Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 14
Beweis.
1.⇒2. Nach Voraussetzung enthält M mindestens ein RNM. Nach der Argumentation des letzten Abschnittes
muss für jeden erreichbaren Claim der Anfangswert V 0 = E Q [X/B 1 ] aller erzeugenden
Handelsstrategie übereinstimmen, sonst ist Arbitrage möglich.
2.⇒1. Betrachte einen nicht erreichbaren CC X und ein RNM ̂Q ∈ M. Wir werden uns nun ein RNM Q
konstruieren, sodass Q bQ [X/B 1 ] ≠ E Q [X/B 1 ] gilt.
Dass X nicht erreichbar ist, bedeutet, dass A · H = X keine Lösung besitzt. Das Farkas-Lemma
[Far02] aus der linearen Optimierung (siehe Anhang) sagt für diesen Fall jedoch aus, dass
∃π : π · A = 0, δ = π · X > 0 .
Definieren wir nun Q(ω k ) = ̂Q(ω k )+λπ k B 1 (ω k ), so gilt für genügend kleines λ > 0, dass Q(ω k ) > 0.
Es ist nun nicht mehr sehr schwer zu zeigen, dass Q ein RNM ist:
1. Q(ω i ) > 0
2. ∑ k Q(ω k) = ∑ ̂Q(ω k k ) + λπ · B 1 (ω k ) = ∑ } {{ }
̂Q(ω k k ) = 1.
=0, da B 1 die
1. Spalte von A
3. Die Martingalbedingung ist ebenfalls erfüllt, wie aus der Martingalbedingung für ̂Q und dem
Farkas-Lemma sofort folgt:
E Q ˜S(n) 1 = ∑ k
(n)
Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) = ∑ k
Q(ω k )S (n)
1 (ω k )/B 1 (ω k )
= ∑ k
(n) ̂Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) + λ ∑ π k B 1 (ω k ) S(n) 1 (ω k )
= ∑ B 1 (ω k )
k
k
} {{ }
=0, da S (n)
1 die n. Spalte von A
(n)
(n)
̂Q(ω k ) ˜S 1 (ω k ) = ˜S 0
Es muss nun nur noch gezeigt werden, dass E Q [X/B 1 ] ≠ E bQ [X/B 1 ] gilt:
E Q [X/B 1 ] = ∑ k
Q(ω k )X(ω k )/B 1 (ω k ) = ∑ k
̂Q(ω k )X(ω k ) + λ ∑ π k X(ω k )
k
} {{ }
=δ
= E bQ [X/B 1 ] +
}{{}
λδ > E bQ [X/B 1 ]
>0
3.⇒2. Diese Implikation ist trivial, da nur ein einziges RNM in M existiert.
2.⇒3. Seien Q und ̂Q zwei RNM mit Q ≠ ̂Q, d.h. ∃ω k ∈ Ω : Q(ω k ) ≠ ̂Q(ω k ). Betrachte nun den
Contingent Claim X(ω) = 1 {ω=ωk }B 1 (ω k )
[ ] X
E Q = B 1(ω k )
B 1 B 1 (ω k ) Q(ω k) = Q(ω k ) ≠ ̂Q(ω k ) = B [ ]
1(ω k )
B 1 (ω k ) ̂Q X
= E bQ .
B 1
Damit (und weil Q keine Nullmengen besitzt) kann es also nur ein eindeutiges Martingalmaß Q
geben: |M| = 1
Aus dem Beweis der Äquivalenz des ersten und zweiten Punktes des Theorems sieht man außerdem sofort
folgendes Lemma:
Lemma 1.14. Ein CC X ist dann und nur dann erreichbar, wenn für jedes RNM Q der Erwartungswert
E Q [X/B 1 ] denselben Wert annimmt.