Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 35
1. d t > 0 f.s., daher auch Y t > 0 f.s. ∀t = 1, . . . , T
2. d t ist F t -messbar, daher auch Y t ∀t = 1, . . . , T
[ [ ∣ ]
]
Def Zt+1 ∣∣∣
3. E P [d t+1 |F t ] = E P E P ˜St+1 ,
Z ˜S t t
∣ F t
} {{ }
E P
[
E P [Z t+1 /Z t | F t ]
} {{ }
= 1 Z t
E P [Z t+1|F t] Mart. = 1 Z t
Z t=1
=h( e S t, e S t+1)
]
∣ ˜St = 1. Daher gilt
Lem. 7.2
= E P [h( ˜S t , ˜S t+1 )| ˜S t ]= 1 E P [Z t+1 /Z t | ˜S t ]
[ ∣ ]
Yt+1 ∣∣∣
E P F t = 1 ,
Y
} {{ t
}
d t+1
bed.EW
=
weshalb Y t ein P-Martingal ist und daher E P [Y T ] = E P [Y 0 ] = E P [Z 0 ] = 1 erfüllt.
Insgesamt wird also durch dQ
dP = Y T ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Q ∼ P definiert.
Martingaleigenschaft von ( ˜S 0 , . . . , ˜S T ) bezüglich Q:
E Q [ ˜S t+1 |F t ] Bayes
= E P[Y t+1 ˜St+1 |F t ] [Y t+1
= E P
E P [Y t+1 |F t ] Y
} {{ } } {{ t
}
=Y t
d t+1
˜St+1
∣ ∣Ft
]
Lemma mit
h( e S t, e S t+1)=
d t+1 e St+r
= EP
[
d t+1 ˜St+1 | ˜S t
]
eS t+1 ist [ [ ∣ ]∣ ] [ ∣ ] [
eS t+1-mb Zt+1 ∣∣∣ ∣∣∣
= E P E P ˜St ,
Z ˜S
Zt+1 ∣∣∣ 1
t+1 ˜St = E P
˜St+1 ˜St = E P E P [Z t+1 ˜St+1 |F t ]
t Z t Z
} t
{{ }
= E P [ ˜S t | ˜S t ] = ˜S t .
Bayes
= E Q ′ [ e S t+1|F t] Q′ -Mart.
Markov-Eigenschaft von ( ˜S 0 , . . . , ˜S T ) bezüglich Q: Sei g : R d → R beschränkt und messbar.
E Q [g( ˜S t+1 |F t ] Bayes
= E P[Y t+1 g( ˜S t+1 )|F t ]
E P [Y t+1 |F t ]
} {{ }
= E P [d t+1 g( ˜S t+1 )
} {{ }
=:h( S
Y e t, S e t+1)
t
|F t ] Lemma
= E P [d t+1 g( ˜S t+1 )| ˜S t ] = . . .
= e S t
∣ ∣∣∣ ˜St
]
· · · = E Q [g( ˜S t+1 )| ˜S t ]
Korollar 7.4. Der Preis im Zustand F ∈ E hängt nicht von der Vergangenheit ab, sondern nur vom
momentanen Zustand:
Def. MM [ ∣ ∣∣ ] ME [ ∣ ∣∣ ]
˜S t = E Q ˜St+s Ft = EQ ˜St+1 ˜St ∀t, s
}{{}
}{{}
gesamter
Knoten im
bish. Verlauf
Baum/Gitter
Beispiel 7.2. Das Binomialmodell ist ein Spezialfall des Markov-Modells.
Bemerkung 7.5 (Faktormodell). Obige Eigenschaften gelten nur für deterministischen Zins r m . Ist das
Bankkonto nicht deterministisch, sondern stochastisch, ist ˜S t i.A. keine Markovkette mehr (auch wenn
B t ein Markov-Prozess ist!).
Mögliche Lösung in diesem Fall: Marktmodell mit zugrunde liegendem Faktorprozess X (Markov-Prozess),
von dem das Bankkonto abhängt (z.B. Preise aller relevanten Wertpapiere).
1 Da σ( e S t) ⊂ σ( e S t, e S t+1 )