Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Inhaltsverzeichnis
1 Das Ein-Perioden-Modell 1
1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 dominierende Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Lineare Preismaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Gesetz des eindeutigen Preises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Bewertung von Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Vollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Unvollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Risiko und Ertrag (Return) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Optimale Portfolios, Zulässigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Wh. Wahrscheinlichkeitstheorie 21
3 Mehr-Perioden-Modell in diskreter Zeit 22
4 Wh. Martingaltheorie 23
5 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 24
6 Das Binomialmodell 25
6.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1.1 Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell als Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Arbitrage-Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Bepreisung im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Verteilung des Maximums im Binomialmodell (Reflection Principle) . . . . . . . . . . . . 30
6.5.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Markov Modelle 33
7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8 Grenzübergang im Binomialmodell: Das Black-Scholes Modell 37
8.1 Schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz in schwacher Formulierung . . . . . . . . . 37
8.2 Reskalierung des Binomialmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3 Die Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.3.1 Ableitung der Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9 Amerikanische Optionen im diskreten Modell 42
9.1 Die Snell-Envelope (Snell’sche Einhüllende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2 Zerlegung von Supermartingalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3 Anwendung auf Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.4 Zusammenhang der Preise von Amerikanischen und Europäischen Optionen . . . . . . . . 46
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