Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

Brandenburgische Technische Universität Cottbus
Fakultät Maschinenbau,
Elektrotechnik und Wirtschaftsingenieurwesen
EINSATZ EINES KOMMERZIELLEN STRÖMUNGSLÖSERS
ZUR NUMERISCHEN BERECHNUNG DER
FLUIDSTRÖMUNG BEI DER FILMKÜHLUNG IN
GEBIETEN MIT VERZÖGERTER HAUPTSTRÖMUNG
Diplomarbeit von
cand. ing. Stefan Bischoff
Cottbus, im Februar 1999
angefertigt und vorgelegt am
Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen & Flugantriebe
Prof. Dr.-Ing. H. P. Berg
Betreuer:
Dipl.-Ing. Roland Dückershoff

I. EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG
Ich versichere, die vorliegende Studienarbeit allein angefertigt und keine anderen außer den
angegebenen Hilfsmitteln verwendet zu haben.
Cottbus, den 28.02.99
Stefan Bischoff
2

II. INHALTSVERSZEICHNIS
I. EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG ....................................................................................... 2
II. INHALTSVERSZEICHNIS ........................................................................................................ 3
III. VERWENDETE FORMELZEICHEN ...................................................................................... 5
IV. NUMERISCHE SIMULATION UND FILMKÜHLUNG........................................................ 8
1 EINLEITUNG................................................................................................................................8
1.1 Untersuchungsmethoden........................................................................................................ 8
1.2 Aufgabestellung...................................................................................................................... 9
2 NUMERISCHE STRÖMUNGSLÖSUNG – COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS.............................. 9
2.1 IGG V3.6 – interactiv grid generator .................................................................................. 10
2.2 Euranus flow solver V4.3..................................................................................................... 11
2.3 Gleichungssysteme............................................................................................................... 12
2.4 Koordinatentransformation ................................................................................................. 16
2.5 Zeitabhängigkeit der Erhaltungsgleichungen...................................................................... 18
2.6 Diskretisierungstechniken.................................................................................................... 18
2.6.1.1 Explizite Methode................................................................................................... 19
2.6.1.2 Implizite Methode................................................................................................... 20
2.7 Erzeugung von Turbulenz .................................................................................................... 20
2.8 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung ................................................................. 22
2.9 Turbulenzmodelle................................................................................................................. 24
2.9.1 Nullgleichungs-Modell – Baldwin-Lomax-Modell..................................................... 25
2.9.2 Zweigleichungs-Modell - k-ε Modell.......................................................................... 28
2.9.3 Turbulenzmodelle von FINE/TURBO V3.0 ............................................................... 30
2.10 Anfangs- und Randbedingungen .......................................................................................... 31
2.10.1 Anfangsbedingungen................................................................................................... 31
2.10.2 Randbedingungen........................................................................................................ 31
2.10.2.1 Ein- und Ausströmrand........................................................................................... 32
2.10.2.2 Festkörperrand ........................................................................................................ 32
2.10.2.3 Innere Randbedingungen ........................................................................................ 33
2.10.2.4 Externe Randbedingung.......................................................................................... 33
2.11 Rechenverfahren .................................................................................................................. 33
2.12 CVF V3.7-31-computational field visualization .................................................................. 36
2.13 Residuum.............................................................................................................................. 37
3

3 MODELLRECHNUNGEN ............................................................................................................. 37
3.1 Kanalströmung..................................................................................................................... 37
3.1.1 Randbedingungen........................................................................................................ 38
3.1.2 Rechennetz und Turbulenzmodell............................................................................... 39
3.1.3 Rechnung..................................................................................................................... 40
3.1.4 Ergebnisse ................................................................................................................... 40
3.1.5 Bewertung ................................................................................................................... 44
3.2 AGTB-Kaskade .................................................................................................................... 44
3.2.1 Randbedingungen........................................................................................................ 46
3.2.2 Rechennetz und Turbulenzmodell............................................................................... 48
3.2.3 Rechnung..................................................................................................................... 49
3.2.4 Ergebnisse ................................................................................................................... 50
3.2.5 Bewertung ................................................................................................................... 66
3.3 Plattenumströmung.............................................................................................................. 66
3.3.1 Plattenumströmung ohne Ausblasung......................................................................... 68
3.3.1.1 Randbedingungen ................................................................................................... 68
3.3.1.2 Rechennetz und Turbulenzmodell .......................................................................... 69
3.3.1.3 Rechnung ................................................................................................................ 69
3.3.1.4 Ergebnisse............................................................................................................... 69
3.3.1.5 Bewertung............................................................................................................... 90
3.3.2 Plattenumströmung mit Ausblasung ........................................................................... 92
3.3.2.1 Mischung von Kühlluftströmung und Hauptströmung ........................................... 92
3.3.2.2 Einflußfaktoren ....................................................................................................... 94
3.3.2.3 Adiabate Filmkühleffektivität................................................................................. 97
3.3.2.4 Randbedingungen ................................................................................................... 98
3.3.2.5 Rechennetz und Turbulenzmodell .......................................................................... 99
3.3.2.6 Rechnung .............................................................................................................. 101
3.3.2.7 Ergebnisse............................................................................................................. 103
3.3.2.8 Bewertung............................................................................................................. 103
4 BEWERTUNG VON FINE/TURBO V3.0.................................................................................. 118
4.1 Anforderungen an die Hardware ....................................................................................... 118
4.2 Fehler im numerischen Strömungslöser ............................................................................ 119
5 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK .................................................................................... 121
V. LITERATUR ............................................................................................................................ 123
4

III. VERWENDETE FORMELZEICHEN
LATEINISCHE BUCHSTABEN
Symbol Bedeutung SI-Einheit
m& Massenstrom kg⋅s -1
q& Wärmestrom J⋅s -1
A Fläche m²
a Schallgeschwindigkeit m⋅s -1
c, v Strömungsgeschwindigkeit m⋅s -1
c P spez. Wärmekapazität bei const p J⋅kg -1 ⋅K -1
c V spez. Wärmekapazität bei const V J⋅kg -1 ⋅K -1
e innere Energie J⋅kg -1
h Enthalpie J·kg -1
k turbulente kinetische Energie m 2 ⋅s -2
l
Länge, Sehnenlänge, charakteristische
geometrische Größe
L turbulentes Längenmaß m
l k Kolmogorovsches Längenmaß m
m Masse kg
n Anzahl der Meßwerte -
n Exponent der Analogiefunktion -
p statischer Druck N⋅m²
P Prod turbulenter Produktionsterm Kg⋅m⋅s -3
q Wärme J
R spezielle Gaskonstante J⋅kg -1 ⋅K -1
r Radius mm
t Teilung -
t Zeit s
T statische Temperatur K
Tu Turbulenzgrad -
u, v, w
Geschwindigkeitskomponenten im
kartesischen Koordinatensystem
m
m⋅s -1
V Volumen m 3 5

x Lauflänge m
x, y, z Koordinaten des karthesischen Raums -
y + dimensionsloser Wandabstand -
VEKTOREN UND TENSOREN
Symbol
q r &
Bedeutung
Wärmestromvektor
R
q r & turbulenter Wärmestromvektor
τ
Schubspannungstensor
R
τ Reynoldt-Schubspannungstensor
v r
Geschwindigkeitsvektor
Q r , q r
Lösungsvektor
E r , F r r
, G Flußvektoren
E r , F r
, G r
. Viskose Flußvektoren
D
v
v
v
Determinante
GRIECHISCHE BUCHSTABEN
Symbol Bedeutung SI-Einheit
α Strömungswinkel °
β Strömungswinkel °
λ Wärmeleitfähigkeit
-1
W·K
-1·m
δ ij Kroneckersymbol -
ε
Dissipationsrate der turbulenten
kinetischen Energie
m²⋅s -3
ρ Stoffdichte Kg⋅m - ³
τ transformierte Zeitkoordinate -
ξ, η, ζ
transformierte Koordinaten des
numerischen Rechenraums
τ W Wandschubspannung N⋅m²
-
6

µ dynamische Viskosität
-1
Kg·m
-1·s
µ t Wirbelviskosität
-1
Kg·m
-1·s
µ‘ Volumenviskosität
-1
Kg·m
-1·s
ν Kinematische Viskosität m²/s
κ Isentropenexponent -
Ω physikalische Schwankungsgröße -
DIMENSIONSLOSE KENNZAHLEN
Symbol Bedeutung SI-Einheit
Ma = a/c Machzahl -
Pr = µ·c p /λ Prandtlzahl -
Re = v·L/ν Reynoldszahl -
INDIZES
Symbol
∞
Bedeutung
1, 2 Eintritt, Austritt
H
K
W
Umgebungsbedingung, außerhalb der
Grenzschicht
Hauptstrom
Kühlluftstrom
Wand
′, ″ Schwankungsgröße
¯, ˜ Mittelwert, gemittelt
t
krit
Turbulent
kritisch
7

IV. NUMERISCHE SIMULATION UND FILMKÜHLUNG
1 EINLEITUNG
Der Entwicklungsingenieur moderner Flugtriebwerke ist bestrebt, die Turbineneintrittstemperatur
der gewählten Verdichterförderhöhe anzupassen, um einen bestimmten
spezifischen Schub bzw. eine benötigte Wellenleistung realisieren zu können. Entsprechend
dieser Forderung erhöht er die Turbineneintrittstemperatur. Um die eingestellten hohen
Turbineneintrittstemperaturen von über 1700 K beherrschen zu können, sind ausgereifte
Kühlverfahren notwendig. Ein sehr effektives Kühlverfahren ist die Filmkühlausblasung. Es
bestehen jedoch gegenwärtig noch Unsicherheiten bei den Auslegungsmethoden, da die
auftretenden Strömungsformen im Bereich der Filmkühlung sehr komplex sind. Neben der
Steigerung des inneren Turbinenwirkungsgrades mittels Erhöhung der Turbineneintrittstemperatur
wird die Optimierung des Stufenwirkungsgrades der Turbine über eine
Steigerung der aerodynamischen Kenndaten der filmgekühlten Turbinenschaufel angestrebt.
Mit der Forderung nach größerer Strömungsumlenkung entsteht in der Turbinenstufe Gebiete
mit verzögerter Hauptströmung. Es wächst die Gefahr der Bildung lokaler Ablöseblasen. Für
diesen speziellen Fall verzögerter Hauptströmung, mitunter bei lokaler, kurzfristiger
Ablösung in der Turbine, sind umfassende Betrachtungen der Temperaturbelastung an der
Schaufel und der Wirkung des Kühlfilms notwendig. In Abhängigkeit von der Ausblaserate
M, der Ausblasegeometie und den externen Strömungsbedingungen an der Ausblasestelle
nimmt der Kühlfilm mehr oder weniger starken Einfluß auf lokale Verzögerungs- bzw.
Ablösegebiete. Für die Auslegung der filmgekühlten Turbinenschaufel benötigt der
Entwicklungsingenieur Angaben zur Filmkühleffektivität η stromab der Ausblaseöffnungen,
um die Wandtemperaturverteilung bestimmen zu können. Hierzu sind bereits ein Reihe von
Untersuchungen experimenteller und numerischer Art durchgeführt worden, über die Boehme
[10] in seiner Arbeit einen ausführlichen Überblick gibt.
1.1 Untersuchungsmethoden
Zur Untersuchung strömungsmechanischer Phänomene existieren heute drei methodische
Ansätze. Die Lösung des analytischen Ansatzes gelingt nur für einfache Sonderfälle, eine
Beschreibung komplexer Strömungen, wie sie in Turbomaschinen auftreten, ist mit ihm nicht
möglich.
Der praktische Ansatz geht auf die Untersuchung von Strömungen im Experiment zurück.
Wir verwenden unterschiedliche Geräte und Meßinstrumente um komplexe Strömungen am
Modell oder unter realen Bedingungen zu erfassen. Das Experiment liefert weitgehend
authentische Ergebnisse und wird auch noch heute als Maß für viele auf anderen Wegen
gewonnene Ergebnisse angesehen. Jedoch sind experimentelle Untersuchungen aufgrund des
hohen Rüstaufwands sehr teuer und zeitintensiv. Die durch die Meßmethodik festgelegten
Randbedingungen erzwingen oft Abstriche bei der Einhaltung der Ähnlichkeit von Geometrie,
8

Mach- oder Reynoldszahl. Die Meßtechnik kann unter Umständen aufgrund ihrer räumlichen
Abmessungen Strömungsphänomene stören bzw. verfälschen. Jedes Meßgerät verfügt auch
über eine begrenzte Auflösung, so daß kleinste interessierende Strömungsphänomene nicht
erfaßt werden können.
Mit der Entwicklung der digitalen Rechentechnik konnte der numerische Ansatz verwirklicht
werden. Die numerische Simulation ist heute ein leistungsfähiges Werkzeug um komplizierte
Strömungen bei einer Fülle von Parametervariationen in kurzer Zeit untersuchen zu können.
Sie liefert eine Fülle von Informationen, insbesondere bei der Berechnung dreidimensionaler
Strömungsfelder. Jedoch ist die genügende Diskretisierung des physikalischen Rechenraums
Voraussetzung für gute Ergebnisse. Diese stellt hohe Anforderungen an Speicherplatz und
Rechenleistung, insbesondere für die Untersuchung instationärer dreidimensionaler
Strömungen. Aktuelle Fragestellung der numerischen Simulation sind z.B. die Suche nach
Methoden, die zur Lösung des diskretisierten Strömungsproblems beitragen
(Mehrgitterverfahren, Multilevel- und Multiskalentechniken) sowie bei möglichst effektiver
Speicherplatzverwaltung das Strömungsproblem gut approximieren können (Adaptivität,
Fehlerschätzer), Griebel [16].
Weiteres Entwicklungspotential liegt in der Implementierung geeigneter Turbulenzmodelle in
den numerischen Strömungslöser, um Strömungsphänomene auch unter komplexen
geometrischen Bedingungen korrekt erfassen zu können. Problematisch ist in diesem
Zusammenhang die korrekte Berechnung der laminar-turbulenten Transition insbesondere in
Turbomaschinen.
1.2 Aufgabestellung
Im Rahmen der Diplomarbeit wird der kommerzielle Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 zur
numerischen Berechnung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung
eingesetzt. Das Ziel der Untersuchungen ist die sichere Berechnung des Strömungsfeldes bei
Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung. Unter Einhaltung der Reynoldschen
Ähnlichkeit soll dies sowohl für die kompressible Strömungsbedingung als auch
inkompressible Strömungsbedingung möglich sein.
2 NUMERISCHE STRÖMUNGSLÖSUNG – COMPUTATIONAL
FLUID DYNAMICS
Mit numerischen Strömungslösern ist die Berechnung der Erhaltungsgleichungen für Masse,
Impuls und Energie möglich. Die Erhaltungsgleichungen beschreiben das Strömungsfeld
unter Vernachlässigung der Volumenkräfte, also der Schwerkräfte sowie Kräften, die
aufgrund magnetischer Felder entstehen. Das Gleichungssystem der Erhaltungsgleichungen
ist analytisch nicht lösbar. Es stehen daher numerische Algorithmen und Methoden zu
Verfügung, um eine Lösung der Erhaltungsgleichungen zu erhalten.
9

