Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 17
Die Kenngröße, um die Auswahl eines Portfolios zu optimieren ist nun der erwartete Nutzen des Endwertes:
EU(V 1 ) = ∑ ω∈Ω
P(ω)U(V 1 (ω), ω)
Bemerkung 1.16. Oft wird angenommen, dass der Nutzen eines Betrages w nicht vom Marktzustand ω
abhängig ist, also U(w, ω) = U(w).
Bemerkung 1.17. Der erwartete Nutzen muss bezüglich der tatsächlich eintretenden Wahrscheinlichkeiten
bestimmt werden! Als Daumenregel kann man sich merken:
• Geht es um die Bestimmung des Preises (der sich ja aufgrund der No-Arbitrage Bedingung aus den
Preisen der am Markt verfügbaren Assets ergibt), ist ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Q
für den Erwartungswert zu benutzen. Hierfür werden die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten P der
einzelnen Marktzustände gar nicht benötigt!
• Geht es jedoch um tatsächliche Auszahlungen, ist sehr wohl das tatsächliche Wahrscheinlichkeitsmaß
P zu benutzen.
Definition 1.21. H bezeichne die Menge aller Handelsstrategien.
Problem 1 (Optimales Portfolio-Problem). Sei ν ∈ R das Anfangskapital. Gesucht ist die Handelsstrategie
H ∈ H mit
max EU(V 1) (1.1)
H∈H
unter V 0 = ν (1.2)
Problem 2 (Alternative Formulierung des Optimalen Portfolio-Problems). Mit den Definitionen
V 1 = B 1 Ṽ 1 = B 1 ·
(Ṽ0 + ˜G
)
sowie durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung
ergibt sich eine alternative Formulierung
[ (
)]
N∑
max E U B 1 · (ν + H i ∆ ˜S (n) )
(1.3)
H∈H
i=1
Lemma 1.17. Wenn (1.1) oder (1.3) eine Lösung besitzt, gibt es keine Arbitrage-Möglichkeit (und
damit ein RNM). Äquivalent dazu ist die Aussage: Existiert eine Arbitrage-Möglichkeit, hat (1.1)
keine Lösung und der Nutzen kann beliebig erhöht werden.
Beweis. Wir werden die zweite Formulierung beweisen. Sei Ĥ optimal und H eine Arbitrage-Möglichkeit.
Betrachte die Handelsstrategie ¯H = Ĥ + H:
N∑
ν + ¯H n ∆ ˜S
N∑
(n) = ν + Ĥ n ∆ ˜S
N∑
N∑
(n) (n)
(n)
+ H n ∆ ˜S ≥ ν + Ĥ n ∆ ˜S
n=1
n=1
n=1
} {{ }
≥0
Die Ungleichung ist wegen der Definition einer Arbitrage-Möglichkeit H für mindestens ein ω ∈ Ω strikt,
was einen Widerspruch zur Optimalität von Ĥ darstellt.
n=1