Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN IM DISKRETEN MODELL 46
9.3 Anwendung auf Amerikanische Optionen
}
Die diskontierten Preise
{Ũt sind die Snell’sche Einhüllende der diskontierten Payoffs
{
˜Zt
}
. Nach der
Doob’schen Zerlegung ist Ũt = ˜M t − Ãt für t = 0, . . . , T .
Die letzten beiden Abschnitte liefern uns nun Schranken für die optimale Ausübungszeit der Amerikanischen
Option: Die Option soll zwischen τ 0 = min
{0 ≤ t ≤ T |Ũt = ˜Z
}
t und τ max = T für ÃT = 0 bzw.
{
}
τ max = min 0 ≤ t ≤ T |Ãt+1 > 0, Ãt = 0 ausgeübt werden (optimale Stoppzeit).
Bemerkung 9.3. Wichtig für das Hedgen von Amerikanischen Optionen ist die Tatsache, dass der gestoppte
Prozess ein Martingal ist (da Ãt = 0 für t ≤ τ). Dafür existiert nun eine Handelsstrategie H, die
den Payoff erzeugt und damit zum Hedgen benutzt werden kann.
9.4 Zusammenhang der Preise von Amerikanischen und Europäischen
Optionen
Da bei Amerikanischen Optionen im Vergleich zu Europäischen Optionen mehr Ausübungszeitpunkte
möglich sind, der Zeitpunkt T aber auch immer erlaubt ist, kann der Preis einer Amerikanischen
Option nicht kleiner sein als der Preis einer Europäischen Option mit denselben zugrunde liegenden
Werten. Andererseits werden wir aber gleich sehen, dass es sehr wohl Fälle gibt, wo diese zusätzlichen
Ausübungsmöglichkeiten keine Verbesserung im Vergleich zur Europäischen Option liefern. Dies ist etwa
bei Standard Call-Optionen der Fall.
Lemma 9.7. Seien {U t } t≤T
die Preise einer Amerikanischen Option mit Payoff {Z t } t≤T
und {C t }
die Preise einer Europäischen Option mit Payoff Z T zum Zeitpunkt T .
Dann gilt U t ≥ C t f.s. ∀t = 0, . . . , T und aus C t ≥ Z t ∀t folgt U t = C t ∀t f.s.
}
{ }
Beweis. Sei Q ein Martingalmaß.
{Ũt ist ein Q-Supermartingal, ˜Ct ist ein Q-Martingal und ŨT =
˜C T = ˜Z T . Daher gilt Ũt ≥ E[ŨT |F t ] = E[ ˜C T |F t ] = ˜C t ∀t f.s.
Wenn C t ≥ Z t , so auch ˜C t ≥ ˜Z t , das Martingal ˜C t dominiert also ˜Z t . Da Ũt das kleinste Supermartingal
ist, das ˜Z t dominiert, gilt Ũt ≤ ˜C t , gemeinsam mit der ersten Aussage des Lemmas also Ũt = ˜C t .
Lemma 9.8. Sei das Bankkonto {B t } eine deterministische, nicht fallende Folge. Dann sind die
Preise einer Europäischen und einer Amerikanischen Call-Option äquivalent.
Beweis. Sei Q ein Martingalmaß. Der Payoff zur Zeit t ist Z t = (S t − K) + . Damit
˜C t = E Q [(
˜ST − K/B T
) +
|Ft ] ≥ E Q [ ˜S T − K/B T |F t ]
Mart.maß
=
B T determ.
˜S t − K/B T
Daher ist C t ≥ S t − KB t /B T ≥ S t − K sowie C t ≥ 0, insgesamt also C t ≥ (S t − K) + . Der Beweis folgt
nun unmittelbar aus dem vorigen Lemma 9.7
Bemerkung 9.4. Die Äquivalenz der Preise von Europäischen und Amerikanischen Optionen bei deterministischem
Zins gilt nur für Call-Optionen, bei Put-Optionen gilt sie z.B. nicht mehr!
9.4.1 Übungsaufgaben
Bsp. 9.1) Sei τ : Ω → I eine Stoppzeit mit I = {0, . . . , T } oder I = N. Zeige:
(a) Ist {X t } t∈I adaptiert, dann ist auch {X τ t } t∈I adaptiert.
(b) Ist {X t } t∈I ein Martingal, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Martingal.
(c) Ist {X t } t∈I ein Sub-/Supermartingal, dann ist auch {X τ t } t∈I ein Sub-/Supermartingal.