Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

S ddd
S dddd = d 4 S 0 N 4 = 0
KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 26
(x 1 , . . . , x T ) beschreibt dann einen Pfad im Baum, wobei x i = 1 ein Schritt nach oben und x i = 0 ein
Schritt nach unten bedeutet. Insgesamt gibt es daher |Ω| = 2 T Pfade.
6.1.1 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell als Spezialfall
Definition 6.2 (Cox-Ross-Rubinstein Binomialmodell). Das Binomialmodell von Cox, Ross
und Rubinstein ist der Zeit-homogene Spezialfall des Binomialmodells, in dem u t = u∀t und d t = d∀t,
sowie r t = r mit e rt = (1 + R)∀t gewählt wird.
Aus dem Binomialbaum mit 2 T verschiedenen Endwerten zum Zeitpunkt T wird damit ein Gitter ( ”
Binomial
lattice“, manchmal auch als ”
Recombining binomial tree“ bezeichnet) mit T + 1 verschiedenen
Endwerten zum Zeitpunkt T . Ein Pfad kann nun beschrieben werden durch einen modifizierten Bernoulli-
Prozess ( ”
T -facher Münzwurf“): {X t , t = 1, . . . , T } ist ein stochastischer Prozess, wobei die X 1 , . . . , X T
unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen auf {0, 1} mit P(X 1 = 1) = P(X 2 = 1) = · · · = 1−P(X 1 = 0) = p.
u
S u
S uuu
S uuuu = u 4 S 0 N 4 = 4
S uu S uuud = u 3 dS 0 N 4 = 3
S uud
S 0 S ud S uudd = u 2 d 2 S 0 N 4 = 2
d
S d
u
d
u
d
u
d
u
d
u
S udd
S dd S uddd = ud 3 S 0 N 4 = 1
d
Bemerkung 6.1. Die Reihenfolge, in der die up- und down-Bewegungen vor sich gehen, ist für den Wert
des Prozesses irrelevant. Insbesondere ist S ud = S du .
Wahrscheinlichkeitsmaß für Pfad ω = (x 1 , . . . , x T )
Definiere den Zählprozess N t (ω) = X 1 (ω) + · · · + X t (ω), der die Anzahl der Sprünge nach oben zählt.
Insbesondere charakterisiert er auch den Wert des Pfades zum Zeitpunkt t und damit die Position im
Gitter, unabhängig vom Verlauf des Pfades bis zum entsprechenden Punkt. Es gilt:
E[N t ] = ∑ E[X i ] = tp
V ar[N t ] unabh.
= ∑ V arX i = tp(1 − p)
Man sieht nun, dass für t = 1, . . . die Verteilung von N t gegeben ist durch:
( t
P(N t = n) =
p
n)
n (1 − p) t−n , n = 0, 1, . . . , t
} {{ }
} {{ } n mal nach oben,
#Pfade
(t − n) mal nach unten
mit N t = n
Lemma 6.1. Die Verteilung von N t , die auch die Verteilung der Werte S t des Assets zu t beschreibt,
ist die Binomialverteilung:
( t
P(N t = n) = P(X t = S 0 u n d t−n ) = p
n)
n (1 − p) t−n