Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 10
Optimale Portfolios und
Martingalmethoden
Großteils nach Pliska [Pli97, Kap. 5.2 und 5.4]
Betrachte eine Nutzenfunktion u(w, ω) : R × Ω → R (differenzierbar, konkav, streng monoton steigend).
Das Anfangskapital ν sei gegeben.
Problem 3. Finde eine selbstfinanzierende Handelsstrategie H mit Anfangswert V 0 = ν mit
max E[u(V T )] = ∑ ω∈Ω
P(ω)u(V T (ω), ω)
unter V 0 = ν, H ∈ H
Problem 4 (äquivalente Formulierung).
max E[u(B T (ν + ˜G T ))]
unter H ∈ H − p (vorhersagbare Handelsstrategie in R T )
Definition 10.1. Die Menge aller mit dem Anfangskapital ν erreichbaren Kapitale sei W ν =
{
W ∈ R k : ∃H ∈ H mit V 0 = ν }
Bemerkung 10.1. Ist das Modell vollständig, so gilt W ν = { W ∈ R k |E Q [W/B T ] = ν } .
Problem 5 (alternative Formulierung).
max Eu(W )
unter W ∈ W ν
Die Lösung von Problem 5 erfolgt z.B. mittels Lagrange-Multiplikator:
[ ] [
W
max Eu(W ) − λE Q = max E u(W ) − λ W ]
Q
= max ∑ [
P(ω) u(W (ω)) − λL(ω) W (ω) ]
B T B T }{{}
P
B T (ω)
ω∈Ω
=:L
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