Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 6
Das Binomialmodell
6.1 Beschreibung des Modells
Definition 6.1 (Assets im Binomialmodell).
1. Bankkonto (risikolos): B 0 = 1, B t = e rt B t−1 mit r t ∈ R für t = 1, . . . , T
2. risikobehaftete(s) Asset(s) (Stock/Aktie): S 0 > 0 (konstant) und für t = 1, . . . , T :
{
u t · S t−1 , wenn X t = 1 ( up“)
S t =
”
d t · S t−1 , wenn X t = 0 ( down“) ”
mit Konstanten 0 < d t < u t und Bernoulli-Zufallsvariablen X 1 , . . . , X T .
Zu den Zeitpunkten 0, 1, . . . , T teilen sich alle bisher gleich verlaufenden Pfade in je zwei Klassen auf, die
einen, die nun nach oben springen, während die anderen nach unten springen. Damit erhält man jeweils
eine Information mehr zu 1, . . . , T , beschrieben durch die Filtration F 0 = {∅, Ω} ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ · · · ⊂ F T .
Jedes Atom der Filtration F t wird dabei jeweils in zwei Atome von F t+1 geteilt. Folgendes Bild kann das
schön verdeutlichen:
•u
•
0 u 1 u 2 u 3 S 0
u 2
•
•
u 1
d 2
•
•
•u 0 u 1 d 2 d 3 S 0
•
u 0
d 1
•
u 2
•
•
•
S 0
d 2
F 1
F 2 F 3
u 2
•
•
•
•
•
•
d 0
u 1
•
d 2
•
•
•
•
d 1
•
u 2
•
•
•
•
d 2
•
•d 0 d 1 d 2 d 3 S 0
Die Beschreibung der Pfade erfolgt durch {0, 1}-wertige Zufallsvariablen: Seien X 1 , . . . , X T {0, 1}-wertige
Zufallsvariablen mit P(X 1 = x 1 , . . . , X T = x T ) > 0 für alle (x 1 , . . . , x T ) ∈ {0, 1} T . Der Vektor ω =
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