen bietet) eine Handelsstrategie 

H = (H 0 , H 1 , . . . , H N ) zu finden, die zum Zeitpunkt t = 1 in jedem Marktzustand ω i genau den 

Wert V 1 (ω i ) hat. Wenn wir nun zu t = 0 den Betrag V 0 in dieses Portfolio investieren, können wir exakt 

die nötigen Zahlungen tätigen. Insofern ist also V 0 ein fairer Preis bzw. der momentane Wert von V zum 

Zeitpunkt t = 0. 

Bemerkung 1.6. Wenn man obiges Beispiel betrachtet, sieht man, dass wir für die Bestimmung von H 0 

und H 1 für die beiden Assets aus den Ṽ1 genau zwei mögliche Zustände haben, wobei jeder Zustand ω i 

eine Gleichung definiert. Insbesondere haben wir zwei Gleichungen für zwei Variablen und können i.A. 

ein eindeutiges derartiges Portfolio bestimmen: 

Ṽ 1 (ω 1 ) = H 0 + H 1 S (1) 

1 (ω 1) 

Ṽ 1 (ω 2 ) = H 0 + H 1 S (1) 

1 (ω 2) 

Die Lösung kann daher als eine Linearkombination der Portfoliowerte zu t = 1 dargestellt werden kann: 

H 0 = 

H 1 = 

1 

(−1) 

S (1) 

1 (ω 1) − S (1) 

1 (ω Ṽ 1 (ω 1 ) + 

2) 

S (1) 

1 

} {{ } 

(ω 1) − S (1) 

1 (ω Ṽ 1 (ω 2 ) 

2) 

} {{ } 

a 0,1 a 0,2 

( 

) 

1 

1 

(−1) 

S (1) 

1 (ω 1 − 

2) S (1) 

1 (ω 1) − S (1) 

1 (ω Ṽ 1 (ω 1 ) + 

2) 

(S (1) 

1 

} {{ } 

(ω 1) − S (1) 

1 (ω 2))S (1) 

1 (ω Ṽ 1 (ω 2 ) 

1) 

} {{ } 

a 1,1 a 1,2 

Damit berechnet sich der momentane Wert dieses Portfolios, das genau Ṽ1 generiert, durch: 

V 0 = H 0 + H 1 S (1) 

0 = a 0,1 Ṽ 1 (ω 1 ) + a 0,1 Ṽ 1 (ω 2 ) + S (1) 

0 a 1,1Ṽ1(ω 1 ) + S (1) 

0 a 1,2Ṽ1(ω 2 ) 

( 

) ( 

) 

= a 0,1 + S (1) 

0 a 1,1 Ṽ 1 (ω 1 ) + a 1,1 + S (1) 

0 a 1,2 Ṽ 1 (ω 2 ) = E Q [Ṽ ] 

} {{ } } {{ } 

=:q 1 =:q 2 

Naïv würde man erwarten, dass der faire Preis einfach E[Ṽ ] beträgt, wobei die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten 

für die Marktzustände ω i benutzt werden. Obige Gleichung zeigt allerdings, dass der


momentane Preis zwar auch als Erwartungswert der diskontierten Preise zu t = 1 bestimmt werden 

kann, allerdings bezüglich einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die lediglich von den Kursen der 

am Markt verfügbaren Assets S (n) 

t für t = 0, 1 abhängen, nicht aber von den Wahrscheinlichkeiten der 

Marktzustände! 

Die grundlegende Idee der Finanzmathematik ist jene, dass ein gegebener Claim durch geeignete Kombinationen 

von vorhandenen Assets dargestellt werden kann – die replizierende Handelsstrategie – und 

dadurch der Preis bereits bestimmt ist. Damit ist in jedem Fall genau das nötige Kapital zu t = 1 

vorhanden und es besteht kein Risiko, unabhängig davon, ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit ein 

Marktzustand angenommen wird. Daher wird dieses durch den Markt (und durch die Annahme, dass 

keine risikolosen Gewinne möglich sein sollen) bestimmte Wahrscheinlichkeitsmaß auch risikoneutrales 

” 

Maß‘ genannt. Mehr dazu jedoch später. 

Beispiel 1.2. Betrachte nun den Markt aus Beispiel 1.1 mit k = 3 Zuständen, wobei im zusätzlichen 

Zustand der Preisverlauf S 1 (ω 3 ) = 30/9 und ˜S 1 (ω 3 ) = 3 lautet. Alle Definitionen und Gleichungen sind 

gleich wir oben, lediglich eine neue dritte Gleichung für ω 3 kommt hinzu: 

ω 3 : V 1 (ω 3 ) = 10 

9 H 0 + 30 

9 H 1 

G(ω 3 ) = 1 9 H 0 − 5 3 H 1 

Ṽ 1 (ω 3 ) = H 0 + 3H 1 

˜G(ω 3 ) = H 0 − 2H 1 

Damit haben wir 3 Gleichungen (von ω 1 , ω 2 , ω 3 ) für 2 Variablen (H 0 , H 1 ) bei vorgegebenem G oder ˜G. 

Übungsbeispiel 1.1. N = 2 risikobehaftete Assets, k = 3 Zustände. Stelle Gleichungen für V , Ṽ , G und 

˜G auf! 

1.2 Arbitrage 

Idee. Der Markt soll keine Gelegenheit für einen risikolosen Gewinn bieten. 

1.2.1 dominierende Handelsstrategien 

Definition 1.6. Eine Handelsstrategie Ĥ ist dominierend, wenn es eine Handelsstrategie ¯H gibt mit 

̂V 0 = ¯V 0 , aber ̂V 1 (ω) > ¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω. 

Lemma 1.1. Eine dominierende Handelsstrategie existiert dann und nur dann, wenn eine Handelsstrategie 

H existiert mit V 0 = 0 und V 1 (ω) > 0∀ω ∈ Ω. 

Beweis. =⇒ Sei Ĥ dominierend. Die Handelsstrategie H = Ĥ − ¯H erfüllt V 0 = 0 und V 1 (ω) > 0∀ω ∈ Ω. 

⇐= Die HS H dominiert die HS ¯H = (0, 0) für alle ω ∈ Ω. 

Lemma 1.2. Eine dominierende Handelsstrategie existiert dann und nur dann, wenn eine Handelsstrategie 

existiert mit V 0 < 0 und V 1 (ω) ≥ 0∀ω ∈ Ω. 

Beweisskizze. Betrachte die Handelsstrategie H, die das vorige Lemma erfüllt. Konstruiere eine neue 

Handelsstrategie ¯H n = H n , n = 1, . . . , N und ¯H 0 = − ∑ N 

n=1 H nS (n) 

0 − δ mit δ = min ω ˜G(ω) > 0. Diese 

erfüllt die Behauptung des Lemmas. Für die andere Richtung verschiebt man H 0 um V 0 und hat damit 

die dominierende Handelsstrategie.


Interpretation. Zwei Investitionen (Portfolios) haben denselben Anfangspreis V 0 , die eine hat aber in 

jedem Fall einen höheren Endwert. Damit könnte man einen Anteil des niedrigeren Portfolios verkaufen 

und das Kapital in das bessere Portfolio investieren. In jedem Fall bleibt ein risikoloser Gewinn übrig. 

1.2.2 Lineare Preismaße 

Definition 1.7 (lineares Preismaß). Ein lineares Preismaß ist ein nicht-negativer Vektor π = 

(π(ω 1 ), π(ω 2 ), . . . , π(ω N )) mit 

Ṽ 0 = E π [Ṽ1] = ∑ ω∈Ω 

π(ω)Ṽ1(ω) = ∑ ω∈Ω 

π(ω) V 1(ω) 

B 1 (ω) ∀Handelsstrategien 

Korollar 1.3. Wenn ein lineares Preismaß existiert, gibt es keine dominierende Handelsstrategie. 

Beweis. Angenommen, es existiert eine dominierende Handelsstrategie Ĥ, d.h. ̂V0 = ¯V 0 und ̂V 1 (ω) > 

¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω, woraus ˜̂V 1 (ω) > ˜¯V 1 (ω) folgt. Damit erhalten wir den Widerspruch 

˜̂V 0 = ∑ ω 

π(ω)˜̂V 1 (ω) > ∑ ω 

π(ω)˜̂V 1 (ω) = ˜̂V 0 = ˜¯V 0 . 

Die strikte Ungleichung im Beweis gilt allerdings nur, da wir an eine dominierende Handelsstrategie die 

relativ starke Forderung gestellt haben, dass sie in jedem Marktzustand strikt mehr als die dominierte 

Handelsstrategie liefert. Der Fall, dass π = (0, 0, . . . , 0) gilt, ist trivial, da dann nach Definition immer 

V 0 = 0 gelten würde und zum anderen gar nicht möglich, wenn man z.B. die Handelsstrategie H = (H 0 > 

0, 0, . . . , 0) betrachtet, die nur in das risikolose Asset investiert. 

Bemerkung 1.7. π ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 

Beweis. Dies ist einfach zu sehen, indem man ein Portfolio H = (1, 0, . . . , 0) mit H 0 ≠ 0 betrachtet, 

welches zu t 0 den Wert V 0 = 1 und unabhängig vom Marktzustand zu t = 1 immer den Wert Ṽ1(ω) = 1 

hat. Damit folgt 

1 = Ṽ0 = ∑ π(ω) · 1 = ∑ π(ω) 

ω 

ω 

Zusammen mit der Nicht-Negativität folgt die Behauptung. 

Lemma 1.4. Ein Vektor π ist ein lineares Preismaß dann und nur dann, wenn π ein Wahrscheinlichkeitsmaß 

auf Ω ist mit ˜S 0 = E π [ ˜S 1 ] = ∑ (n) 

(n) 

(n) 

ω 

π(ω) ˜S 1 (ω) für n = 1, . . . , N. 

Es genügt also, dass (1.7) nur für alle N Assets erfüllt ist, um zu garantieren, dass die Gleichung für jedes 

beliebige Portfolio erfüllt ist. Dies ist relativ klar, da ein beliebiges Portfolio als Vektor betrachtet ja nur 

eine Linearkombination der Portfolios (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ist, die jeweils nur das i-te Asset beschreiben. 

Interpretation (Definition des linearen Preismaßes). Der Wert Ṽ0 zum Zeitpunkt t = 0 entspricht genau 

dem Erwartungswert des Preises zu t = 1 unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß π. Das heißt, wir benutzen 

nicht die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten, sondern andere, die risikolosen Gewinn ausschließen. 

1.2.3 Gesetz des eindeutigen Preises


Definition 1.8. Das Gesetz des eindeutigen Preises gilt, wenn es keine zwei Handelsstrategien Ĥ 

und ¯H gibt, sodass ̂V 1 (ω) = ¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω gilt, aber ̂V 0 ≠ ¯V 0 . 

Anschaulich bedeutet dies, dass zwei Anlagen / Portfolios, die zu t = 1 in jedem Zustand dasselbe 

auszahlen, auch gleich viel Wert sein sollen zum Zeitpunkt t = 0. 

Bemerkung 1.8. Wenn es keine zwei verschiedenen Handelsstrategien gibt, die dieselben Auszahlungen 

leisten (etwa weil die durch Ṽ1(ω i ) bestimmte Handelsstrategie immer eindeutig ist wie im Beispiel 1.1), 

ist das Gesetz des eindeutigen Preises trivialerweise automatisch erfüllt! 

Lemma 1.5. Wenn keine dominierenden Handelsstrategien existieren, gilt das Gesetz des eindeutigen 

Preises. Die Umkehrung gilt i.A. nicht. 

Beispiel 1.3 (Gesetz des eindeutigen Preises nicht erfüllt). Betrachte einen Markt mit k = 2 Zuständen 

und N = 1 risikobehaftetem Asset, sowie r = 1. Es sei 

S 0 = 10 S 1 (ω 1 ) = S 1 (ω 1 ) = 12 

In diesem Fall ist S 1 und damit auch V 1 (ω) = 2H 0 + 12H 1 konstant auf Ω, also quasi risikolos. 

⇒ beliebig viele HS (H 0 , H 1 ), um V 1 = λ (λ fix gewählt) zu erzeugen, jede hat unterschieden Preis V 0 . 

⇒ kein eindeutiger Preis 

Beispiel 1.4 (Gesetz des eindeutigen Preises, aber dominierende Handelsstrategie existiert). 

Betrachte einen Markt mit k = 2 Zuständen und N = 1 risikobehaftetem Asset, sowie r = 1. Es sei 

Das GS für die HS H lautet 

S 0 = 10 S 1 (ω 1 ) = 12 S 1 (ω 1 ) = 8 

V 1 (ω 1 ) = 2H 0 +12H 1 

V 1 (ω 2 ) = 2H 0 + 8H 1 

und besitzt eine eindeutige Lösung für jedes X = (V 1 (ω 1 ), V 1 (ω 2 )). Damit ist die Handelsstrategie H 

eindeutig und auch der Preis V 0 eindeutig. 

Betrachte nun allerdings die Handelsstrategie H = (10, −1), also 10 Geldeinheiten am Bankkonto, ein 

Asset short: 

V 0 = 10 · 1 − 1 · 10 = 0 

V 1 (ω 1 ) = 2 · 10 − 12 · 1 = 8 

V 1 (ω 2 ) = 2 · 10 − 8 · 1 = 12 

Damit gilt für die HS H = (10, −1), dass V 0 = 0, aber V 1 (ω) > 0∀ω. Damit dominiert H die Handelsstrategie 

(0, 0) und der Markt lässt dominierende Handelsstrategien zu. 

1.2.4 Arbitrage 

Definition 1.9. Eine Arbitrage-Möglichkeit ist eine Handelsstrategie H mit 

• V 0 = 0 

• V 1 (ω) ≥ 0∀ω ∈ Ω 

• ∃ω ∈ Ω : V 1 (ω) > 0 (oder alternativ E[V 1 ] > 0, da π(ω) > 0∀ω ∈ Ω)


Definition 1.10 (Alternative Definition von Arbitrage). Eine Arbitrage-Möglichkeit ist eine 

Handelsstrategie H, sodass eine weitere Handelsstrategie Ĥ existiert mit 

• V 0 = ̂V 0 

• V 1 (ω) ≥ ̂V 1 (ω)∀ω ∈ Ω 

• ∃ω ∈ Ω : V 1 (ω) > ̂V 1 (ω) (oder alternativ E[V 1 ] > E[̂V 1 ], da π(ω) > 0∀ω ∈ Ω) 

Bemerkung 1.9. Die Existenz von Arbitrage ist nach beiden Definitionen äquivalent, da Definition 1.9 

nur der Spezialfall Ĥ = 0 von Definition 1.10 ist, und andererseits die HS H − Ĥ die Bedingungen von 

Definition 1.9 erfüllt. Wenn es also eine Arbitrage-Möglichkeit im Sinn von Definition 1.9 gibt, dann auch 

im Sinn von Definition 1.10 und umgekehrt. 

Interpretation. Arbitrage bedeutet einen risikolosen Gewinn. Insbesondere besteht ohne Kapitel (V 0 = 0) 

eine Chance auf einen Gewinn in zumindest einem möglichen Marktzustand, aber es ist kein Verlust 

möglich. In eine derartige Investitionsmöglichkeit würden alle am Markt (beliebig viel, da kein Kapital 

nötig ist) investieren. Daher ist die Nicht-Existenz der Möglichkeit eines risikolosen Gewinnes das 

Grundprinzip der Finanzmathematik. Außerdem würde aufgrund der starken Nachfrage nach den Marktprinzipien 

der Preis steigen und die Arbitrage doch wieder verschwinden. 

Lemma 1.6. Wenn es eine dominierende Handelsstrategie gibt, existiert eine Arbitrage-Möglichkeit. 

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. 

Beweis. Die Handelsstrategie ¯H dominiere Ĥ. Dann erfüllt H = ¯H − Ĥ alle Bedingungen für eine 

Arbitrage-Möglichkeit. 

Beispiel 1.5 (Arbitrage, aber keine dominierende Handelsstrategie). k = 2 Zustände, N = 1 risikobehaftetes 

Asset, r = 0, S 0 = 10, S 1 (ω 1 ) = 12, S 1 (ω 2 ) = 10. 

• H = (−10, 1) ist eine Arbitrage-Möglichkeit, weil V 0 = −10+1·10 = 0, aber V 1 (ω 1 ) = −10+12 = 2 

und V 1 (ω 2 ) = −10 + 10 = 0. 

• π = (0, 1) ist ein lineares Preismaß, daher existiert keine dominierende Handelsstrategie. 

Bemerkung 1.10. Der Zustand ω 2 , der im letzten Beispiel die Arbitrage liefert, wird durch π(ω 2 ) = 0 

wieder kompensiert und wirkt sich daher nicht auf V 0 aus. 

Korollar 1.7. H ist eine Arbitrage-Möglichkeit dann und nur dann, wenn (a) ˜G ≥ 0, (b) E[ ˜G] > 0 

und (c) V 0 = 0. 

Beweis. Simples Übungsbeispiel. 

1.3 Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß) 

Frage. Wann gibt es keine Arbitrage-Möglichkeit? 

Wie wir in Beispiel 1.5 gesehen haben, verhindert die Existenz eines linearen Preismaßes zwar die Existenz 

von dominierenden Handelsstrategien, nicht jedoch die Existenz von Arbitrage. Die Analyse des Beispiels 

zeigte uns, dass π(ω 2 ) = 0 zur Folge hatte, dass der Arbitrage erlaubende Zustand ω 2 sich nicht auf die 

Martingaleigenschaft auswirkt. Um diesen Fall also zu verhindern, werden wir nun zusätzlich fordern, 

dass jeder Zustand wirklich positive Wahrscheinlichkeit besitzt.


