Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 3
Beispiel 1.1. k = 2 Marktzustände, N = 1 risikobehaftetes Asset, Zins r = 1 9
. Die Kursentwicklung
verhält sich:
B 0 = 1 B 1 (ω) = 1 + 1 9 = 10 9
S 0 = 5 S 1 (ω 1 ) = 20 3
S 1 (ω 2 ) = 40 9
˜S 0 = 5 ˜S1 (ω 1 ) = 20 3 /10 9 = 6 ˜S1 (ω 2 ) = 40 9 /10 9 = 4
Damit ergeben sich für eine Handelsstrategie H = (H 0 , H 1 ) die Werte zu t 0 = 0 und t 1 = 1 sowie der
Gewinn als
V 0 = Ṽ0 = 1 · H 0 + 5H 1
V 1 (ω) = 10 9 H 0 + H 1 S 1 (ω)
Ṽ 1 = H 0 + H 1 ˜S1 (ω)
G(ω) = 1 9 H 1 + (S 1 (ω) − S 0 )H 1
˜G(ω) = H1 ( ˜S 1 (ω) − S 0 )
Dies definiert uns also für jeden Marktzustand ω ∈ Ω eine Gleichung.
Bemerkung 1.4. ω sind die möglichen Marktzustände zu t = 1. Deren tatsächliche Wahrscheinlichkeiten
sind nicht näher gegeben (werden aber – wie wir später sehen werden – auch gar nicht zur Preisfestlegung
eines Derivats benötigt)!
Bemerkung 1.5. Unser erstes Ziel ist nun, für eine gegebene Verpflichtung Ṽ1(ω i ) (z.B. ein abgeschlossener
Vertrag oder ein sonstiges Derivat, das abhängig vom Marktzustand Leistungen bietet) eine Handelsstrategie
H = (H 0 , H 1 , . . . , H N ) zu finden, die zum Zeitpunkt t = 1 in jedem Marktzustand ω i genau den
Wert V 1 (ω i ) hat. Wenn wir nun zu t = 0 den Betrag V 0 in dieses Portfolio investieren, können wir exakt
die nötigen Zahlungen tätigen. Insofern ist also V 0 ein fairer Preis bzw. der momentane Wert von V zum
Zeitpunkt t = 0.
Bemerkung 1.6. Wenn man obiges Beispiel betrachtet, sieht man, dass wir für die Bestimmung von H 0
und H 1 für die beiden Assets aus den Ṽ1 genau zwei mögliche Zustände haben, wobei jeder Zustand ω i
eine Gleichung definiert. Insbesondere haben wir zwei Gleichungen für zwei Variablen und können i.A.
ein eindeutiges derartiges Portfolio bestimmen:
Ṽ 1 (ω 1 ) = H 0 + H 1 S (1)
1 (ω 1)
Ṽ 1 (ω 2 ) = H 0 + H 1 S (1)
1 (ω 2)
Die Lösung kann daher als eine Linearkombination der Portfoliowerte zu t = 1 dargestellt werden kann:
H 0 =
H 1 =
1
(−1)
S (1)
1 (ω 1) − S (1)
1 (ω Ṽ 1 (ω 1 ) +
2)
S (1)
1
} {{ }
(ω 1) − S (1)
1 (ω Ṽ 1 (ω 2 )
2)
} {{ }
a 0,1 a 0,2
(
)
1
1
(−1)
S (1)
1 (ω 1 −
2) S (1)
1 (ω 1) − S (1)
1 (ω Ṽ 1 (ω 1 ) +
2)
(S (1)
1
} {{ }
(ω 1) − S (1)
1 (ω 2))S (1)
1 (ω Ṽ 1 (ω 2 )
1)
} {{ }
a 1,1 a 1,2
Damit berechnet sich der momentane Wert dieses Portfolios, das genau Ṽ1 generiert, durch:
V 0 = H 0 + H 1 S (1)
0 = a 0,1 Ṽ 1 (ω 1 ) + a 0,1 Ṽ 1 (ω 2 ) + S (1)
0 a 1,1Ṽ1(ω 1 ) + S (1)
0 a 1,2Ṽ1(ω 2 )
(
) (
)
= a 0,1 + S (1)
0 a 1,1 Ṽ 1 (ω 1 ) + a 1,1 + S (1)
0 a 1,2 Ṽ 1 (ω 2 ) = E Q [Ṽ ]
} {{ } } {{ }
=:q 1 =:q 2
Naïv würde man erwarten, dass der faire Preis einfach E[Ṽ ] beträgt, wobei die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten
für die Marktzustände ω i benutzt werden. Obige Gleichung zeigt allerdings, dass der