Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 30
Die Option ist in the money“ genau dann, wenn
”
(
S T ≥ K ⇔ S 0 u N T
d T −N T u
) ⌈
NT
K
≥ K ⇔ ≥
d S 0 d T ⇔ N log(K/S0 d T ⌉
)
T ≥ n k =
log(u/d)
Der Wert der Option beträgt damit
C 0 = e −rT
∑
T (
S0 u n d T −n − K ) ( )
T
q n (1 − q) T −n
n
n=n k
Bemerkung 6.7. Die rekursive Berechnung wie im letzten Abschnitt und die direkte Berechnung über den
gesamten Erwartungswert sind aufgrund der Linearität des Erwartungswerts äquivalent.
6.5 Verteilung des Maximums im Binomialmodell (Reflection
Principle)
Betrachte den Spezialfall u · d = 1, d.h. ”
up“ und ”
down“ heben sich genau auf, womit der Aktienkurs
sich vereinfacht zu
S t = S 0 u 2Nt−t .
Definiere Y T = max {S t : t = 0, 1, . . . , T } mit Werten aus { S 0 , S 0 u, . . . , S 0 u } T als das Maximum des
Kurses bis zum Zeitpunkt T .
Ziel. Unser Ziel ist nun die Bestimmung der Verteilung von Y T , also P(Y T
i für ein i) für i = 0, 1, . . . , T .
≥ S 0 u i ) = P(2N t − t ≥
Bei der Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung werden wir einen sehr nützlichen Trick, das
Reflection Principle“ anwenden, welches uns eine Bijektion zwischen Pfaden liefert, die an einem bestimmten
Level gespiegelt sind. Dasselbe Prinzip kann auch z.B. für die Bestimmung des Maximums der
”
Brown’schen Bewegung benutzt werden.
Lemma 6.4 (Verteilung des Maximums im Binomialgitter). Das Maximum Y t eines Pfades
im Binomialgitter besitzt die Verteilung
P(Y t ≥ S 0 U i ) =
( T
T +i
mit n ∗ = min { }
i ∈ R, i > T +i
2 .
2
)
p T +i
T −i
2 (1 − p) 2
} {{ }
=0, wenn T + i ungerade
+
T∑
n=n ∗ ( T
n
) [p n (1 − p) T −n + p T +i−n (1 − p) n−i]
Beweis. Betrachte alle Pfade, die S 0 u i erreichen und definiere τ i = min {t : 2N t − t = i} als den ersten
Zeitpunkt, zu dem S 0 u i erreicht wird. Nach Voraussetzung gilt τ i ≤ T . Wähle i = 0, . . . T fix und betrachte
drei disjunkte Fälle für den Endzeitpunkt:
1. 2N T − T = i (nur möglich, wenn i = T, T − 2, T − 4, . . . )
2. 2N T − T > i
3. 2N T − T < i, aber Y t ≥ S 0 u i
Bei Fall 1 und 2 erreicht der Pfad automatisch S 0 u i . Die Verteilung des Maximums kann daher zerlegt
werden in
P(2N t − t ≥ i für ein i) = P(2N T − T = i) + P(2N T − T > i) + P((2N T − T < i) ∧ (τ i ≤ T ))
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Terme lassen sich getrennt bestimmen: