Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 29
Dieses redundante Gleichungssystem von drei Gleichungen für (x 1 , y 1 ) besitzt die eindeutige Lösung
x 1 = −22.5, y 1 = 0.625. Der Preis (rechte Seite des GS) wurde genau so bestimmt, dass diese Gleichungen
eine Lösung besitzen.
Analog kann nun zu jedem Zeitpunkt t − 1 das Portfolio (x t , y t ) ausgehend von der momentanen Position
im Gitter bestimmt werden:
190
(
−
45
2 , )
5
8
27.5
(
−
85
2 , )
95
120
(
−
5
2 , )
1
8
2.5
52.5
(−80, 1)
( )
−5,
1
6
100
5
10
0
(0, 0)
0
0
Proposition 6.3. Betrachte einen Claim X = Φ(S T ). Dieser kann durch ein selbstfinanzierendes
Portfolio erreicht werden. Bezeichne V t (k) den Wert am Knoten (t, N t = k). Dann kann V t (k)
rekursiv bestimmt werden
(
)
V T (k) = Φ
∏
T
S 0
t=1
u Xt
t d 1−Xt
t
V t (k) = e −rt [q u,t V t+1 (k + 1) + q d,t V t+1 (k)]
mit dem Martingalmaß Q aus (6.2). Das replizierende Portfolio (x t , y t ) ist gegeben durch
x t (k) = e −rt [u t V t (k) − d t V t (k + 1)] /(u t − d t )
y t (k) = 1
S t−1
[V t (k + 1) − V t (k)] /(u t − d t )
6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell
Betrachte ein Wertpapier im CRR Modell, d.h. seien r t = r, u t = u und d t = d konstant (unabhängig von
t) und bezeichne N t = ∑ t
n=1 X t die Anzahl der up“-Bewegungen bis zum Zeitpunkt t. Der Aktienkurs
”
beträgt damit S t = S 0 u Nt d t−Nt , der diskontierte Aktienkurs ist ˜S t = S t /B t = e −rt S 0 u Nt d t−Nt .
Unter Q hat N t (und damit auch S t bzw. ˜S t ) eine Binomial-Verteilung
Q ( S t = S 0 u k d t−k) ( t
= q
k)
k (1 − q) t−k , k ∈ {0, . . . , t} , t = 1, . . . , T .
Der betrachtete Claim sei eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K zum Zeitpunkt T , der
Payoff lautet also h = (S T − K) + . Nach der bisherigen Theorie ist der arbitragefreie Preis C 0 von h zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben durch
C 0 = E Q
[e −rT (S T − K) +] [ ( ) ] +
= E Q ˜ST − e −rT K .