Den physikalischen Raum diskretisieren wir in einen numerischen Rechenraum. Das
analytisch nicht lösbare System wird in ein approximiertes System algebraischer
Differenzengleichungen umgewandelt. Bei hinreichend kleinen Kontrolvolumina nähern sich
die Lösungen der Differential-Differenzengleichungen an, bis sie bei hinreichend kleinem
Kontrollvolumen mathematisch gleichwertig werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird der
kommerzielle Strömungslöser FINE /TURBO V3.0 eingesetzt.
Der Algorithmus zur numerischen Lösungsfindung für die Erhaltungsgleichungen läßt sich in
drei Prozesse unterteilen, wobei FINE/TURBO V3.0 für jeden Prozeß ein eigenes
Programmodul zu Verfügung stellt.
preprocessing – Diskretisierung und Definition
Der physikalische Rechenraum wird diskretisiert, d.h. in kleine Kontrollvolumina zerlegt. Es
werden Linien erzeugt, die über Knotenpunkte verbunden sind. Wir generieren ein Netz mit
entsprechenden Definitionen der Berandungen. Für diesen Arbeitsschritt steht uns in
FINE/TURBO V3.0 der IGG – Interaktiv Grid Generator zur Verfügung.
processing - Berechnung
Der numerische Algorithmus des Euranus-Codes löst das Gleichungssystem der algebraischen
Differentialgleichungen. Um den Lösungsfortschritt der Rechnung beurteilen zu können,
verwenden wir das Residuum unterschiedlicher Lösungsgrößen oder Differenzen zwischen
Eintritts- und Austrittsmassenstrom bzw. eingesetzter und berechneter Zustandsgrößen des
Strömungsfeldes. In FINE/TURBO V3.0 findet erst vor Beginn der Rechnung eine
Quantifizierung der Anfangs- und Randbedingungen statt. Dies macht insbesondere für die
Variationen der Anfangs- und Randbedingungen und unveränderten Definitionen der
entsprechenden Berandungen Sinn.
postprocessing – Auswertung
Der Arbeitsprozeß postprocessing macht uns die in der numerischen Simulation erzeugten
Daten zugänglich und ermöglicht es uns, die Qualität der Daten zu beurteilen. Das umfaßt
auch die Datenreduktion und Mittelung sowie Ableitung von Daten, die für die Auslegung
technischer System wichtig sind, z.B. Wirkungsgrade, Massenstrom. Im wesentlichen werden
kommerzielle Graphikprogramme für die Visualisierung der Daten verwendet.
2.1 IGG V3.6 – interactiv grid generator
IGG ist der interaktive Netzgenerator für dreidimensionale Netze. Er besteht aus drei
Modulen.
Geometrie –Modul
Das Geometrie-Modul ermöglicht den Import von CAD Daten, in der vorliegenden Version
des IGG V3.6 ist eine CAD - Computer Aided Design - Schnittstelle für IGES - Initial
Graphics Exchange Specification - vorgesehen, die sich definitionsgemäß nicht immer mit
10

konvertierten CAD-Dateien verträgt. Es sollen daher in Zukunft weitere hochwertige CAD-
Schnittstellen eingesetzt werden, z.B. STEP - Standard for the Exchange of Product Model
Data – um Konvertierungsfehler zu umgehen. Mit dem Geometrie-Modul erzeugen wir
Linien, Funktionen und Flächen. Es sind ähnliche logischen Funktionen wie in einem dreidimensionalen
CAD-System verfügbar, wobei wir in IGG nur ein absolutes
Koordinatensystem verwenden.
Topologie-Modul
Mit dem Topologie-Modul erstellen wir die Topologie des Diskretisierungsnetzes mit der
entsprechenden Netzpunktverteilung an den Kanten. Das Topologie-Modul ermöglicht die
Zerlegung komplexer Probleme in verschiedene strukturierte Blöcke, die miteinander
verbunden sind. Wir erhalten strukturierte Mehrblocknetze für strukturierte Netze.
Randbedingungs-Modul
Mit dem Randbedingungs-Modul wird die Art der Netzränder definiert. Wir können
Randbedingungen der folgenden Typen einstellen.
• inlet
• outlet
• mirror boundary
• periodic boundary
• solid boundary
• external boundary
Auf die verschiedenen Arten von Randbedingungen wird im Kapitel 2.10.2 näher
eingegangen.
2.2 Euranus flow solver V4.3
Der Strömungslöser basiert auf dem Euranus/Turbo-Code, der in Fortran 77 implementiert
wurde. Um den Code bedienerfreundlicher und übersichtlicher zu gestalten, wurde ein
grafisches Interface mit einer auf TCL/Tk - Tool Command Language / Tickle - basierenden
Kommandosprache geschaffen. Die Bedienoberfläche wird um ein zentrales Verzeichnis
organisiert, wobei eine Zweigstruktur um die Projektbasis die sukzessive Abarbeitung aller
Seiten mit den notwendigen Parametereinstellungen für die numerische Simulation durch den
Anwender sicherstellt. Die Einstellung und Auswahl der Parameter erfolgt mittels buttons
sowie Eingabefelder. Es ist das Arbeiten im normal oder expert Modus möglich. Der normal
Modus ist ein vereinfachter expert Modus. Es werden hier Voreinstellungen vorausgesetzt, die
im expert Modus frei verändert werden können, z.B. Wahl des Turbulenzmodells, Ordnung
des Runge-Kutta-Verfahrens etc. Im expert Modus ist im besonderen die Steuerung des
Strömungslösers über Integer- sowie Fließkommaparameter vorgesehen, eine direkte Form
der Einflußnahme auf den Euranus/Turbo-Code.
11

2.3 Gleichungssysteme
Die Erhaltungsgleichungen instationärer, reibungsbehafteter Strömungen lassen sich in einem
stetigen Strömungsfeld mit einem beliebigen, raumfesten Kontrollraum herleiten.
Exemplarisch soll am Beispiel der Masse die Kontinutätsgleichung bestimmt werden, Gl. 2.1.
der
∂
⋅ dV
∂t
∫∫∫ ρ
14243 V 4
zeitliche
Änderung
Masse im Kontrollraum
+
über
die
∫∫
A
r r
ρv
⋅ dA
14243
Massenfluß
Flächen des Kontrollraums
=
0
Gl. 2.1
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
Verwenden wir den Nabla-Operator ∇ = ⎜ + + ⎟ so können wir die Gl. 2.1 bei
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
vorausgesetzter stetiger Differenzierbarkeit in die Integralform
∂
∫∫∫ ∫∫∫
r
ρ ⋅ dV + ∇ ⋅ ρv
⋅ dV = 0
Gl. 2.2
∂t V V
bzw. die konservative Differentialform
∂ρ
r
+ ∇ ⋅ρv
= 0
∂t
Gl. 2.3
mit
r r r
∇ ⋅ ρv
= ρ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ
Gl. 2.4
überführen.
Möglich wird dies durch die Annahme, daß sich das finite Kontrollvolumen im karthesischen
Raum in Ruhe befindet, die Integrationsgrenzen in der Gl. 2.2 konstant sind, und sich somit
die Ableitung ∂ ∂t
innerhalb des Integrals bringen läßt.
∂ρ
∂t
∫∫∫ ⋅ dV + ∫∫ ρv
⋅ dA =
V
A
r
r
0
Gl. 2.5
Unter Verwendung des Gaußschen Divergenztheorems können wir das Oberflächen-Integral
in der Gl. 2.5 durch das Volumen-Integral
12

∫∫ ρ v ⋅ dA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ρv
⋅
A
r
r
V
r
dV
Gl. 2.6
substituieren und erhalten die Integralform
⎡∂ρ
⎣ ∂t
r⎤
⎦
∫∫∫ ⎢
+ ∇ ⋅ ρv
⎥
⋅ dV =
V
0
Gl. 2.7
Für ein willkürlich festgelegtes finites Kontrollvolumen des stetigen Strömungsfelds
innerhalb des Kontrollraums gilt, daß wir das Integral in der Gl. 2.7 gleich null annehmen
können und somit die konservative Differentialform Gl. 2.3 erhalten, da für ein mitbewegtes
Systemvolumen
dm = 0 mit m ( t ) =
dt
∫∫∫ ρ ⋅ dV
V ()
Gl. 2.8
t
gilt. Die Integralform Gl. 2.7 und die konservative Differentialform Gl. 2.3 besitzen die
gleiche mathematische Bedeutung. Für die numerische Behandlung ergeben sich jedoch
aufgrund der unterschiedlichen Reihenfolge der Approximationen verschiedener
Diskretisierungsverfahren, deren Methoden unter den Begriffen der Finiten-Volumen-
Diskretisierung für die Integralform sowie der Finiten-Differenzen-Verfahren für die
konservative Differentialform zusammengefaßt werden, Hildebrandt [19]. Wenden wir die in
Gl. 2.3 und Gl. 2.7 exemplarisch an der Masse dargestellte allgemeine Erhaltungsgleichung
der Masse auf die Erhaltung von Impuls und Energie an, folgt das System der Navier-Stokes-
Gleichungen. Die Erhaltungsgleichungen lauten in konservativer Form nach Hildebrandt [19]
r r r
∂Q
∂
+
∂t
∂x
( E − Ev ) ∂( F − Fv
) ∂( G − Gv
)
= 0
+
r
∂y
r
+
r
∂z
r
Gl. 2.9
⎡ ρ ⎤
⎢
ρ ⋅ u
⎥
r ⎢ ⎥
Q = ⎢ ρ ⋅ v ⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ et
⎥⎦
⎡ ρ ⋅ u ⎤
⎢ 2
ρ ⋅ u + p
⎥
r ⎢ ⎥
E = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ u ⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w ⋅ u
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ u ⎥⎦
r
F
⎡ ρ ⋅ v ⎤
⎢
ρ ⋅ u ⋅ v
⎥
⎢ ⎥
2
= ⎢ρ
⋅ v + p⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w ⋅ v
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ v ⎥⎦
mit dem Lösungsvektor Q r und den konvektiven Flußvektoren E r , F r , G r ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎡ ρ ⋅ w ⎤
⎢
ρ ⋅ u ⋅ w
r ⎢
G = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ w
⎢ 2
⎢
ρ ⋅ w + w
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ w
Gl. 2.10
13

und den diffusen (viskosen) Flußvektoren
E r v , F r v ,
G r v .
r
E
v
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
τ
τ
v
0
σ
x
xy
xz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
r
F
v
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ τ ⋅ v
⎢ ⎥
x − q&
x ⎥ τ ⋅ v y − q&
y ⎢ τ ⋅ v z − q&
z ⎦
⎣
τ
σ
τ
v
0
xy
y
yz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
r
G
v
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
τ
τ
0
xz
zz
σ z
v
⎤
Gl. 2.11
Der symmetrische Schubspannungstensor τ
⎡σ
x τ xy τ xz ⎤
⎢
⎥
τ = ⎢τ
yx σ y τ yz ⎥
Gl. 2.12
⎢
⎥
⎣
τ zx τ zy σ z ⎦
setzt sich aus den Normalspannungen
∂u
σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅
∂x
∂u
⎛ ∂u
∂v
∂w
⎞
( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟
⎠
x µ
r
∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
r ∂v
⎛ ∂u
∂v
∂w
⎞
( ∇ ⋅ v ) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′ ⋅ ⎜ + + ⎟
⎠
∂v
σ y = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′ ⋅
µ
∂y
∂y
∂w
σ = 2 ⋅ µ ⋅ + µ ′⋅
∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
∂w
⎛ ∂u
∂v
∂w
⎞
( ∇ ⋅ v) = 2 ⋅ µ ⋅ + ′⋅ ⎜ + + ⎟
⎠
z µ
r
∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
Gl. 2.13
Gl. 2.14
Gl. 2.15
und den Schubspannungen zusammen, Gl. 2.16, Gl. 2.17 und Gl. 2.18.
⎛ ∂u
∂v
⎞
τ xy = τ yx = µ ⋅ ⎜ + ⎟
⎝ ∂y
∂y
⎠
Gl. 2.16
⎛ ∂u
∂w
⎞
τ xz = τ zx = µ ⋅ ⎜ + ⎟
⎝ ∂z
∂x
⎠
Gl. 2.17
⎛ ∂v
∂w
⎞
τ yz = τ zy = µ ⋅ ⎜ + ⎟
Gl. 2.18
⎝ ∂z
∂y
⎠
14

Einen Zusammenhang zwischen der Volumenviskosität µ′ und der dynamischen Viskosität µ
stellt die Stokes‘sche Hypothese her, Anderson [1].
2
µ ′ = − ⋅ µ
3
Gl. 2.19
Die Wärmeflüsse ergeben sich aus den Temperaturgradienten und dem
Wärmeleitkoeffizienten λ.
∂T
∂T
∂T
q& x = −λ
⋅ q&
y = −λ
⋅ q&
z = −λ
⋅
Gl. 2.20
∂x
∂y
∂z
Die innere Energie e und die Enthalpie h werden mit den kalorischen Zustandsgleichungen
bestimmt.
1
e = cV ⋅T
= ⋅ R ⋅T
κ − 1
κ
h = c p ⋅T
= ⋅ R ⋅T
κ − 1
et
= cV
⋅Tt
=
κ
1
⋅ R ⋅Tt
− 1
ht
= c p ⋅Tt
κ
= ⋅ R ⋅Tt
κ − 1
Gl. 2.21
Das Gleichungssystem schließen wir mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gas.
p
= R ⋅T
ρ
Gl. 2.22
Die Proportionalitätsfaktoren der diffusen Flüsse –Wärmeübergangskoeffizient λ und
dynamische Viskosität µ - sind Funktionen des Gaszustands.
Die dynamische Viskosität µ ist stark von der Temperatur abhängig, während wir den
Druckeinfluß bei idealen Gasen vernachlässigen. Es gilt somit mit guter Näherung das Gesetz
von Sutherland
3
T
2
Gl. 2.23
⎛ T ⎞ T + T
µ = µ 0 ⎜ ⎟
⋅
⎝ T0
⎠ T + TS
( ) = µ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0 S = ρ ν
mit der Bezugstemperatur T 0 = 273,15 K der Sutherland-Konstante T S = 110,0 K und der
dynamischen Viskosität bei Bezugstemperatur µ 0 = 1.717 · 10 -5 kg m -1 s -1 .
15

