Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 31
1. P(2N T − T = i) = P ( N T = 1 2 (i + T )) = ( )
T T +i
T +i p 2 (1 − p) T −i
2 , wenn i = T, T − 2, T − 4, . . . ,
2
ansonsten 0
2. P(2N T − T > i) = ∑ T
n=n ∗ ( T
n
)
p n (1 − p) T −n mit n ∗ = min { }
i ∈ R, i > T +i
3. Dieser Fall ist komplizierter, da aus der Bedingung für T nicht auf das Maximum geschlossen
werden kann. Allerdings werden wir feststellen, dass eine Dualität mit den Pfaden aus Fall 2 besteht,
insbesondere eine Bijektion zwischen den Pfaden in 2 und 3:
Betrachte also einen beliebigen Pfad P ∗ in 3. Er erreicht nach Definition den Wert S 0 u i , weshalb
τ i < T gilt. Der Pfad ˜P , der bis zu τ i mit P ∗ übereinstimmt und ab dann an S 0 u i gespiegelt ist
(siehe Grafik 6.1), erfüllt 2N T − T > i und liegt daher in 2. Außerdem ist er eindeutig (also die
Abbildung injektiv). Auf dieselbe Art können wir jedem Pfad aus Fall 2 einen Pfad aus Fall 3
zuweisen, womit wir eine Bijektion zwischen Fall 2 und 3 haben. Insbesondere hat Fall 2 gleich viele
Pfade wie 3.
2
Τ i
1 2 3 4 5
Abbildung 6.1: Das Reflektionsprinzip: Ab der Stoppzeit τ i wird der Pfad am Level S 0 u i gespiegelt. Damit
erhalten wir eine Bijektion zwischen Pfaden in 2 und 3.
Betrachte nun einen Pfad aus 2 mit N T = n ≥ n ∗ . Seine Wahrscheinlichkeit ist p n (1 − p) T −n und
es gibt ( T
n)
derartige Pfade, die bei n enden. Sein Partnerpfad aus 3 endet bei NT = T + i − n
(symmetrisch unter der Schranke (T +i)/2) und hat daher die Wahrscheinlichkeit p T +i−n (1−p) n−i .
Auch hier gibt es genau ( T
n)
verschiedene derartige Pfade wegen der Dualität.
Damit erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten
( T
P((2N T − T < i) ∧ (N T = T + i − n) ∧ (τ i < T )) = p
n)
T +i−n (1 − p) n−i
P((2N T − T < i) ∧ (τ i < T )) =
T∑
n=n ∗ ( T
n
Insgesamt erhalten wir also genau den Ausdruck im Lemma.
)
p T +i−n (1 − p) n−i
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Maximums wird z.B. benötigt für
• Knock-Out/-In Optionen: Dieser Typ von Optionen zahlt nichts (oder nur dann) aus, wenn der
Kurs irgendwann eine bestimmte Schranke über- oder unterschreitet.
• Lookback-Optionen: Payoff h ist abhängig vom Maximum (oder Minimum) des Kurses in einem
Zeitintervall. Z.B. das Recht, zu T die Aktie zum höchsten Kurs Y T bis zu diesem Zeitpunkt zu
verkaufen. Für die Bewertung wird damit die genau Verteilung des Maximums sowie des Kurses
benötigt.