Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 16
1.6 Risiko und Ertrag (Return)
Definition 1.18. Für ω ∈ Ω und Q ∈ M wird E Q [ ˜X] = Q(ω)/B 1 (ω) für X(̂ω) = 1 {ω=bω}
Zustandspreis des Zustands ω bezeichnet.
als
Definition 1.19. Der Return eines Assets ist definiert als die ZV, die den relative Wertzuwachs
beschreibt
R n = S(n) 1 − S (n)
0
S (n)
0
, n = 1, . . . , N R 0 := r = B 1 − B 0
B 0
Lemma 1.16. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Q(ω) > 0∀ω ∈ Ω ist genau dann ein RNM, wenn
[ ]
Rn − R 0
E Q = 0, n = 1, . . . , N
1 + R 0
Beweis.
˜S (n) (n)
1 − ˜S 0 = S(n) 1 − B 1 S (n)
0
B 1
[
⇒ E Q ∆ ˜S (n)] [ ]
= S (n) Rn − R 0
0 E Q
1 + R 0
= (1 + R n)S (n)
0 − (1 + R 0 )S (n)
0
= S (n)
0
1 + R 0
R n − R 0
1 + R 0
Bemerkung 1.15. Bei deterministischer Zinsrate R 0 (ω) = r folgt sofort, dass E Q [R n ] = E Q [R 0 ] = r
äquivalent ist zur Tatsache, das Q ein RNM ist.
1.7 Optimale Portfolios, Zulässigkeit
Problem: Bestimmung der optimalen Handelsstrategie nach subjektiven Kriterien.
Definition 1.20 (Nutzenfunktion). Eine Nutzenfunktion U : R × Ω → R ist eine Funktion, die
für alle ω ∈ Ω
1. für w ↦→ U(w, ω) differenzierbar,
2. konkav ( ”
risikoavers“) und
3. streng monoton steigend ist.
U(w, ω) bezeichnet den subjektiv empfundenen Nutzen des Betrages w im Zustand ω, wobei nicht absolute
Werte Bedeutung haben, sondern nur der Vergleich zweier oder mehrerer möglicher Werte relevant ist.
U beschreibt also, wie ich subjektiv den Betrag w bewerte. Die Konkavität von U bedeutet, dass die
Steigung – also die Nutzenänderung desselben Betrages – bei geringen Beträgen höher ist als bei hohen
Beträgen (Für jemanden, der bereits 10 Mio. e besitzt, ist 1 e keine so große Verbesserung wie für
jemanden, der nur sehr wenig Kapital besitzt). Die strenge Monotonie hat die nahe liegende Bedeutung,
dass ein höherer Betrag immer mehr Nutzen hat als ein geringerer Betrag.