Schlichting [35] gibt zur Berechnung der kinematischen Viskosität µ auch Gl. 2.24 an.
−6
0.76
17,1 ⋅10
⎛ T ⎞
µ = µ ( T ) = ⋅
⎜ ⋅ Pa ⋅ s
T
⎟
Gl. 2.24
ρ ⎝ 0 ⎠
Der Wärmeleitkoeffizient λ wird mit
κ µ c p ⋅ µ
λ = ⋅ R ⋅ =
Gl. 2.25
κ − 1 Pr Pr
bestimmt. Für Luft wird eine konstante Prandtlzahl Pr = 0,72 angenommen.
Die Berücksichtigung besonderer Gasspezies, insbesondere bei der Simulation von
Verbrennungsvorgängen in Brennkammern, kann mittels zusätzlicher skalarer
Transportgleichungen in den Erhaltungsgleichungen Gl. 2.9 ermöglicht werden.
Die diffusen Flüsse
E r , F r
, G r
verschwinden unter der Vernachlässigung von Viskosität
v
v
v
und Wärmeleitung. Die Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachen sich zu den Euler-
Gleichungen.
2.4 Koordinatentransformation
Die im vorherigen Kapitel beschriebenen Erhaltungsgleichungen gelten in dem orthogonal
kartesischen Koordinatensystem. Sie sind somit nur für einfachste Fälle der
Strömungsmechanik anwendbar.
Um komplexe Geometrien erfassen zu können, ist die Umwandlung der Navier-Stokes-
Gleichungen des krummlinien, konturangepassten physikalischen Raums (t, x, y, z) in den
orthogonal karthesischen Rechenraum (τ, ξ, η, ζ) unter Verwendung äquidistanter Inkremente
∆ ξ = ∆η = ∆ζ
= 1 notwendig, Hildebrandt [19].
Die Transformationsvorschriften
ξ = ξ
η = η
ζ = ζ
( t,x, y,z)
( t,x, y,z)
( t,x, y,z)
τ = t
Gl. 2.26
16

sind eindeutig und voneinander unabhängig, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix positiv
definit ist.
1
D
∂
=
∂
( ξ , µ , ζ )
( x, y,z)
=
∂ξ
∂x
∂η
∂x
∂ζ
∂z
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
∂x
∂ξ
∂z
∂η
∂z
∂ζ
∂x
≠ 0
Gl. 2.27
Die Navier-Stokes-Gleichungen schreiben sich dann
∂ E ~ E ~
D Q
⎜ v
⎝
⎛ v r
r −
∂ ⋅
+
∂τ
∂ξ
⎟⎞
⎠
∂⎜
F ~ F ~
v
⎝
⎛ r r
−
+
∂η
⎟⎞
⎠
∂⎜
⎛ G ~ r
G ~ r
− v
+
⎝
∂ζ
⎟⎞
⎠
= 0
Gl. 2.28
Die Flußvektoren E ~r , F ~r , G ~r sind
⎛ ∂ ∂
E ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
ξ + F ⋅
ξ + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
⎛ ∂ ∂
F ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
η + F ⋅
η + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
∂ ξ ⎞
⎟
∂z
⎠
∂ η ⎞
⎟
∂z
⎠
Gl. 2.29
⎛ ∂ ∂
G ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
ζ + F ⋅
ζ + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
∂ ζ ⎞
⎟
∂z
⎠
Für die Metrikkoeffizienten gilt in der Kurzschreibweise ζ = ∂ζ
∂x
nach Hildebrandt [19]
x
ξ
η
x
x
=
=
yη
⋅ zζ
− zη
⋅ yζ
D
yζ
⋅ zξ
− zζ
⋅ yξ
D
ξ
η
y
y
=
=
zη
⋅ xζ
− xη
⋅ zζ
D
zζ
⋅ xξ
− xζ
⋅ zξ
D
ξ
η
z
z
=
=
xη
⋅ yζ
− yη
⋅ xζ
D
xζ
⋅ yξ
− yζ
⋅ xξ
D
Gl. 2.30
ζ
x
=
yξ
⋅ zη
− zξ
⋅ yη
D
ζ
y
=
zξ
⋅ xη
− xξ
⋅ zη
D
ζ
z
=
xξ
⋅ yη
− yξ
⋅ xη
D
17

2.5 Zeitabhängigkeit der Erhaltungsgleichungen
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein Gleichungssystem gekoppelter, nichtlinearer,
partieller Differentialgleichungen. Wir können Differentialgleichungen ellyptischen,
parabolischen sowie hyperbolischen Typs beschreiben, wobei der Typ der
Differentialgleichung wesentlichen Einfluß auf die Art der eingesetzten Lösungsalgorithmen
hat.
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind im mathematischen Sinne immer von der Zeit abhängig.
Ein stationärer Fall ergibt sich dann, wenn alle zeitabhängigen Terme der
Erhaltungsgleichungen verschwindend klein werden, ∂ ∂t = 0 .
Aus den Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich für die Annahme des Grenzfalles Re → ∞ die
Euler-Gleichungen herleiten. Stationäre Euler-Gleichungen stellen im Unterschall Ma < 1 den
ellyptischen Typ im Überschall Ma > 1 den hyperbolischen Typ eines Differentialgleichungssystems
dar. Insbesondere in transsonischen Turbomaschinen wechselt der Typ der
stationären Euler-Gleichungen bei der Veränderung des Strömungszustands an der Saugseite
der Turbinensschaufel. Instationär formulierte Euler–Gleichungen sind unabhängig vom
Strömungszustand. Sie sind vom hyperbolischem Typ.
Man setzt daher in Fällen wechselnder Strömungszustände Lösungsalgorithmen des
hyperbolischen Typs ein, um den aufwendigen Wechsel bei der Anwendung der Lösungsverfahren
zu vermeiden.
In der Strömungsmechanik existieren neben den Euler-Gleichungen noch weitere vereinfachte
Formen der Navier-Stokes-Gleichungen, welche vom parabolischen Typ sind. Werden nur die
Terme der viskosen Schubspannungen vernachlässigt, so erhalten wir Navier-Stokes-
Gleichungen parabolischen Typs.
Die diffusen Flüsse der Navier-Stokes-Gleichungen behalten unabhängig von der Machzahl
ihren ellyptischen Charakter. Da die Größenordnung der diffusen Flüsse E r
v , F r
v , G r
v in der
Regel für weite Teile des Lösungsgebietes klein ist, können die Lösungsalgorithmen des
hyperbolischen Typs zur Lösung der stationären sowie instationären Navier-Stokes-
Gleichungen beibehalten werden, wobei es für instationäre Strömungen keine Rolle spielt, ob
Unterschall oder Überschall herrscht.
2.6 Diskretisierungstechniken
Grundlage für die Diskretisierungstechniken sind die Herleitungen von Substitutionen der
Ableitungen in den Erhaltungsgleichungen nach dem Satz von Taylor.
r 2 r rt
+ ∆t
rt
rt
rt
rt
⎡ 2
t
4
t
2 ⎤
∂q
∂ q qi
− qi
qi
1 − 2⋅
qi
+ q ⎛
i 1
u ⎞ t ⎛ u ⎞
⎢ ⎜
∂
⎜
∂ x
− =
− +
−
⎟ ∆ ⎟ ∆
+ − ⋅ + ⋅ + K⎥
t 2
x
t
2
2
x
⎢
t
2
4
t
12 ⎥
14243
∂ ∂ 144444
∆
2444444
∆ 3
Differenti i
i
Taylor Glied
gleichung
al
⎣
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠
⎦
− −
1444444
244444
43
erster und zweiter Ordnung
Taylor−Glieder
höherer Ordnung
Rundungsfehler
=
0
18

Wir unterscheiden zwei wichtige Diskretisierungstechniken der Zeitabhängigkeit, die
explizite Methode und die implizite Methode.
2.6.1.1 Explizite Methode
Ersetzen wir die zeitlichen und räumlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichungen in
konservativer Differentialform Gl. 2.31 durch die zentralen Differenzen, so erhalten wir für
r
q
t+
∆t
i
r
− q
∆t
t
i
=
den Lösungsvektor Q r ( ) 2 t
r
q
t
i+
1
r
+ 2 ⋅ q
∆x
t
i
r
+ q
i−1
Gl. 2.31
Der Index i beschreibt die Position des betrachteten Knotenpunktes im eindimensionalen
rt
t
Diskretisierungsraum mit der Netzweite ∆ x . Wir erkennen, daß der Lösungsvektor qi
+ ∆
t
zum Zeitpunkt t + ∆t
ausschließlich von der Lösung Q r
zum Zeitpunkt t abhängig ist.
Die Gl. 2.31 kann einfach in den numerischen Diskretisierungsansatz implementiert und
berechnet werden. Von Nachteil ist die Beschränkung der numerischen Schrittweite ∆ t über
die Dimension der Netzweite ∆ x .
Für eine stabile Rechnung darf ein numerischer Zeitschritt expliziter Verfahren ∆ t nur so
groß sein, daß eine sich mit lokaler Schallgeschwindigkeit a ausbreitende Störung nicht das
lokale Einflußgebiet von ∆ x verläßt, Hirsch [21]. Die Courant-Friedrichs-Lewy –CFL-
Bedingung wird mit der CFL-Zahl beschrieben, wobei für die explizite Methode 0 < CFL ≤ 1
gilt, Gl. 2.32.
∆t
CFL = a ⋅
Gl. 2.32
∆x
Aus der Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung und dem begrenzten Verhältnis von Zeitschritt
und Netzauflösung ∆ t ∆x
folgt eine große Anzahl von Zeitschritten und ein
dementsprechend hoher Rechenaufwand, der für feine Netze bei gleichbleibendem Verhältnis
von Zeitschritt und Netzauflösung ∆ t ∆x
noch zunimmt.
Moderne explizite Lösungsalgorithmen verwenden stabilere Diskretisierungsansätze mit
teilweise impliziten Formulierungen, die höhere CFL-Zahlen zulassen. Desweiteren werden
Konvergenzbeschleunigungstechniken verwendet, die lokale anstatt globale Zeitschritte
verwenden. Diese Techniken finden nur für stationäre Strömungsprobleme aufgrund deren
Unempfindlichkeit gegenüber zeitlichen Verzerrungen Anwendung, Hildebrandt [19].
19

2.6.1.2 Implizite Methode
Wir können die zeitlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichung in konservativer
Differentialform Gl. 2.3 durch die Crank-Nicolson Form substituieren, die sich aus der Gl.
2.33 ergibt.
rt
qi
+
∆t
rt
− qi
∆t
=
1
2
rt
q
⋅ i
+
+
∆t
rt
1 + qi
+
rt
1 − 2 ⋅ qi
+
∆t
rt
− 2 ⋅ qi
∆x
rt+
∆t
rt
+ qi
−1
+ qi
−1
Gl. 2.33
rt
t
Der unbekannte Lösungsvektor qi
+ ∆
t
ist jetzt nicht nur von der Lösung Q r abhängig, es
rt
t
existieren auch Abhängigkeiten zu den räumlich benachbarten Lösungen q
∆ rt
t
und q
∆ .
Wir können so durch Invertierung mit den Informationen aus sämtlichen N Netzpunkten ein
algebraisches Gleichungssystem erstellen, das innerhalb eines einzelnen Schrittes lösbar wäre.
Betrachten wir die Dimension des Lösungsraums mit N 3 würden sich ca. N 7
Rechenoperationen ergeben, Hildebrandt [19]. Man hat daher für die implizite Methode auch
iterative Algorithmen entwickelt, die eine sehr stabile Lösung des algebraischen
Gleichungssystems innerhalb weniger Zeitschritte ermöglichen.
Von Nachteil sind die umfangreichen Algorithmen, die aufwendig implementiert werden
müssen, sowie die aufwendigen Matrizenoperationen je Zeitschritt.
i+
+ 1
i−
+ 1
2.7 Erzeugung von Turbulenz
In den wenigsten Fällen treten in der Technik rein laminare Strömungen auf, die durch
geschichtete, weitgehend parallele Bewegungen charakterisiert sind. Die meisten Strömungen
können als turbulent betrachtet werden. Turbulente Strömungen zeichnen sich durch
hochfrequente instationäre Schwankungen der integralen Zustands- und Bewegungsgrößen in
zeitlicher und räumlicher Abhängigkeit um einen Mittelwert aus. Die Berücksichtigung der
Turbulenz in Strömungen ist äußerst wichtig, da die Turbulenz einen wesentlichen Einfluß auf
das Strömungsverhalten hat. Die Turbulenz ist maßgeblich für den größeren Widerstand der
turbulenten Strömung. Andererseits ermöglicht die Turbulenz einen größeren Druckanstieg in
Diffusoren oder entlang von Flugzeugtragflügeln und Gebläseschaufeln, da sie das vorzeitige
Ablösen der Strömung verhindert. Wir können uns dieses Phänomen mit dem Auftreten einer
zusätzlich zur Vikosität µ entstehenden Wirbelviskosität µ t erklären, die ihre Ursache nicht in
den molekularen Reibungskräften hat, sondern in der turbulenten Schwankungsbewegung der
Strömung.
Erreicht die Reynoldszahl
ρ ⋅ v ⋅ l
Re = Gl. 2.34
η
20

einen bestimmten kritischen Betrag Re krit , so schlägt die laminare Strömung in eine turbulente
Strömung um.
An ebenen Platten gilt so nach Baehr [3] eine auf die Plattenlauflänge bezogene kritische
Reynoldszahl von Re krit = 3·10 5 ... 5·10 5 . Hildebrandt [19] gibt für Schaufelgitterströmungen
in Turbomaschinen eine auf die Profillänge l bezogene kritische Reynoldszahl von Re krit ≈
3.5·10 5 an.
Neben der Reynoldszahl haben weitere integrale Zustands- und Bewegungsgrößen sowie
geometrische Randbedingungen Einfluß auf die Einstellung einer laminaren oder turbulenten
Strömung, nach Hildebrandt [19] sind das.
• Wärmeflüsse
• Druckgradienten
• Schall und Vibrationen
• Oberflächenrauhigkeiten
• Anfachung durch Einblasen in die Grenzschicht bzw. Dämpfung durch
Absaugen der Grenzschicht oder Einblasen
• Turbulenzgrad Tu der Hauptströmung bzw. benachbarter Strömungsgebiete
Die hochfrequenten instationären Schwankungen der integralen Zustands- und
Bewegungsgrößen beziehen sich auf Turbulenzballen entsprechender Abmessungen, welche
einer natürlichen Dämpfung unterliegen, die sich aus der Dissipation, also der Umwandlung
von kinetischer Energie der mittleren Bewegung in innere Energie, beim Zerfallen in kleinere
Turbulenzballen ergibt. Somit wird das Entstehen unendlich kleiner Wirbelelemente
verhindert. Ein hinreichendes Maß für die Beschreibung der Feinstruktur der Turbulenz bei
der Annahme lokalisotroper Turbulenz liefert die Kolmogorov-Länge
lk
−3
4
= Rel
⋅ l
Gl. 2.35
und der Zeitmaßstab
tk
−3
2 −1
= Rel
⋅ l ⋅ν Gl. 2.36
im eindimensionalen Raum. Kolomogorov [23] gibt die Anzahl N der für die Direkte
Numerische Simulation einer turbulenten Strömung im dreidimensionalen Raum notwendigen
Netzpunkte an, Gl. 2.37.
9 4
N ∝ Re Gl. 2.37
l
21

