Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMIALMODELL: DAS BLACK-SCHOLES MODELL 39
Betrachte den diskontierten Aktienpreis nach m Schritten der Größe T m :
˜S m = S 0
e
} −rT
{{ }
u Nm
m
(e −rm )m
d m−Nm
m
einfügen
= S 0 e −rT exp
(
= S 0 e −rT exp N
}{{} m log u )
m
+ m log d m
= P d m
X i
E[N m]
{}}{
mq
(
Nm −
√
mq(1 − q)
} {{ }
√ Var Nm
√
} {{ }
=:Nm ∗ ... ZV
m
√
q(1 − q) log
u m
d m
} {{ }
(△)
+ mq log u )
m
+ m log d m
d
} m
{{ }
(□)
Die einzelnen Terme berechnen sich durch Einsetzen der Definitionen und der Taylor-Approximation zu
√
(△) = √ [ √
β α
T
m
(α + β)
α + β α + β
m − 1 2 (α + β)(α − β) T ( ) ]
1
m + O m 3/2
= √ [ ( √T 1 T 1
αβ − (α − β) √ + O
} {{ } 2 m m)]
σ
Insgesamt also
(□) = mq log u m
+ m log d m = mq log u m + m(1 − q) log d m
d m
mq log u m = rT q + qα √ ( )
T m − α2
1
2 qT + O √ m
m(1 − q) log d m = rT (1 − q) − β(1 − q) √ T m − 1 2 β2 (1 − q)T + O
˜S m = S 0 exp(−rT ) exp
( [ √T
Nmσ
∗ 1 −
T
(α − β)
2
(
α 2 q + β 2 (1 − q) ) + O
( 1
√ m
))
( 1
√ + O m m)]
− T 2
(
= S 0 exp Nmσ √ ( ( )) 1
∗ T 1 + O √ + √ ( αβ
T m
m
(
= S 0 exp Nmσ √ ( ( )) 1
∗ T 1 + O √ − T m 2 σ2 + O
( ) 1
√ m
+ rT + √ T m (qα − β(1 − q))
α + β − βα )
− T ( α 2 )
β
α + β 2 α + β + β2 α
α + β
} {{ } } {{ }
=0
=αβ α+β
( 1
√ m
))
α+β =σ2 +O
( 1
√ m
))
Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt Nm
∗
√
T N
∗
m
Außerdem gilt Nmσ √ ( ) (
∗ 1
T O √ m
+ O
Insgesamt
N ∗ mσ √ T
w
−−−−→ W 1 ∼ N (0, 1). Daher
m→∞
w
−−−−→
m→∞ W T ∼ N (0, T ) .
)
√1
L 2 ,P
m m→∞
(
1 + O
˜S m
−−−−→
( 1
√ m
))
+ O
0 und daher
( ) 1
√ m
(
w
−−−−→ S 0 exp σW t − 1 )
m→∞
2 σ2 T
w
−−−−→ σW T
m→∞
(8.1)
Korollar 8.3. Der diskontierte Preis zur Zeit t im skalierten Binomialmodell mit m Zeitschritten der
Größe T m
konvergiert schwach (bzw. in der Verteilung) gegen die geometrische Brown’sche Bewegung
S 0 exp ( σW t − 1 2 σ2 T ) zur Zeit T .