Märkte ohne Arbitrage 

Märkte ohne dominierende Handelsstrategien 

Märkte, in denen Gesetz des eindeutigen Preises gilt 

Abbildung 1.2: Klassifikation und Hierarchie von Marktmodellen 

Definition 1.11. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf Ω heißt risikoneutrales Maß (RNM), wenn 

(a) Q(ω) > 0∀ω ∈ Ω 

(b) E Q [∆S (n) ] = 0 (bzw. E Q [S (n) 

1 ] = S (n) 

0 ) für n = 1, . . . , N ( ” 

Martingaleigenschaft“) 

Interpretation. Der momentane Preis S (n) 

0 ist – wie auch schon bei linearen Preismaßen – der beste 

(Momenten-)Schätzer für den Preis zu t = 1. Außerdem hat ein risikoneutrales Maß dieselben Nullmengen 

(nämlich keine in unserem Fall) wie die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten, d.h. P ∼ Q. 

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass Q(ω) > 0∀ω ∈ Ω bzw. Q ∼ P. 

Theorem 1.8. Es existiert keine Arbitrage-Möglichkeit dann und nur dann, wenn ein risikoneutrales 

Maß Q existiert. 

Der Beweis dieses Satzes läuft z.B. über lineare Programmierung, würde aber den Rahmen hier sprengen. 

Bemerkung 1.11. Ein risikoneutrales Maß ist i.A. nicht eindeutig, wichtig ist nur die Existenz mindestens 

eines RNM. Ist das RNM eindeutig, ist der Markt vollständig und jeder beliebige Claim kann durch ein 

Portfolio erreicht werden, wie später gezeigt werden wird. 

(1) 

Beispiel 1.6 (Fs. von Beispiel 1.1; eindeutiges RNM). S 0 = 5, ˜S 1 (ω (1) 

1) = 6, ˜S 1 (ω 2) = 4. Das RNM Q 

wird definiert durch die Martingalbedingung einerseits und die Tatsache, dass Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß 

ist. Das entsprechende Gleichungssystem lautet also 

5 =6Q(ω 1 )+4Q(ω 2 ) 

1 = Q(ω 1 )+ Q(ω 2 ) 

Dessen Lösung ist Q(ω 1 ) = Q(ω 2 ) = 1 2 , wodurch Q = ( 1 

2 , 1 2) 

ein RNM ist und daher keine Arbitrage in 

diesem einfachen Markt möglich ist. 

Beispiel 1.7 (Fs. von Beispiel 1.2; RNM nicht eindeutig). Der Markt besteht wie im letzten Beispiel aus 

(1) 

einem Asset, jedoch wird noch ein dritter Marktzustand ω 3 beobachtet mit ˜S 1 (ω 3) = 3. Das Gleichungssystem 

lautet nun 

5 =6Q(ω 1 )+4Q(ω 2 )+3Q(ω 3 ) 

1 = Q(ω 1 )+ Q(ω 2 )+ Q(ω 3 )


Dessen Lösung ist Q(ω 2 ) = 2−3Q(ω 1 ) und Q(ω 3 ) = −1+2Q(ω 1 ). Damit ist also Q = (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ) 

für jedes λ ∈ ] 1 

2 , [ 3 

2 ein RNM (Die Werte λ = 

1 

2 und λ = 2 3 

müssen ausgeschlossen werden, da sonst 

Q(ω 2 ) = 0 oder Q(ω 3 ) = 0 gilt und Q dann kein RNM mehr ist!). Damit haben wir ein (nicht eindeutiges) 

RNM gefunden und der Markt lässt keine Arbitrage zu. 

Beispiel 1.8 (kein RNM, obwohl N = 2 und k = 3 und LPM). Betrachte einen Markt mit N = 2 risikobehafteten 

Assets und k = 3 Marktzuständen, sowie einen Zins von r = 1 9 

. Die Kurse entwickeln sich 

nach folgender Tabelle: 

S (n) 

0 = 

(n) ˜S 0 S (n) 

1 

˜S (n) 

1 

n ω 1 ω 2 ω 3 ω 1 ω 2 ω 3 

1 5 20/3 20/3 40/9 6 6 4 

2 10 40/3 80/9 80/9 12 8 8 

Das Gleichungssystem für ein risikoneutrales Maß lautet also 

5 = 6Q(ω 1 )+6Q(ω 2 )+4Q(ω 3 ) 

10 =12Q(ω 1 )+8Q(ω 2 )+8Q(ω 3 ) 

1 = Q(ω 1 )+ Q(ω 2 )+ Q(ω 3 ) 

und besitzt die Lösung Q = ( 1 

2 , 0, 1 2) 

. Dies ist zwar ein lineares Preismaß, aber nicht echt positiv, also 

kein risikoneutrales Maß. Damit ist in diesem Markt Arbitrage möglich, z.B. durch H = (0, 2, −1) im 

Zustand ω 2 . 

Beispiel 1.9 (kein RNM, kein LPM). Der Markt sei wie im letzten Beispiel 1.8, jedoch soll der Zustand 

ω 3 nicht existieren. Das GS ist damit 

5 = 6Q(ω 1 )+6Q(ω 2 ) 

10 =12Q(ω 1 )+8Q(ω 2 ) 

1 = Q(ω 1 )+ Q(ω 2 ) 

Damit haben wir drei (nicht linear abhängige) Gleichungen für 2 Variablen, weshalb keine Lösung existiert. 

Damit gibt es kein RNM in diesem Markt und es ist Arbitrage möglich. Es gibt nicht mal ein LPM, da 

auch dieses obiges Gleichungssystem erfüllen müsste! 

1.4 Bewertung von Contingent Claims 

Definition 1.12 (Contingent Claim). Ein Contingent Claim (CC, ” 

bedingte Forderung“) X ist 

eine Zahlung zu t 1 = 1, deren Höhe vom Marktzustand ω i abhängt. Zum Zeitpunkt t = 0 betrachtet 

ist X eine Zufallsvariable. 

Definition 1.13 (erreichbarer CC). Ein CC ist erreichbar (attainable, marketable), wenn eine 

Handelsstrategie H existiert (das ” 

replizierende Portfolio“) mit V 1 (ω i ) = X(ω i )∀ω i ∈ Ω. Man sagt 

dann, dass H den CC X erzeugt. 

Beispiel 1.10. Betrachte einen Markt mit N = 2 Assets und k = 3 Zuständen sowie einen Zins von r = 0. 

Die Preisentwicklung sei 

˜S (1) 

0 = 5 ˜S(1) 1 (ω 1) = 3 ˜S(2) 0 = 5 ˜S(2) 1 (ω 1) = 7 

˜S (1) 

1 (ω 2) = 5 ˜S(2) 1 (ω 2) = 5 

˜S (1) 

1 (ω 3) = 7 ˜S(2) 1 (ω 3) = 3


Betrachte nun einen CC X(ω 1 ) = X(ω 2 ) = X(ω 3 ) = 5. Gesucht ist damit die Handelsstrategie H = 

(H 0 , H 1 , H 2 ) mit 

5 =H 0 B 0 +H 1 ˜S(1) 1 (ω 1)+H 2 ˜S(2) 1 (ω 1) =1H 0 +3H 1 +7H 2 

5 = =1H 0 +5H 1 +5H 2 

5 = =1H 0 +7H 1 +3H 2 

Die Lösung ist H 0 = 5 − 10H 2 und H 1 = H 2 , insbesondere also H = (5 − 10λ, λ, λ). Mögliche Portfolios 

zur Replizierung sind z.B. H = (5, 0, 0) (nur Investition ins Bankkonto) oder H = (0, 1 2 , 1 2 

) (nur in 

risikobehaftete Assets). Das replizierende Portfolio ist also i.A. nicht eindeutig (der Preis jedoch schon, 

auch in diesem Fall!) 

Beispiel 1.11. Ändere im letzten Beispiel nun 

˜S 

(2) 

1 (ω 3) = 5 und ˜X(ω 3 ) = 7. Das GS lautet nun 

ω 1 : 5 =5H 0 +3H 1 +7H 2 

ω 2 : 5 =5H 0 +5H 1 +5H 2 

ω 3 : 7 =5H 0 +7H 1 +5H 2 

und besitzt die Lösung H 0 = −1, H 1 = H 2 = 1. Die Handelsstrategie H = (−1, 1, 1) ist insbesondere in 

diesem Fall eindeutig, da die Koeffizientenmatrix vollen Rang besitzt. 

Frage. Was ist der (faire) Preis p eines erreichbaren CC X zum Zeitpunkt t = 0? 

Man sieht leicht, dass es eine Arbitrage-Möglichkeit gibt, wenn p ≠ V 0 gilt: 

p > V 0 : Verkaufe einen Claim zum Zeitpunkt t 0 = um p, investiere V 0 ins replizierende Portfolio, welches 

genau die nötige Auszahlung abdeckt. Die Differenz p − V 0 kann als risikoloser Gewinn eingestreift 

werden. 

p < V 0 : Verfahre genau umgekehrt (Investiere in Claim und gehe einmal das replizierende Portfolio short). 

Wenn p = V 0 , existiert keine Arbitrage mit der replizierenden Handelsstrategie H. Die Frage ist jedoch, 

ob eine solche replizierende Handelsstrategie überhaupt existiert. Mehr dazu im Abschnitt 1.5. 

Lemma 1.9. Sei Q ein risikoneutrales Maß. Dann gilt für jede Handelsstrategie H: 

V 0 = E Q [Ṽ1] 

Def. G 

Beweis. V 0 = E Q [Ṽ1 − ˜G] 

[ ∑N 

= E Q [Ṽ1] − E Q n=1 H n∆ ˜S 

] 

n = E Q [Ṽ1] − ∑ N 

n=1 H n E Q [∆ ˜S n ] = E Q [Ṽ1] 

} {{ } 

=0 

Das Gesetz des eindeutigen Preises ist also für alle Claims sicher erfüllt, für die eine replizierende Handelsstrategie 

existiert. Mit anderen Worten: Jede Handelsstrategie, die den Claim erzeugt, hat denselben 

Preis, vorausgesetzt es existiert ein risikoneutrales Maß. 

Bemerkung 1.12. Aus V 0 = E Q [Ṽ1] folgt nun die Arbitrage-Freiheit: Wenn es nun einen Zustand ω ∈ Ω 

gibt mit Ṽ1(ω) > V 0 , dann muss es auch einen Zustand ¯ω ∈ Ω geben, sodass Ṽ1(¯ω) < V 0 . Wenn also die 

Möglichkeit auf einen Gewinn besteht, muss es ebenso die Möglichkeit eines Verlustes geben. 

Lemma 1.10. Wenn das Gesetz des eindeutigen Preises erfüllt ist, dann ist der faire Preis des 

Contingent Claims X mit replizierendem Portfolio H zum Zeitpunkt t = 0 genau der Wert des 

replizierenden Portfolios zu t = 0: 

V 0 = H 0 B 0 + 

N∑ 

n=1 

H n S (n) 

0


Theorem 1.11 (Risikoneutrales Bewertungsprinzip). Ist das Ein-Perioden-Modell arbitragefrei, 

dann ist der Wert eines Contingent Claims X zu t = 0 gegeben durch E Q [X/B 1 ], wobei Q ein 

beliebiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß ist. 

Beweis. Folgt sofort aus Lemma 1.9. 

Beispiel 1.12 (von früher). Es sei r = 1 9 , S 0 = 5, S 1 (ω 1 ) = 20 

3 , S 1(ω 2 ) = 40 

9 . Also ˜S 1 (ω 1 ) = 6 und 

˜S 1 (ω 4 ) = 4. Als risikoneutrales Maß haben wir bereits Q(ω 1 ) = Q(ω 2 ) = 1 2 bestimmt. 

Betrachte einen Claim X mit X(ω 1 ) = 7 und X(ω 2 ) = 2. Nach obigem Theorem ist der Preis dieses 

Claims 

V 0 = E Q [ X ] = 1 B 1 2 · + 1 2 · = 81 

20 = 4.05 

7 

10 

9 

Die replizierende Handelsstrategie H bestimmt sich folgendermaßen, indem Ṽ1 = V 0 + ˜G benutzt wird: 

X(ω i )/B 1 (ω i ) = Ṽ1(ω i ) = V 0 + ˜G(ω i ) = 4.05 + H 1 ∆ ˜S 1 (ω i ) für i = 1, 2. 

Wir haben also 2 Gleichungen, die beide denselben Wert für H 1 liefern: 

9 

ω 1 :7 · 

10 = 81 

20 + H 1 · 1 ⇒ H 1 = 45 

20 = 2.25 

9 

ω 2 :2 · 

10 = 81 

20 + H 1 · (−1) ⇒ H 1 = 81 

20 − 36 

20 = 45 

20 = 2.25 

Die Tatsache, dass beide Gleichungen denselben Wert für H 1 liefern ist nicht weiter verwunderlich, immerhin 

wurde V 0 so bestimmt. Insofern war die Benutzung der zweiten Gleichung nur als Kontrolle 

notwendig. H 0 ergibt sich nun als 

4.05 = V 0 = H 0 + H 1 S 0 = H 0 + 2.25 · 5 ⇒ H 0 = 81 

20 − 225 

20 = −144 = −7.2 

20 

Der Claim X ist also durch die Handelsstrategie H = (−7.2, 2.25) erreichbar. 

Als Kontrolle können wir den Wert dieser Handelsstrategie zu t = 0 und zu t = 1 berechnen: 

2 

10 

9 

t = 0 : V 0 = −7.2+ 2.25 · 5 =4.05 

t = 1 : ω 1 : V 1 (ω 1 ) =−7.2 · 10 9 +2.25 · 20 3 =7 

ω 2 : V 1 (ω 2 ) =−7.2 · 10 9 +2.25 · 40 9 =2 

Der faire Preis dieses Claims X muss nun nach obigem Theorem genau V 0 sein, ansonsten wäre ein 

risikoloser Gewinn möglich. 

Definition 1.14 (Zustands Claim, Zustandspreis). Für ̂ω ∈ Ω wird der Contingent Claim X, 

der nur im Zustand ̂ω genau 1 Geldeinheit auszahlt, in allen anderen Zuständen jedoch nichts, also 

{ 

1 für ω = ̂ω 

X(ω) = 

0 sonst, 

als ” 

Elementar-Claim“ bzw. ” 

Zustands-Claim“ des Zustandes ̂ω bezeichnet. Sein Preis (wenn er 

erreichbar ist) ist 

E Q [X/B 1 ] = ∑ ω∈Ω 

Q(ω)X(ω)/B 1 (ω) = Q(̂ω)/B 1 (̂ω) 

und wird als Zustandspreis für ̂ω ∈ Ω bezeichnet. 

Der Preis V 0 jedes Contingent Claims kann als Linearkombination der Payoffs X(ω) mit den Zustandspreisen 

als Gewichten dargestellt werden (da die Zustandspreise genau die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten 

beinhalten).


1.4.1 Optionen 

• Call-Optionen: Eine Call-Option gibt dem Käufer das Recht (aber nicht die Pflicht), das Asset 

zum festgelegten Preis K zum Zeitpunkt t 1 zu kaufen. Ist der Aktienkurs höher, wird er dies tun, das 

Asset sofort wieder verkaufen und die Differenz als Gewinn einstreifen, ansonsten wird er die Option 

nicht ausüben und sie ist wertlos. Der Payoff ist also für N = 1 genau X(ω) = (S 1 (ω) − K) + = 

max(0, S 1 (ω) − K) für gegebene Konstante K (Ausübungspreis, ” 

exercise price“, ” 

strike price“), 

teilweise auch mit e bezeichnet. 

Wenn X erreichbar ist, gilt 

E Q [X/B 1 ] = ∑ ω∈Ω ′ Q(ω)[S 1 (ω) − K]/B 1 (ω) 

wobei Ω ′ = {ω ∈ Ω : S 1 (ω) ≥ K} nur jene Zustände beinhaltet, in denen die Option einen Gewinn 

abwirft. 

Beispiel 1.13. Betrachte eine Option auf das Asset von Beispiel 1.1: r = 1 9 

{ 

, K = 5. 

5/3, ω = ω 1 

Der Payoff ist also X(ω) = 

und damit gilt E Q [X/B 1 ] = 1 2 

0, ω = ω · 5 

3 · 9 

2 

den Wert der Option, falls sie erreichbar ist. 

10 = 3 4 

= 0.75 für 

Ist X nun durch ein Portfolio erreichbar? Die Handelsstrategie wird wieder bestimmt durch X(ω) = 

V 1 (ω) = H 1 B 1 +H 1 S 1 (ω), wobei die Lösung genau H 0 = −3 und H 1 = 0.75 beträgt. H = (−3, 0.75) 

erzeugt also X und daher ist X erreichbar und man kann das Kapital von 0.75 so investieren, dass 

in jedem Zustand exakt das nötige Kapital zur Verfügung steht. 

• Put-Option: : Eine Put-Option gibt dem Käufer das Recht (aber nicht die Pflicht), das Asset 

zum festgelegten Preis K zum Zeitpunkt t 1 zu verkaufen. Ist der Aktienkurs niedriger als K, wird 

er dies tun, die nötige Aktie am Markt um den billigeren Aktienkurs kaufen und die Differenz als 

Gewinn einstreifen, ansonsten wird er die Option nicht ausüben und sie ist wertlos. Der Payoff ist 

also für N = 1 genau X(ω) = (K − S 1 (ω)) + = max(0, K − S 1 (ω)) für gegebene Konstante K. Die 

Put-Option kann exakt gleich behandelt werden wie die Call-Option. 