Auf die genaue Berechnung turbulenter Strömungen mit der Direkten Numerischen
Simulation wird aufgrund ihrer Kompliziertheit und dem sich hieraus ergebenden hohen
Rechneraufwand verzichtet. Man bedient sich daher der Erfassung zeitlicher Mittelwerte der
turbulenten Bewegung. Es ergeben sich jedoch grundlegende Schwierigkeiten, die
Erhaltungsgleichungen nur mit mittleren Bewegungen auszustatten. Die turbulente Bewegung
ist mit der mittleren Bewegung stark gekoppelt. So entstehen bei der Aufstellung der
Erhaltungsgleichungen für die mittlere Bewegung durch zeitliche Mittelwertbildung der
Navier-Stokes-Gleichungen zusätzliche Terme, die durch die turbulente Schwankungsbewegung
bestimmt werden. Diese Terme stellen für die Berechnung der mittleren Bewegung
zusätzliche Unbekannte dar. Wir haben im Gleichungssystem also mehr Unbekannte als
Gleichungen. Wir benötigen weitere Gleichungen, welche die von den Schwankungsbewegungen
herrührenden Zusatzterme mit dem Geschwindigkeitsfeld der mittleren Bewegung
in Verbindung bringen. Dieses Schließproblem kann nicht aus der Bilanzierung von Masse,
Impuls und Energie gelöst werden. Es ist muß ein Zusammenhang zwischen mittlerer
Bewegung und Schwankungsbewegung modelliert werden.
2.8 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung
Das Geschwindigkeitsfeld ist an das Temperaturfeld gekoppelt, wenn die Stoffwerte nicht
mehr konstant sind, sondern von der Temperatur abhängen. Bei den Stoffwerten handelt es
sich um die Dichte ρ, die Viskosität µ, die isobare spezifische Wärmekapazität c p und die
Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall hängen sie von der Temperatur und dem Druck
ab.
Die zeitlich abhängigen Größen werden in den zeitlichen Mittelwert und den
Schwankungsgrößen aufgeteilt. Somit gilt für instationäre mittlere Strömungen sowie
inkompressible Fluide
( x, y,z) + ρ′
( t,x, y,z)
ρ = ρ
ρ′
= 0
u = u
v = v
( x, y,z) + u′
( t,x, y,z)
( x, y,z) + v′
( t,x, y,z)
M
u′
= 0
v′
= 0
Gl. 2.38
unter Beachtung der Rechenvorschrift für den Mittelwert einer schwankenden Größe Ω.
t + ∆t
0
1
Ω ( x,t
r ) = ∫ Ω ⋅ dt und Ω ′ = 0
Gl. 2.39
∆t
t
0
22

Für stationäre Strömungen sowie kompressibler Fluide ist nach Favre eine massengewichtete
zeitliche Mittelung einzuführen. Hierbei werden die Dichte ρ, der Druck p, die Temperatur T
sowie die Stoffwerte µ, λ und c p weiterhin konventionell gemittelt. Für die Geschwindigkeiten
und die spezifischen Enthalpien erfolgt die massengewichtete Mittelung.
u = u ~
u = v ~
w = w ~
( x, y,z) + u′′
( t,x, y,z)
( x, y,z) + v′′
( t,x, y,z)
( x, y,z) + w′′
( t,x, y,z)
ρ ⋅ u′′
= 0
ρ ⋅ v′′
= 0
ρ ⋅ w′′
= 0
Gl. 2.40
h = h ~
( x, y,z) + h′′
( t,x, y,z) ρ ⋅ h′′
= 0
Wobei für die Schwankungsgröße Ω jetzt
ρ ⋅ Ω
Ω = ~ Ω + Ω ′′ = + Ω ′
Gl. 2.41
ρ
gilt, Hirsch [21]. Werden die massengewichteten Geschwindigkeiten bzw. spezifischen
Enthalpien in die Navier-Stokes-Gleichungen eingeführt, erhalten wir zusätzliche
Spannungsterme bzw. Wärmeströme.
Die Reynolds-Spannungen τ R
, auch scheinbare Spannungen genannt, sind in der Gl. 2.42
dargestellt.
τ
R
R
xx
⎡σ
⎢
r r
= − ⋅ v′′
× v′′
= ⎢ R
ρ τ yx
⎢
⎢ R
τ
⎣
zx
τ
σ
τ
R
xy
R
yy
R
zxy
R
xz
R
yz
τ ⎤ ⎡ ρ ⋅ u′′⋅
u′′
⎥ ⎢
τ ⎥ = −⎢
ρ ⋅ v′′
⋅ u′′
⎥
R ⎢
σ ⎥ ⎢⎣
ρ ⋅ w′′
⋅ u′′
zz
⎦
ρ ⋅ u′′⋅
v′′
ρ ⋅ v′′
⋅ v′′
ρ ⋅ w′′⋅
v′′
ρ ⋅ u′′
⋅ w′′
⎤
⎥
ρ ⋅ v′′⋅
w′′
⎥
⎥
ρ ⋅ w′′⋅
w′′
⎥⎦
Gl. 2.42
Für den turbulenten Wärmestromvektor
R
q r & mit der turbulenten Wärmeleitfähigkeit λ t gilt
r
R
q &
⎡q&
R ⎤
x ⎡ ρ ⋅ h′′⋅
u′′
⎤
⎢
T ~ Pr T ~
R ⎥ ⎢ ⎥ ∂
∂
= ⎢q&
y ⎥ = ⎢ ρ ⋅ h′′⋅
v′′
⎥ = −λt
⋅ r = ⋅ µ t ⋅ r
⎢
∂x
Prt
∂x
R
q&
⎥ ⎢
z
h w ⎥
⎣
ρ ⋅ ′′⋅ ′′
⎣ ⎦
⎦
Gl. 2.43
Die scheinbaren Spannungen treten gemeinsam mit den gewöhnlichen viskosen Spannungen
der Stokes-Spannungshypothese auf und versteifen die Erhaltungsgleichungen zusätzlich.
23

2.9 Turbulenzmodelle
Im allgemeinen kommen bei der Modellierung partielle Differentialgleichungen zum Einsatz,
nach deren Ordnungen wir die Turbulenzmodelle kategorisieren. So können wir einen
Zusammenhang zwischen den turbulenten Schubspannungen und den Größen der mittleren
Bewegung mit einem Eingleichungs-Modell bzw. Zweigleichungs-Modell bzw. bei einem
Verzicht auf Differentialgleichungen mit der Verwendung von ausschließlich algebraischen
Gleichungen ein Nullgleichungs-Modell herstellen.
Es existieren zwei wichtige Modellansätze, das Reynoldsspannungsmodell und das
Wirbelviskositätsmodell. Das Reynoldsspannungsmodell berücksichtigt das anisotrope
Verhalten der Turbulenz, welches mit der Erhöhung der Anzahl zu lösender Gleichungen und
somit des Rechenaufwands einher geht. Jedoch werden die Strömungsphänomene sehr gut
erfaßt.
Das Wirbelviskositätsmodell geht von der Annahme isotroper Turbulenz nach dem
Bossinesq-Ansatz Gl. 2.44 aus. Sämtliche Schwankungsbewegungen werden in den drei
Raumrichtungen als identisch angenommen, so daß die Reynolds-Spannungen mit gleicher
Gewichtung in die Wirbelviskosität µ t eingehen.
u ′
= v′′
= w′
Die in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodelle basieren ausschließlich auf dem
Wirbelviskositätsmodell.
Die scheinbaren Spannungen der turbulenten Strömung werden mit dem Bossinesq-Ansatz
modelliert.
⎛ ∂v ~ v ~ 2 u ~ 2
v v
i ∂ k ∂ k ⎞
− ρ ⋅ i′′⋅
′′ j = µ t ⋅
⎜ + − ⋅δij
⋅ − ⋅ ij ⋅ ⋅ k
xk
xi
3 x
⎟ δ ρ
Gl. 2.44
⎝ ∂
∂ k ⎠ 3
Des weiteren gelten
1
h ~ h ~ u ~ 2
ρ 2
t = + ⋅ + k ρ ⋅ htv′′
= ρ ⋅ h′′⋅
v′′
+ ⋅ q ⋅ v′′
− u ~ ⋅τ
t
2
2
2 2 2 2
q = u′′
+ v′′
+ w′
Gl. 2.45
sowie mit der kinetischen Energie k der turbulenten Schwankungsbewegung
k =
2
ρ ⋅ q
=
2 ⋅ ρ
1
⋅ q ~
2
2
Gl. 2.46
24

Die Turbulenz einer Strömung kann nicht nur durch die Intensität ihrer
Schwankungsbewegungen, dem Turbulenzgrad Tu, sondern auch mit der kinetischen Energie
k beschrieben werden,
Tu =
1
⎜
⎛ ′′
2
′′
2
⋅ u + v + w′
3 ⎝
u
∞
2
⎞
⎟
⎠
=
2 ⋅ k
u
∞
3
Gl. 2.47
wobei unter Annahme anisotropen Verhaltens der Strömung Gl. 2.48 gilt.
2
u′′
Tu = u ∞
Gl. 2.48
2.9.1 Nullgleichungs-Modell – Baldwin-Lomax-Modell
Das Baldwin-Lomax-Modell gehört zur Gruppe der algebraischen Turbulenzmodelle. Die
Grundgleichungen für die numerische Lösungen stellen die Navier-Stokes-Gleichungen dar.
Die Turbulenzeffekte werden durch die angenommene Wirbelviskosität µ t hervorgerufen.
Baldwin und Lomax [6] unterteilen die innere und äußere Grenzschicht in zwei Bereiche.
Somit werden bezogen auf die Navier-Stokes-Gleichungen für laminare Anströmung die
Viskosität µ durch den Term µ + µ t ersetzt. Für den Wärmeverlust ersetzen wir analog k/c p =
µ/Pr durch den Ausdruck µ/Pr + µ t /Pr. Die Wirbelviskosität µ t für den inneren Bereich wird
gemäß des Prandtlschen Mischwegekonzeptes bestimmt, im äußeren Bereich mit Hilfe einer
algebraischen Formel, die aus empirischen Untersuchungen der Grenzschicht abgeleitet
wurde.
Für die Zuordnung der Wirbelviskosität µ t ergibt sich somit folgende Darstellung:
( µ t )
inner y ≤ ycrossover
( µ ) y < y
⎧
µ t = ⎨
Gl. 2.49
⎩ t outer crossover
Der Wandabstand y crossover stellt den der kleinsten Wert von y dar, bei dem das Ergebnis der
inneren und äußeren Gleichung identisch ist.
Zur Beschreibung des inneren Bereichs wird die Prandtl-Van-Driest-Gleichung Gl. 2.50
verwendet.
2
( µ ) = ρ ⋅ ⋅ ϖ
t inner
l Gl. 2.50
wobei die Mischweglänge l mit der Gl. 2.51 bestimmt wird.
25

+ +
− y A
[ 1 − e ]
l = k ⋅ y ⋅
Gl. 2.51
Nach Baldwin und Lomax [6] bestimmen wir den Betrag der Verwirbelung mit
2
2
2
⎛ ∂u
∂v
⎞ ⎛ ∂v
∂w
⎞ ⎛ ∂w
∂u
⎞
ϖ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟
Gl. 2.52
⎝ ∂y
∂x
⎠ ⎝ ∂z
∂y
⎠ ⎝ ∂x
∂z
⎠
und den normierten Wandabstand
+
y
ρ W ⋅ u τ ⋅ y ρW
⋅τW
y
= =
⋅
µ W µ W
Gl. 2.53
Die Wirbelviskosität µ t für den äußeren Bereich wird nach Baldwin und Lomax [6] mit der
algebraischen Gl. 2.54 bestimmt.
( ) = K ⋅C
⋅ ρ ⋅ F ⋅ F ( y)
µ t outer CP WAKE KLEB
Gl. 2.54
Die Clauser-Konstante K sowie die Konstante C P werden in der Tabelle 2.1 angegeben. Die
Größe F WAKE berechnet sich mit der Gl. 2.55.
⎧ ymax
⋅ Fmax
⎫
F WAKE = min⎨
2 ⎬
Gl. 2.55
⎩CWK
⋅ ymax
⋅uDIF
Fmax
⎭
Die Größen F max und y max werden mit dem Maximum der Funktion
+ +
− y A
( y) = y ⋅ ⋅ [ 1 − e ]
F ϖ Gl. 2.56
an der Stelle y = y max bestimmt. Die Größe u DIF ist die Differenz der maximalen und
minimalen Absolutgeschwindigkeiten im Grenzschichtprofil.
u
DIF
⎛
⎞
⎛
2 2 2
2 2 2
= ⎜ u + v + w ⎟ − ⎜ u + v + w
Gl. 2.57
⎝
⎠max
⎝
min
⎟ ⎠
⎞
Die Intermittenz-Funktion von Klebanoff F KLEB lautet
26

F
KLEB
( y)
6
−1
⎡
⎛ CKLEB
⋅ y ⎞
⎤
= ⎢1
+ 5.5 ⋅
⎥
⎢
⎜
y
⎟
Gl. 2.58
max ⎥
⎣
⎝
⎠
⎦
Der Effekt des turbulenten Überganges kann simuliert werden, wenn die Wirbelviskosität µ t
im Geschwindigkeitsprofil unter der Voraussetzung null gesetzt wird, so daß der maximale
berechnete Wert der Wirbelviskosität µ t in der Grenzschicht kleiner als der spezielle Wert
C MUTM ·µ ∞ ist.
µ wenn ( ) ∞
t = 0
< ⋅ µ
µ t max im Pr ofil
C MUTM
In der Tabelle 2.1 sind die Konstanten zum Baldwin-Lomax-Modell aufgeführt.
A + C CP C KLEB C WK k K Pr Pr t C MUTM
26 1.6 0.3 0.25 0.4 0.0168 0.72 0.9 14
Tab. 2.1 – Konstanten des Baldwin-Lomax-Modells
Neben der Lösung der zeitlich gemittelten Impulsgleichungen benötigen wir zusätzlich die
zeitlich gemittelte Energiegleichung. In diesen Gleichungen treten Schwankungsgrößen auf,
die entsprechend modelliert werden müssen.
Ist die turbulente Prandtlzahl Pr t bekannt, haben wir eine Möglichkeit diese
Schwankungsgrößen in der Gl. 2.59 zu bestimmen. Es besteht der Zusammenhang
Pr
t
=
c
µ ⋅ c
p
t p
µ t ⋅ ⇒ kt
=
Gl. 2.59
kt
Prt
Hier zeigt sich der Nachteil des Baldwin-Lomax-Modells, da bei empirischen
Untersuchungen am äußeren Rand turbulente Prandtlzahlen Pr t von ≈ 0.6 … 0.7 festgestellt
wurden, und in Wandnähe die Prandtlzahl Werte von 1.5 annahm. Oertel [31]. Baldwin und
Lomax [6] legen jedoch die turbulente Prandtlzahl Pr t auf 0.9 fest, Tab. 2.1.
Diese Abhängigkeit der turbulenten Austauschgrößen µ t und k t von den örtlichen
Geschwindigkeitsprofilen verhindert die Berücksichtigung des Turbulenzgrades (z.B.
gemessen mit Hitzedrahtanemometer) stromauf und stromab der Strömung.
Desweiteren macht sich beim Baldwin-Lomax-Modell wie für sämtliche Turbulenz-Modelle,
die auf dem Prandtlschen Mischwegkonzept basieren, der Nachteil der ungenügenden
Beschreibung abgelöster und sich wieder anlegender Strömungen bemerkbar, so daß der
Turbulenzgrad an den Stellen ∂u/∂z = 0 falsch berechnet wird, Oertel [31].
Um gute Ergebnisse mit dem Baldwin-Lomax-Modells zu erhalten, ist die hinreichende
Auflösung der Grenzschicht erforderlich.
27

