Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 6
Definition 1.8. Das Gesetz des eindeutigen Preises gilt, wenn es keine zwei Handelsstrategien Ĥ
und ¯H gibt, sodass ̂V 1 (ω) = ¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω gilt, aber ̂V 0 ≠ ¯V 0 .
Anschaulich bedeutet dies, dass zwei Anlagen / Portfolios, die zu t = 1 in jedem Zustand dasselbe
auszahlen, auch gleich viel Wert sein sollen zum Zeitpunkt t = 0.
Bemerkung 1.8. Wenn es keine zwei verschiedenen Handelsstrategien gibt, die dieselben Auszahlungen
leisten (etwa weil die durch Ṽ1(ω i ) bestimmte Handelsstrategie immer eindeutig ist wie im Beispiel 1.1),
ist das Gesetz des eindeutigen Preises trivialerweise automatisch erfüllt!
Lemma 1.5. Wenn keine dominierenden Handelsstrategien existieren, gilt das Gesetz des eindeutigen
Preises. Die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Beispiel 1.3 (Gesetz des eindeutigen Preises nicht erfüllt). Betrachte einen Markt mit k = 2 Zuständen
und N = 1 risikobehaftetem Asset, sowie r = 1. Es sei
S 0 = 10 S 1 (ω 1 ) = S 1 (ω 1 ) = 12
In diesem Fall ist S 1 und damit auch V 1 (ω) = 2H 0 + 12H 1 konstant auf Ω, also quasi risikolos.
⇒ beliebig viele HS (H 0 , H 1 ), um V 1 = λ (λ fix gewählt) zu erzeugen, jede hat unterschieden Preis V 0 .
⇒ kein eindeutiger Preis
Beispiel 1.4 (Gesetz des eindeutigen Preises, aber dominierende Handelsstrategie existiert).
Betrachte einen Markt mit k = 2 Zuständen und N = 1 risikobehaftetem Asset, sowie r = 1. Es sei
Das GS für die HS H lautet
S 0 = 10 S 1 (ω 1 ) = 12 S 1 (ω 1 ) = 8
V 1 (ω 1 ) = 2H 0 +12H 1
V 1 (ω 2 ) = 2H 0 + 8H 1
und besitzt eine eindeutige Lösung für jedes X = (V 1 (ω 1 ), V 1 (ω 2 )). Damit ist die Handelsstrategie H
eindeutig und auch der Preis V 0 eindeutig.
Betrachte nun allerdings die Handelsstrategie H = (10, −1), also 10 Geldeinheiten am Bankkonto, ein
Asset short:
V 0 = 10 · 1 − 1 · 10 = 0
V 1 (ω 1 ) = 2 · 10 − 12 · 1 = 8
V 1 (ω 2 ) = 2 · 10 − 8 · 1 = 12
Damit gilt für die HS H = (10, −1), dass V 0 = 0, aber V 1 (ω) > 0∀ω. Damit dominiert H die Handelsstrategie
(0, 0) und der Markt lässt dominierende Handelsstrategien zu.
1.2.4 Arbitrage
Definition 1.9. Eine Arbitrage-Möglichkeit ist eine Handelsstrategie H mit
• V 0 = 0
• V 1 (ω) ≥ 0∀ω ∈ Ω
• ∃ω ∈ Ω : V 1 (ω) > 0 (oder alternativ E[V 1 ] > 0, da π(ω) > 0∀ω ∈ Ω)