Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 10
Betrachte nun einen CC X(ω 1 ) = X(ω 2 ) = X(ω 3 ) = 5. Gesucht ist damit die Handelsstrategie H =
(H 0 , H 1 , H 2 ) mit
5 =H 0 B 0 +H 1 ˜S(1) 1 (ω 1)+H 2 ˜S(2) 1 (ω 1) =1H 0 +3H 1 +7H 2
5 = =1H 0 +5H 1 +5H 2
5 = =1H 0 +7H 1 +3H 2
Die Lösung ist H 0 = 5 − 10H 2 und H 1 = H 2 , insbesondere also H = (5 − 10λ, λ, λ). Mögliche Portfolios
zur Replizierung sind z.B. H = (5, 0, 0) (nur Investition ins Bankkonto) oder H = (0, 1 2 , 1 2
) (nur in
risikobehaftete Assets). Das replizierende Portfolio ist also i.A. nicht eindeutig (der Preis jedoch schon,
auch in diesem Fall!)
Beispiel 1.11. Ändere im letzten Beispiel nun
˜S
(2)
1 (ω 3) = 5 und ˜X(ω 3 ) = 7. Das GS lautet nun
ω 1 : 5 =5H 0 +3H 1 +7H 2
ω 2 : 5 =5H 0 +5H 1 +5H 2
ω 3 : 7 =5H 0 +7H 1 +5H 2
und besitzt die Lösung H 0 = −1, H 1 = H 2 = 1. Die Handelsstrategie H = (−1, 1, 1) ist insbesondere in
diesem Fall eindeutig, da die Koeffizientenmatrix vollen Rang besitzt.
Frage. Was ist der (faire) Preis p eines erreichbaren CC X zum Zeitpunkt t = 0?
Man sieht leicht, dass es eine Arbitrage-Möglichkeit gibt, wenn p ≠ V 0 gilt:
p > V 0 : Verkaufe einen Claim zum Zeitpunkt t 0 = um p, investiere V 0 ins replizierende Portfolio, welches
genau die nötige Auszahlung abdeckt. Die Differenz p − V 0 kann als risikoloser Gewinn eingestreift
werden.
p < V 0 : Verfahre genau umgekehrt (Investiere in Claim und gehe einmal das replizierende Portfolio short).
Wenn p = V 0 , existiert keine Arbitrage mit der replizierenden Handelsstrategie H. Die Frage ist jedoch,
ob eine solche replizierende Handelsstrategie überhaupt existiert. Mehr dazu im Abschnitt 1.5.
Lemma 1.9. Sei Q ein risikoneutrales Maß. Dann gilt für jede Handelsstrategie H:
V 0 = E Q [Ṽ1]
Def. G
Beweis. V 0 = E Q [Ṽ1 − ˜G]
[ ∑N
= E Q [Ṽ1] − E Q n=1 H n∆ ˜S
]
n = E Q [Ṽ1] − ∑ N
n=1 H n E Q [∆ ˜S n ] = E Q [Ṽ1]
} {{ }
=0
Das Gesetz des eindeutigen Preises ist also für alle Claims sicher erfüllt, für die eine replizierende Handelsstrategie
existiert. Mit anderen Worten: Jede Handelsstrategie, die den Claim erzeugt, hat denselben
Preis, vorausgesetzt es existiert ein risikoneutrales Maß.
Bemerkung 1.12. Aus V 0 = E Q [Ṽ1] folgt nun die Arbitrage-Freiheit: Wenn es nun einen Zustand ω ∈ Ω
gibt mit Ṽ1(ω) > V 0 , dann muss es auch einen Zustand ¯ω ∈ Ω geben, sodass Ṽ1(¯ω) < V 0 . Wenn also die
Möglichkeit auf einen Gewinn besteht, muss es ebenso die Möglichkeit eines Verlustes geben.
Lemma 1.10. Wenn das Gesetz des eindeutigen Preises erfüllt ist, dann ist der faire Preis des
Contingent Claims X mit replizierendem Portfolio H zum Zeitpunkt t = 0 genau der Wert des
replizierenden Portfolios zu t = 0:
V 0 = H 0 B 0 +
N∑
n=1
H n S (n)
0