Beispiel 1.14 (Fortsetzung von Beispiel 1.2; nicht jeder Claim ist erzeugbar). Betrachte einen allgemeinen 

CC mit X = (X 1 , X 2 , X 3 ) ∈ R 3 . Existiert hierfür immer eine Handelsstrategie, die diesen Claim 

erzeugt? Dafür haben wir ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen, je eine pro Zustand ω i : 

ω i : H 0 B 1 (ω i ) + H 1 S (1) 

1 (ω i) = X(ω i ) = X i 

Dieses Gleichungssystem aus drei Gleichungen für zwei Variablen hat i.A. keine Lösung. Eine Lösung 

existiert insbesondere nur dann, wenn die Gleichungen linear abhängig sind, was der Fall ist für X 1 − 

3X 2 + 2X 3 = 0. Derartige Claims sind erreichbar, alle anderen sind nicht erreichbar. Insbesondere heißt 

dies, dass nicht jeder Claim erreichbar ist in diesem Modell (wo wir mehr als ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß 

haben). 

Bisher hatten wir immer vorausgesetzt, dass eine replizierende Handelsstrategie existiert, damit wir den 

Preis festlegen können. 

1.5 Vollständige Märkte 

Wenn ein risikoneutrales Maß existiert (was gleichbedeutend ist mit der Absenz von Arbitrage), können 

wir den Preis V 0 eines CC bestimmen als Erwartungswert bezüglich eines risikoneutralen Maßes Q. 

Wenn ein Claim erreichbar ist, so muss insbesondere für jede replizierende Handelsstrategie derselbe 

Preis herauskommen, also alle Erwartungswerte bezüglich aller risikoneutralen Maße übereinstimmen. 

Die Frage ist nun, wann ein CC überhaupt erreichbar ist, bzw. in welchen Fällen es ohnehin nur ein 

eindeutiges risikoneutrales Maß gibt.


Definition 1.15 (Vollständigkeit von Märkten). Ein Markt ist vollständig, wenn jeder CC erreichbar 

ist durch eine Handelsstrategie. Sonst heißt er unvollständig. 

Sei X nun ein Contingent Claim in einem Marktmodell mit N Assets und k Zuständen in Ω. Das Problem 

der Bestimmung einer replizierenden Handelsstrategie H ist ein lineares Gleichungssystem X = A·H mit 

⎛ 

B 1 (ω 1 ) S (1) 

1 (ω 1) S (2) 

1 (ω ⎞ 

1) . . . S (N) 

1 (ω 1 ) 

B 

A = 

1 (ω 2 ) S (1) 

1 (ω 2) S (2) 

1 (ω 2) . . . S (N) 

1 (ω 2 ) 

⎜ 

. 

⎝ . . . .. ⎟ . ⎠ . 

B 1 (ω k ) S (1) 

1 (ω k) S (k) 

1 (ω k) . . . S (N) 

1 (ω k ) 

Der Contingent Claim X ist erreichbar, wenn X = A · H zumindest eine Lösung besitzt. Der Markt ist 

vollständig, wenn X = A · H für jedes X eine Lösung besitzt, wozu ˜k ≤ N nötig ist mit ˜k ≤ k der Anzahl 

der linear unabhängigen Zeilen von A. Andererseits ist das Modell nur dann arbitragefrei, wenn ˜k ≥ N. 

Folgendes Lemma ist also aus dieser Argumentation heraus sofort ersichtlich. 

Lemma 1.12. Ist das Marktmodell arbitragefrei, so ist es genau dann vollständig, wenn die Anzahl 

der Zustände ω i der Anzahl ˜k der linear unabhängigen Vektoren (B, S (1) 

1 , . . . , S(n) 1 ) entspricht. 

Beispiel 1.15 (Fs. Beispiel 1.1). Die Matrix A = 

Beispiel 1.16 (Fs. Beispiel 1.2). A = ⎝ 

⎛ 

10 

9 

10 

9 

10 

9 

20 

3 

40 

9 

10 

3 

⎞ 

( 10 

9 

10 

9 

20 

3 

40 

9 

) 

hat vollen Rang, der Markt ist vollständig. 

⎠ hat Rang 2, aber k = 3. Der Markt ist nicht vollständig. 

Das RNM in diesem Beispiel war Q = (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ) mit λ ∈] 1 2 , 2 3 

[. Insbesondere ergibt sich für 

alle RNM Q(λ) derselbe Preis E Q [X/B 1 ] = λ 9 10 X 1 + (2 − 3λ) 9 10 X 2 + (−1 + 2λ) 9 10 X 3 = 9 10 (2X 2 − X 3 ) + 

9 

10 λ(X 1 − 3X 2 + 2X 3 ) genau dann unabhängig vom Wert von λ, wenn X 1 − 3X 2 + 2X 3 = 0, also der 

Claim überhaupt erreichbar ist, wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben. Alle nicht erreichbaren 

Claims haben keinen eindeutigen Preis! 

Beispiel 1.17. Betrachte nun Beispiel 1.1 mit einem zusätzlichen Asset: S (2) 

0 = 54, S (2) 

1 (ω 1) = 70 und 

S (2) 

1 (ω 2) = 50. Das Maß Q = ( 1 

2 , ) 1 

2 ist noch immer ein RNM (54 = 

1 

2 · 9 

10 · 70 + 1 2 · 9 

( 10 · 50). Die 

10 

) 

20 

Koeffizientenmatrix A = 9 3 

70 

10 40 erfüllt nun RgA = 2 = k. Damit ist der Markt vollständig. 

9 9 

50 

Allerdings ist das replizierende Portfolio nicht eindeutig (jedes replizierende Portfolio hat aber denselben 

Anfangswert!). 

Definition 1.16 (Menge alle risikoneutralen Maße). Die Menge aller risikoneutralen Maße 

wird mit M bezeichnet. 

Bemerkung 1.13. Nach unserer Grundvoraussetzung der Absenz von Arbitrage gilt auf alle Fälle M ≠ ∅. 

Theorem 1.13. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 

1. Das Modell ist vollständig. 

2. Für jeden CC X gilt: E Q [X/B 1 ] hat für alle Q ∈ M denselben Wert. 

3. M enthält genau ein risikoneutrales Maß (|M| = 1).


Beweis. 

1.⇒2. Nach Voraussetzung enthält M mindestens ein RNM. Nach der Argumentation des letzten Abschnittes 

muss für jeden erreichbaren Claim der Anfangswert V 0 = E Q [X/B 1 ] aller erzeugenden 

Handelsstrategie übereinstimmen, sonst ist Arbitrage möglich. 

2.⇒1. Betrachte einen nicht erreichbaren CC X und ein RNM ̂Q ∈ M. Wir werden uns nun ein RNM Q 

konstruieren, sodass Q bQ [X/B 1 ] ≠ E Q [X/B 1 ] gilt. 

Dass X nicht erreichbar ist, bedeutet, dass A · H = X keine Lösung besitzt. Das Farkas-Lemma 

[Far02] aus der linearen Optimierung (siehe Anhang) sagt für diesen Fall jedoch aus, dass 

∃π : π · A = 0, δ = π · X > 0 . 

Definieren wir nun Q(ω k ) = ̂Q(ω k )+λπ k B 1 (ω k ), so gilt für genügend kleines λ > 0, dass Q(ω k ) > 0. 

Es ist nun nicht mehr sehr schwer zu zeigen, dass Q ein RNM ist: 

1. Q(ω i ) > 0 

2. ∑ k Q(ω k) = ∑ ̂Q(ω k k ) + λπ · B 1 (ω k ) = ∑ } {{ } 

̂Q(ω k k ) = 1. 

=0, da B 1 die 

1. Spalte von A 

3. Die Martingalbedingung ist ebenfalls erfüllt, wie aus der Martingalbedingung für ̂Q und dem 

Farkas-Lemma sofort folgt: 

E Q ˜S(n) 1 = ∑ k 

(n) 

Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) = ∑ k 

Q(ω k )S (n) 

1 (ω k )/B 1 (ω k ) 

= ∑ k 

(n) ̂Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) + λ ∑ π k B 1 (ω k ) S(n) 1 (ω k ) 

= ∑ B 1 (ω k ) 

k 

k 

} {{ } 

=0, da S (n) 

1 die n. Spalte von A 

(n) 

(n) 

̂Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) = ˜S 0 

Es muss nun nur noch gezeigt werden, dass E Q [X/B 1 ] ≠ E bQ [X/B 1 ] gilt: 

E Q [X/B 1 ] = ∑ k 

Q(ω k )X(ω k )/B 1 (ω k ) = ∑ k 

̂Q(ω k )X(ω k ) + λ ∑ π k X(ω k ) 

k 

} {{ } 

=δ 

= E bQ [X/B 1 ] + 

}{{} 

λδ > E bQ [X/B 1 ] 

>0 

3.⇒2. Diese Implikation ist trivial, da nur ein einziges RNM in M existiert. 

2.⇒3. Seien Q und ̂Q zwei RNM mit Q ≠ ̂Q, d.h. ∃ω k ∈ Ω : Q(ω k ) ≠ ̂Q(ω k ). Betrachte nun den 

Contingent Claim X(ω) = 1 {ω=ωk }B 1 (ω k ) 

[ ] X 

E Q = B 1(ω k ) 

B 1 B 1 (ω k ) Q(ω k) = Q(ω k ) ≠ ̂Q(ω k ) = B [ ] 

1(ω k ) 

B 1 (ω k ) ̂Q X 

= E bQ . 

B 1 

Damit (und weil Q keine Nullmengen besitzt) kann es also nur ein eindeutiges Martingalmaß Q 

geben: |M| = 1 

Aus dem Beweis der Äquivalenz des ersten und zweiten Punktes des Theorems sieht man außerdem sofort 

folgendes Lemma: 

Lemma 1.14. Ein CC X ist dann und nur dann erreichbar, wenn für jedes RNM Q der Erwartungswert 

E Q [X/B 1 ] denselben Wert annimmt.


Bemerkung 1.14. In einem vollständigen Markt ist also jeder CC X bepreisbar mit einem eindeutigen 

RNM, und jeder CC X ist durch eine HS H erreichbar, deren Wert zu t = 0 genau dem Preis des 

CC entspricht. In einem unvollständigen Markt gibt es jedoch mehrere RNM, die aufgrund des letzten 

Lemmas für die nicht erreichbare CCs X auch unterschiedliche Preise liefern! Wenn also keine replizierende 

Handelsstrategie mehr existiert, ist auch der Preis nicht mehr eindeutig. Alle Preise, die als E Q [ ˜X] für 

ein Q ∈ M bestimmt wurden, sind jedoch faire Preise in dem Sinn, dass dann Arbitrage ausgeschlossen 

ist, wenn konsistent dasselbe Maß Q benutzt wird. 

1.5.1 Unvollständige Märkte 

In einem unvollständigen Markt existieren also i.A. keine eindeutigen Preise mehr. Allerdings können wir 

Schranken für faire Preise auf zwei verschiedene Arten angeben: 

1. Auch wenn wir einen CC nicht exakt erzeugen können, können wir Handelsstrategien betrachten, 

die in jedem Marktzustand mehr oder gleichviel ( ” 

Superhedging“) bzw. immer weniger oder gleich 

viel ( ” 

Subhedging“) wert sind. Der eindeutige Preis jeder dieser Handelsstrategien ist eine obere 

(untere) Schranke für den Preis des CC, da es ansonsten Arbitragemöglichkeiten gibt. 

2. Die Menge aller E Q [ ˜X] für Q ∈ M ist die Menge aller fairen Preise (in dem Sinn, dass keine Arbitrage 

möglich ist). 

Aus dem ersten Zugang ergibt sich folgende Definition 

Definition 1.17 (Schranken für den faire Preise in unvollständigen Märkten). 

Obere Schranke für Preis: 

} 

V + (X) = inf 

{E Q [Ỹ ] : Y ≥ X, Y erreichbar 

Untere Schranke für Preis: 

} 

V + (X) = inf 

{E Q [Ỹ ] : Y ≥ X, Y erreichbar 

Die Schranken für die fairen Preise von nicht erreichbaren Claims werden also durch Vergleich mit allen 

erreichbaren Claims bestimmt. Wie folgendes Lemma zeigt, liefert dieser Zugang tatsächlich scharfe 

Schranken für die Preise und führt zu denselben Schranken wie der zweite Zugang über E Q [ ˜X]: 

Lemma 1.15 (o.B.). Ist M ≠ ∅, so gilt für jeden Contingent Claim X: 

{ 

V + (X) = sup E Q [ ˜X] 

} 

: Q ∈ M 

{ 

V − (X) = inf E Q [ ˜X] 

} 

: Q ∈ M 

Ein erreichbarer Claim Y ≥ X, der nie weniger liefert, hat also jedenfalls keinen geringeren Preis als er 

durch das risikoneutrale Bewertungsprinzip für den nicht erreichbaren Claim X bestimmt ist. 

Beispiel 1.18 (Fs. Beispiel 1.2). Die Menge der RNM war M = { (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ)|λ ∈ ] 1 

2 , 3[} 2 . Der 

Claim X = (30, 20, 10) ist nicht erreichbar, da X 1 − 3X 2 + 2X 3 = −1 ≠ 0 gilt. 

Aus dem risikoneutralen Bewertungsprinzip ergeben sich Preise E Q [ ˜X] = λ 9 10 ·30+(2−3λ) 9 10 ·20+(−1+ 

2λ) 9 10 · 10 = −9λ + 27. Insbesondere ergibt sich wegen λ ∈ ] 1 

2 , 3[ 2 für die fairen Preise p ein Intervall von 

p ∈ ]21, 22.5[. Obiges Lemma sagt nun, dass 

V − (X) = inf E Q[ ˜X] = 21 V + (X) = sup E Q [ ˜X] = 22.5 

λ 

Diese beiden Schranken werden tatsächlich von erreichbaren Sub- und Superhedging-Strategien angenommen: 

• Y = (30, 50 

3 , 10) erfüllt Y ≥ X und hat einen Wert von V (Y ) = 21 = V −(X). 

• Y = (30, 20, 15) erfüllt Y ≤ X und hat einen Wert von V (Y ) = 22.5 = V + (X). 

λ


1.6 Risiko und Ertrag (Return) 

Definition 1.18. Für ω ∈ Ω und Q ∈ M wird E Q [ ˜X] = Q(ω)/B 1 (ω) für X(̂ω) = 1 {ω=bω} 

Zustandspreis des Zustands ω bezeichnet. 

als 

Definition 1.19. Der Return eines Assets ist definiert als die ZV, die den relative Wertzuwachs 

beschreibt 

R n = S(n) 1 − S (n) 

0 

S (n) 

0 

, n = 1, . . . , N R 0 := r = B 1 − B 0 

B 0 

Lemma 1.16. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Q(ω) > 0∀ω ∈ Ω ist genau dann ein RNM, wenn 

[ ] 

Rn − R 0 

E Q = 0, n = 1, . . . , N 

1 + R 0 

Beweis. 

˜S (n) (n) 

1 − ˜S 0 = S(n) 1 − B 1 S (n) 

0 

B 1 

[ 

⇒ E Q ∆ ˜S (n)] [ ] 

= S (n) Rn − R 0 

0 E Q 

1 + R 0 

= (1 + R n)S (n) 

0 − (1 + R 0 )S (n) 

0 

= S (n) 

0 

1 + R 0 

R n − R 0 

1 + R 0 

Bemerkung 1.15. Bei deterministischer Zinsrate R 0 (ω) = r folgt sofort, dass E Q [R n ] = E Q [R 0 ] = r 

äquivalent ist zur Tatsache, das Q ein RNM ist. 

1.7 Optimale Portfolios, Zulässigkeit 

Problem: Bestimmung der optimalen Handelsstrategie nach subjektiven Kriterien. 

Definition 1.20 (Nutzenfunktion). Eine Nutzenfunktion U : R × Ω → R ist eine Funktion, die 

für alle ω ∈ Ω 

1. für w ↦→ U(w, ω) differenzierbar, 

2. konkav ( ” 

risikoavers“) und 

3. streng monoton steigend ist. 

U(w, ω) bezeichnet den subjektiv empfundenen Nutzen des Betrages w im Zustand ω, wobei nicht absolute 

Werte Bedeutung haben, sondern nur der Vergleich zweier oder mehrerer möglicher Werte relevant ist. 

U beschreibt also, wie ich subjektiv den Betrag w bewerte. Die Konkavität von U bedeutet, dass die 

Steigung – also die Nutzenänderung desselben Betrages – bei geringen Beträgen höher ist als bei hohen 

Beträgen (Für jemanden, der bereits 10 Mio. e besitzt, ist 1 e keine so große Verbesserung wie für 

jemanden, der nur sehr wenig Kapital besitzt). Die strenge Monotonie hat die nahe liegende Bedeutung, 

dass ein höherer Betrag immer mehr Nutzen hat als ein geringerer Betrag.


Die Kenngröße, um die Auswahl eines Portfolios zu optimieren ist nun der erwartete Nutzen des Endwertes: 

EU(V 1 ) = ∑ ω∈Ω 

P(ω)U(V 1 (ω), ω) 

Bemerkung 1.16. Oft wird angenommen, dass der Nutzen eines Betrages w nicht vom Marktzustand ω 

abhängig ist, also U(w, ω) = U(w). 

Bemerkung 1.17. Der erwartete Nutzen muss bezüglich der tatsächlich eintretenden Wahrscheinlichkeiten 

bestimmt werden! Als Daumenregel kann man sich merken: 

• Geht es um die Bestimmung des Preises (der sich ja aufgrund der No-Arbitrage Bedingung aus den 

Preisen der am Markt verfügbaren Assets ergibt), ist ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Q 

für den Erwartungswert zu benutzen. Hierfür werden die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten P der 

einzelnen Marktzustände gar nicht benötigt! 

• Geht es jedoch um tatsächliche Auszahlungen, ist sehr wohl das tatsächliche Wahrscheinlichkeitsmaß 

P zu benutzen. 

Definition 1.21. H bezeichne die Menge aller Handelsstrategien. 

