Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 5
Interpretation. Zwei Investitionen (Portfolios) haben denselben Anfangspreis V 0 , die eine hat aber in
jedem Fall einen höheren Endwert. Damit könnte man einen Anteil des niedrigeren Portfolios verkaufen
und das Kapital in das bessere Portfolio investieren. In jedem Fall bleibt ein risikoloser Gewinn übrig.
1.2.2 Lineare Preismaße
Definition 1.7 (lineares Preismaß). Ein lineares Preismaß ist ein nicht-negativer Vektor π =
(π(ω 1 ), π(ω 2 ), . . . , π(ω N )) mit
Ṽ 0 = E π [Ṽ1] = ∑ ω∈Ω
π(ω)Ṽ1(ω) = ∑ ω∈Ω
π(ω) V 1(ω)
B 1 (ω) ∀Handelsstrategien
Korollar 1.3. Wenn ein lineares Preismaß existiert, gibt es keine dominierende Handelsstrategie.
Beweis. Angenommen, es existiert eine dominierende Handelsstrategie Ĥ, d.h. ̂V0 = ¯V 0 und ̂V 1 (ω) >
¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω, woraus ˜̂V 1 (ω) > ˜¯V 1 (ω) folgt. Damit erhalten wir den Widerspruch
˜̂V 0 = ∑ ω
π(ω)˜̂V 1 (ω) > ∑ ω
π(ω)˜̂V 1 (ω) = ˜̂V 0 = ˜¯V 0 .
Die strikte Ungleichung im Beweis gilt allerdings nur, da wir an eine dominierende Handelsstrategie die
relativ starke Forderung gestellt haben, dass sie in jedem Marktzustand strikt mehr als die dominierte
Handelsstrategie liefert. Der Fall, dass π = (0, 0, . . . , 0) gilt, ist trivial, da dann nach Definition immer
V 0 = 0 gelten würde und zum anderen gar nicht möglich, wenn man z.B. die Handelsstrategie H = (H 0 >
0, 0, . . . , 0) betrachtet, die nur in das risikolose Asset investiert.
Bemerkung 1.7. π ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Beweis. Dies ist einfach zu sehen, indem man ein Portfolio H = (1, 0, . . . , 0) mit H 0 ≠ 0 betrachtet,
welches zu t 0 den Wert V 0 = 1 und unabhängig vom Marktzustand zu t = 1 immer den Wert Ṽ1(ω) = 1
hat. Damit folgt
1 = Ṽ0 = ∑ π(ω) · 1 = ∑ π(ω)
ω
ω
Zusammen mit der Nicht-Negativität folgt die Behauptung.
Lemma 1.4. Ein Vektor π ist ein lineares Preismaß dann und nur dann, wenn π ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf Ω ist mit ˜S 0 = E π [ ˜S 1 ] = ∑ (n)
(n)
(n)
ω
π(ω) ˜S 1 (ω) für n = 1, . . . , N.
Es genügt also, dass (1.7) nur für alle N Assets erfüllt ist, um zu garantieren, dass die Gleichung für jedes
beliebige Portfolio erfüllt ist. Dies ist relativ klar, da ein beliebiges Portfolio als Vektor betrachtet ja nur
eine Linearkombination der Portfolios (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ist, die jeweils nur das i-te Asset beschreiben.
Interpretation (Definition des linearen Preismaßes). Der Wert Ṽ0 zum Zeitpunkt t = 0 entspricht genau
dem Erwartungswert des Preises zu t = 1 unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß π. Das heißt, wir benutzen
nicht die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten, sondern andere, die risikolosen Gewinn ausschließen.
1.2.3 Gesetz des eindeutigen Preises