Der Vorteil des Baldwin-Lomax-Modells besteht in der einfachen Integrierbarkeit, da mit den
algebraischen Gleichungen keine komplizierten gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen
gelöst werden müssen. Diese Eigenschaft ermöglicht das schnelle Konvergieren
der Rechnung Des weiteren ist die Verwendung des Full-Multigrid-Modus in der
vorliegenden Version von FINE/TURBO mit dem Baldwin-Lomax-Modell möglich.
Trotz der beschriebenen Nachteile wird das Baldwin-Lomax-Modells sehr häufig bei freien
Umströmungen angewendet, wenn keine Informationen über die Qualität der Turbulenz in der
Hauptströmung bekannt sind.
2.9.2 Zweigleichungs-Modell - k-ε Modell
Das k-ε Modell ist ein Zweigleichungs-Modell und schließt das Gleichungssystem der
Erhaltungsgleichungen.
Mit der Berücksichtigung der Reynoldspannungen τ R
sowie der turbulenten Wärmeströme
q r & R gehen die Navier-Stokes-Gleichungen in die reynoldsgemittelten Navier-Stokes-
Gleichungen über, Schlichting [35].
( ρ ⋅ v ⋅ k)
∂ i ∂ ⎛⎛
µ t ⎞ ∂k
⎞
= ⋅ ⎜ µ
⎟ P
~
Prod {
ρ ε
xi
x
⎜ +
+
− ⋅
i σ
⎟ ⋅
∂
∂
k x
⎝ ⎠ ∂ 123
14243
⎝
i
144 44 24444
3⎠
Turbulenz−
Dissipatio n Gl. 2.60
Konvektion viskose und turbulente Produktion
Diffusion
∂ ~
i
∂x
14243 i
Konvektion
( ρ ⋅ v ⋅ε
)
=
∂ ⎛⎛
µ t ⎞ ∂~
ε ⎞
⋅ ⎜ µ
⎟
x
⎜ +
i σ ~
⎟
∂
⋅
ε x
i
1444
⎝⎝
∂
24444
⎠
3⎠
viskose und turbulente
Diffusion
+
ε
Cε
1 ⋅ ⋅ PProd
144
k243
4
Turbulenz−
Produktion durch
Wirbelfadenstreckung
−
~ 2
ε
Cε
2 ⋅ ρ ⋅
14243k
viskose Vernichtung
Gl. 2.61
Die Wirbelviskosität µ t wird zu den zwei Turbulenzparametern kinetische Energie k und
Dissipation ε ~ mit Gl. 2.62 in Beziehung gesetzt.
2
= C ⋅ ρ ⋅ k ~ ε
Gl. 2.62
µ t µ
Für Luft als strömendes Medium wird äquivalent zum Baldwin-Lomax-Modell eine konstante
turbulente Prandtlzahl Pr t von 0.9 festgelegt, vgl. Gl. 2.59. Für die in den Modellgleichungen
auftretenden empirischen Konstanten gelten die Standardwerte in der Tab. 2.2.
28

Der Dissipationsterm ist
~ ∂ v r ′
ρ ⋅ε
= τ ⋅ r
Gl. 2.63
∂x
cµ
c~
ε 1 c~
ε 2 σ k
σ ~ ε
Tab. 2.2 – Konstanten des k-ε Modells
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3
Die Turbulenz erzeugen wir mit dem Produktionsterm P Prod unter Vernachlässigung einer
möglichen Anisotropie der Turbulenz, alle Reynolds-Spannungen werden mit der gleichen
turbulenten Viskosität berechnet.
PProd
∂vi
⎛ ⎛ ∂v ~ i ∂v ~ k 2 ∂u ~ k ⎞ 2 ⎞ ∂v
= −ρ ⋅ v
i
i′′⋅
v ′′ j ⋅ = ⎜ t
ij
ij k ⎟ ⋅
x
µ ⋅
⎜ + − ⋅δ
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
j xk
xi
3 x
⎟ δ ρ
∂
k 3
Gl. 2.64
⎝ ⎝ ∂
∂ ⎠
⎠ ∂x
j
Die Dissipation ~ ε interpretieren wir als die Umwandlung von turbulenter kinetischer Energie
in innere Energie. Die Disspation ~ ε wirkt somit energieverzehrend. Demgegenüber ist der
Term der Turbulenzproduktion im allgemeinen positiv, Gl. 2.64. Sollten in einer turbulenten
Strömung die Terme für die Turbulenz-Produktion und Dissipation sehr viel größer sein als
die übrigen Beträge zum Energiehaushalt, entstehen Gleichgewichtsbereiche, da hier
näherungsweise die Turbulenz-Produktion gleich der Dissipation ist.
Es können auch negative Turbulenz-Produktionen auftreten, wenn die Energie der
Schwankungsbewegung in die mittlere Bewegung zurückfließt. Das k-ε Modell wird im
Hoch-Reynoldszahlenbereich eingesetzt. Es ist nicht anwendbar in der viskosen Unterschicht
in direkter Wandnähe. Diese Schicht wird nicht aufgelöst, da der erste Netzpunkt außerhalb
der viskosen Unterschicht gelegt werden muß, möglichst in einen Bereich, in dem der
normierter Wandabstand y + Werte von 30 bis 100 annimmt, jedoch in jedem Fall der
dimensionslose Wandabstand y + > 11 sein muß.
y
+
=
y ⋅
ν
u τ
Gl. 2.65
In diesem Bereich gilt das logarithmische Wandgesetz für die Geschwindigkeitsverteilung
und der Verteilung der Turbulenz. Turbulenzproduktion und Dissipation sind näherungsweise
im lokalen Gleichgewicht.
Daher ist für die Einstellung der korrekten Netzauflösung an der Grenzschicht die schrittweise
Anpassung des Rechennetzes nach mehrfachem Anrechnen erforderlich.
29

Das k-ε Modell wird auch in speziellen Modifikationen für den Niedrig-Reynoldszahlbereich
verwendet, wenn die Gl. 2.62 mit der Dämpfungsfunktion f µ ergänzt wird.
2
= C ⋅ f ⋅ ρ ⋅ k ~ ε
Gl. 2.66
µ t µ µ
Des weiteren werden in Abhängigkeit vom modifizierten Turbulenzmodell zusätzliche
Funktionen in die reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen eingefügt. Die
Beschreibung der Funktionen entnehmen wir NUMECA [30].
Eine besondere Form der Turbulenzmodelle sind Zweischichtenmodelle, die auf modifizierten
Versionen des Eingleichungsmodells bzw. der k-ε Modelle beruhen.
Bei einer Art der Zweischichtenmodelle wird in der viskosen Unterschicht auf ein einfacheres
Eingleichungsmodell umgeschaltet, das keine ε-Gleichung löst, sondern die
Längenmaßverteilung empirisch vorgibt, Rodi [33]. Das Eingleichungsmodell wird nur in
direkter Wandnähe eingesetzt, während die wandfernen Strömungsgebiete mit dem Standardk-ε
Modell berechnet werden. Das Umschalten vom Eingleichungsmodell in Wandnähe auf
das Standard k-ε Modell im äußeren Bereich erfolgt an einer Stelle, bei der die
Dämpfungsfunktion f µ den Wert 0,95 erreicht, d.h. wo die viskosen Effekte vernachlässigt
werden können.
Eine weitere Art der Zweischichtmodelle ist die Verwendung eines modifizierten Niedrig-
Reynoldszahl-k-ε Modells für die viskose Unterschicht und des Standard k-ε Modells bei
einem normierten Wandabstands y + . In FINE/TURBO V3.0 ist die Verwendung der
letztbeschriebenen Art des Zweischichtenmodells unter Verwendung des k-ε Modells der
Version Yang und Shi im Bereich der viskosen Unterschicht und das Standard k-ε Modell im
äußeren Bereich ab einem normierten Wandabstand von y + (f µ =0,95)=260,5 möglich.
2.9.3 Turbulenzmodelle von FINE/TURBO V3.0
Folgende Turbulenzmodelle sind im Euranus/Turbo-Code von FINE/TURBO V3.0
implementiert.
• Baldwin-Lomax-Modell
• k-ε Modell Standard
• k-ε Modell Chien
• k-ε Modell Launder & Sharma
• k-ε Modell Yang & Shi
• Zweigleichungsmodell k-ε Modell Yang & Shi
Das Beeinflussen der spezifischen Turbulenzparameter ist ebenfalls möglich.
30

2.10 Anfangs- und Randbedingungen
Zur Lösung der Erhaltungsgleichungen ist die Vorgabe von bestimmten Anfangs- und
Randbedingungen notwendig. Dies umfaßt sämtliche konservative Größen.
2.10.1 Anfangsbedingungen
Der zeitgenauen oder instationären Berechnung geht eine Linearisierung der Erhaltungsgleichungen
zum Zeitpunkt t = 0 voraus, um den exakten Lösungsvektor der Erhaltungsgleichungen
im betrachtenen Rechenraum zu erhalten.
Eine triviale Lösung wäre die Null-Strömung-Annahme, die jedoch aufgrund ihrer
schwierigen numerischen Beherrschbarkeit nicht angewendet wird, Null-Geschwindigkeitskomponenten,
konstanter Druck und Temperaturverteilung. Die Null-Strömung-Annahme
erfordert einen hohen numerischen Aufwand, denn je näher die Anfangsbedingung
letztendlich der endgültigen Lösung ist, ums so schneller erfolgt die numerische
Approximation.
Stationäre Strömungen werden allein durch die Randbedingungen bestimmt. Passen wir die
Anfangsbedingungen dem erwarteten Strömungsverlauf an, so erhalten wir eine stabilere und
schnellere Konvergenz der Rechnungen. Somit ist die Angabe einer approximierten
Anfangsbedingung immer sinnvoll. Des weiteren bieten sich Rechnungen im Rahmen des full
multi grid modus auf einem groben Netz an, um deren Ergebnisse dann als Startbedingung in
ein feineres Netz interpolieren zu können.
Diese Funktion ist in FINE/TURBO V3.0 jedoch nur für der Lösung der Euler-Gleichungen
sowie für die turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen nur bei Verwendung des Baldwin-
Lomax-Modells vorgesehen.
2.10.2 Randbedingungen
An den Rändern des Rechenraums müssen sämtliche konservative Größen bekannt sein.
Physikalisch lassen sich die Randbedingungen durch Formulierungen von Dirichlet und
Neumann beschreiben. Die Dirichlet-Randbedingung legt die Strömungsgröße am Rand fest.
Die Neumann-Randbedingug definiert den Fluß dieser Größe, d.h. die zeitliche Abbleitung
der Strömungsgröße senkrecht zur Berandung.
Wir unterscheiden Ein- und Ausströmrand, Festkörperwand sowie Festlegungen für innere
Randbedingungen, wie periodische Randbedingungen, Symmetrierandbedingungen,
Verbindungsrandbedingungen sowie externe Randbedingungen für die freie Umströmung.
31

2.10.2.1 Ein- und Ausströmrand
Die Startbedingungen am Ein- und Ausströmrand setzen eine homogene Strömung voraus.
Die Ein- und Auströmränder müssen einen genügend großen Abstand zu inhomogenen
Strömungsgebieten haben.
Es werden typischerweise folgende Randbedingungen festgelegt.
inkompressibel kompressibel
Einströmrand p 1 , T t1 , ρ 1 , t 1 , v r p 1 , T t1 , ρ 1 , t 1 , v r
Ausströmrand p 2 bzw. Massenstrom extrapoliert
Mit den k-ε Modellen können wir Turbulenz am Einströmrand beschreiben. Im allgemeinen
werden die Gl. 2.67 und Gl. 2.68 als Startbedingung am Einströmrand verwendet.
k
3
2
( Tu ⋅ ) 2
1 = ⋅ u∞
Gl. 2.67
k1 1,
5
ε = Gl. 2.68
λ ⋅ l
mit λ·l als charakteristisches Längenmaß, wobei λ = 0,05 ist, Vogel [38].
Die Turbulenz wird am Austrittsrand extrapoliert.
2.10.2.2 Festkörperrand
Am Festkörperrand –solid- gelten die Neumannschen Randbedingungen. Massen-, Impulsund
Energieströme durch die Wand verschwinden. Nur für die nicht adiabate Wand ist ein
Energiestrom aufgrund der Wärmeleitfähigkeit zugelassen. In diesem Fall ist die Vorgabe
einer Wandtemperatur oder eines Wandwärmestromes notwendig. In FINE/TURBO V3.0 ist
es nur möglich die isotherme und die adiabate Festkörperrandbedingung festzulegen. Für
verlustbehaftete Strömungen werden die Reibungseffekte berücksichtigt.
Die Dirichlet-Randbedingung für die Strömungsgeschwindigkieten hat direkt an der Wand
Gültigkeit, u = v = w = 0.
Neben den Haftbedingungen und der Nullsetzung sämtlicher Ströme durch die Wand gilt das
Verschwinden der wandnormalen Gradienten des statischen Drucks sowie der statischen
Temperatur.
32

2.10.2.3 Innere Randbedingungen
Innere Randbedingungen werden durch periodische Randbedingungen –periodic-,
Symmetrierandbedingungen –mirror-, Verbindungsrandbedingungen –connection- vorgesehen.
Verbindungsrandbedingungen entstehen in Mehrblocknetzen. Hier ist der vollständige
Austausch der Lösungen verschiedener Blöcke über sogenannte blockcuts sicherzustellen.
Symmetrierandbedingungen verhalten sich wie blockcuts, wobei der Strömungsvektor mit
dem negativen Einheitsnormalenvektor der Symmetriebene multipliziert wird. Die
randnormalen Gradienten der Strömungsgrößen werden zu null gesetzt.
Periodische Randbedingungen sind insbesondere für die Berechnung von Turbomaschinen
von Bedeutung.
2.10.2.4 Externe Randbedingung
Externe Randbedingungen –external- kommen für den Fall der freien Umströmung von festen
Körpern zum Einsatz. Das Strömungsfeld reicht um den festen Körper bis ins Unendliche.
Die Strömung, die durch den Körper verursacht wird, klingt im Unendlichen ab.
Da wir einen unendlichen Randabstand nicht diskretisieren können, muß der Abstand des
Festkörperrandes zum externen Rand doch so groß sein, daß Strömungsinhomogenitäten nicht
in den externen Rand hineinreichen. In den externen Randbedingungen legen wir die
Riemannschen Invarianten fest, die für die in den physikalischen Rechenraum ein- und
austretenden Impuls- und Energieströme unveränderliche Variablen darstellen.
2.11 Rechenverfahren
CFD-Rechnungen werden in verschiedensten Ingenieurgebieten eingesetzt. Entsprechend
umfangreich sind die Eigenschaften der verwendeten Algorithmen und Programmpackete,
wobei Kriterien zur Unterscheidung und Einordnung der Rechenverfahren notwendig sind.
Dieses Vorgehen gewinnt um so mehr an Bedeutung, da die CFD-Rechnungen heute nunmehr
ein Bestandteile komplexer Rechnungen in der Entwicklungsarbeit für die Auslegung von
technischen Systemen bzw. Bauwerken sind und eine Kopplung der Gleichungen von
Strömungsmechanik und Strukturmechanik unter Beachtung der thermischen
Wechselwirkung mit dem Gesamtsystem angestrebt wird.
Wir werden den Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 entsprechend der Beurteilungskriterien
nach Hildebrandt [19] einordnen. FINE/TURBO verwendet als Lösungsbasis den
Euranus/Turbo-Code.
Anwendungsgebiet
Der Strömungslöser FINE/TURBO V3.0 ist ein kommerzielles Programmpaket ohne
Implementierung der CHT-Technik - Conjugate Heat Transfer and flow simulation – d.h. die
Temperaturgradienten in festen Körpern aufgrund der nicht adiabaten Wandrandbedingungen
können nicht erfaßt werden. Des weiteren ist die Berücksichtigung von
33

