Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMIALMODELL: DAS BLACK-SCHOLES MODELL 38
2. Wenn ein messbares ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) existiert mit
ϕ(x)
lim
x→∞ x
dann gilt 1 auch für f.
∫
= ∞ und sup ϕ(|f|)dµ n < ∞ ,
n∈R S
Definition 8.2. Sei (S, d) ein metrischer Raum mit Borel-σ-Algebra S. Eine Folge von Zufallsvariablen
X n : Ω → S, n ∈ R ist schwach konvergent gegen die Zufallsvariable X : Ω ′ → S, wenn
die Verteilungen µ n = PXn
−1 , n ∈ R, schwach gegen µ = P ′ X −1 konvergieren, wobei (Ω ′ , F ′ , P ′ ) ein
anderer Wahrscheinlichkeitsraum sein kann.
8.2 Reskalierung des Binomialmodells
Ziel. Skalierung des Binomialmodells auf m Schritte der Länge T/m, T > 0, und Grenzübergang m → ∞,
was zu einem stetigen Modell führt.
Betrachte ein Binomialmodell mit:
1. Zinsrate r m : e rT = (e rm ) m ⇒ r m = rT m
( √
2. Schritt nach oben: u m = e rT m 1 + α
ist also proportional zur Wurzel aus dem Zeitschritt, √ ∆t.
3. Schritt nach unten: Wähle β ∈ ( 0, √ )
m
T und dm = e rT m
T
m
)
mit geeignetem α > 0. Die Größe des Schrittes α √ T/m
( √ )
T
1 − β
m
.
Das Martingalmaß Q dieses Binomialmodells mit m Schritten, in dem die X 1 , . . . , X m
identisch verteilte Bernoulli-Variablen sind, lautet
Q(X i = 1) = q = erm − d m
u m − d m
=
e rm β
e rm (α + β)
√
T
m
√
T
m
= β
α + β
für i = 1, . . . , m
unabhängige,
Notation. σ = √ αβ wird Volatilität genannt.
Insgesamt haben wir also 4 Parameter α, β, q und σ, von denen 2 frei wählbar sind.
Wenden wir nun eine Taylor-Approximation auf log u m und log d m an:
log u m = rT m + α √
T
m − 1 2 α2 T m + O ( 1
m 3/2 )
log d m = rT m − β √
T
m − 1 2 β2 T m + O ( 1
m 3/2 )
log u √
m
T
= log u m − log d m = (α + β)
d m m − 1 (
α 2 − β 2) ( )
T 1
2 m + O m 3/2