Problem 1 (Optimales Portfolio-Problem). Sei ν ∈ R das Anfangskapital. Gesucht ist die Handelsstrategie 

H ∈ H mit 

max EU(V 1) (1.1) 

H∈H 

unter V 0 = ν (1.2) 

Problem 2 (Alternative Formulierung des Optimalen Portfolio-Problems). Mit den Definitionen 

V 1 = B 1 Ṽ 1 = B 1 · 

(Ṽ0 + ˜G 

) 

sowie durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung 

ergibt sich eine alternative Formulierung 

[ ( 

)] 

N∑ 

max E U B 1 · (ν + H i ∆ ˜S (n) ) 

(1.3) 

H∈H 

i=1 

Lemma 1.17. Wenn (1.1) oder (1.3) eine Lösung besitzt, gibt es keine Arbitrage-Möglichkeit (und 

damit ein RNM). Äquivalent dazu ist die Aussage: Existiert eine Arbitrage-Möglichkeit, hat (1.1) 

keine Lösung und der Nutzen kann beliebig erhöht werden. 

Beweis. Wir werden die zweite Formulierung beweisen. Sei Ĥ optimal und H eine Arbitrage-Möglichkeit. 

Betrachte die Handelsstrategie ¯H = Ĥ + H: 

N∑ 

ν + ¯H n ∆ ˜S 

N∑ 

(n) = ν + Ĥ n ∆ ˜S 

N∑ 

N∑ 

(n) (n) 

(n) 

+ H n ∆ ˜S ≥ ν + Ĥ n ∆ ˜S 

n=1 

n=1 

n=1 

} {{ } 

≥0 

Die Ungleichung ist wegen der Definition einer Arbitrage-Möglichkeit H für mindestens ein ω ∈ Ω strikt, 

was einen Widerspruch zur Optimalität von Ĥ darstellt. 

n=1


Betrachten wir nun zum Abschluss noch den Zusammenhang zwischen Optimaler Handelsstrategie und 

einem risikoneutralen Maß. 

Lemma 1.18. Ist H mit Wert V t eine Lösung von (1.1) oder (1.3), so ist 

ein risikoneutrales Maß. 

Q(ω) = P(ω)B 1(ω)U ′ (V 1 (ω), ω) 

E [B 1 U ′ (V 1 )] 

Beweis. Aus der Extremalbedingung 1. Ordnung erhalten wir 

[ ( ( 

0 = ! ∂ E U B 1 · ν + 

∂H n 

))] 

N∑ 

H i ∆ ˜S (n) 

i=1 

= ∑ P(ω)U 

(B ′ 1 (ω) · 

ω∈Ω 

( 

ν + 

= ∂ 

∂H n 

∑ 

ω∈Ω 

P(ω)U 

( 

B 1 (ω) · 

( 

ν + 

) ) 

N∑ 

H i ∆ ˜S (n) (ω) , ω B 1 (ω)∆ ˜S (n) (ω) = E 

i=1 

) ) 

N∑ 

H i ∆ ˜S (n) (ω) , ω 

i=1 

[ 

U ′ (V 1 )B 1 ∆ ˜S (n)] . 

Andererseits folgt aus der Martingalbedingung für ein risikoneutrales Maß: 

0 = E Q 

[ 

∆ ˜S (n)] = ∑ ω∈Ω 

Q(ω)∆ ˜S (n) (ω) (1.4) 

Durch Koeffizientenvergleich können wir wir also die Beziehung 

Q(ω) = a · P(ω)U ′ (V 1 (ω))B 1 (ω) 

isolieren, wobei wir die Normierungkonstante a noch bestimmen müssen. Insgesamt ergibt sich damit in 

Abhängigkeit von der Wahl von U für das risikoneutrale Maß: 

Q(ω) = P(ω)U ′ (V 1 (ω))B 1 (ω) 

E [U ′ (V 1 )B 1 ] 

Definition 1.22 (zulässiges Marktmodell). Ein Marktmodell ist zulässig, wenn ∃U : R × Ω → R 

und ein Startkapital ν, sodass 

1. w ↦→ U(w, ω) für alle ω konkav und streng monoton steigend ist und 

2. das Portfolio-Problem (1.1) eine Lösung besitzt. 

Theorem 1.19 (Zusammenhang von Zulässigkeit und RNM). Ein Marktmodell ist zulässig 

dann und nur dann, wenn ein risikoneutrales Maß existiert. 

Beweis. 

⇒ Wurde schon durch obiges Lemma 1.18 gezeigt. 

⇐ Sei Q ∈ M ein risikoneutrales Maß. Wir konstruieren uns nun eine Nutzenfunktion U(w, ω) und ein 

Startkapital ν, sodass (1.1) eine Lösung besitzt. Wähle ν beliebig und setze 

U(w, ω) = w · 

Q(ω) 

P(ω)B 1 (ω) .


Diese Funktion ist für jede Wahl von ω linear in w und damit sowohl differenzierbar in w, streng 

monoton steigend in w (Q > 0), als auch konkav in w und somit eine Nutzenfunktion. 

Wir werden nun zeigen, dass der erwartete Nutzen unabhängig von der Wahl der Handelsstrategie 

immer ν ist und somit diese Konstante auch die Lösung des Optimierungsproblems (1.1) darstellt. 

Nimm dazu eine beliebige Handelsstrategie H ∈ R N . 

[ ( 

)] 

N∑ 

E U B 1 · (ν + H i ∆ ˜S (n) ) = ∑ ( 

) 

N∑ 

P(ω)B 1 (ω) · ν + H i ∆ ˜S (n) Q(ω) 

(ω) 

P(ω)B 1 (ω) 

ω∈Ω 

i=1 

i=1 

= ν + 

N∑ 

n=1 

H n E Q [∆ ˜S (n) ] 

} {{ } 

= ν 

=0, weil Q RNM 

Beispiel 1.19. Betrachte ein (vollständiges) Marktmodell mit N = 2, k = 3 und r = 1 9 

. Die Assets haben 

folgende Entwicklung: 

n ˜S(n) 0 

˜S (n) 

1 (ω 1 ) ˜S(n) 1 (ω 2 ) ˜S(n) 1 (ω 3 ) 

1 6 6 8 4 

2 10 13 9 8 

Das RNM ergibt sich aus 

(n) 

(n) 

˜S 0 = E Q [ ˜S 1 ]: 

6 = 6Q(ω 1 )+ 8Q(ω 2 )+ 4Q(ω 3 ) 

10 = 13Q(ω 1 )+ 9Q(ω 2 )+ 8Q(ω 3 ) 

1 = Q(ω 1 )+ Q(ω 2 )+ Q(ω 3 ) 

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung Q = ( 1 

3 , 1 3 , 1 3) 

. 

Als Beispiel sehen wir uns nun die exponentielle Nutzenfunktion U(w) = − exp(−w) an mit U ′ (w) = 

exp(−w). Das optimale Portfolio für diese Wahl der Nutzenfunktion ergibt sich aus der Bedingung 0 = 

E[U ′ (V 1 )B 1 ∆ ˜S (n) ], bzw. dem Gleichungssystem 

n = 1 : 0 = P(ω 1 )e − 10 

9 (ν+3H2) 10 9 · 0 + P(ω 2)e − 10 

9 (ν+2H1−H2) 10 9 · 2 − P(ω 3)e − 10 

9 (ν−2H1−2H2) 10 9 · 2 

n = 2 : 0 = P(ω 1 )e − 10 

9 (ν+3H2) 10 9 · 3 − P(ω 2)e − 10 

9 (ν+2H1−H2) 10 9 · 1 − P(ω 3)e − 10 

9 (ν−2H1−2H2) 10 9 · 2 

Dieses Gleichungssystem ist nun nicht mehr linear und kann nicht analytisch, sondern nur nummerisch 

gelöst werden. 

1.7.1 Übungsaufgaben 

Bsp. 1.1) Betrachte ein Ein-Perioden-Modell mit zwei risikobehafteten Wertpapieren und drei möglichen 

Marktzuständen (N = 2, K = 3, Zins r = 1 9 ): 

S 0 = 5, S 1 (ω 1 ) = 20 3 , S 2(ω 1 ) = 70 9 

S 1 (ω 2 ) = 40 9 , S 2(ω 2 ) = 40 9 

Betrachte eine Call-Option auf Wertpapier 1: 

S 1 (ω 3 ) = 30 9 , S 2(ω 3 ) = 20 9 

V t=1 (ω i ) = (S 1 (ω i ) − K) + , K = 35 9 

Finde die Handelsstrategie H = (H 0 , H 1 , H 2 ), die diesen Claim erzeugt. Was ist der momentane 

Wert dieser Option? 

Führe selbiges auch mit Aktie 2 durch! 

Wenn konstant V t=1 (ω i ) = 10 ausbezahlt werden sollen, wie viel ist dieser Vertrag wert?


Bsp. 1.2) Zeige: H ist eine Arbitrage-Möglichkeit ⇐⇒ a) G ∗ (ω) ≥ 0 ∀ ω ∈ Ω und b) E[G ∗ ] > 0. 

Bsp. 1.3) Sei r konstant und P 0 und C 0 die Preise der Put- und Call-Option mit demselben Strike-Preis 

K. 

Zeige, dass entweder beide erreichbar sind oder beide nicht. Zeige in ersterem Fall (mittels 

risikoneutraler Bewertung), dass die Put-Call-Parität gilt: 

C 0 − P 0 = S 0 − 

K 

1 + r

Kapitel 2 

Wh. Wahrscheinlichkeitstheorie 

• W-Raum, σ-Algebra, W-Maß, ZV, Ereignis, Messbarkeit, endliche σ-Algebren 

• absolut stetige Maße, äquivalente Maße, Radon-Nikodym 

• Stochastische Prozesse: Filtrierungen, adaptierte Prozesse 

21

Kapitel 3 

Mehr-Perioden-Modell in diskreter 

Zeit 

• Marktmodell: Bankkonto (Numéraire), Asset-Preise, Annahmen 

• Handelsstrategien: Wert des Portfolios, selbst-finanzierend 

• Diskontierung 

• Bewertungsfunktionale: erreichbare Gewinne, Gesetz des eindeutigen Preises 

• Dualität Bewertungsfunktionale und Preis (Hahn-Banach, Trennungssatz für Beweis) 

• Arbitrage-Freiheit 

• Satz von Dalang, Morton, Willinger: äquivalente Bedingungen zu Arbitrage-Freiheit 

• vollständige Märkte 

22

Kapitel 4 

Wh. Martingaltheorie 

• Bedingte Erwartungen, Eigenschaften 

• stochastischer Kern 

• Martingale, Doob’sche Zerlegung, Bayes’sche Formel 

• Stoppzeiten, Optimal Stopping Theorem, gestoppte Prozesse 

23

Kapitel 5 

Capital Asset Pricing Model 

(CAPM) 

• Sharpe-Ratio 

• Portfolio-Optimierungsproblem, Varianz-Optimierung, Mean-variance Effizienz 

• Nutzen-Optimierung, duales Optimierungsproblem, Nutzen-indifferente Preise 

24

Kapitel 6 

Das Binomialmodell 

6.1 Beschreibung des Modells 

Definition 6.1 (Assets im Binomialmodell). 

1. Bankkonto (risikolos): B 0 = 1, B t = e rt B t−1 mit r t ∈ R für t = 1, . . . , T 

2. risikobehaftete(s) Asset(s) (Stock/Aktie): S 0 > 0 (konstant) und für t = 1, . . . , T : 

{ 

u t · S t−1 , wenn X t = 1 ( up“) 

S t = 

” 

d t · S t−1 , wenn X t = 0 ( down“) ” 

mit Konstanten 0 < d t 

Zu den Zeitpunkten 0, 1, . . . , T teilen sich alle bisher gleich verlaufenden Pfade in je zwei Klassen auf, die 

einen, die nun nach oben springen, während die anderen nach unten springen. Damit erhält man jeweils 

eine Information mehr zu 1, . . . , T , beschrieben durch die Filtration F 0 = {∅, Ω} ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ · · · ⊂ F T . 

Jedes Atom der Filtration F t wird dabei jeweils in zwei Atome von F t+1 geteilt. Folgendes Bild kann das 

schön verdeutlichen: 

•u 

• 

0 u 1 u 2 u 3 S 0 

u 2 

• 

• 

u 1 

d 2 

• 

• 

•u 0 u 1 d 2 d 3 S 0 

• 

u 0 

d 1 

• 

u 2 

• 

• 

• 

S 0 

d 2 

F 1 

F 2 F 3 

u 2 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

d 0 

u 1 

• 

d 2 

• 

• 

• 

• 

d 1 

• 

u 2 

• 

• 

• 

• 

d 2 

• 

•d 0 d 1 d 2 d 3 S 0 

Die Beschreibung der Pfade erfolgt durch {0, 1}-wertige Zufallsvariablen: Seien X 1 , . . . , X T {0, 1}-wertige 

Zufallsvariablen mit P(X 1 = x 1 , . . . , X T = x T ) > 0 für alle (x 1 , . . . , x T ) ∈ {0, 1} T . Der Vektor ω = 

25

S ddd 

S dddd = d 4 S 0 N 4 = 0 

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 26 

(x 1 , . . . , x T ) beschreibt dann einen Pfad im Baum, wobei x i = 1 ein Schritt nach oben und x i = 0 ein 

Schritt nach unten bedeutet. Insgesamt gibt es daher |Ω| = 2 T Pfade. 

6.1.1 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell als Spezialfall 

Definition 6.2 (Cox-Ross-Rubinstein Binomialmodell). Das Binomialmodell von Cox, Ross 

und Rubinstein ist der Zeit-homogene Spezialfall des Binomialmodells, in dem u t = u∀t und d t = d∀t, 

sowie r t = r mit e rt = (1 + R)∀t gewählt wird. 

Aus dem Binomialbaum mit 2 T verschiedenen Endwerten zum Zeitpunkt T wird damit ein Gitter ( ” 

Binomial 

lattice“, manchmal auch als ” 

Recombining binomial tree“ bezeichnet) mit T + 1 verschiedenen 

Endwerten zum Zeitpunkt T . Ein Pfad kann nun beschrieben werden durch einen modifizierten Bernoulli- 

Prozess ( ” 

T -facher Münzwurf“): {X t , t = 1, . . . , T } ist ein stochastischer Prozess, wobei die X 1 , . . . , X T 

unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen auf {0, 1} mit P(X 1 = 1) = P(X 2 = 1) = · · · = 1−P(X 1 = 0) = p. 

u 

S u 

S uuu 

S uuuu = u 4 S 0 N 4 = 4 

S uu S uuud = u 3 dS 0 N 4 = 3 

S uud 

S 0 S ud S uudd = u 2 d 2 S 0 N 4 = 2 

d 

S d 

u 

d 

u 

d 

u 

d 

u 

d 

u 

S udd 

S dd S uddd = ud 3 S 0 N 4 = 1 

d 

Bemerkung 6.1. Die Reihenfolge, in der die up- und down-Bewegungen vor sich gehen, ist für den Wert 

des Prozesses irrelevant. Insbesondere ist S ud = S du . 

Wahrscheinlichkeitsmaß für Pfad ω = (x 1 , . . . , x T ) 

Definiere den Zählprozess N t (ω) = X 1 (ω) + · · · + X t (ω), der die Anzahl der Sprünge nach oben zählt. 

Insbesondere charakterisiert er auch den Wert des Pfades zum Zeitpunkt t und damit die Position im 

Gitter, unabhängig vom Verlauf des Pfades bis zum entsprechenden Punkt. Es gilt: 

E[N t ] = ∑ E[X i ] = tp 

V ar[N t ] unabh. 

= ∑ V arX i = tp(1 − p) 

Man sieht nun, dass für t = 1, . . . die Verteilung von N t gegeben ist durch: 

( t 

P(N t = n) = 

p 

n) 

n (1 − p) t−n , n = 0, 1, . . . , t 

} {{ } 

} {{ } n mal nach oben, 

#Pfade 

(t − n) mal nach unten 

mit N t = n 

Lemma 6.1. Die Verteilung von N t , die auch die Verteilung der Werte S t des Assets zu t beschreibt, 

ist die Binomialverteilung: 

( t 

P(N t = n) = P(X t = S 0 u n d t−n ) = p 

n) 

n (1 − p) t−n


Bemerkung 6.2. Der Prozess kann zum Zeitpunkt t nur t + 1 verschiedene Werte annehmen! 

6.2 Arbitrage-Überlegungen 

Lemma 6.2. Aus der ” 

No-Arbitrage“-Bedingung ergibt sich: 

d t < e rt 

Das risikoneutrale Maß im Binomialmodell ist eindeutig und besitzt die Form 

q t = ert − d t 

u t − d t 

(6.2) 

Übungsbeispiel 6.1. Wenn (6.1) nicht erfüllt ist, gib eine Arbitrage-Strategie an! 

Betrachte nun den diskontierten risikobehafteten Preisprozess 

˜S t = S t 

B t 

= 

{ 

˜St−1 u t e −rt wenn X t = 1, 

˜S t−1 d t e −rt wenn X t = 0, 

Beweis. Wenn ein Martingalmaß Q existiert für ˜S 0 , . . . , ˜S T (und damit keine Arbitrage möglich ist), dann 

gilt für t = 1, . . . , T 

˜S t−1 = E Q [ ˜S t |F t−1 ] 

und nach Division durch das F t−1 -messbare ˜S t−1 weiter 

[ ∣ ] ˜St ∣∣∣∣ 

1 = E Q F t−1 = u t e −rt Q(X t = 1|F t−1 ) +d t e −rt Q(X t = 0|F t−1 ) = u t e −rt q t + d t e −rt (1 − q t ) . 