Mehrphasenströmungen, Reaktionen und veränderlichen Wandrandbedingungen nicht
möglich.
Der in FINE/TURBO V3.0 verwendete Euranus/Turbo-Code deckt die gesamte Bandbreite
kompressibler und inkompressibler Strömungen ab. Mit ihm können wir Berechnungen
ausschließlich stationärer Strömung vornehmen. Die Behandlung instationärer Strömungen ist
in der vorliegenden Version 3.0 nicht vorgesehen.
Das Diskretisierungsgebiet kann im kartesischen Koordinatensystem und im zylindrischen
(rotierend oder nicht rotierendes) Koordinatensystem aufgebaut werden, so daß die
Berechnung von Turbomaschinen in ihrer axialsymmetrischen Konfiguration möglich ist.
Approximationsgrad
Die höchste Stufe der Approximation stellt die Direkte Numerische Simulation – DNS dar,
die aufgrund des hohen numerischen Aufwandes noch unpraktikabel ist. Abhilfe schafft die
Large Eddy Simulation - LES, da hier Turbulenzballen bis zur Größenordnung des
Rechennetzes direkt erfaßt werden und eine weitere Auflösung durch statistische
Turbulenzmodelle erfolgt.
Der Euranus/Turbo-Code löst die dreidimensionalen Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-
Gleichungen, deren Genauigkeit aufgrund der Beschreibung der turbulenten
Schwankungsgrößen auf Basis der Reynolds-Mittelung beschränkt ist.
Eine zusätzliche Implementierung von zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen ist
nicht vorhanden. In diesem Fall ist ein dreidimensionales Netz mit einer Zellenauflösung von
eins in der vernachlässigten Koordinatenrichtung des Rechenraums zu verwenden, NUMECA
[30].
Räumliche Diskretisierung
Wir unterscheiden Finite-Volumen-, Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Verfahren, die
aus der Differential- und Integralform der Navier-Stokes-Gleichungen ableitbar sind,
Anderson [1] und Hirsch [21].
Der Euranus/Turbo-Code arbeitet als Finites-Volumen-Verfahren.
Zeitliche Diskretisierung
Zur zeitlichen Diskretisierung stehen implizit und explizit formulierte Methoden zur
Verfügung.
Der Euranus/Turbo-Code wurde mit expliziten Methoden realisiert. Der Lösungsalgorithmus
ist expliziter Runge-Kutta 4. und 5. Ordnung mit einer impliziten Ergänzung zur
Residuumglättung.
Rechennetze
Die Rechennetze bilden den physikalischen Rechenraum in Form von kleinen, diskreten
Kontrollvolumina nach. Sie ermöglichen mit entsprechender Koordinatentransformation die
Anpassung der Navier-Stokes-Gleichungen mit ihrer Gültigkeit im karthesischen
Koordinatensystem an das krummlinige Koorrdinatensystem des numerischen Rechenraums.
Wir können die Rechennetze entsprechend der Art ihres Aufbaus sowie der Anzahl ihrer
Netzpunkte N beurteilen. Auf feinen Netzen erhalten wir insbesondere für Rechnnungen mit
34

Turbulenzmodellen bessere Ergebnisse als auf groben Netzen. Ein hohe Qualität der
Rechennetze können wir aus einem kleinen Expansions- und Streckungsverhältnis sowie einer
geringen Netzverscherung ableiten.
Vom Aufbau der Rechennetze unterscheiden wir den unstrukturierten und den strukturierten
Typ.
Unstrukturierte Netze
Unstrukturierte Netze bestehen in ihren Einzelelementen aus willkürlich zusammengesetzten
Tetra- und Hexaedern.
Für die Erzeugung unstrukturierter Netze stehen automatische Vernetzungsalgorithmen zu
Verfügung, die eine selbständige Adaption der unstrukturierten Netzes vornehmen, was eine
große Zeitersparnis mit sich bringt.
Unstrukturierte Netze werden vorwiegend unter industriellen Bedingungen eingesetzt. Da
Informationen über Art, Lage und Identität der benachbarten Zellen gespeichert werden
müssen, sind die Rechenverfahren numerisch sehr aufwendig. Aufgrund der teilweise starken
Verzerrungen in den Netzen sind hinsichtlich der numerischen Genauigkeit Einschränkungen
hinzunehmen.
Unstrukturierten Netze werden ausschließlich für Finite-Elemente-Verfahren eingesetzt.
Strukturierte Netze
Strukturierte Netze bestehen in ihren Einzelelementen aus geordneten Rechtecken. Die
Erzeugung von strukturierten Netzen ist sehr aufwendig, insbesondere für die Vernetzung von
komplizierten Geometrien. Algorithmen zur automatischen Netzadaption sind nur bedingt
verfügbar. Jedoch ist der Hauptspeicherbedarf gegenüber unstrukturierten Netzen geringer,
die Konvergenzzeiten sind kürzer.
Strukturierte Netze werden im wesentlichen für Finite-Differenzen- bzw. Finite-Volumen-
Verfahren verwendet.
Hybride Netze
Hybride Netze werden sowohl aus strukturierten als auch aus unstrukturierten Netzgebieten
aufgebaut. Insbesondere an Festkörperrandgebieten können auftretende Grenzschichten mit
strukturierten Netzten diskretisiert werden, der verbleibende physikalische Rechenraum wird
mit unstrukturierten Netzzellen aufgefüllt.
Der numerische Aufwand ist mit dem unstrukturierter Netze vergleichbar. Auf hybriden
Netzen wird mit dem Finite-Elemente-Verfahren gerechnet.
Strukturierte Mehrblocknetze
Strukturierte Mehrblocknetze ermöglichen die beliebige Diskretisierung komplexer
Geometrien mit strukturierten Netzen. Die Blocknetze sind mit blockcuts verbunden, über die
Lösungsvektoren ausgetauscht werden. Mehrblockstrukturen lassen sich einfach auf
Parallelrechnern implementieren.
Das IGG-Modul von FINE/TURBO V3.0 erzeugt strukturierte Mehrblocknetze.
35

Anordnung der Variablen
Die Variablen, mit denen die Erhaltungsgleichungen gelöst werden, lassen sich aus der
Anordnung im numerischen Rechenraum mit zwei wichtigen Methoden bestimmen.
Die am einfachsten zu implementierende Methode ist die cell-centered Methode, welche die
Anordnung der Lösungsvariablen aus der geometrischen Mitte der Knotenpunkte des
Kontrollvolumens berechnet. Die cell-centered Methode hat den Nachteil, daß sie
insbesondere bei groben und stark verscherten Netzen ungenaue Ergebnisse liefert.
Der Euranus/Turbo-Code arbeitet zur Bestimmung der Anordnung der Lösungsvariablen im
numerischen Rechenraum mit der cell-centered Methode.
Eine numerisch aufwendigere Methode ist die cell-vertex Methode, die auch auf mangelhaften
Netzen gute Ergebnisse liefert. Die Anordnung der Lösungsvariablen wird aus den
korrespondierenden Mittelpunkten der die Lösungsvariable umgebenden Kontrollvolumina
gebildet.
2.12 CVF V3.7-31-computational field visualization
Für die Auswertung der Rechenergebnisse steht das CFV -Computational Field Visualization
System- zur Verfügung. Mit CFV können wir Strömungsfelder, die auf strukturierten als auch
auf unstrukturierten Netzen gerechnet wurden, visualisieren und auswerten.
Die Arbeitsumgebung ist Windows orientiert. CFV erreicht jedoch nicht den Bedienkomfort
eines MS-Windows Betriebsystems.
CFV besteht aus einem in C++ erstellten objektorientierten Programmcode (OOP), in dem die
interviews class Bibliothek und die HOOPS Grafik Bibliothek implementiert wurden.
HOOPS ist ein von der Firma Autodesk entwickelter 3D Grafikstandard, der entsprechend
umfangreich und effizient genug ist, um hochwertige dreidimensionale Grafiken zu
verarbeiten.
Die von FINE/TURBO V3.0 erzeugten binären Ergebnisdateien werten wir direkt mit dem
CFV aus. Sollte im Full-Multi-Grid Modus gearbeitet werden, wird eine .aout Datei erzeugt,
die sämtliche Lösungen der letzten Rechnung im ASCI Format beinhaltet und das erneute
Starten der Rechnung im full multi grid Modus für weitere numerische Randbedingungen z.B.
veränderte CFL-Zahl erlaubt. Das Stoppen und erneute Starten von FINE/TURBO im full
multi grid Modus ist jedoch nur im feinsten Netz möglich. Der Versuch einer geordneten
Unterbrechung der Rechnung bleibt auf den gröberen Netzen unberücksichtigt und setzen erst
auf dem feinsten Netz ein.
FINE/TURBO V3.0 errechnet eine Reihe von charakteristischen Feldgrößen, die auch
oberflächengemittelt ausgewertet werden können. Des weiteren werden globale Daten, wie
die globalen Massenströme m& am inlet und outlet bestimmt, die bei einer reinen
Kanalströmung in ihrer Differenz eine gute Abschätzung über den Zustand und den Stand der
Rechnung geben.
36

2.13 Residuum
Mit dem Residuum bestimmen wir die Güte des berechneten Ergebnisses. Das Residuum ist
als die Funktion der Änderung des Lösungsvektors in Abhängigkeit von der Zeit definiert,
welche mit fortlaufender erfolgreicher Rechnung einen konvergierenden Verlauf annimmt,
Gl. 2.69.
lim
t→∞
RES
r
∂Q
= lim
∂t
t→∞
= 0
Gl. 2.69
Um das Residuum einer komplexen Rechnung beurteilen zu können, wird der RMS-Wert der
Einzelresidien der Ergebnisgrößen im Lösungvektor bestimmt,
RMS
RES
=
∑∑∑
j i k
RES
i ⋅ j ⋅ k
2
i, j, k
Gl. 2.70
wobei eine Gewichtung der Residien der verschiedenen Lösungsgrößen vorgenommen
werden sollte.
3 MODELLRECHNUNGEN
In der vorliegenden Arbeit werden Rechnungen an der AGTB-Kaskade nach Ardey [2],
Beeck [7], Rodi [33], Vogel [38], an längs angeströmten ebenen Platten sowie einer
Ausblasekonfiguration an der ebenen Platte mit runder Nasengeometrie durchführt, die
experimentell von Leschik [25] mit dem remissionsfotometrischen Verfahren untersucht wird.
Wir versuchen jedoch auch, eine von Boehme [10] experimentell untersuchte Kanalströmung
zu berechnen.
3.1 Kanalströmung
Wir berechnen die Kanalströmung einer Meßkammer. Die berechnete Meßkammer wurde von
Boehme [10] zur Untersuchung der aktiven Unterdrückung der Strömungsablösung mittels
Lufteinblasung in die verzögerte Hauptströmung vermessen.
Die Meßkammer war im Göttinger Umluftwindkanal des Lehrstuhls Verbrennungskraftmaschinen
und Flugantriebe implementiert. Die Kanalströmung wies ein instationäres
Verhalten auf, für deren Ausbildung die Art der Konstruktion der verwendeten Meßkammer
als wesentliche Ursache ermittelt wurde.
37

Boehme [10] verweist in seiner Arbeit auf eine Reihe von möglichen Ursachen für die
Ausbildung der hochturbulenten, instationären Kanalströmung.
Dabei ist insbesondere die Art der Einlaufform der Meßkammer in ihrer Ausführung als
angespitzte Fase maßgebend. In verschiedenen Arbeiten wurde bereits festgestellt, daß die
spitze Platte unter den gegebenen Strömungsbedingungen immer zur Strömungsablösung
führt, Kottke [24] und Bischoff [9]. Die von Boehme [10] verwendete Meßkammer ohne
Einblasekonfiguration ist in der Abb. 3.1 dargestellt.
Abb. 3.1 – Meßkammer ohne Einblasekonfiguration nach Boehme [10]
Auf eine Berechnung der von Boehme [10] verwendeten Einblasekonfiguration wird
verzichtet, da der Kanal von Boehme [10] eine Reihe von konstruktiven Störstellen am
Einlauf als auch an der Kanalwand aufweist, die nicht oder nur sehr aufwendig modelliert
werden können. Die Störstellen sind im wesentlichen im aerodynamisch nicht idalen Einlauf
der Meßkammer als auch in der Meßkammer selbst in Form von Bauteilstufungen zu finden.
3.1.1 Randbedingungen
Wir behandeln die Kanalströmung in der Meßkammer als internal flow. Die Kanalwandungen
definieren wir als Festkörperrand, und sind Ein- und Ausströmrand, mit bezieht
sich die Symmetrierandbedingung auf die beiden noch verbleibenden Seitenflächen des
untersuchten Kanals, Abb. 3.1.
Aus den von Boehme [10] in seiner Arbeit gemachten Angaben leiten wir die in der Tabelle
3.1 aufgeführten numerischen Randbedingungen her.
38

Referenzgrößen
Referenzlänge l 1000 mm
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s
Dichte ρ 1,169 kg/m³
Totaltemperatur T 298 K
Wärmekapazität bei konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)
Isentropenexponent κ 1,4
Prandtlzahl Pr 0,72
Reynoldszahl Re 1333334
Einströmrand
Anströmgeschwindigkeit v 1 20 m/s
statische Temperatur T 1 298 K
Ausströmrand
statischer Druck p 2 100000 Pa
Tab. 3.1 – numerische Randbedingungen der Meßkammer
3.1.2 Rechennetz und Turbulenzmodell
Das verwendete Rechennetz wird als H-Netz mit 515x129x2 Netzpunkten ausgeführt,
welches somit eine Gesamtnetzpunktzahl von 132870 hat. NUMECA rät zur Verwendung
eines dreidimensionalen Netzes, da FINE/TURBO V3.0 die dreidimensionalen Reynoldsgemittelten
Navier-Stokes-Gleichungen löst und die vorhandene Implementierung der zweidimensionalen
Berechnung weniger gute Ergebnisse liefert. Wir wählen die hohe
Netzpunktzahl, um eine gute Auflösung der Grenzschicht und der Kanalströmung und
Erfassung möglicher Strömungsinhomogenitäten zu erreichen.
Als Turbulenzmodell verwenden wir das Baldwin-Lomax-Modell, da die Meßkammer unter
der Vorstellung einer idealen turbulenzfreien Einströmung der turbulenzarmen Kanalluft des
Göttinger Umluft-windkanal der Turbulenzgrad Tu sehr niedrig sein müßte. Bischoff [9]
stellte in der Kernströmung an der Düsenmündungsebene des Göttinger Umluftwindkanals für
eine Anströmgeschwindigkeit v von 20 m/s einen sehr niedrigen Turbulenzgrad Tu von 0,3 %
fest.
Boehme [10] jedoch bestimmte für seine Untersuchungen im Bereich der festen Randzone der
Meßkammer einen Turbulenzgrad Tu von 20 % bis 38%, in der Kernströmung einen
niedrigen Turbulenzgrad Tu von 1 % und weniger. Die Meßergebnisse von Boehme [10]
lassen sich nur bedingt in ein entsprechendes Turbulenzmodell implementieren. Am
Einströmrand können wir bei Verwendung des k-ε Modells die kinetische Energie k und die
39

