Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 7
Markov Modelle
Dieser Abschnitt hält sich in groben Zügen an [Pli97] und [Sch02], für tiefer gehende Theorie zu Markov-
Ketten, siehe [Wil91].
Sei (E, E) der Zustandsraum (messbar) und (Ω, F, {F t } t∈I
, P) mit I ⊆ R ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 7.1. Ein adaptierter stochastischer Prozess {X t }, X t : Ω → E, ist ein Markov-Prozess
bezüglich der Filtration {F t } t∈I
, wenn
P (X t+1 = j|F t = σ(X 1 , . . . , X t )) = P (X t+1 = j|X t ) ∀j ∈ E, ∀t ∈ I .
(⇔ P (X t+s = j|F t ) = P (X t+s = j|X t ) ∀s
(⇔ ∀s, t ∈ I, s < t : P (X t ∈ F |F s ) = P (X t ∈ F |X s ) P-f.s.∀F ∈ E) (7.1)
Bemerkung 7.1. Die Relation (7.1) wird Markov-Eigenschaft genannt.
Interpretation. Die Zukunft X t hängt von der Vergangenheit (F s ) s≤t
nur durch den momentanen Zustand
X s ab, nicht durch den gesamten bisherigen Verlauf σ(X 1 , . . . , X s ).
Definition 7.2 (homogener bzw. stationärer Markovprozess). Ein Markov-Prozess heißt homogen
oder stationär, wenn
P (X t+u ∈ F |X t ) = P (X s+u ∈ F |X s ) ∀s, t ∈ I∀u .
Die Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Zeitschritt können dann als Matrix P dargestellt werden
mit Einträgen
P(i, j) = P(X t+1 = j|X t = i), i, j ∈ E .
Die Übergangswahrscheinlichkeiten für n Zeitschritte ergeben sich als die Einträge der n-ten Matrixpotenz
von P: P i,j (n) = (P n ) i,j
.
Beispiel 7.1. Der Random Walk S n = Y 1 + Y 2 + · · · + Y n = S n−1 + Y n mit (Y i ) i∈R unabhängige identisch
verteilte Zufallsvariablen ist ein (homogener) Markovprozess.
Lemma 7.1. Die Markoveigenschaft (7.1) ist äquivalent zu E P [g(X t )|F s ] = E P [g(X t )|X s ] P-f.s. für
alle E-messbaren Funktionen g : E → R, die beschränkt oder nicht-negativ sind.
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