˜S t−1 

} {{ } } {{ } 

=q t =1−q t 

Aufgelöst nach q t ergibt dies das eindeutig bestimmte risikoneutrale Maß 

q t = ert − d t 

u t − d t 

Dies ist nur ein RNM mit q t ∈ ]0, 1[, wenn obige Ungleichungen d t < e rt 

Bemerkung 6.3. Im CRR Modell ergibt sich für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit eines Sprungs nach 

oben 

(1 + R) − d 

q = . 

u − d 

Das Martingalmaß für einen Pfad ω mit n Sprüngen nach oben ist Q(ω) = q n (1−q) t−n , das Martingalmaß 

für den Wert S t ist 

( t 

Q(S t = S 0 u n d t−n ) = q 

n) 

n (1 − q) t−n , n = 0, 1, . . . , t 

Bemerkung 6.4. Da q t = Q(X t = 1|F t−1 ) = Q(X t = 1) unabhängig vom bisherigen Verlauf und dem 

Wert X t−1 – insbesondere also unabhängig von F t−1 – ist, folgt 

Q(X 1 = x 1 , . . . , X T = x T ) = Q(X 1 = x 1 ) · . . . · Q(X T = x T )∀x 1 , . . . , x T ∈ {0, 1} 

sind unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen (nicht not- 

durch iteriertes Bedingen. D.h. die X 1 , . . . , X T 

wendigerweise identisch verteilt) unter Q! 

Bemerkung 6.5. Wenn (6.1) gilt, ist das Martingalmaß eindeutig und das Marktmodell daher vollständig. 

Es gibt also kein arbitragefreies unvollständiges Binomialmodell.


6.3 Bepreisung im Binomialmodell 

Idee. Sei h : Ω → R ein Contingent Claim zur Zeit T , der F T = σ(X 1 , . . . , X T )-messbar ist. Dann sind 

die arbitragefreien diskontierten Preise gegeben durch E Q [h/B T |F t ] und die nicht diskontierten Preise 

durch 

[ ∣ ] h ∣∣∣ ] 

B t E Q F t = E Q 

[e −(rt+1+···+r T ) h∣ F t für t = 0, 1, . . . , T . 

B T 

Bemerkung 6.6. Das Modell könnte erweitert werden auf stochastische F t−1 -messbare d t , u t und r t , die 

(6.1) erfüllen. Die Unabhängigkeit der X 1 , . . . , X T unter Q geht dabei aber eventuell verloren. 

Beispiel 6.1 (CRR Modell, Preisdynamik im Binomialbaum). Sei T = 3, S 0 = 80, u = 1.5, d = 0.5, 

p u = 0.6, p d = 0.4 und R = 0. 

Betrachte eine Europäische Call-Option mit Ausübungszeitpunkt T = 3 und Ausübungspreis K = 80. 

Der Payoff ist also 

h T = max(S T − K, 0) = (S T − K) + . 

Der Binomialbaum für den Preisverlauf S t der Aktie sieht folgendermaßen aus: 

180 

270 h T = 190 

120 90 h T = 10 

80 60 

40 30 h T = 0 

20 

10 h T = 0 

Die Bestimmung des Preises Π(t) zu Zeitpunkten t < T erfolgt durch Rückwärtsinduktion aus Π(T |F T ) = 

h T mittels risikoneutralen Maßes Q, q u = q d = 1 2 : 

z.B.Π(t = 2|S 2 = 180) = 1 2 · 190 + 1 · 10 = 100 

2 

Damit ergibt sich die Preisstruktur der Option als Replizierendes Portfolio durch Vorwärtsinduktion: 

270 h T = 190 

180 

100 

120 

52.5 

90 h T = 10 

80 

27.5 

60 

5 

40 

2.5 

30 h T = 0 

20 

0 

10 h T = 0 

Beginne bei t = 0. Gesucht ist (x 1 , y 1 ), sodass 

x 1 + 80y 1 =27.5 (Preis zu t = 0) 

x 1 +120y 1 =52.5 (Preis zu t = 1, X 1 = 1 (up) ) 

x 1 + 40y 1 = 2.5 (Preis zu t = 1, X 1 = 0 (down) )


Dieses redundante Gleichungssystem von drei Gleichungen für (x 1 , y 1 ) besitzt die eindeutige Lösung 

x 1 = −22.5, y 1 = 0.625. Der Preis (rechte Seite des GS) wurde genau so bestimmt, dass diese Gleichungen 

eine Lösung besitzen. 

Analog kann nun zu jedem Zeitpunkt t − 1 das Portfolio (x t , y t ) ausgehend von der momentanen Position 

im Gitter bestimmt werden: 

190 

( 

− 

45 

2 , ) 

5 

8 

27.5 

( 

− 

85 

2 , ) 

95 

120 

( 

− 

5 

2 , ) 

1 

8 

2.5 

52.5 

(−80, 1) 

( ) 

−5, 

1 

6 

100 

5 

10 

0 

(0, 0) 

0 

0 

Proposition 6.3. Betrachte einen Claim X = Φ(S T ). Dieser kann durch ein selbstfinanzierendes 

Portfolio erreicht werden. Bezeichne V t (k) den Wert am Knoten (t, N t = k). Dann kann V t (k) 

rekursiv bestimmt werden 

( 

) 

V T (k) = Φ 

∏ 

T 

S 0 

t=1 

u Xt 

t d 1−Xt 

t 

V t (k) = e −rt [q u,t V t+1 (k + 1) + q d,t V t+1 (k)] 

mit dem Martingalmaß Q aus (6.2). Das replizierende Portfolio (x t , y t ) ist gegeben durch 

x t (k) = e −rt [u t V t (k) − d t V t (k + 1)] /(u t − d t ) 

y t (k) = 1 

S t−1 

[V t (k + 1) − V t (k)] /(u t − d t ) 

6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell 

Betrachte ein Wertpapier im CRR Modell, d.h. seien r t = r, u t = u und d t = d konstant (unabhängig von 

t) und bezeichne N t = ∑ t 

n=1 X t die Anzahl der up“-Bewegungen bis zum Zeitpunkt t. Der Aktienkurs 

” 

beträgt damit S t = S 0 u Nt d t−Nt , der diskontierte Aktienkurs ist ˜S t = S t /B t = e −rt S 0 u Nt d t−Nt . 

Unter Q hat N t (und damit auch S t bzw. ˜S t ) eine Binomial-Verteilung 

Q ( S t = S 0 u k d t−k) ( t 

= q 

k) 

k (1 − q) t−k , k ∈ {0, . . . , t} , t = 1, . . . , T . 

Der betrachtete Claim sei eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K zum Zeitpunkt T , der 

Payoff lautet also h = (S T − K) + . Nach der bisherigen Theorie ist der arbitragefreie Preis C 0 von h zum 

Zeitpunkt t = 0 gegeben durch 

C 0 = E Q 

[e −rT (S T − K) +] [ ( ) ] + 

= E Q ˜ST − e −rT K .


Die Option ist in the money“ genau dann, wenn 

” 

( 

S T ≥ K ⇔ S 0 u N T 

d T −N T u 

) ⌈ 

NT 

K 

≥ K ⇔ ≥ 

d S 0 d T ⇔ N log(K/S0 d T ⌉ 

) 

T ≥ n k = 

log(u/d) 

Der Wert der Option beträgt damit 

C 0 = e −rT 

∑ 

T ( 

S0 u n d T −n − K ) ( ) 

T 

q n (1 − q) T −n 

n 

n=n k 

Bemerkung 6.7. Die rekursive Berechnung wie im letzten Abschnitt und die direkte Berechnung über den 

gesamten Erwartungswert sind aufgrund der Linearität des Erwartungswerts äquivalent. 

6.5 Verteilung des Maximums im Binomialmodell (Reflection 

Principle) 

Betrachte den Spezialfall u · d = 1, d.h. ” 

up“ und ” 

down“ heben sich genau auf, womit der Aktienkurs 

sich vereinfacht zu 

S t = S 0 u 2Nt−t . 

Definiere Y T = max {S t : t = 0, 1, . . . , T } mit Werten aus { S 0 , S 0 u, . . . , S 0 u } T als das Maximum des 

Kurses bis zum Zeitpunkt T . 

Ziel. Unser Ziel ist nun die Bestimmung der Verteilung von Y T , also P(Y T 

i für ein i) für i = 0, 1, . . . , T . 

≥ S 0 u i ) = P(2N t − t ≥ 

Bei der Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung werden wir einen sehr nützlichen Trick, das 

Reflection Principle“ anwenden, welches uns eine Bijektion zwischen Pfaden liefert, die an einem bestimmten 

Level gespiegelt sind. Dasselbe Prinzip kann auch z.B. für die Bestimmung des Maximums der 

” 

Brown’schen Bewegung benutzt werden. 

Lemma 6.4 (Verteilung des Maximums im Binomialgitter). Das Maximum Y t eines Pfades 

im Binomialgitter besitzt die Verteilung 

P(Y t ≥ S 0 U i ) = 

( T 

T +i 

mit n ∗ = min { } 

i ∈ R, i > T +i 

2 . 

2 

) 

p T +i 

T −i 

2 (1 − p) 2 

} {{ } 

=0, wenn T + i ungerade 

+ 

T∑ 

n=n ∗ ( T 

n 

) [p n (1 − p) T −n + p T +i−n (1 − p) n−i] 

Beweis. Betrachte alle Pfade, die S 0 u i erreichen und definiere τ i = min {t : 2N t − t = i} als den ersten 

Zeitpunkt, zu dem S 0 u i erreicht wird. Nach Voraussetzung gilt τ i ≤ T . Wähle i = 0, . . . T fix und betrachte 

drei disjunkte Fälle für den Endzeitpunkt: 

1. 2N T − T = i (nur möglich, wenn i = T, T − 2, T − 4, . . . ) 

2. 2N T − T > i 

3. 2N T − T < i, aber Y t ≥ S 0 u i 

Bei Fall 1 und 2 erreicht der Pfad automatisch S 0 u i . Die Verteilung des Maximums kann daher zerlegt 

werden in 

P(2N t − t ≥ i für ein i) = P(2N T − T = i) + P(2N T − T > i) + P((2N T − T < i) ∧ (τ i ≤ T )) 

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Terme lassen sich getrennt bestimmen:


1. P(2N T − T = i) = P ( N T = 1 2 (i + T )) = ( ) 

T T +i 

T +i p 2 (1 − p) T −i 

2 , wenn i = T, T − 2, T − 4, . . . , 

2 

ansonsten 0 

2. P(2N T − T > i) = ∑ T 

n=n ∗ ( T 

n 

) 

p n (1 − p) T −n mit n ∗ = min { } 

i ∈ R, i > T +i 

3. Dieser Fall ist komplizierter, da aus der Bedingung für T nicht auf das Maximum geschlossen 

werden kann. Allerdings werden wir feststellen, dass eine Dualität mit den Pfaden aus Fall 2 besteht, 

insbesondere eine Bijektion zwischen den Pfaden in 2 und 3: 

Betrachte also einen beliebigen Pfad P ∗ in 3. Er erreicht nach Definition den Wert S 0 u i , weshalb 

τ i < T gilt. Der Pfad ˜P , der bis zu τ i mit P ∗ übereinstimmt und ab dann an S 0 u i gespiegelt ist 

(siehe Grafik 6.1), erfüllt 2N T − T > i und liegt daher in 2. Außerdem ist er eindeutig (also die 

Abbildung injektiv). Auf dieselbe Art können wir jedem Pfad aus Fall 2 einen Pfad aus Fall 3 

zuweisen, womit wir eine Bijektion zwischen Fall 2 und 3 haben. Insbesondere hat Fall 2 gleich viele 

Pfade wie 3. 

2 

Τ i 

1 2 3 4 5 

Abbildung 6.1: Das Reflektionsprinzip: Ab der Stoppzeit τ i wird der Pfad am Level S 0 u i gespiegelt. Damit 

erhalten wir eine Bijektion zwischen Pfaden in 2 und 3. 

Betrachte nun einen Pfad aus 2 mit N T = n ≥ n ∗ . Seine Wahrscheinlichkeit ist p n (1 − p) T −n und 

es gibt ( T 

n) 

derartige Pfade, die bei n enden. Sein Partnerpfad aus 3 endet bei NT = T + i − n 

(symmetrisch unter der Schranke (T +i)/2) und hat daher die Wahrscheinlichkeit p T +i−n (1−p) n−i . 

Auch hier gibt es genau ( T 

n) 

verschiedene derartige Pfade wegen der Dualität. 

Damit erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten 

( T 

P((2N T − T < i) ∧ (N T = T + i − n) ∧ (τ i < T )) = p 

n) 

T +i−n (1 − p) n−i 

P((2N T − T < i) ∧ (τ i < T )) = 

T∑ 

n=n ∗ ( T 

n 

Insgesamt erhalten wir also genau den Ausdruck im Lemma. 

) 

p T +i−n (1 − p) n−i 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Maximums wird z.B. benötigt für 

• Knock-Out/-In Optionen: Dieser Typ von Optionen zahlt nichts (oder nur dann) aus, wenn der 

Kurs irgendwann eine bestimmte Schranke über- oder unterschreitet. 

• Lookback-Optionen: Payoff h ist abhängig vom Maximum (oder Minimum) des Kurses in einem 

Zeitintervall. Z.B. das Recht, zu T die Aktie zum höchsten Kurs Y T bis zu diesem Zeitpunkt zu 

verkaufen. Für die Bewertung wird damit die genau Verteilung des Maximums sowie des Kurses 

benötigt.



Bsp. 6.1) Lookback-Option im CRR-Modell mit Payoff X = (Y T − K) + (Call) mit Y T = max 0≤t≤T S t . 

Benutze u · d = 1 und bepreise diese Option. 

Hinweis: Die Verteilung unter dem risikoneutralen Maß hat dieselbe Verteilung wie die tatsächlichen 

Wahrscheinlichkeiten, lediglich mit q statt p. 

Bsp. 6.2) Knockout-Option im CRR-Modell: Bepreise eine Option mit Strike K und Knockout-Barriere 

H, K < H, S 0 < H, mit Payoff 

{ 

(S t − K) + wenn Y T < H 

X = 

0 sonst

Kapitel 7 

Markov Modelle 

Dieser Abschnitt hält sich in groben Zügen an [Pli97] und [Sch02], für tiefer gehende Theorie zu Markov- 

Ketten, siehe [Wil91]. 

Sei (E, E) der Zustandsraum (messbar) und (Ω, F, {F t } t∈I 

, P) mit I ⊆ R ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. 

Definition 7.1. Ein adaptierter stochastischer Prozess {X t }, X t : Ω → E, ist ein Markov-Prozess 

bezüglich der Filtration {F t } t∈I 

, wenn 

P (X t+1 = j|F t = σ(X 1 , . . . , X t )) = P (X t+1 = j|X t ) ∀j ∈ E, ∀t ∈ I . 

(⇔ P (X t+s = j|F t ) = P (X t+s = j|X t ) ∀s 

(⇔ ∀s, t ∈ I, s < t : P (X t ∈ F |F s ) = P (X t ∈ F |X s ) P-f.s.∀F ∈ E) (7.1) 

Bemerkung 7.1. Die Relation (7.1) wird Markov-Eigenschaft genannt. 

Interpretation. Die Zukunft X t hängt von der Vergangenheit (F s ) s≤t 

nur durch den momentanen Zustand 

X s ab, nicht durch den gesamten bisherigen Verlauf σ(X 1 , . . . , X s ). 

Definition 7.2 (homogener bzw. stationärer Markovprozess). Ein Markov-Prozess heißt homogen 

oder stationär, wenn 

P (X t+u ∈ F |X t ) = P (X s+u ∈ F |X s ) ∀s, t ∈ I∀u . 

Die Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Zeitschritt können dann als Matrix P dargestellt werden 

mit Einträgen 

P(i, j) = P(X t+1 = j|X t = i), i, j ∈ E . 

Die Übergangswahrscheinlichkeiten für n Zeitschritte ergeben sich als die Einträge der n-ten Matrixpotenz 

von P: P i,j (n) = (P n ) i,j 

. 

Beispiel 7.1. Der Random Walk S n = Y 1 + Y 2 + · · · + Y n = S n−1 + Y n mit (Y i ) i∈R unabhängige identisch 

verteilte Zufallsvariablen ist ein (homogener) Markovprozess. 

Lemma 7.1. Die Markoveigenschaft (7.1) ist äquivalent zu E P [g(X t )|F s ] = E P [g(X t )|X s ] P-f.s. für 

alle E-messbaren Funktionen g : E → R, die beschränkt oder nicht-negativ sind. 

33

KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 34 

Beweisskizze. 

⇐ Trivial: g = 1 F ∀F ∈ E 

⇒ Standard-Methode: für charakteristische Funktionen nach Vor. erfüllt ⇒ für einfache Funktionen 

(Treppenfunktionen) durch Linearität des Erwartungswerts erfüllt. 

Für beschränkte, messbare g : E → R existiert eine Folge von einfachen Funktionen (g n ) n∈R 

mit 

‖g n ‖ ∞ ≤ ‖g‖ und g n → g punktweise. Wegen der dominierten Konvergenz folgt dann 

E P [g(X t )|F s ] 

dom. 

Konv. 

= lim E P[g n (X t )|F s ] Markov 

dom. 

= lim E Konv. 

P[g n (X t )|X s ] = E P [g(X t )|X s )] P-f.s. 

n→∞ n→∞ 

Bei nicht-negativem g benutze stattdessen monotone Konvergenz, allgemeine g lassen sich schließlich 

als Differenz zweier nicht-negativer Funktionen darstellen. 

Bemerkung 7.2. Die Markov-Eigenschaft für R d -wertige Prozesse ist komponentenweise definiert. 