Dissipation ε vorgeben. Dieses Vorgehen beinhaltet jedoch nicht die Definition der
turbulenten Grenzschicht, die am Einlauf der Meßkammer induziert wurde.
Abb. 3.2 – Rechennetz der Meßkammer
3.1.3 Rechnung
Für die Berechnung der Meßkammer stand eine O2 Workstation des Herstellers Silicon
Graphic Inc. –SGI- zur Verfügung. Die O2 Workstation wird im Kapitel 4.1 näher
beschrieben. Da wir als Turbulenzmodell das Baldwin-Lomax-Modell gewählt haben, bietet
sich der Einsatz des full multi grid Modus an. Die Berechnung kovergiert auf drei Netzen in
40 h. Problematisch waren Berechnungsversuche des inkompressiblen Strömungsfeldes. Erst
mit dem Umschalten auf kompressibles Rechnen erhalten wir eine konvergierende Rechnung.
3.1.4 Ergebnisse
In der Meßkammer stellen wir keine abgelöste Strömung fest, Abb. 3.3. In den Abb. 3.5 und
Abb. 3.6 sind die Skalarfelder für die Geschwindigkeitskomponenten v x und v y der
resultierenden Geschwindigkeit v dargestellt. Wir erkennen keine Rückströmzonen sondern
lediglich eine zur Hauptströmungsrichtung konform gerichtete, verzögerte Kanalströmung.
Die Meßkammer wirkt als Niedergeschwindigkeitsdiffusor.
40

Abb. 3.3 – Stromlinien in der Meßkammer, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
Abb. 3.4 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang der Profilänge x, Baldwin-Lomax-Modell
41

Abb. 3.5 – Geschwindigkeitskomponente v x in m/s, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
Abb. 3.6 – Geschwindigkeitskomponente v y in m/s, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
42

Abb. 3.7 – Isolinien der Machzahl Ma, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
Abb. 3.8 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
43

Die Machzahl Ma in der Meßkammer ist aus der Abb. 3.7 ersichtlich. Für die auftretenden
Machzahlen Ma von weniger als 0,07 können wir eine quasi-inkompressible Strömung
annehmen. Da das Strömungsfeld kompressibel gerechnet wurde, können wir auch die
Isolinen des statischen Drucks p sowie seine Verteilung im Strömungsfeld sowie entlang der
festen Wandkontur oder Profillänge x in den Abb. 3.8 und Abb. 3.4 angeben.
3.1.5 Bewertung
Die numerische Berechung der Kanalströmung nach Boehme [10] ergeben eine stationäre
Strömung, welche im Niedergeschwindigkeitsdiffussor kontinuierlich verzögert wird.
Strömungsablösungen bzw. Zonen mit Rückströmungen können nicht festgestellt werden.
Untersuchungen von Boehme [10] zeigen, daß die Strömung am Einlauf der Meßkammer
stark gestört wird. Dieser Sachverhalt hat maßgeblichen Einfluß auf die Kanalströmung in
seinem Meßkammer-Experiment. Das Meßkammer-Experiment können wir nicht als
Referenzfall für die vorliegende numerische Berechnung verwenden.
3.2 AGTB-Kaskade
Das Profil des ebenen Turbinengitters AGTB stellt einen Meridianschnitt einer kühlbaren
Hochdruckturbinen-Rotorschaufel dar. Es wurde bei der Motoren- und Turbinen-Union
München zu Forschungszwecken entwickelt.
Abb. 3.9 –Turbinen-Kaskade, Quelle DGLR – Luft- und Raumfahrt [13]
44

Neben den einfachen zweidimensionalen Untersuchungen wurde das Turbinengitter AGTB
mit verschiedenen Kühlluftausblasekonfigurationen versehen, die Aussagen zum Verhalten
der Filmkühleffektivität am Schaufelwandbereich bzw. unter dem Einfluß der Querwirbelablösungen
an der Endwand der AGTB-Kaskade ermöglichten. Ardey [2], Wilfert [40] und
Beeck [7] haben die AGTB-Kaskade vorwiegend experimentell, Vogel [38] und Rodi [33]
numerisch untersucht. Die Abb. 3.9 ist der DGLR – Luft- und Raumfahrt [13] entnommen.
Sie zeigt die Schlierenaufnahme der AGTB-Kaskade auf dem Prüfstand der MTU –Motorenund
Turbinen-Union unter realen Anströmbedingungen mit deutlicher Stoßausprägung.
In der vorliegenden Arbeit berechnen wir das zweidimensionale Strömungsfeld der skalierten
AGTB-Kaskade im Meridianschnitt ohne Kühlluftausblasekonfigurationen nach Angaben von
Ardey [2], Wilfert [40] und Beeck [7].
Abb. 3.10 – AGTB–Kaskade nach Wilfert [40]
Die Gitterdaten für den Auslegungsfalls sind nach Angaben von Ardey [2], Wilfert [40] und
Beeck [7] in der Tabelle 3.2 aufgeführt.
Turbinengitter AGTB
Schaufelzahl 3
Sehnenlänge
l = 250 mm
Schaufelhöhe
h = 300 mm
Teilungsverhältnis
t/l = 0,714 mm
Tab. 3.2 – Gitterdaten der AGTB-Kaskade
45

Das Turbinengitter AGTB wird mit folgenden aerodynamischen Daten ausgelegt.
Anströmung
Abströmung (theoretisch)
Machzahl Ma 1 = 0,37 Ma 2 = 0,95
Reynoldszahl Re 1 = 368000 Re 2 = 695000
Winkel β 1 = 133,0° β 2 = 28,3°
Tab. 3.3 – aerodynamische Daten der AGTB-Kaskade
3.2.1 Randbedingungen
Die Kanalströmung in der AGTB-Kaskade berechnen wir als internal flow. Für die
Oberfläche der Turbinenschaufel gelten die Bedingungen des Festkörperrands. Mit und
kennzeichnen wir in der Abb. 3.10 Ein- und Ausströmrand. Die für Turbomaschinen
typische periodische Randbedingung ist in der Abb. 3.10 mit markiert.
Das Turbinengitter AGTB ist am Hochgeschwindigkeits-Gitterwindkanal HGK der
Bundeswehr Universität vermessen worden, wobei am Einströmrand ein statischer Druck p 1
von 20000 Pa und eine Anströmdichte ρ 1 von 0,2⋅kg/m³ eingestellt wurde, Ardey [2], Beeck
[7] und Wilfert [40]. Wir bestimmen aus den aerodynamischen Daten die numerischen
Randbedingungen.
Da wir ein inkompressibles Strömungsfeld untersuchen, gilt die Machzahl Ma nach Gl. 3.1
v
Ma = Gl. 3.1
a
mit der Schallgeschwindigkeit a.
a = R ⋅T
⋅κ
Gl. 3.2
Aus Gl. 2.24, Gl. 3.1 und Gl. 3.2 erhalten wir die Gl. 3.3 für die Berechnung der statischen
Temperatur T 1 am Einströmrand der AGTB-Kaskade.
T1
=
1 ⎛ Re1⋅
µ
⋅ 1
R
⎜
⋅κ
⎝ l ⋅ Ma1
2
⎟ ≈
⎠ R ⋅
−
1 ⎟
1 ⋅ l ⋅ Ma ⎟
1 ⎠
2
0,
6
( T ) ⎞ 1 ⎛ −
17,1 ⋅ 10 ⋅ Re ⎞ 52
κ
⋅ ⎜
⎜ 0, 76
⎝ T0
⋅
ρ
Gl. 3.3
Mit den Angaben aus Tab. 3.3 berechnen wir mit dem Energieerhaltungssatz für verlustfreie
Strömung bei einer spezifischen Wärmekapazität für konstanten Druck c p die numerischen
Randbedingungen
46

2
v
c p ⋅ T0
= c p ⋅ T +
Gl. 3.4
2
sowie für kompressible Strömungen im hohen Unterschall bzw. Überschall in Abhängigkeit
von der Machzahl Ma und dem Isentropenexponenten κ und erhalten für die kompressible
Strömung.
2
T0 u κ − 1 u κ − 1
= 1 + = 1 + ⋅ = 1 + ⋅ Ma
T 2 ⋅ c ⋅T
2 κ ⋅ R ⋅T
2
p
2
2
Gl. 3.5
Unter Annahme eines idealen Gases gilt
p
ρ0
⋅T
= ρ ⋅T
p0
0
Gl. 3.6
und es ergibt sich
cp = κ ⋅ c v c p = R + cv
cv
= cp
− R
c p
κ ⋅ R
= κ − 1
Gl. 3.7
κ
p0 ⎡ κ − 1 1
1 Ma 2 ⎤κ
−
=
p ⎢
+ ⋅
⎣ 2 ⎥
⎦
Nehmen wir isentrope Strömung an, so gilt
p 01 = p 02
Gl. 3.8
und wir erhalten den statischen Druck p 2 am Abströmrand, Gl. 3.8.
κ
κ −
⎡ κ − 1 2 ⎤ 1
⎢
1 + ⋅ Ma1
p p 2 ⎥
2 = 1 ⋅ ⎢
= 12299
κ − 1 ⎥
2
⎢1
+ ⋅ Ma2
⎥
⎣ 2 ⎦
Pa
Gl. 3.9
47

Die numerischen Randbedingungen für die Berechnung der AGTB-Kaskade sind in der Tab.
3.4 aufgeführt.
Referenzgrößen
Referenzlänge l 250 mm
Referenzgeschwindigkeit v 144,162 m/s
Dichte ρ 0,2 kg/m³
Totaltemperatur T 377,531 K
Wärmekapazität für konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)
Isentropenexponent κ 1,4
Prandtlzahl Pr 0,72
Reynoldszahl Re 368000
Einströmrand
Anströmgeschwindigkeit
x-Komponente
Anströmgeschwindigkeit
y-Komponente
v x
v y
98,32 m/s
105,433 m/s
statischer Druck p 1 20000 Pa
statische Temperatur T 1 377 K
Kinetische Energie k 200 m/s 2
Turbulenzgrad Tu 4% / 8 %
Ausströmrand
statischer Druck p 2 12299 Pa
Tab. 3.4 – numerische Randbedingungen, AGTB-Kaskade ohne Kühlluftausblasekonfiguration
3.2.2 Rechennetz und Turbulenzmodell
Die AGTB-Kaskade diskretisieren wir mit einem strukturierten, zweidimensionalen Netz,
welches aus drei Blöcken besteht. Der erste Block umfaßt den Vorlaufbereich mittels einer H-
Netz-Topologie bestehend aus 33x33x2 Netzpunkten. Der zweite Block besteht aus einem O-
Netz mit 129x513x2 Netzpunkten. Der Kaskadennachlauf wird als H-Topologie und 33x33x2
Netzpunkten diskretisiert. Es ergibt sich somit ein Rechennetz mit der Gesamtpunktzahl von
136710 Netzpunkten.
Die AGTB-Kaskade berechnen wir mit dem Baldwin-Lomax-Modell sowie dem k-ε Modell
in der Modifikation von Chien mit den Turbulenzgraden 4% und 8%, wobei zwei
48

unterschiedliche Netze für die Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell und dem k-ε
Modell verwendet werden.
3.2.3 Rechnung
Die Berechnung der AGTB-Kaskade führen wir auf der schon erwähnten O2 von SGI durch.
Auf dem Diskretisierungsnetz wird im full multi grid Modus mit dem Baldwin-Lomax-
Modell auf zwei Netzen gerechnet. Eine ausreichend konvergierte Lösung erhalten wir in
einem Zeitraum von 40 h.
Die Konfiguration mit dem k-ε Modell berechnen wir auf einem gröberen Netz, da wir den
full multi grid Modus aufgrund dessen fehlenden Implementierung für das k-ε Modell hier
nicht anwenden können. Das Umschalten vom gröberen auf das feine Netz im Rahmen des
full multi grid Modus ist dann nicht vorgesehen. Die Rechnung konvergiert entsprechend
langsamer, in einem Zeitraum von 60 h.
Das k-ε Modell in der Modifikation von Chien ist ein Turbulenzmodell für hohe als auch für
niedrige Reynoldszahlen. Die viskose Unterschicht der Grenzschicht an der Profiloberfläche
kann so hinreichend aufgelöst werden. Ein notwendiges Anpassen des normierten
Wandabstandes y + des ersten Netzpunktes entfällt. In den Abb. 3.11 und Abb. 3.12 sind die
typischen Verteilungen von y + des ersten Netzpunktes entlang der Profiloberfläche
dargestellt, für das Netz auf dem mit Baldwin-Lomax-Modell bzw. mit dem k-ε Modell
gerechnet wurde. Die Saugseite der Turbinenschaufel ist mit einem die Druckseite mit
einem gekennzeichnet.
Abb. 3.11 – normierter Wandabstand y + der ersten Netzzelle für Berechung mit Baldwin-Lomax-Modell
49

Abb. 3.12 – normierter Wandabstand y + der ersten Netzzelle für Berechung mit k-ε Modell
3.2.4 Ergebnisse
Die Strömung wird in der AGTB-Kaskade beschleunigt und stark umgelenkt. Die
Strömungsgrenzschicht folgt der Kontur der Schaufeloberfläche. Auf der Saug- und auf der
Druckseite stellen wir eine laminare Grenzschicht fest, Abb. 3.13.
Grundsätzlich besteht für stark umgelenkte Strömungen die Gefahr der Grenzschichtablösung.
Diese wurde in den Ergebnissen der Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell als auch
für das k-ε Modell nicht festgestellt. In ihrer Charakteristik sind die Ergebnisse der
Berechnungen mit den Baldwin-Lomax-Modell und dem modfizierten k-ε Modell identisch.
Das Phänomen der Grenzschichtablösung tritt entlang einer festen Wandkontur auf, wenn der
statische Druck p bei gleichzeitig zunehmender Strömungsgeschwindigkeit zunächst abfällt.
Danach fließt die Außenströmung langsamer. Nach und nach erschöpft sich die kinetische
Energie der Grenzschicht aufgrund der Reibungseffekte an der festen Wandkontur. Für den
Fall der Grenzschichtablösung wird ein Punkt erreicht, wo die Strömung in der viskosen
Unterschicht zum Stillstand kommt und ein weiterer Druckanstieg strömabwärts nicht mehr
möglich ist, während die Außenströmung ihren Druckanstieg fortsetzt. Die Außenströmung
bricht an dieser Stelle in die energiearme Zone ein, wobei es in den wandnahen Bereichen zur
Rückströmung kommt.
50

