Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 15
Bemerkung 1.14. In einem vollständigen Markt ist also jeder CC X bepreisbar mit einem eindeutigen
RNM, und jeder CC X ist durch eine HS H erreichbar, deren Wert zu t = 0 genau dem Preis des
CC entspricht. In einem unvollständigen Markt gibt es jedoch mehrere RNM, die aufgrund des letzten
Lemmas für die nicht erreichbare CCs X auch unterschiedliche Preise liefern! Wenn also keine replizierende
Handelsstrategie mehr existiert, ist auch der Preis nicht mehr eindeutig. Alle Preise, die als E Q [ ˜X] für
ein Q ∈ M bestimmt wurden, sind jedoch faire Preise in dem Sinn, dass dann Arbitrage ausgeschlossen
ist, wenn konsistent dasselbe Maß Q benutzt wird.
1.5.1 Unvollständige Märkte
In einem unvollständigen Markt existieren also i.A. keine eindeutigen Preise mehr. Allerdings können wir
Schranken für faire Preise auf zwei verschiedene Arten angeben:
1. Auch wenn wir einen CC nicht exakt erzeugen können, können wir Handelsstrategien betrachten,
die in jedem Marktzustand mehr oder gleichviel ( ”
Superhedging“) bzw. immer weniger oder gleich
viel ( ”
Subhedging“) wert sind. Der eindeutige Preis jeder dieser Handelsstrategien ist eine obere
(untere) Schranke für den Preis des CC, da es ansonsten Arbitragemöglichkeiten gibt.
2. Die Menge aller E Q [ ˜X] für Q ∈ M ist die Menge aller fairen Preise (in dem Sinn, dass keine Arbitrage
möglich ist).
Aus dem ersten Zugang ergibt sich folgende Definition
Definition 1.17 (Schranken für den faire Preise in unvollständigen Märkten).
Obere Schranke für Preis:
}
V + (X) = inf
{E Q [Ỹ ] : Y ≥ X, Y erreichbar
Untere Schranke für Preis:
}
V + (X) = inf
{E Q [Ỹ ] : Y ≥ X, Y erreichbar
Die Schranken für die fairen Preise von nicht erreichbaren Claims werden also durch Vergleich mit allen
erreichbaren Claims bestimmt. Wie folgendes Lemma zeigt, liefert dieser Zugang tatsächlich scharfe
Schranken für die Preise und führt zu denselben Schranken wie der zweite Zugang über E Q [ ˜X]:
Lemma 1.15 (o.B.). Ist M ≠ ∅, so gilt für jeden Contingent Claim X:
{
V + (X) = sup E Q [ ˜X]
}
: Q ∈ M
{
V − (X) = inf E Q [ ˜X]
}
: Q ∈ M
Ein erreichbarer Claim Y ≥ X, der nie weniger liefert, hat also jedenfalls keinen geringeren Preis als er
durch das risikoneutrale Bewertungsprinzip für den nicht erreichbaren Claim X bestimmt ist.
Beispiel 1.18 (Fs. Beispiel 1.2). Die Menge der RNM war M = { (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ)|λ ∈ ] 1
2 , 3[} 2 . Der
Claim X = (30, 20, 10) ist nicht erreichbar, da X 1 − 3X 2 + 2X 3 = −1 ≠ 0 gilt.
Aus dem risikoneutralen Bewertungsprinzip ergeben sich Preise E Q [ ˜X] = λ 9 10 ·30+(2−3λ) 9 10 ·20+(−1+
2λ) 9 10 · 10 = −9λ + 27. Insbesondere ergibt sich wegen λ ∈ ] 1
2 , 3[ 2 für die fairen Preise p ein Intervall von
p ∈ ]21, 22.5[. Obiges Lemma sagt nun, dass
V − (X) = inf E Q[ ˜X] = 21 V + (X) = sup E Q [ ˜X] = 22.5
λ
Diese beiden Schranken werden tatsächlich von erreichbaren Sub- und Superhedging-Strategien angenommen:
• Y = (30, 50
3 , 10) erfüllt Y ≥ X und hat einen Wert von V (Y ) = 21 = V −(X).
• Y = (30, 20, 15) erfüllt Y ≤ X und hat einen Wert von V (Y ) = 22.5 = V + (X).
λ