Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 9
Amerikanische Optionen im
diskreten Modell
Dieses Kapitel richtet sich zu einem großen Teil nach Lamberton und Lapeyre [LL96].
Definition 9.1 (Amerikanische Optionen). Eine amerikanische Option mit Ausübungszeitpunkt
T ∈ R kann zu jedem Zeitpunkt t ∈ {0, 1, . . . , T } ausgeübt werden. Der Payoff zu t ist Z t , wobei
{Z t } t∈{0,...,T }
ein nicht-negativer, (F t ) t∈{0,...,T }
-adaptierter Prozess ist.
Beispiel 9.1.
1. Amerikanische Call-Option, Strike K, Payoff Z t = (S t − K) +
2. Amerikanische Put-Option, Strike K, Payoff Z t = (K − S t ) +
Ziel. Zusätzlich zur Bestimmung des fairen Preises wie bei Europäischen Optionen (die nur zu einem
fixen Zeitpunkt T ausgeübt werden konnten), stellt sich bei amerikanischen Optionen auch die Frage
nach dem optimalen Zeitpunkt der Ausübung (als Stoppzeit; zu t muss entschieden werden können, ob
die Option jetzt ausgeübt werden soll).
Betrachte den Preis {U t } 0≤t≤T
der Option, basierend auf dem Payoff {Z t } 0≤t≤T
. Zum Zeitpunkt T ist
der Preis trivialerweise gleich dem Payoff:
U T = Z T
Sei Q ∈ M ∞ t ein Martingalmaß. Dann ist B T −1 E Q [U T /B T |F T −1 ] ein fairer Preis zum Zeitpunkt T − 1
des Payoffs (zu T ). Allerdings hat man zum Zeitpunkt T − 1 auch die Wahl, die Option gleich auszuüben,
wenn dies zu einem besseren Ergebnis führt. Daher ergibt sich also der Preis zu T − 1 der Option als
{
}
U T −1 = max
Z T −1
} {{ }
Ausübung zu T − 1
[ ∣ ]
UT ∣∣∣
, B T −1 E Q F T −1
B T
} {{ }
warten
Induktiv erhält man aufgrund derselben Argumentation für jeden Zeitpunkt t = 0, 1, . . . , T − 1 den Preis
{ [ ∣ ]}
Ut+1 ∣∣∣
U t = max Z t , B t E Q F t
B t+1
Ergebnis 2. Für den diskontierten Preis Ũt = U t /B t einer amerikanischen Option mit diskontiertem
Payoff ˜Z t = Z t /B t gilt
Ũ T = ˜Z T
Ũ t = max
{
˜Zt , E Q
[Ũt+1
∣ ∣∣ Ft
]}
.
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