Lemma 7.2. Sei X t : Ω → R, t ∈ I ⊂ R, ein Markov-Prozess. Dann gilt für alle E ⊗ E-messbaren 

h : E × E → R, die beschränkt oder nicht-negativ sind, für s, t ∈ I, s < t: 

E P [h(X s , X t )|F s ] = E P [h(X s , X t )|X s ] P-f.s. (7.2) 

(vergleiche (3.35) in Pliska [Pli97]) 

Beweis. Sei zuerst h(x, y) = f(x)g(y) mit f, g : E → R beschränkt und E-messbar: 

E P [h(X s , X t )|F s ] = E P [f(X s )g(X t )|F s ] = f(X s )E P [g(X t )|F s ] = f(X s )E P [g(X t )|X s ] = E[f(X s )g(X t )|X s ] 

Sei nun H = {h : E × E → R|h ist E ⊗ E-messbar, beschränkt und erfüllt (7.2)}. H erfüllt: 

1. H ist ein Vektorraum. 

2. H enthält alle h(x, y) = f(x)g(y) mit f, g : E → R beschränkt und E-messbar (insbesondere 

h = 1 F ×G mit F, G ∈ E) 

3. Wenn {h n } n∈R 

⊂ h beschränkt und nicht-negativ mit h n ↗ h, dann gilt h ∈ H (über monotone 

Konvergenz). 

Wegen dem Theorem über monotone Klassen (siehe Anhang) enthält H daher alle beschränkten, E ⊗ E- 

messbaren h : E × E → R. Daher wegen 3 auch alle nicht-negativen h, die E ⊗ E-messbar sind. 

Bemerkung 7.3. Die Verallgemeinerung auf d Dimensionen erfolgt durch komponentenweise Betrachtung. 

Theorem 7.3. Sei der Preisprozess ˜S 0 , . . . , ˜S T ein Markov-Prozess unter P (mit E = R d ) und 

arbitragefrei. Dann existiert ein äquivalentes Maß Q ∼ P, sodass ˜S 0 , . . . , ˜S T ein Q-Martingal ist, 

sowie ein Markov-Prozess unter Q. 

Bemerkung 7.4. Die Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes folgt aus der Arbitragefreiheit. Dieser 

Satz sagt aus, das die Markov-Eigenschaft auch unter einem äquivalenten Martingalmaß erhalten bleibt. 

Beweis. Die Existenz eines Q ′ ∈ M ∞ t folgt nach Dalang-Morton-Willinger. 

Definiere Z T = dQ ′ /dP und Z t = E P [Z T |F t ]. Für jedes A ∈ F t gilt 

Q ′ (A) = E P [1 A Z T ] bed.EW = E P [1 A E[Z T |F t ]] = E P [1 A Z t ] 

Dies bedeutet, dass Z t eine Dichte von Q ′ | Ft 

bezüglich P| Ft 

ist. 

[ ∣ ] 

Da Q ′ ∼ P, gilt Z T > 0 P-f.s. und E 

Zt+1 ∣∣ 

P Z Ft t 

= 1 Z t 

E P [Z t+1 |F t ]. 

[ ∣ 

Z 

Konstruktion von Q ∼ P: Definiere d t = E t ∣∣ 

P Z 

˜St 

t−1 

, ˜S 

] 

t−1 für t = 1, . . . , T . 

Betrachte Y 0 = Z 0 und Y t = Z 0 d 1 · · · · · d t für t = 1, . . . , T . Dann:


1. d t > 0 f.s., daher auch Y t > 0 f.s. ∀t = 1, . . . , T 

2. d t ist F t -messbar, daher auch Y t ∀t = 1, . . . , T 

[ [ ∣ ] 

] 

Def Zt+1 ∣∣∣ 

3. E P [d t+1 |F t ] = E P E P ˜St+1 , 

Z ˜S t t 

∣ F t 

} {{ } 

E P 

[ 

E P [Z t+1 /Z t | F t ] 

} {{ } 

= 1 Z t 

E P [Z t+1|F t] Mart. = 1 Z t 

Z t=1 

=h( e S t, e S t+1) 

] 

∣ ˜St = 1. Daher gilt 

Lem. 7.2 

= E P [h( ˜S t , ˜S t+1 )| ˜S t ]= 1 E P [Z t+1 /Z t | ˜S t ] 

[ ∣ ] 

Yt+1 ∣∣∣ 

E P F t = 1 , 

Y 

} {{ t 

} 

d t+1 

bed.EW 

= 

weshalb Y t ein P-Martingal ist und daher E P [Y T ] = E P [Y 0 ] = E P [Z 0 ] = 1 erfüllt. 

Insgesamt wird also durch dQ 

dP = Y T ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Q ∼ P definiert. 

Martingaleigenschaft von ( ˜S 0 , . . . , ˜S T ) bezüglich Q: 

E Q [ ˜S t+1 |F t ] Bayes 

= E P[Y t+1 ˜St+1 |F t ] [Y t+1 

= E P 

E P [Y t+1 |F t ] Y 

} {{ } } {{ t 

} 

=Y t 

d t+1 

˜St+1 

∣ ∣Ft 

] 

Lemma mit 

h( e S t, e S t+1)= 

d t+1 e St+r 

= EP 

[ 

d t+1 ˜St+1 | ˜S t 

] 

eS t+1 ist [ [ ∣ ]∣ ] [ ∣ ] [ 

eS t+1-mb Zt+1 ∣∣∣ ∣∣∣ 

= E P E P ˜St , 

Z ˜S 

Zt+1 ∣∣∣ 1 

t+1 ˜St = E P 

˜St+1 ˜St = E P E P [Z t+1 ˜St+1 |F t ] 

t Z t Z 

} t 

{{ } 

= E P [ ˜S t | ˜S t ] = ˜S t . 

Bayes 

= E Q ′ [ e S t+1|F t] Q′ -Mart. 

Markov-Eigenschaft von ( ˜S 0 , . . . , ˜S T ) bezüglich Q: Sei g : R d → R beschränkt und messbar. 

E Q [g( ˜S t+1 |F t ] Bayes 

= E P[Y t+1 g( ˜S t+1 )|F t ] 

E P [Y t+1 |F t ] 

} {{ } 

= E P [d t+1 g( ˜S t+1 ) 

} {{ } 

=:h( S 

Y e t, S e t+1) 

t 

|F t ] Lemma 

= E P [d t+1 g( ˜S t+1 )| ˜S t ] = . . . 

= e S t 

∣ ∣∣∣ ˜St 

] 

· · · = E Q [g( ˜S t+1 )| ˜S t ] 

Korollar 7.4. Der Preis im Zustand F ∈ E hängt nicht von der Vergangenheit ab, sondern nur vom 

momentanen Zustand: 

Def. MM [ ∣ ∣∣ ] ME [ ∣ ∣∣ ] 

˜S t = E Q ˜St+s Ft = EQ ˜St+1 ˜St ∀t, s 

}{{} 

}{{} 

gesamter 

Knoten im 

bish. Verlauf 

Baum/Gitter 

Beispiel 7.2. Das Binomialmodell ist ein Spezialfall des Markov-Modells. 

Bemerkung 7.5 (Faktormodell). Obige Eigenschaften gelten nur für deterministischen Zins r m . Ist das 

Bankkonto nicht deterministisch, sondern stochastisch, ist ˜S t i.A. keine Markovkette mehr (auch wenn 

B t ein Markov-Prozess ist!). 

Mögliche Lösung in diesem Fall: Marktmodell mit zugrunde liegendem Faktorprozess X (Markov-Prozess), 

von dem das Bankkonto abhängt (z.B. Preise aller relevanten Wertpapiere). 

1 Da σ( e S t) ⊂ σ( e S t, e S t+1 )


Das Bankkonto ist dann definiert durch f t : R k → R, f t (X t ) = B t , wobei X t ein entsprechender Sample- 

Pfad aus Ω ist. Ebenso sind die Wertpapiere in Abhängigkeit vom Markov-Prozess X definiert: S (n) 

t = 

S (n) 

t (X t ), wobei S (n) 

t nun nicht unbedingt ein Markov-Prozess sein muss. 

˜S (n) ist nun der Quotient zweier Funktionen des Markov-Prozesses X t , aber nicht unbedingt selbst ein 

Markov-Prozess. Nun kann analog wie im Satz vorgegangen werden: X (und nicht ˜S) ist ein Markov- 

Prozess unter Q und damit 

[ ] 

˜S (n) 

t = E ˜S(n) 

(n) 

Q t+s|F t = E Q [ ˜S t+s|X t ] ∀n, t, s . 

Beispiel 7.3. Sei g t (x) = S 0 u x d t−x , dann ist im Binomialmodell S t = g t (N t ), wobei N t ein Markov- 

Prozess ist. S t ist stationär, weil die Übergangswahrscheinlichkeiten konstant sind (mit X 1 , . . . , X T i.i.d.): 

⎧ 

⎪⎨ p, wenn j = su 

P(S t+1 = j|S t = s) = 1 − p, wenn j = sd 

⎪⎩ 

0, sonst 

Wenn u = 1 d 

(anderenfalls liefert eine up und eine down-Bewegung nicht wieder denselben Wert und die 

Anzahl der möglichen Zustände ist zeitabhängig), dann gibt es 2T + 1 mögliche Zustände. 

Martingalbedingungen für Q: Es ist ˜S t = S 0 u Nt d t−Nt /(1 + R) t . 

E Q [ ˜S t+1 | ˜S t ] = E Q [S 0 u Nt+1 d t+1−Nt+1 /(1 + R) t+1 | ˜S t ] = E Q [S 0 u Nt+Xt+1 d t−Nt+1−Xt+1 /(1 + R) t+1 | ˜S t ] 

N t ist 

eS t-mb. 

= S 0 

u Nt d t−Nt 

= ˜S t 

1 + R 

(1 + R) t E Q[u Xt+1 d 1−Xt+1 /(1 + R)| ˜S t ] iid. 

= ˜S t /(1 + R)E Q [u Xt+1 d 1−Xt+1 ] 

[ 

] 

(1 + r) − d u − (1 + R) 

u + d = 

u − d u − d 

˜S t 

Das Binomialmodell ist also ein Markov-Modell. 

Alternativ kann das Binomialmodell auch als ein Faktormodell mit dem Faktorprozess N t angesehen 

werden: 

E Q [ ˜S t+1 |N t ] = ˜S t 

7.1 Übungsaufgaben 

Bsp. 7.1) Betrachte das Binomialmodell als Spezialfall eines Faktormodells und zeige, dass E[ ˜S t+1 |N t ] = 

˜S t .

Kapitel 8 

Grenzübergang im Binomialmodell: 

Das Black-Scholes Modell 

8.1 Schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz in schwacher 

Formulierung 

Sei (S, d) ein metrischer Raum und S seine Borel-σ-Algebra. 

Definition 8.1 (schwache Konvergenz). Eine Folge (µ n ) n∈R 

von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf 

(S, S) konvergiert schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ, wenn 

∫ ∫ 

fdµ n = fdµ für alle beschränkten, stetigen f : S → R. 

lim 

n→∞ 

S 

S 

Notation. µ n 

w 

−→ µ 

Theorem 8.1 (zentraler Grenzwertsatz, o.B.). Seien {X n } n∈R 

⊂ L 2 (Ω, F, P) unabhängige, 

identisch verteilte Zufallsvariablen. Definiere S n = X 1 + . . . X n . Die Verteilung von 

G n = S N − E[S n ] 

√ , n ∈ R 

V arSn 

konvergiert schwach gegen die Standard-Normalverteilung auf (R, B). D.h. für alle beschränkten, 

stetigen Funktionen f : R → R gilt 

∫ 

lim E[f(G 1 

n)] = f(x) √ e − 1 2 x2 dx . 

n→∞ 2π 

R 

Lemma 8.2. Sei (S, d) ein metrischer Raum, µ n 

beschränkt). 

w 

−→ µ und f : S → R stetig (aber nicht unbedingt 

1. Wenn ∀ε > 0∃M ε > 0 mit 

∫ 

sup |f|dµ n ≤ ε , 

n∈R |f|>M ε 

dann gilt f ∈ L 1 (S, S, µ) und lim n→∞ 

∫S fdµ n = ∫ S fdµ. 

37

KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMIALMODELL: DAS BLACK-SCHOLES MODELL 38 

2. Wenn ein messbares ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) existiert mit 

ϕ(x) 

lim 

x→∞ x 

dann gilt 1 auch für f. 

∫ 

= ∞ und sup ϕ(|f|)dµ n < ∞ , 

n∈R S 

Definition 8.2. Sei (S, d) ein metrischer Raum mit Borel-σ-Algebra S. Eine Folge von Zufallsvariablen 

X n : Ω → S, n ∈ R ist schwach konvergent gegen die Zufallsvariable X : Ω ′ → S, wenn 

die Verteilungen µ n = PXn 

−1 , n ∈ R, schwach gegen µ = P ′ X −1 konvergieren, wobei (Ω ′ , F ′ , P ′ ) ein 

anderer Wahrscheinlichkeitsraum sein kann. 

8.2 Reskalierung des Binomialmodells 

Ziel. Skalierung des Binomialmodells auf m Schritte der Länge T/m, T > 0, und Grenzübergang m → ∞, 

was zu einem stetigen Modell führt. 

Betrachte ein Binomialmodell mit: 

1. Zinsrate r m : e rT = (e rm ) m ⇒ r m = rT m 

( √ 

2. Schritt nach oben: u m = e rT m 1 + α 

ist also proportional zur Wurzel aus dem Zeitschritt, √ ∆t. 

3. Schritt nach unten: Wähle β ∈ ( 0, √ ) 

m 

T und dm = e rT m 

T 

m 

) 

mit geeignetem α > 0. Die Größe des Schrittes α √ T/m 

( √ ) 

T 

1 − β 

m 

. 

Das Martingalmaß Q dieses Binomialmodells mit m Schritten, in dem die X 1 , . . . , X m 

identisch verteilte Bernoulli-Variablen sind, lautet 

Q(X i = 1) = q = erm − d m 

u m − d m 

= 

e rm β 

e rm (α + β) 

√ 

T 

m 

√ 

T 

m 

= β 

α + β 

für i = 1, . . . , m 

unabhängige, 

Notation. σ = √ αβ wird Volatilität genannt. 

Insgesamt haben wir also 4 Parameter α, β, q und σ, von denen 2 frei wählbar sind. 

Wenden wir nun eine Taylor-Approximation auf log u m und log d m an: 

log u m = rT m + α √ 

T 

m − 1 2 α2 T m + O ( 1 

m 3/2 ) 

log d m = rT m − β √ 

T 

m − 1 2 β2 T m + O ( 1 

m 3/2 ) 

log u √ 

m 

T 

= log u m − log d m = (α + β) 

d m m − 1 ( 

α 2 − β 2) ( ) 

T 1 

2 m + O m 3/2


Betrachte den diskontierten Aktienpreis nach m Schritten der Größe T m : 

˜S m = S 0 

e 

} −rT 

{{ } 

u Nm 

m 

(e −rm )m 

d m−Nm 

m 

einfügen 

= S 0 e −rT exp 

( 

= S 0 e −rT exp N 

}{{} m log u ) 

m 

+ m log d m 

= P d m 

X i 

E[N m] 

{}}{ 

mq 

( 

Nm − 

√ 

mq(1 − q) 

} {{ } 

√ Var Nm 

√ 

} {{ } 

=:Nm ∗ ... ZV 

m 

√ 

q(1 − q) log 

u m 

d m 

} {{ } 

(△) 

+ mq log u ) 

m 

+ m log d m 

d 

} m 

{{ } 

(□) 

Die einzelnen Terme berechnen sich durch Einsetzen der Definitionen und der Taylor-Approximation zu 

√ 

(△) = √ [ √ 

β α 

T 

m 

(α + β) 

α + β α + β 

m − 1 2 (α + β)(α − β) T ( ) ] 

1 

m + O m 3/2 

= √ [ ( √T 1 T 1 

αβ − (α − β) √ + O 

} {{ } 2 m m)] 

σ 

Insgesamt also 

(□) = mq log u m 

+ m log d m = mq log u m + m(1 − q) log d m 

d m 

mq log u m = rT q + qα √ ( ) 

T m − α2 

1 

2 qT + O √ m 

m(1 − q) log d m = rT (1 − q) − β(1 − q) √ T m − 1 2 β2 (1 − q)T + O 

˜S m = S 0 exp(−rT ) exp 

( [ √T 

Nmσ 

∗ 1 − 

T 

(α − β) 

2 

( 

α 2 q + β 2 (1 − q) ) + O 

( 1 

√ m 

)) 

( 1 

√ + O m m)] 

− T 2 

( 

= S 0 exp Nmσ √ ( ( )) 1 

∗ T 1 + O √ + √ ( αβ 

T m 

m 

( 

= S 0 exp Nmσ √ ( ( )) 1 

∗ T 1 + O √ − T m 2 σ2 + O 

( ) 1 

√ m 

+ rT + √ T m (qα − β(1 − q)) 

α + β − βα ) 

− T ( α 2 ) 

β 

α + β 2 α + β + β2 α 

α + β 

} {{ } } {{ } 

=0 

=αβ α+β 

( 1 

√ m 

)) 

α+β =σ2 +O 

( 1 

√ m 

)) 

Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt Nm 

∗ 

√ 

T N 

∗ 

m 

Außerdem gilt Nmσ √ ( ) ( 

∗ 1 

T O √ m 

+ O 

Insgesamt 

N ∗ mσ √ T 

w 

−−−−→ W 1 ∼ N (0, 1). Daher 

m→∞ 

w 

−−−−→ 

m→∞ W T ∼ N (0, T ) . 

) 

√1 

L 2 ,P 

m m→∞ 

( 

1 + O 

˜S m 

−−−−→ 

( 1 

√ m 

)) 

+ O 

0 und daher 

( ) 1 

√ m 

( 

w 

−−−−→ S 0 exp σW t − 1 ) 

m→∞ 

2 σ2 T 

w 

−−−−→ σW T 

m→∞ 

(8.1) 

Korollar 8.3. Der diskontierte Preis zur Zeit t im skalierten Binomialmodell mit m Zeitschritten der 

Größe T m 

konvergiert schwach (bzw. in der Verteilung) gegen die geometrische Brown’sche Bewegung 

S 0 exp ( σW t − 1 2 σ2 T ) zur Zeit T .


