Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 4
momentane Preis zwar auch als Erwartungswert der diskontierten Preise zu t = 1 bestimmt werden
kann, allerdings bezüglich einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die lediglich von den Kursen der
am Markt verfügbaren Assets S (n)
t für t = 0, 1 abhängen, nicht aber von den Wahrscheinlichkeiten der
Marktzustände!
Die grundlegende Idee der Finanzmathematik ist jene, dass ein gegebener Claim durch geeignete Kombinationen
von vorhandenen Assets dargestellt werden kann – die replizierende Handelsstrategie – und
dadurch der Preis bereits bestimmt ist. Damit ist in jedem Fall genau das nötige Kapital zu t = 1
vorhanden und es besteht kein Risiko, unabhängig davon, ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit ein
Marktzustand angenommen wird. Daher wird dieses durch den Markt (und durch die Annahme, dass
keine risikolosen Gewinne möglich sein sollen) bestimmte Wahrscheinlichkeitsmaß auch risikoneutrales
”
Maß‘ genannt. Mehr dazu jedoch später.
Beispiel 1.2. Betrachte nun den Markt aus Beispiel 1.1 mit k = 3 Zuständen, wobei im zusätzlichen
Zustand der Preisverlauf S 1 (ω 3 ) = 30/9 und ˜S 1 (ω 3 ) = 3 lautet. Alle Definitionen und Gleichungen sind
gleich wir oben, lediglich eine neue dritte Gleichung für ω 3 kommt hinzu:
ω 3 : V 1 (ω 3 ) = 10
9 H 0 + 30
9 H 1
G(ω 3 ) = 1 9 H 0 − 5 3 H 1
Ṽ 1 (ω 3 ) = H 0 + 3H 1
˜G(ω 3 ) = H 0 − 2H 1
Damit haben wir 3 Gleichungen (von ω 1 , ω 2 , ω 3 ) für 2 Variablen (H 0 , H 1 ) bei vorgegebenem G oder ˜G.
Übungsbeispiel 1.1. N = 2 risikobehaftete Assets, k = 3 Zustände. Stelle Gleichungen für V , Ṽ , G und
˜G auf!
1.2 Arbitrage
Idee. Der Markt soll keine Gelegenheit für einen risikolosen Gewinn bieten.
1.2.1 dominierende Handelsstrategien
Definition 1.6. Eine Handelsstrategie Ĥ ist dominierend, wenn es eine Handelsstrategie ¯H gibt mit
̂V 0 = ¯V 0 , aber ̂V 1 (ω) > ¯V 1 (ω)∀ω ∈ Ω.
Lemma 1.1. Eine dominierende Handelsstrategie existiert dann und nur dann, wenn eine Handelsstrategie
H existiert mit V 0 = 0 und V 1 (ω) > 0∀ω ∈ Ω.
Beweis. =⇒ Sei Ĥ dominierend. Die Handelsstrategie H = Ĥ − ¯H erfüllt V 0 = 0 und V 1 (ω) > 0∀ω ∈ Ω.
⇐= Die HS H dominiert die HS ¯H = (0, 0) für alle ω ∈ Ω.
Lemma 1.2. Eine dominierende Handelsstrategie existiert dann und nur dann, wenn eine Handelsstrategie
existiert mit V 0 < 0 und V 1 (ω) ≥ 0∀ω ∈ Ω.
Beweisskizze. Betrachte die Handelsstrategie H, die das vorige Lemma erfüllt. Konstruiere eine neue
Handelsstrategie ¯H n = H n , n = 1, . . . , N und ¯H 0 = − ∑ N
n=1 H nS (n)
0 − δ mit δ = min ω ˜G(ω) > 0. Diese
erfüllt die Behauptung des Lemmas. Für die andere Richtung verschiebt man H 0 um V 0 und hat damit
die dominierende Handelsstrategie.