Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 34
Beweisskizze.
⇐ Trivial: g = 1 F ∀F ∈ E
⇒ Standard-Methode: für charakteristische Funktionen nach Vor. erfüllt ⇒ für einfache Funktionen
(Treppenfunktionen) durch Linearität des Erwartungswerts erfüllt.
Für beschränkte, messbare g : E → R existiert eine Folge von einfachen Funktionen (g n ) n∈R
mit
‖g n ‖ ∞ ≤ ‖g‖ und g n → g punktweise. Wegen der dominierten Konvergenz folgt dann
E P [g(X t )|F s ]
dom.
Konv.
= lim E P[g n (X t )|F s ] Markov
dom.
= lim E Konv.
P[g n (X t )|X s ] = E P [g(X t )|X s )] P-f.s.
n→∞ n→∞
Bei nicht-negativem g benutze stattdessen monotone Konvergenz, allgemeine g lassen sich schließlich
als Differenz zweier nicht-negativer Funktionen darstellen.
Bemerkung 7.2. Die Markov-Eigenschaft für R d -wertige Prozesse ist komponentenweise definiert.
Lemma 7.2. Sei X t : Ω → R, t ∈ I ⊂ R, ein Markov-Prozess. Dann gilt für alle E ⊗ E-messbaren
h : E × E → R, die beschränkt oder nicht-negativ sind, für s, t ∈ I, s < t:
E P [h(X s , X t )|F s ] = E P [h(X s , X t )|X s ] P-f.s. (7.2)
(vergleiche (3.35) in Pliska [Pli97])
Beweis. Sei zuerst h(x, y) = f(x)g(y) mit f, g : E → R beschränkt und E-messbar:
E P [h(X s , X t )|F s ] = E P [f(X s )g(X t )|F s ] = f(X s )E P [g(X t )|F s ] = f(X s )E P [g(X t )|X s ] = E[f(X s )g(X t )|X s ]
Sei nun H = {h : E × E → R|h ist E ⊗ E-messbar, beschränkt und erfüllt (7.2)}. H erfüllt:
1. H ist ein Vektorraum.
2. H enthält alle h(x, y) = f(x)g(y) mit f, g : E → R beschränkt und E-messbar (insbesondere
h = 1 F ×G mit F, G ∈ E)
3. Wenn {h n } n∈R
⊂ h beschränkt und nicht-negativ mit h n ↗ h, dann gilt h ∈ H (über monotone
Konvergenz).
Wegen dem Theorem über monotone Klassen (siehe Anhang) enthält H daher alle beschränkten, E ⊗ E-
messbaren h : E × E → R. Daher wegen 3 auch alle nicht-negativen h, die E ⊗ E-messbar sind.
Bemerkung 7.3. Die Verallgemeinerung auf d Dimensionen erfolgt durch komponentenweise Betrachtung.
Theorem 7.3. Sei der Preisprozess ˜S 0 , . . . , ˜S T ein Markov-Prozess unter P (mit E = R d ) und
arbitragefrei. Dann existiert ein äquivalentes Maß Q ∼ P, sodass ˜S 0 , . . . , ˜S T ein Q-Martingal ist,
sowie ein Markov-Prozess unter Q.
Bemerkung 7.4. Die Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes folgt aus der Arbitragefreiheit. Dieser
Satz sagt aus, das die Markov-Eigenschaft auch unter einem äquivalenten Martingalmaß erhalten bleibt.
Beweis. Die Existenz eines Q ′ ∈ M ∞ t folgt nach Dalang-Morton-Willinger.
Definiere Z T = dQ ′ /dP und Z t = E P [Z T |F t ]. Für jedes A ∈ F t gilt
Q ′ (A) = E P [1 A Z T ] bed.EW = E P [1 A E[Z T |F t ]] = E P [1 A Z t ]
Dies bedeutet, dass Z t eine Dichte von Q ′ | Ft
bezüglich P| Ft
ist.
[ ∣ ]
Da Q ′ ∼ P, gilt Z T > 0 P-f.s. und E
Zt+1 ∣∣
P Z Ft t
= 1 Z t
E P [Z t+1 |F t ].
[ ∣
Z
Konstruktion von Q ∼ P: Definiere d t = E t ∣∣
P Z
˜St
t−1
, ˜S
]
t−1 für t = 1, . . . , T .
Betrachte Y 0 = Z 0 und Y t = Z 0 d 1 · · · · · d t für t = 1, . . . , T . Dann: