Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 11
Theorem 1.11 (Risikoneutrales Bewertungsprinzip). Ist das Ein-Perioden-Modell arbitragefrei,
dann ist der Wert eines Contingent Claims X zu t = 0 gegeben durch E Q [X/B 1 ], wobei Q ein
beliebiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Beweis. Folgt sofort aus Lemma 1.9.
Beispiel 1.12 (von früher). Es sei r = 1 9 , S 0 = 5, S 1 (ω 1 ) = 20
3 , S 1(ω 2 ) = 40
9 . Also ˜S 1 (ω 1 ) = 6 und
˜S 1 (ω 4 ) = 4. Als risikoneutrales Maß haben wir bereits Q(ω 1 ) = Q(ω 2 ) = 1 2 bestimmt.
Betrachte einen Claim X mit X(ω 1 ) = 7 und X(ω 2 ) = 2. Nach obigem Theorem ist der Preis dieses
Claims
V 0 = E Q [ X ] = 1 B 1 2 · + 1 2 · = 81
20 = 4.05
7
10
9
Die replizierende Handelsstrategie H bestimmt sich folgendermaßen, indem Ṽ1 = V 0 + ˜G benutzt wird:
X(ω i )/B 1 (ω i ) = Ṽ1(ω i ) = V 0 + ˜G(ω i ) = 4.05 + H 1 ∆ ˜S 1 (ω i ) für i = 1, 2.
Wir haben also 2 Gleichungen, die beide denselben Wert für H 1 liefern:
9
ω 1 :7 ·
10 = 81
20 + H 1 · 1 ⇒ H 1 = 45
20 = 2.25
9
ω 2 :2 ·
10 = 81
20 + H 1 · (−1) ⇒ H 1 = 81
20 − 36
20 = 45
20 = 2.25
Die Tatsache, dass beide Gleichungen denselben Wert für H 1 liefern ist nicht weiter verwunderlich, immerhin
wurde V 0 so bestimmt. Insofern war die Benutzung der zweiten Gleichung nur als Kontrolle
notwendig. H 0 ergibt sich nun als
4.05 = V 0 = H 0 + H 1 S 0 = H 0 + 2.25 · 5 ⇒ H 0 = 81
20 − 225
20 = −144 = −7.2
20
Der Claim X ist also durch die Handelsstrategie H = (−7.2, 2.25) erreichbar.
Als Kontrolle können wir den Wert dieser Handelsstrategie zu t = 0 und zu t = 1 berechnen:
2
10
9
t = 0 : V 0 = −7.2+ 2.25 · 5 =4.05
t = 1 : ω 1 : V 1 (ω 1 ) =−7.2 · 10 9 +2.25 · 20 3 =7
ω 2 : V 1 (ω 2 ) =−7.2 · 10 9 +2.25 · 40 9 =2
Der faire Preis dieses Claims X muss nun nach obigem Theorem genau V 0 sein, ansonsten wäre ein
risikoloser Gewinn möglich.
Definition 1.14 (Zustands Claim, Zustandspreis). Für ̂ω ∈ Ω wird der Contingent Claim X,
der nur im Zustand ̂ω genau 1 Geldeinheit auszahlt, in allen anderen Zuständen jedoch nichts, also
{
1 für ω = ̂ω
X(ω) =
0 sonst,
als ”
Elementar-Claim“ bzw. ”
Zustands-Claim“ des Zustandes ̂ω bezeichnet. Sein Preis (wenn er
erreichbar ist) ist
E Q [X/B 1 ] = ∑ ω∈Ω
Q(ω)X(ω)/B 1 (ω) = Q(̂ω)/B 1 (̂ω)
und wird als Zustandspreis für ̂ω ∈ Ω bezeichnet.
Der Preis V 0 jedes Contingent Claims kann als Linearkombination der Payoffs X(ω) mit den Zustandspreisen
als Gewichten dargestellt werden (da die Zustandspreise genau die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
beinhalten).