8.3 Die Black-Scholes-Formel 

Konvergenzsätze auf Europäische Call-Option angewendet: 

−1 

Mit µ m = Q ˜S m und µ = P ( ′ S 0 exp ( σW T − 1 2 σ2 T )) −1 w 

haben wir gerade µm −→ µ gezeigt für m → ∞. 

Wenn f(x) = ( x − e −rT K ) + 

(Payoff des Calls), x ∈ R, die Bedingungen des Punktes 2 des Lemmas 8.2 

erfüllt, dann ist: 

[ ( ) ] + 

∫ 

C (m) = E Q ˜Sm − e −rT ( 

K = x − e −rT K ) + 

dµm 

R 

} {{ } 

Preis im Binomialmodell 

w 

−−−−−−−→ 

Lemma 8.2 

∫ 

R 

( 

x − e −rT K ) + 

dµ = EP ′ 

[ ( ( 

S 0 exp σW T − 1 ) ) ] + 

2 σ2 T − e −rT K 

} {{ } 

Call-Optionspreis im Modell mit geom. BB 

f ist stetig, aber unbeschränkt. Allerdings erfüllt es die Bedingungen des Punktes 2 von Lemma 8.2 mit 

messbarem ϕ(x) = x 2 , welches auch ϕ(x) 

x 

= x → ∞ erfüllt. 

∫ 

∫ 

ϕ(|f|)dµ m = f 2 

[ ] [ 

dµ 

R 

R 

}{{} m ≤ E Q S 

2 

m = EQ S 

2 

0 e −2rT ] 

u 2Nm 

m d 2m−2Nm 

m 

≤x 2 

= S 2 0e −2rT m ∑ 

n=0 

( ) m 

u 2n 

m d 2m−2n 

m q n (1 − q) m−n 

n 

} {{ } 

Binomialvert. unter Q 

} {{ } 

=(qu 2 m +(1−q)d2 m )m wegen Binomialformel 

⎛ ( √ ) 2 ( √ ) ⎞ 2 

m 

= S0e 2 −2rT ⎝qe 2rT T 

m 1 + α + (1 − q)e 2rT T 

m 1 − β ⎠ 

m 

m 

( ( √ ( 

= S0e 2 −2rT e 2rT β 

T 

1 + 2α 

α + β 

m m) 

+ T 

α2 + α 

√ m 

T 

1 − 2β 

α + β 

m m)) + T 

β2 

( 

α + β + α 

= S0 2 2 β T m + ) αβ2 T m ( 

m 

(α + β) m = S0 

2 1 + T ) m 

m }{{} 

αβ ↗ m→∞ S 0 exp ( σ 2 T ) =: L < ∞ 

σ 2 

Damit ist also das Lemma 8.2, Punkt 1, anwendbar und das Black-Scholes-Modell ergibt sich tatsächlich 

als Grenzwert des Binomialmodells. 

8.3.1 Ableitung der Black-Scholes-Formel 

Im Modell mit geometrischer Brown’scher Bewegung ist die Option in the money“ ⇔ 

” 

( 

S 0 exp σW T − 1 ) 

2 σ2 T ≥ e −rT K ⇔ σW T − 1 2 σ2 T ≥ log K/(e rT S 0 ) ⇔ W T ≥ − √ T d 2


( 

) ( 

mit d 2 = 1 

σ √ − log e−rT K 

T 

S 0 

− 1 2 σ2 T = 1 

σ √ T log 

S 0 

e −rT K − 1 2 σ2 T ) . Daher gilt 

[ ( ( 

C = E P ′ S 0 exp σW T − 1 ) ) ] + 

2 σ2 T − e −rT K 

= 

∫ ∞ 

( 

− √ T d 2 

( 

S 0 exp 

∣ x = √ y ∣∣∣∣ ∫ ∞ 

= 

T 

∣dx = √ dy = S 0 

T 

= 

∣ z = σ√ T − x 

dz = −dx ∣ = S 0 

σy − 1 2 σ2 T 

−d 2 

1 

( 

√ exp 2π 

∫ d2+σ √ T 

−∞ 

) ) + ( 

− e −rT 1 

K √ exp 

2πT 

y 2 

− 1 2 T 

} {{ } 

N (0,T ) 

) 

dy 

σx √ T − 1 2 σ2 T − 1 ) ∫ ∞ 

2 x2 dx − 

} {{ } 

=− 2(x−σ √ 1 T) 2 

1 

√ exp 

(− 1 ) 

2π 2 z2 dz −Ke −rT Φ(d 2 ) 

} {{ } 

Φ(d 1) 

mit d 1 = d 2 + σ √ ( 

T = 1 

σ √ T log 

S 0 

e −rT K + 1 2 σ2 T ) . 

Ke −rT 1 

√ e − x2 

2 ds 

−d 2 2π 

} {{ } 

Ke −rT (1−Φ(−d 2))=Ke −rT Φ(d 2) 

Ergebnis 1 (Black-Scholes-Formel). Der Preis einer europäischen Call-Option im Black-Scholes Modell 

ist 

C = S 0 Φ(d 1 ) − Ke −rT Φ(d 2 ) 

mit 

d 1 = 1 ( 

σ √ T 

d 2 = 1 

σ √ T 

S 0 

log 

e −rT K − 1 ) 

2 σ2 T 

S 0 

e −rT K + 1 ) 

2 σ2 T . 

( 

log 

Bei dieser Formel ist nicht so sehr der genaue Wert von d 1 und d 2 (symmetrisch um log 

vielmehr die allgemeine Form interessant. 

S 0 

e −rT K 

!), als

Kapitel 9 

Amerikanische Optionen im 

diskreten Modell 

Dieses Kapitel richtet sich zu einem großen Teil nach Lamberton und Lapeyre [LL96]. 

Definition 9.1 (Amerikanische Optionen). Eine amerikanische Option mit Ausübungszeitpunkt 

T ∈ R kann zu jedem Zeitpunkt t ∈ {0, 1, . . . , T } ausgeübt werden. Der Payoff zu t ist Z t , wobei 

{Z t } t∈{0,...,T } 

ein nicht-negativer, (F t ) t∈{0,...,T } 

-adaptierter Prozess ist. 

Beispiel 9.1. 

1. Amerikanische Call-Option, Strike K, Payoff Z t = (S t − K) + 

2. Amerikanische Put-Option, Strike K, Payoff Z t = (K − S t ) + 

Ziel. Zusätzlich zur Bestimmung des fairen Preises wie bei Europäischen Optionen (die nur zu einem 

fixen Zeitpunkt T ausgeübt werden konnten), stellt sich bei amerikanischen Optionen auch die Frage 

nach dem optimalen Zeitpunkt der Ausübung (als Stoppzeit; zu t muss entschieden werden können, ob 

die Option jetzt ausgeübt werden soll). 

Betrachte den Preis {U t } 0≤t≤T 

der Option, basierend auf dem Payoff {Z t } 0≤t≤T 

. Zum Zeitpunkt T ist 

der Preis trivialerweise gleich dem Payoff: 

U T = Z T 

Sei Q ∈ M ∞ t ein Martingalmaß. Dann ist B T −1 E Q [U T /B T |F T −1 ] ein fairer Preis zum Zeitpunkt T − 1 

des Payoffs (zu T ). Allerdings hat man zum Zeitpunkt T − 1 auch die Wahl, die Option gleich auszuüben, 

wenn dies zu einem besseren Ergebnis führt. Daher ergibt sich also der Preis zu T − 1 der Option als 

{ 

} 

U T −1 = max 

Z T −1 

} {{ } 

Ausübung zu T − 1 

[ ∣ ] 

UT ∣∣∣ 

, B T −1 E Q F T −1 

B T 

} {{ } 

warten 

Induktiv erhält man aufgrund derselben Argumentation für jeden Zeitpunkt t = 0, 1, . . . , T − 1 den Preis 

{ [ ∣ ]} 

Ut+1 ∣∣∣ 

U t = max Z t , B t E Q F t 

B t+1 

Ergebnis 2. Für den diskontierten Preis Ũt = U t /B t einer amerikanischen Option mit diskontiertem 

Payoff ˜Z t = Z t /B t gilt 

Ũ T = ˜Z T 

Ũ t = max 

{ 

˜Zt , E Q 

[Ũt+1 

∣ ∣∣ Ft 

]} 

. 

42

KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN IM DISKRETEN MODELL 43 

9.1 Die Snell-Envelope (Snell’sche Einhüllende) 

Definition 9.2 (Snell’sche Einhüllende). Sei {Z t } t≤T 

Einhüllende (Envelope) {U t } t≤T 

ist definiert durch 

U t = 

{ 

Z t , 

wenn t = T 

max {Z t , E [U t+1 |F t ]} für t ∈ {0, . . . , T − 1} 

ein adaptierter Prozess. Die Snell’sche 

Lemma 9.1. {U t } t≤T 

ist das kleinste P-Supermartingal, das {Z t } t≤T 

dominiert. 

Beweis. 

• Da nach Definition U t ≥ Z t ∀t ≤ T gilt, ist U dominierend. 

• Weiters gilt nach Definition U t ≥ E[U t+1 |F t ], womit U ein Supermartingal ist. 

• Sei nun {V t } t≤T 

ein dominierendes Supermartingal von {Z t } t≤T 

. Wir werden induktiv zeigen, dass 

V das Supermartingal U dominiert. Es ist nach Definition V T ≥ Z T = U T . Wenn V t+1 ≥ U t+1 , 

dann gilt 

⎫ 

Super- 

Mart. 

⎬ 

V t ≥ E[V t+1 |F t ] ≥ E[U t+1 |F t ] f.s. 

⎭ V t ≥ max (Z t , E[U t+1 |F t ]) = U t 

V t ≥ Z t 

Damit dominiert nach Rückwärtsinduktion V t also U t und {U t } t≤T 

ist das kleinste Supermartingal, 

das Z dominiert. 

Lemma 9.2. τ 0 = inf {t ≥ 0 : U t = Z t } ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge {U t∧τ0 } t≤T 

ist ein 

Martingal. 

Beweis. a) Da U T = Z T gilt, ist τ 0 wohldefiniert und τ 0 ∈ {0, . . . , T } ∀ω ∈ Ω. Es ist weiters {τ 0 ≤ t} = 

⋃ t 

n=0 {Z n = U n } ∈ F t ∀t ∈ {0, . . . , T }, womit τ 0 eine Stoppzeit ist. 

b) Für die Martingaleigenschaft schreibe für t ∈ {0, . . . , T } 

t+1 = U ∑t+1 

t+1∧τ 0 

= U 0 + H j (U j − U j−1 ) , 

U τ0 

wobei H j = 1 {τ0≥j}. Beachte, dass {τ 0 ≥ j} = Ω/ {τ 0 ≤ j − 1} ∈ F t−1 , d.h. H j ist vorhersagbar. 

Da U t > Z t auf {τ 0 ≥ t + 1}, gilt U t = E[U t+1 |F t ] f.s. zu diesen Zeiten. Daher ist 

j=1 

U τ0 

t+1 − U τ0 

t = H t+1 (U t+1 − U t ) = H t+1 (U t+1 − E[U t+1 |F t ]) . 

Da H t+1 F t -messbar ist, gilt 

E [ U τ0 

t+1 − U ] 

t 

τ0 ∣ Ft = Ht+1 E [U t+1 − E[E t+1 |F t ]| F t ] = 0 

} {{ } 

=0 

und U τ0 

t 

ist ein Martingal. 

Bemerkung 9.1. Seit τ : Ω → I eine Stoppzeit mit I = {0, . . . , T } oder I = N. Dann gilt: 

1. Wenn {X t } t∈I adaptiert ist, dann ist auch {X τ t } t∈I adaptiert.


2. Wenn {X t } t∈I ein Martingal ist, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Martingal. 

3. Wenn {X t } t∈I ein Sub-/Supermartingal ist, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Sub-/Supermartingal. 

Definition 9.3. Für T ∈ R, 0 ≤ t ≤ T sei T t,T 

{t, . . . , T }. 

die Menge der Stoppzeiten mit Werten aus 

Definition 9.4. Eine Stoppzeit τ ∈ T 0,T 

E[Z τ0 |F 0 ] = sup τ∈T0,T 

E[Z τ |F 0 ] f.s. 

heißt optimal für die adaptierte Folge {Z t } t≤T 

, wenn 

Korollar 9.3. Die Stoppzeit τ 0 = inf {τ ≥ 0|U τ = Z τ } ist optimal für {Z t } t≤T 

und U 0 = E[Z τ0 |F 0 ] 

f.s. 

Beweis. 

U 0 = U τ0 

0 

Def. 

Mart. 

= E[U τ0 

N |F Stoppz. 

0] = E[U τ0 |F 0 ] = E[Z τ0 |F 0 ] f.s. 

Seit τ ∈ T 0,T eine Stoppzeit. Dann ist U τ ein Supermartingal (Bew: Übung) und daher 

U 0 ≥ E[U τ N|F 0 ] = E[U τ |F 0 ] ≥ E[Z τ |F 0 ] ⇒ τ 0 ist optimal 

Bemerkung 9.2. Verallgemeinerung: Für n ∈ {0, . . . , T } ist τ n = inf {n ≤ τ ≤ T : U τ = Z τ } eine optimale 

Stoppzeit für {Z t } t≤T 

mit U n = E[Z τn |F n ]. 

Theorem 9.4. Eine Stoppzeit τ ist optimal für die adaptierte Folge {Z t } t≤T 

mit Snell’scher Envelope 

{U t } t≤T 

dann und nur dann, wenn Z τ = U τ f.s. und {U τ t } 0≤t≤T 

ein Martingal ist. 

Beweis. 

⇐ U 0 = U0 

τ Mart. 

= E[UT τ |F 0] = E[U τ |F 0 ] . Da U 0 = E[Z τ0 |F 0 ] mit τ 0 optimal, ist auch τ eine optimale 

Stoppzeit. 

⇒ Z.z. Z τ = U τ : Sei τ optimal. Dann gilt E[Z τ |F 0 ] 

Z τ ≤ U τ f.s. folgt Z τ = U τ f.s. 

Z.z. U τ t ist ein Martingal: Da U τ t ein Supermartingal ist, gilt 

Super- 

Mart. 

≥ U 0 . Daher gilt E[Z τ |F 0 ] = E[U τ |F 0 ] und wegen 

U 0 ≥ E[U τ∧t |F 0 ] ≥ E[U τ∧T |F 0 ] = E[U τ |F 0 ] = U 0 f.s. 

Daraus folgt 

E[U τ∧t |F 0 ] = E[U t |F 0 ] = E[E[U τ |F t ]|F 0 ] f.s. 

Da U τ∧t ≥ E[U τ |F t ] f.s. (Supermartingal), gilt nun insgesamt U τ∧t = E[U τ |F t ] und Ut 

τ 

Martingal. 

ist ein 

9.2 Zerlegung von Supermartingalen


Lemma 9.5 (Doob’sche Zerlegung). Jedes Supermartingal {U t } t≤T 

hat die eindeutige Zerlegung 

U t = M t − A t (9.1) 

mit einem Martingal {M t } und einem nicht-fallenden, vorhersagbaren Prozess {A t } mit A 0 = 0. 

Beweis. Für t = 0 gilt M 0 = U 0 , A 0 = 0. Definiere nun rekursiv 

} 

M t+1 = M t + U t+1 − E[U t+1 |F t ] 

⇒ M 

A t+1 = A t + (U t − E[U t+1 |F t ]) 

t+1 − A t+1 = M t − A t + U t+1 − U t = U t+1 

Wie leicht zu sehen ist, ist M t+1 ein Martingal und A t+1 ist nicht fallend, weil {U t } t≤T 

ein Supermartingal 

ist. 

Sei nun U t = ˜M t − Ãt, t ∈ {0, . . . , T } eine andere Zerlegung. Dann ist ̂M t = M t − ˜M t = A t − Ãt ein 

vorhersagbares Martingal mit ̂M 0 = 0. 

Da ̂M 

vorhers. 

t = E[̂M t |F t−1 ] Mart. 

= ̂M t−1 , ist ̂M t = 0 für alle t und die Zerlegung ist eindeutig. 

Theorem 9.6. Die größte optimale Stoppzeit τ max für einen adaptierten Prozess {Z t } t≤T 

ist 

τ max = 

mit der Doob’schen Zerlegung Z t = M t − A t . 

{ 

T, wenn A T = 0 

inf {t|A t+1 ≠ 0} sonst 

Beweis. 

1. A ist vorhersagbar ⇒ τ max ist eine Stoppzeit (folgt aus der Definition) 

2. A τmax = 0 ⇒ U τmax = M τmax ⇒ Die gestoppte Schnell’sche Einhüllende ist ein Martingal 

3. Optimalität: Zu zeigen ist U τmax = Z τmax f.s. 

Es gilt 

T∑ 

−1 

T∑ 

−1 

U τmax = 1 {τmax=j}U j + 1 {τmax=T }U T = 1 {τmax=j} max {Z j , E[U j+1 |F t ]} + 1 {τmax=T }U T 

j=0 

j=0 

Nach der Definition ist M t − A t+1 = M t − A t − U t + E[U t+1 |F t ] = E[U t+1 |F t ], sowie A j+1 > 0 in 

der Menge {τ max = j} = {A j = 0, A j+1 > 0}. Daher 

E[U j+1 |F j ] = M t − A t+1 < M t = M t − A t = U t 

Def. von 

=⇒ 

Snell Env. U t = Z t 

T∑ 

−1 

⇒ U τmax = 1 {τmax=j}Z j + 1 {τmax=T }Z T = Z τmax 

j=0 

4. τ max ist die größte Stoppzeit: Annahme, es gäbe eine Stoppzeit τ ≥ τ max mit P(τ > τ max ) > 0. 

Dann gälte 

E[U τ ] = E[M τ ] − E[A τ ] = E[U 0 ] − E[A τ ] < E[U 0 ] . 

