Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 1
Das Ein-Perioden-Modell
1.1 Definitionen
(Dieses Kapitel hält sich zu einem großen Teil an Kapitel 1 des Buches [Pli97])
Das Ein-Perioden-Modell ist ein simples Modell, das aber trotzdem die meisten Begriffe, Effekte und
grundlegenden Gedanken der Finanzmathematik gut darstellen lässt.
Definition 1.1. Das Ein-Perioden-Modell besteht aus
1. Start- und Endzeitpunkt t 0 und t 1 , üblicherweise t 0 = 0 und t 1 = 1. Handel ist nur zu t 0 und
t 1 möglich
2. Endlicher Ereignisraum Ω, |Ω| = k < ∞
Ω = {ω 1 , . . . , ω k }
ω ∈ Ω beschreibt den allgemeinen Marktzustand zu t 1
3. Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P(ω i ) > 0∀ω i ∈ Ω
4. Bankkonto-Prozess B = (B t ) t=0,1
, B 0 = 1, B 1 ist Zufallsvariable ( risikolose Anlage“), B ” 1 > 0
(
)
5. Preisprozess S = (S t ) t=0,1
mit S t = S (1)
t , . . . , S (N)
t , N < ∞. Es existieren N risikobehaftete
Anlagen ( Assets“), S (n)
”
t ist der Preis der n-ten Anlage zur Zeit t. Zu t = 0 sind die Preise
S (n)
0 bekannt, die Preise S (n)
1 jedoch nicht-negative Zufallsvariablen (S (n)
1 (ω))
t 1 ⩵1
Preisentwicklung Bankkonto
B 1 ⩵1r
t 0 ⩵0
r
1
B 0 ⩵1
S 0
n
t 0 ⩵0
Preisentwicklung Asset n
Ω 1
Ω 2
Ω 3
PΩ 1
PΩ 2
PΩ 3
t 1 ⩵1
S 1 n Ω 1
S n 1 Ω 2
S n 1 Ω 2
S 1 n Ω 3
Ω 4
PΩ 4
Immer positiv↑
0
S 1 n Ω 4
Abbildung 1.1: Entwicklung des Bankkontos und eines Assets n im Einperiodenmodell.
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