Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

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Inhaltsverzeichnis 1 Das Ein-Perioden-Modell 1 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 dominierende Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Lineare Preismaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Gesetz des eindeutigen Preises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bewertung von Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Vollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Unvollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Risiko und Ertrag (Return) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Optimale Portfolios, Zulässigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Wh. Wahrscheinlichkeitstheorie 21 3 Mehr-Perioden-Modell in diskreter Zeit 22 4 Wh. Martingaltheorie 23 5 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 24 6 Das Binomialmodell 25 6.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.1.1 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell als Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Arbitrage-Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3 Bepreisung im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.5 Verteilung des Maximums im Binomialmodell (Reflection Principle) . . . . . . . . . . . . 30 6.5.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7 Markov <strong>Modelle</strong> 33 7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8 Grenzübergang im Binomialmodell: Das Black-Scholes Modell 37 8.1 Schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz in schwacher Formulierung . . . . . . . . . 37 8.2 Reskalierung des Binomialmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.3 Die Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.3.1 Ableitung der Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9 Amerikanische Optionen im diskreten Modell 42 9.1 Die Snell-Envelope (Snell’sche Einhüllende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9.2 Zerlegung von Supermartingalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9.3 Anwendung auf Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.4 Zusammenhang der Preise von Amerikanischen und Europäischen Optionen . . . . . . . . 46 i
INHALTSVERZEICHNIS ii 9.4.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10 Optimale Portfolios und Martingalmethoden 47 10.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Stichworte zum Inhalt der Lehrveranstaltung 50 Anhang 52
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Seite 5 und 6: KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL
Seite 25 und 26: Kapitel 3 Mehr-Perioden-Modell in d
Seite 27 und 28: Kapitel 5 Capital Asset Pricing Mod
Seite 29 und 30: S ddd S dddd = d 4 S 0 N 4 = 0 KAPI
Seite 31 und 32: KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 28 6.
Seite 33 und 34: KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 30 Di
Seite 35 und 36: KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 32 6.
Seite 37 und 38: KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 34 Beweis
Seite 39 und 40: KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 36 Das Ba
Seite 41 und 42: KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMI
Seite 43 und 44: KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMI
Seite 45 und 46: Kapitel 9 Amerikanische Optionen im
Seite 47 und 48: KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN I
Seite 49 und 50: KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN I
Seite 51 und 52: KAPITEL 10. OPTIMALE PORTFOLIOS UND
Seite 53 und 54:
Stichworte zum Inhalt der Lehrveran
Seite 55 und 56:
Anhang Das Farkas-Lemma, heutzutage
Seite 57:
Literaturverzeichnis [Far02] Julius
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