Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 18
Betrachten wir nun zum Abschluss noch den Zusammenhang zwischen Optimaler Handelsstrategie und
einem risikoneutralen Maß.
Lemma 1.18. Ist H mit Wert V t eine Lösung von (1.1) oder (1.3), so ist
ein risikoneutrales Maß.
Q(ω) = P(ω)B 1(ω)U ′ (V 1 (ω), ω)
E [B 1 U ′ (V 1 )]
Beweis. Aus der Extremalbedingung 1. Ordnung erhalten wir
[ ( (
0 = ! ∂ E U B 1 · ν +
∂H n
))]
N∑
H i ∆ ˜S (n)
i=1
= ∑ P(ω)U
(B ′ 1 (ω) ·
ω∈Ω
(
ν +
= ∂
∂H n
∑
ω∈Ω
P(ω)U
(
B 1 (ω) ·
(
ν +
) )
N∑
H i ∆ ˜S (n) (ω) , ω B 1 (ω)∆ ˜S (n) (ω) = E
i=1
) )
N∑
H i ∆ ˜S (n) (ω) , ω
i=1
[
U ′ (V 1 )B 1 ∆ ˜S (n)] .
Andererseits folgt aus der Martingalbedingung für ein risikoneutrales Maß:
0 = E Q
[
∆ ˜S (n)] = ∑ ω∈Ω
Q(ω)∆ ˜S (n) (ω) (1.4)
Durch Koeffizientenvergleich können wir wir also die Beziehung
Q(ω) = a · P(ω)U ′ (V 1 (ω))B 1 (ω)
isolieren, wobei wir die Normierungkonstante a noch bestimmen müssen. Insgesamt ergibt sich damit in
Abhängigkeit von der Wahl von U für das risikoneutrale Maß:
Q(ω) = P(ω)U ′ (V 1 (ω))B 1 (ω)
E [U ′ (V 1 )B 1 ]
Definition 1.22 (zulässiges Marktmodell). Ein Marktmodell ist zulässig, wenn ∃U : R × Ω → R
und ein Startkapital ν, sodass
1. w ↦→ U(w, ω) für alle ω konkav und streng monoton steigend ist und
2. das Portfolio-Problem (1.1) eine Lösung besitzt.
Theorem 1.19 (Zusammenhang von Zulässigkeit und RNM). Ein Marktmodell ist zulässig
dann und nur dann, wenn ein risikoneutrales Maß existiert.
Beweis.
⇒ Wurde schon durch obiges Lemma 1.18 gezeigt.
⇐ Sei Q ∈ M ein risikoneutrales Maß. Wir konstruieren uns nun eine Nutzenfunktion U(w, ω) und ein
Startkapital ν, sodass (1.1) eine Lösung besitzt. Wähle ν beliebig und setze
U(w, ω) = w ·
Q(ω)
P(ω)B 1 (ω) .