} {{ } 

>0 

Damit wäre {U t } t≤T 

kein Martingal und aufgrund dieses Widerspruchs ist τ max die größte Stoppzeit.


9.3 Anwendung auf Amerikanische Optionen 

} 

Die diskontierten Preise 

{Ũt sind die Snell’sche Einhüllende der diskontierten Payoffs 

{ 

˜Zt 

} 

. Nach der 

Doob’schen Zerlegung ist Ũt = ˜M t − Ãt für t = 0, . . . , T . 

Die letzten beiden Abschnitte liefern uns nun Schranken für die optimale Ausübungszeit der Amerikanischen 

Option: Die Option soll zwischen τ 0 = min 

{0 ≤ t ≤ T |Ũt = ˜Z 

} 

t und τ max = T für ÃT = 0 bzw. 

{ 

} 

τ max = min 0 ≤ t ≤ T |Ãt+1 > 0, Ãt = 0 ausgeübt werden (optimale Stoppzeit). 

Bemerkung 9.3. Wichtig für das Hedgen von Amerikanischen Optionen ist die Tatsache, dass der gestoppte 

Prozess ein Martingal ist (da Ãt = 0 für t ≤ τ). Dafür existiert nun eine Handelsstrategie H, die 

den Payoff erzeugt und damit zum Hedgen benutzt werden kann. 

9.4 Zusammenhang der Preise von Amerikanischen und Europäischen 

Optionen 

Da bei Amerikanischen Optionen im Vergleich zu Europäischen Optionen mehr Ausübungszeitpunkte 

möglich sind, der Zeitpunkt T aber auch immer erlaubt ist, kann der Preis einer Amerikanischen 

Option nicht kleiner sein als der Preis einer Europäischen Option mit denselben zugrunde liegenden 

Werten. Andererseits werden wir aber gleich sehen, dass es sehr wohl Fälle gibt, wo diese zusätzlichen 

Ausübungsmöglichkeiten keine Verbesserung im Vergleich zur Europäischen Option liefern. Dies ist etwa 

bei Standard Call-Optionen der Fall. 

Lemma 9.7. Seien {U t } t≤T 

die Preise einer Amerikanischen Option mit Payoff {Z t } t≤T 

und {C t } 

die Preise einer Europäischen Option mit Payoff Z T zum Zeitpunkt T . 

Dann gilt U t ≥ C t f.s. ∀t = 0, . . . , T und aus C t ≥ Z t ∀t folgt U t = C t ∀t f.s. 

} 

{ } 

Beweis. Sei Q ein Martingalmaß. 

{Ũt ist ein Q-Supermartingal, ˜Ct ist ein Q-Martingal und ŨT = 

˜C T = ˜Z T . Daher gilt Ũt ≥ E[ŨT |F t ] = E[ ˜C T |F t ] = ˜C t ∀t f.s. 

Wenn C t ≥ Z t , so auch ˜C t ≥ ˜Z t , das Martingal ˜C t dominiert also ˜Z t . Da Ũt das kleinste Supermartingal 

ist, das ˜Z t dominiert, gilt Ũt ≤ ˜C t , gemeinsam mit der ersten Aussage des Lemmas also Ũt = ˜C t . 

Lemma 9.8. Sei das Bankkonto {B t } eine deterministische, nicht fallende Folge. Dann sind die 

Preise einer Europäischen und einer Amerikanischen Call-Option äquivalent. 

Beweis. Sei Q ein Martingalmaß. Der Payoff zur Zeit t ist Z t = (S t − K) + . Damit 

˜C t = E Q [( 

˜ST − K/B T 

) + 

|Ft ] ≥ E Q [ ˜S T − K/B T |F t ] 

Mart.maß 

= 

B T determ. 

˜S t − K/B T 

Daher ist C t ≥ S t − KB t /B T ≥ S t − K sowie C t ≥ 0, insgesamt also C t ≥ (S t − K) + . Der Beweis folgt 

nun unmittelbar aus dem vorigen Lemma 9.7 

Bemerkung 9.4. Die Äquivalenz der Preise von Europäischen und Amerikanischen Optionen bei deterministischem 

Zins gilt nur für Call-Optionen, bei Put-Optionen gilt sie z.B. nicht mehr! 


Bsp. 9.1) Sei τ : Ω → I eine Stoppzeit mit I = {0, . . . , T } oder I = N. Zeige: 

(a) Ist {X t } t∈I adaptiert, dann ist auch {X τ t } t∈I adaptiert. 

(b) Ist {X t } t∈I ein Martingal, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Martingal. 

(c) Ist {X t } t∈I ein Sub-/Supermartingal, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Sub-/Supermartingal.

Kapitel 10 

Optimale Portfolios und 

Martingalmethoden 

Großteils nach Pliska [Pli97, Kap. 5.2 und 5.4] 

Betrachte eine Nutzenfunktion u(w, ω) : R × Ω → R (differenzierbar, konkav, streng monoton steigend). 

Das Anfangskapital ν sei gegeben. 

Problem 3. Finde eine selbstfinanzierende Handelsstrategie H mit Anfangswert V 0 = ν mit 

max E[u(V T )] = ∑ ω∈Ω 

P(ω)u(V T (ω), ω) 

unter V 0 = ν, H ∈ H 

Problem 4 (äquivalente Formulierung). 

max E[u(B T (ν + ˜G T ))] 

unter H ∈ H − p (vorhersagbare Handelsstrategie in R T ) 

Definition 10.1. Die Menge aller mit dem Anfangskapital ν erreichbaren Kapitale sei W ν = 

{ 

W ∈ R k : ∃H ∈ H mit V 0 = ν } 

Bemerkung 10.1. Ist das Modell vollständig, so gilt W ν = { W ∈ R k |E Q [W/B T ] = ν } . 

Problem 5 (alternative Formulierung). 

max Eu(W ) 

unter W ∈ W ν 

Die Lösung von Problem 5 erfolgt z.B. mittels Lagrange-Multiplikator: 

[ ] [ 

W 

max Eu(W ) − λE Q = max E u(W ) − λ W ] 

Q 

= max ∑ [ 

P(ω) u(W (ω)) − λL(ω) W (ω) ] 

B T B T }{{} 

P 

B T (ω) 

ω∈Ω 

=:L 

47

KAPITEL 10. OPTIMALE PORTFOLIOS UND MARTINGALMETHODEN 48 

Die Bedingung erster Ordnung liefert für jedes ω ∈ Ω: u ′ (W ) = λL/B T . Sei nun ũ := (u ′ ) −1 die Inverse 

von u ′ . Dann ist das optimale W gegeben durch: 

( 

W (ω) = ũ λ L(ω) ) 

∀ω ∈ Ω . 

B T (ω) 

Der Wert von λ wird nun so bestimmt, dass E Q [W/B T ] = ν = E Q [ũ(λL/B T )/B T ]. 

Bemerkung 10.2. Aus W (ω) kann die Handelsstrategie H leicht rückgerechnet werden. 

Beispiel 10.1 (Exponentielle Nutzenfunktion). Die Exponentielle Nutzenfunktion ist definiert als u(W ) = 

a − bc exp(−W/c) mit a, b, c ∈ R, b, c > 0. 

u ′ (W ) = b exp(−W/c) ⇒ ũ(x) = −c log x b 

( ) ] 

( ) ] [ ( 

λL 

λL 

L 

ν = E Q 

[ũ /B T = E Q 

[−c log /B T = −cE P 

B T B T b 

B T 

= −cE 

)] 

log L + log λ B T b 

[ L 

log L ] 

− c log 

B T B T 

optimales Kapital: 

[ 

W = ũ (λL/B T ) = −c log λL 

B T b = −c log L − c log λ B T b = −c log L ν + cE 

+ [ 

B T E 

optimaler erwarteter Nutzen: 

⎛ [ 

[ ] 

ν 

L c 

E[u(W )] = a − bcE exp ⎝− 

+ E [ 

B T E 

Beispiel 10.2 (logarithmische Nutzenfunktion). 

Nutzenfunktion: u(W ) = log W , u ′ (W ) = 1 W , ũ(x) = [ 

1 x 

[ 

Bedingung für λ: ν = E 1 

] 

Q λL ⇒ λ = 

1 

ν E [ 1 

] 

Q L = 

1 

ν E 

1 

L 

] 

Q 

= 1 

}{{} 

P 

ν 

=L 

L 

B T 

] 

L 

B T 

log L 

optimales Kapital W = ũ(λL/B T ) = B T 

λL = νB T 

L 

[ ] 

optimaler Nutzen E [u(W )] = E [log W ] = E [log ν + log B T − log L] = log ν − E log L 

B T 

10.1 Übungsaufgaben 

B T 

] 

⎞ 

⎠ 

L 

B T 

] 

L 

B T 

( ) [ ] 

λ L 

E 

b B T 

log L 

B T 

] 

Bsp. 10.1) Finde explizite Formeln für das optimale Kapital und den optimalen Nutzen unter der quadratischen 

Nutzenfunktion u(w) = α + βw − w 2 /2, β > 0. 

Bsp. 10.2) Betrachte das CRR-Binomialmodell mit konstanten Faktoren u, d und Zins r und den tatsächlichen 

Wahrscheinlichkeiten p. 

Bei Benutzung der logarithmischen Nutzenfunktion u(w) = ln w bestimme: 

(a) das optimale erreichbare Kapital W , 

(b) den optimalen Nutzen Eu(w), 

(c) die Handelsstrategie (H 0 , H 1 ), die W erzeugt. 

( ) n ( T −n 

Hinweis: L(ω) = Q(ω) 

P (ω) = q 1−q 

p 1−p) 

wegen der Binomialverteilung. 

Bsp. 10.3) Betrachte das CRR-Binomialmodell mit konstanten Faktoren u, d und Zins r und den tatsächlichen 

Wahrscheinlichkeiten p, sowie die quadratische Nutzenfunktion u(w) = βw − w 2 /2.

KAPITEL 10. OPTIMALE PORTFOLIOS UND MARTINGALMETHODEN 49 

(a) Zeige, dass für das optimale Kapital gilt 

W (ω) = β + 

(1 + R) T ( ) n ( ) T −n 

ν − β q 1 − q 

[q 2 /p + (1 − q) 2 /(1 − p)] T p 1 − p 

mit n = N t der Anzahl der Bewegungen nach oben. 

(b) Zeige, dass 

Hinweis: Benutze die Binomialformel! 

Eu(w) = β2 

2 − [ 

(1 + R) T ν − β ] 2 

2 [q 2 /p + (1 − q) 2 /(1 − p)] T .

Stichworte zum Inhalt der 

Lehrveranstaltung 

Das Ein-Perioden-Modell 

1. Definitionen 

- Modell, Handelsstrategie, (diskontierter) Wert-, Preisprozess 

- Arbitrage, dominierende Handelsstrategie 

- lineares Preismaß, Zusammenhang zu dom. HS, Gesetz des eindeutigen Preises 

2. Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß) 

- No-Arbitrage Theorem 

3. Bewertung von Contingent Claims - attainable CC, replizierendes Portfolio 

- Risikoneutrales Bewertungsprinzip, Beispiele: Optionen 

- Elementar-Claims, Zustandspreise, Linearität des Preises 

4. Vollständigkeit 

- Zusammenhang mit Eindeutigkeit des RNM 

- unvollständige Märkte: Schranken für Preis, Sub-/Superhedging 

5. Optimale Portfolios, Zulässigkeit 

- Nutzenfunktionen 

- Zusammenhang mit “No Arbitrage”, explizite Form eines RNM 

Wh. Wahrscheinlichkeitstheorie 

- W-Raum, σ-Algebra, W-Maß, ZV, Ereignis, Messbarkeit, endliche σ-Algebren 

- absolut stetige Maße, äquivalente Maße, Radon-Nikodym 

- Stochastische Prozesse: Filtrierungen, adaptierte Prozesse 

Mehr-Perioden-Modell in diskreter Zeit 

- Marktmodell: Bankkonto (Numéraire), Asset-Preise, Annahmen 

- Handelsstrategien: Wert des Portfolios, selbst-finanzierend 

- Diskontierung 

- Bewertungsfunktionale: erreichbare Gewinne, Gesetz des eindeutigen Preises 

- Dualität Bewertungsfunktionale und Preis (Hahn-Banach, Trennungssatz für Beweis) 

- Arbitrage-Freiheit 

- Satz von Dalang, Morton, Willinger: äquivalente Bedingungen zu Arbitrage-Freiheit 

- vollständige Märkte 

Wh. Martingaltheorie 

- Bedingte Erwartungen, Eigenschaften 

- stochastischer Kern 

50

STICHWORTE ZUM INHALT DER LEHRVERANSTALTUNG 51 

- Martingale, Doob’sche Zerlegung, Bayes’sche Formel 

- Stoppzeiten, Optimal Stopping Theorem, gestoppte Prozesse 

Capital Asset Pricing Model (CAPM) 

- Sharpe-Ratio 

- Portfolio-Optimierungsproblem, Varianz-Optimierung, Mean-variance efficient 

- Nutzen-Optimierung, duales Optimierungsproblem, nutzen-indifferente Preise 

Das Binomialmodell 

- Definition des Modells, Assets, Entwicklung (Baum, Gitter) 

- Cox-Ross-Rubinstein Modell 

- No Arbitrage Bedingungen 

- Bepreisung, Bestimmung des replizierenden Portfolios 

- Europäische Call-Option 

- Verteilung des Maximums eines Pfades (Reflection Principle) 

Markov Modelle 

- Definition Markov-Prozesse, Markov-Eigenschaft 

- Erhaltung der Markov-Eigenschaft unter äquiv. Martingalmaßen 

- Faktormodell bei stochastischem Zins 

Grenzübergang Binomialmodell zu Black-Scholes 

- Schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz 

- Reskalierung des BM: Taylor-Approximation, Grenzübergang 

- Black-Scholes Formel für Europäische Calls, Herleitung 

Amerikanische Optionen 

- Definition 

- Snell’sche Einhüllende (Envelope) 

- optimale Stoppzeit, Zusammenhang mit Snell’scher Envelope 

- Zerlegung von Supermartingalen (Doob’sche Zerlegung), Anwendung auf Am. Optionen 

- Zusammenhang der Preise von Europ. und Am. Optionen 

Optimale Portfolios und Martingalmethoden

Anhang 

Das Farkas-Lemma, heutzutage hauptsächlich in der linearen Optimierung benötigt, stammt ursprünglich 

aus dem Artikel [Far02]. 

Lemma 10.1 (Farkas-Lemma, [Far02]). Für jede reelle Matrix A und jeden reellen Vektor b ist 

von beiden Systemen 

stets genau eines lösbar. 

Ax = b, x ≥ 0 y t A ≥ 0, y t b > 0 

Theorem 10.2 (Satz über monotone Klassen, [Wil91, Thm. 3.14]). Sei H eine Klasse von 

beschränkten Funktionen aus einer Menge S nach R, die folgende Eigenschaften erfüllt: 

(i) H ist ein Vektorraum über R, 

(ii) die konstante Funktion 1 liegt in H und 

(iii) wenn (f n ) eine Folge von nicht-negativen Funktionen in H ist mit f n ↗ f für eine beschränkte 

Funktion f auf S, dann gilt auch f ∈ H. 

Dann gilt: Wenn H die Indikatorfunktion jeder Menge eines π-Systems I (unter endlicher Durchschnittsbildung 

abgeschlossene Familie von Teilmengen von S) enthält, dann enthält H jede beschränkte, 

σ(I)-messbare Funktion in S. 

Theorem 10.3 (Monotone Konvergenz, [Wil91, Thm. 5.3]). Sei (f n ) eine Folge von Σ-messbaren 

Funktionen mit f n ↗ f. Dann gilt 

∫ 

∫ 

µ(f n ) ↗ µ(f) ≤ ∞ 

bzw. 

f n (s)µ(ds) ↗ f(s)µ(ds) . 

S 

S 

Theorem 10.4 (Dominierte Konvergenz, [Wil91, Thm. 5.9]). Sei (f n ) eine Folge von Σ- 

messbaren Funktionen und f Σ-messbar mit f n (s) → f(s) für alle s ∈ §. Wenn die Folge (f n ) 

durch ein g ∈ L 1 (S, Σ, µ) + mit µ(g) < ∞ dominiert wird, 

dann gilt µ (|f n − f|) → 0 bzw. 

µ(f n ) → µ(f) 

|f n (s)| ≤ g(s), ∀s ∈ S, ∀n ∈ R, 

bzw. 

∫ 

S 

∫ 

f n (s)µ(ds) → 

S 

f(s)µ(ds) . 

52

ANHANG 53 

Theorem 10.5 (Satz von Bayes). Seien P und Q zwei äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße auf 

(Ω, F), G ⊂ F eine sub-σ-Algebra von F, S ∈ L 1 (Ω, F, Q) und f := dQ 

dP . Dann gilt E P[f|G] > 0 f.s. 

und 

E Q [X| G] = E P [Xf|G] 

f.s. 

E P [f|G]

Literaturverzeichnis 

[Far02] Julius Farkas. Theorie der einfachen Ungleichungen. Journal für die Reine und Angewandte 

Mathematik, 124(1):1–27, 1902. http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/contentserver/ 

contentserver?command=docconvert&docid=D261364. 

[FS04] 

[LL96] 

[Pli97] 

Hans Föllmer and Alexander Schied. Stochastic finance. An introduction in discrete time, volume 

27 of de Gruyter Studies in Mathematics. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2004. 

Damien Lamberton and Bernard Lapeyre. Introduction to stochastic calculus applied to finance. 

Chapman & Hall, London, 1996. 

Stanley R. Pliska. Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models. Cambridge 

University Press, June 1997. 

[Sch02] Uwe Schmock. Mathematical finance, 2002. Vorlesung im Rahmen der Summer School, Perugia. 

[Wil91] David Williams. Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge 

University Press, Cambridge, 1991. 

54

Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

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