Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN IM DISKRETEN MODELL 45
Lemma 9.5 (Doob’sche Zerlegung). Jedes Supermartingal {U t } t≤T
hat die eindeutige Zerlegung
U t = M t − A t (9.1)
mit einem Martingal {M t } und einem nicht-fallenden, vorhersagbaren Prozess {A t } mit A 0 = 0.
Beweis. Für t = 0 gilt M 0 = U 0 , A 0 = 0. Definiere nun rekursiv
}
M t+1 = M t + U t+1 − E[U t+1 |F t ]
⇒ M
A t+1 = A t + (U t − E[U t+1 |F t ])
t+1 − A t+1 = M t − A t + U t+1 − U t = U t+1
Wie leicht zu sehen ist, ist M t+1 ein Martingal und A t+1 ist nicht fallend, weil {U t } t≤T
ein Supermartingal
ist.
Sei nun U t = ˜M t − Ãt, t ∈ {0, . . . , T } eine andere Zerlegung. Dann ist ̂M t = M t − ˜M t = A t − Ãt ein
vorhersagbares Martingal mit ̂M 0 = 0.
Da ̂M
vorhers.
t = E[̂M t |F t−1 ] Mart.
= ̂M t−1 , ist ̂M t = 0 für alle t und die Zerlegung ist eindeutig.
Theorem 9.6. Die größte optimale Stoppzeit τ max für einen adaptierten Prozess {Z t } t≤T
ist
τ max =
mit der Doob’schen Zerlegung Z t = M t − A t .
{
T, wenn A T = 0
inf {t|A t+1 ≠ 0} sonst
Beweis.
1. A ist vorhersagbar ⇒ τ max ist eine Stoppzeit (folgt aus der Definition)
2. A τmax = 0 ⇒ U τmax = M τmax ⇒ Die gestoppte Schnell’sche Einhüllende ist ein Martingal
3. Optimalität: Zu zeigen ist U τmax = Z τmax f.s.
Es gilt
T∑
−1
T∑
−1
U τmax = 1 {τmax=j}U j + 1 {τmax=T }U T = 1 {τmax=j} max {Z j , E[U j+1 |F t ]} + 1 {τmax=T }U T
j=0
j=0
Nach der Definition ist M t − A t+1 = M t − A t − U t + E[U t+1 |F t ] = E[U t+1 |F t ], sowie A j+1 > 0 in
der Menge {τ max = j} = {A j = 0, A j+1 > 0}. Daher
E[U j+1 |F j ] = M t − A t+1 < M t = M t − A t = U t
Def. von
=⇒
Snell Env. U t = Z t
T∑
−1
⇒ U τmax = 1 {τmax=j}Z j + 1 {τmax=T }Z T = Z τmax
j=0
4. τ max ist die größte Stoppzeit: Annahme, es gäbe eine Stoppzeit τ ≥ τ max mit P(τ > τ max ) > 0.
Dann gälte
E[U τ ] = E[M τ ] − E[A τ ] = E[U 0 ] − E[A τ ] < E[U 0 ] .
} {{ }
>0
Damit wäre {U t } t≤T
kein Martingal und aufgrund dieses Widerspruchs ist τ max die größte Stoppzeit.