In der Genzschicht werden stark verwirbelte und verlustbehaftete Grenzschichtanteile
angesammelt, die mit der Bildung eines Totwassergebietes den aerodynamischen Widerstand
entlang der Lauflänge der Turbinenschaufel erhöhen könnte.
In der AGTB-Kaskade besteht ohne Kühlluftausblasekonfiguration keine Gefahr einer
Grenzschichtablösung.
In den Abb. 3.14 bis Abb. 3.19 sind die Geschwindigkeitsvektorfelder und Stromlinien in den
Nasen- bzw. Nachlaufzonen der AGTB-Kaskade der Berechungen mit dem Baldwin-Lomax-
Modell und dem modifizierten k-ε Modell nach Chien dargestellt.
Die Strömungsfelder der Nachlaufzonen für die AGTB-Kaskade unterscheiden sich in der
unterschiedlichen Ausprägung der Wirbelstrukturen für die Berechnungen mit dem Baldwin-
Lomax-Modell und dem modifizierten k-ε Modell nach Chien. Zeigt das Ergebnis der
Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell je einen Wirbel in der Teilung von Druck- und
Saugseite, so wird nur ein Wirbel auf der Saugseite bei der Berechnung mit dem modifizierten
k-ε Modell erfaßt, Abb. 3.17 und Abb. 3.19.
Die Ursache für dieses Ergebnis ist numerischer Art und nicht in der Auswahl des
entsprechenden Turbulenzmodells begründet. Für die Berechnungen mit dem modifizierten k-
ε Modell verwendeten wir ein in den Randzonen gröberes Netz als für die Berechnung mit
dem Baldwin-Lomax-Modell, Abb. 3.14 und Abb. 3.15.
Hier zeigt sich der Vorteil der Hochauflösung fester Randzonen. Mit feineren Netzen und
hochaufgelöster Diskretisierung der Grenzschicht lassen sich gute Ergebnisse erzielen.
Abb. 3.13 – Stromlinien in der AGTB-Kaskade für Berechnung mit Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 27:125
51

Abb. 3.14 – Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, Baldwin-Lomax-Modell
Abb. 3.15 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, Baldwin-Lomax-Modell
52

Abb. 3.16 Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%
Abb. 3.17 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%
53

Abb. 3.18 – Geschwindigkeitsfeld in der Nasenzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%
Abb. 3.19 – Geschwindigkeitsfeld in der Nachlaufzone der AGTB-Kaskade, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%
54

In den Abb. 3.20 bis Abb. 3.22 sind die Isolinien des statischen Drucks p für die
Berechnungen mit dem Baldwin-Lomax-Modell und dem modifizierten k-ε Modell
dargestellt. Die Ergebnisse der Rechnungen mit den verschiedenen Turbulenzmodellen bzw.
unterschiedlichen Turbulenzgraden Tu sind weitestgehend identisch.
Betrachten wir den hinteren Bereich der Saugseite genauer, so fällt auf, daß hier eine lokale
Erhöhung des statischen Drucks p auftritt. Die lokale Erhöhung des statischen Drucks p ist in
dem Ergebnis der Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell stärker ausgeprägt als in dem
Ergebnis der Berechnung mit dem modifizierten k-ε Modell.
Wie schon in der vorhergehenden Betrachtung für das Geschwindigkeitsfeld müssen wir als
Ursache für diese Abweichung, die unterschiedlich gewählte Diskretisierung des
physikalischen Rechenraums bzw. die geringere Auflösung der Grenzschicht an der festen
Randzone für die Berechnung mit dem modifizierten k-ε Modell im Vergleich mit dem
Ergebnis der Berechnung mit dem Baldwin-Lomax-Modell annehmen.
In den Abb. 3.23 bis Abb. 3.25 ist die Verteilung des statischen Drucks p entlang der
Profillänge x dargestellt. Die Verteilung ist für alle Ergebnisse der Berechnungen gleich. Nur
im Endbereich der AGTB-Kaskade hat die schon mit den Abb. 3.17 bis Abb. 3.19
beschriebene, verschiedenartige Ausbildung der Wirbel in der Nachlaufzone der AGTB-
Kaskade auf die Verteilung des statischen Drucks p entlang der Profillänge x einen Einfluß.
Auffallend ist auch der lokale Einbruch des statischen Drucks p für die Berechnungen mit
dem Baldwin-Lomax-Modell und dem modifizierten k-ε Modell / Tu = 4% auf der Saugseite
der Turbinenschaufel an der Position 55 mm, der im Ergebnis der Berechnung mit dem
modifizierten k-ε Modell / Tu = 8% vergleichsweise schwach ausfällt.
Baldwin-Lomax-
Modell
k-ε Modell nach
Chien / Tu = 4%
k-ε Modell nach
Chien / Tu = 8%
maximales p
Nasenzone
maximales p
Nachlaufzone
minimales p
Nachlaufzone
p [Pa] x [mm] p [Pa] x [mm] p [Pa] x [mm]
20000 -10 20400 -10 20400 -10
12400 225 11900 225 12500 225
10200 218 10200 218 10500 218
Saugseite
minimales p 8000 165 7500 167 8000 160
minimales p
lokal
11500 55 11500 55 13500 55
Druckseite
maximales p 18450 75 18500 75 18450 75
Tab. 3.5 – Maxima und Minima in der Verteilung von p entlang der Profillänge x
55

Abb. 3.20 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
Abb. 3.21 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
56

Abb. 3.22 – Isolinien des statischen Drucks p in Pa, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
Abb. 3.23 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, Baldwin-Lomax-Modell
57

Abb. 3.24 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%
Abb. 3.25 – Verteilung von p in Pa entlang der Profillänge x in m, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%
58

In den Abb. 3.26 bis Abb. 3.28 sind die Isolinien der Machzahl Ma aufgetragen. Die sich am
Einströmrand bzw. am Ausströmrand einstellende Machzahl Ma beträgt für alle drei untersuchten
Konfigurationen ≈ 0,44 bzw. ≈ 0,8. In der Nasenzone der Turbinenschaufel bildet
sich der charakteristische Staupunkt aus, in dem die Machzahl Ma den Wert null annimmt,
bzw. der statische Druck p sein Maximum erreicht, siehe Tab. 3.5. Am hinteren Bereich der
Saugseite stellt sich eine Zone mit erhöhter Machzahl Ma ein, die im Ergebnis der Berechnung
mit dem Baldwin-Lomax-Modell den Wert ≈ 1.15 und im Ergebnis der Berechnung
mit dem k-ε Modell den Wert ≈ 1.2 annimmt. Dieses Phänomen deckt sich mit der oben angeführten
Aussage, daß die Abnahme des statischen Drucks p mit einer Erhöhung der
Strömungsgeschwindigkeit einhergeht. In den Abbildungen wird deutlich, daß die im Nachlauf
entstehenden Strömungsinhomogenitäten bis in den Ausströmrand des physikalischen
Rechenraums reichen. Es besteht dann die Gefahr der Beeinflussung der numerischen Ergebnisse.
Wir müssen in jeden Fall darauf achten, daß sich der Ausströmrand in ausreichender
Entfernung möglicher Strömungsinhomogenitäten befindet. Entsprechend der Gasgleichung
für ideales Gas hat der Druckanstieg Auswirkungen auf die integralen Zustandsgrößen, wie
statische Temperatur T und Dichte ρ, deren Isolinien für die berechneten Fälle mit dem
Baldwin-Lomax-Modell und mit dem modifizierten k-ε Modell in den Abb. 3.29 bis Abb.
3.34 dargestellt werden. Verwenden wir das modifizierte k-ε Modell so gewinnen wir eine
Aussage über die Entwicklung der Turbulenz in der AGTB-Kaskade.
In den Abb. 3.35 und Abb. 3.36 sind die Isolinien der turbulenten Viskosität µ t /µ aufgetragen.
Die turbulente kinetische Energie k ist ein direktes Maß der isotropen Turbulenz, Abb. 3.37
und Abb. 3.38.
Abb. 3.26 – Isolinien der Machzahl Ma, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
59

Abb. 3.27 – Isolinien der Machzahl Ma, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
Abb. 3.28 – Isolinien der Machzahl Ma, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
60

Abb. 3.29 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
Abb. 3.30 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
61

Abb. 3.31 – Isolinien der statischen Temperatur T in K, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
Abb. 3.32 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, Baldwin-Lomax-Modell, Maßstab 33:240
62

Abb. 3.33 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
Abb. 3.34 – Isolinien der Dichte ρ in kg/m³, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
63

Abb. 3.35 – Isolinien der Wirbelviskosität µ t /µ, k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
Abb. 3.36 – Isolinien der Wirbelviskosität µ t /µ, k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
64

Abb. 3.37 – Isolinien der kinetischen Energie k in m 2 /s 2 , k-ε Modell nach Chien / Tu = 4%, Maßstab 33:240
Abb. 3.38 – Isolinien der kinetischen Energie k in m 2 /s 2 , k-ε Modell nach Chien / Tu = 8%, Maßstab 33:240
65

β
α
3.2.5 Bewertung
Die Ergebnisse der Berechnung der AGTB-Kaskade sind weitestgehend identisch.
Abweichungen in den Ergebnissen haben ihre Ursachen mehr in der unterschiedlichen
numerischen Diskretisierung des physikalischen Rechenraums für die verschiedenen
Turbulenzmodelle als in der Auswahl des Turbulenzmodells oder der Variation des
Turbulenzgrades Tu in der Kanalströmung. Bezüglich der Bewertung der Güte von
Rechennetzen sowie deren Auswirkung auf die Qualität der berechneten Ergebnisse wurden
bereits Aussagen in Kapitel 3.2.4 gemacht.
Ein quantitativer Vergleich der berechneten Ergebnisse mit Messungen von Beeck [7] zeigt
Übereinstimmung mit den berechneten Ergebnissen.
3.3 Plattenumströmung
Die folgenden Berechnungen von Plattenumströmungen mit und ohne Ausblasung stellen
Voruntersuchungen für die Arbeit „Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung
und Strömungsablösung“ von Dückershoff [14] dar.
Sie beruhen auf dem Modell einer ebenen Platte mit spitzer bzw. kreisrunder Nasengeometrie/
Form A bzw. Form B sowie einer entsprechenden variablen Ausblasekonfiguration.
Abb. 3.39 – Anstellung der Platte mit kreisrunder Nasengeometrie
66

Unser Ziel ist es, in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α der Platte sowie der entsprechenden
Auswahl der Nasengeometrie eine definierte Verzögerung der Hauptströmung bzw.
Ablöseblase im Bereich der Plattenvorderkante zu erzeugen, in die wir einen Kühlstrahl mit
einem spezifischen Ausblaseverhältnis M zur Hauptströmung und Ausblasewinkel β
ausblasen, Abb. 3.39.
In der vorliegenden Arbeit wurde auf den quer zur Hauptströmung gerichteten Anteil der
Ausblasegeschwindigkeit, also laterale Geschwindigkeitskomponente verzichtet.
Die Platte mit kreisrunder Nasengeometrie / Form A erscheint für die definierte Induzierung
einer Ablöseblase günstiger als die Platte mit spitzer Nasengeometrie / Form B, da der
Kantennachlauf für den Fall der kreisrunden Nase für jeden Anstellwinkel α von 0° bis 45°
immer geometrisch identisch bleibt.
Dies ist für die Platte mit spitzer Nasengeometrie nicht der Fall. Sie läßt jedoch schon für
kleine Anstellwinkel α große Ablösungen erwarten.
Leschik [25] führt parallel zu den Berechnungen in dieser Arbeit Messungen an den Platten
Abb. 3.40 mit einem remissionsfotometrischen Verfahren unter Ausnutzung der Wärme-
Stoff-Analogie nach Kottke [24] und Friedrichs [15] durch.
Abb. 3.40 – Plattengeometrien der Form A und Form B mit Ausblasekonfiguration und Absaugeeinrichtungen
für Kalibrierung der Meßtechnik, Quelle Leschik [25]
67

3.3.1 Plattenumströmung ohne Ausblasung
Die Berechnungen der Plattenumströmung ohne Ausblasung sind Voruntersuchungen für die
numerisch aufwendigeren Berechnungen der Plattenströmungen mit Ausblasung.
Wir berechnen die Platte mit kreisrunder und spitzer Nasengeometrie für verschiedene
Anstellwinkel α. Die Ablösung tritt an der Platte mit spitzer Nasengeomtrie bereits für den
Anstellwinkel α von 0° auf, Bischoff [9].
Wir wissen auch, daß die Art der spitzen Nasengeometrie einen Einfluß auf den Umfang der
zu erwartenden Ablösung hat. Ist die Kante sehr spitz, so erwarten wir eine größere Ablösung
als für eine gebrochene bzw. gerundete Kante. Wir berechnen die Plattenströmung ohne
Ausblasung mit kreisrunder Nasengeometrie Form A sowie mit spitzer Nasengeometrie Form
B/I (Rundungswinkel, r = 0,2 mm) und ideal spitzer Nasengeometrie Form B/II (kein
Rundungswinkel, r = 0 mm).
3.3.1.1 Randbedingungen
Die Berechnung der freien Anströmung einer Platte erfolgt als external flow, Kapitel 2.10.2.4.
Der äußere Rand der Platte wird als Festkörperrand definiert. Mit markieren wir das
Strömungsfeld, welches wir mittels externer Randbedingung einhüllen.
In der Tab. 3.6 sind die numerischen Randbedingungen für die Berechnung angegeben.
Referenzgrößen
Referenzlänge l 500 mm
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s
Dichte ρ 1,169 kg/m³
Totaltemperatur T 298 K
Wärmekapazität konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)
Isentropenkoeffizient κ 1,4
Prandtlzahl Pr 0,72
Reynoldszahl Re 666667
Externe Randbedingung
Anströmgeschwindigkeit v H 20 m/s
Anstellwinkel α 0° – 45°
statischer Druck p H 100000 Pa
statische Temperatur T H 298 K
Tab. 3.6 – numerische Randbedingungen, Platte ohne Ausblasung
68

Den Anstellwinkel α stellen wir über die angepaßte Anströmrichtung der Hauptströmung ein,
d.h. die Anströmgeschwindigkeit wird entsprechend der Winkelbeziehung in x- und y-Anteile
zerlegt und diese als externe Randbedingung definiert. Der Anstellwinkel α ist gleich
Abströmwinkel α.
3.3.1.2 Rechennetz und Turbulenzmodell
Der physikalische Rechenraum diskretisieren wir mit einem O-Netz um die ebene Platte und
257x65x2 Netzpunkten. Die Gesamtnetzpunktzahl beträgt 33410 Netzpunkte.
Wir verwenden das Baldwin-Lomax-Modell als Turbulenzmodell, da Bischoff [9] im freien
Strömungsfeld des Göttinger Umlaufwindkanals einen Turbulenzgrad Tu von nur 0,3%
festgestellt hat, und wir somit den Turbulenzgrad Tu in der externen Randbedingung nicht
berücksichtigen. Bedingung für gute Ergebnisse mit dem Baldwin-Lomax-Modell ist eine
genügend hohe Auflösung der Grenzschicht mit dem normierten Wandabstand der ersten
Netzzelle y + von 5. Im übrigen gelten bezogen auf den Göttinger Umluftwindkanal die
gleichen Feststellungen wie im Kapitel 3.3.1.2.
Wie bereits beschrieben reicht das Strömungsfeld um einen festen Körper bis ins Unendliche.
Die Strömung bzw. deren Inhomogenitäten, die durch den Körper verursacht werden, klingen
im Unendlichen ab. Somit muß der äußere Rand mit der externen Randbedingung
entsprechend entfernt von den induzierten Strömungsinhomenitäten sein.
3.3.1.3 Rechnung
Die Berechnung findet auf der O2 Workstation von SGI statt. Wir berechnen das
Strömungsfeld im full multi grid Modus auf drei Diskretisierungsnetzen. Die Strömung wird
kompressibel berechnet, da in FINE/TURBO V3.0 für freie Strömungen noch kein
Algorithmus für die inkompressible Strömungen implementiert ist. Wir müssen also unnötig
lange Konvergenzzeiten sowie unter Umständen eine niedrigere Qualität der Ergebnisse in
Kauf nehmen. Wir erhalten jedoch aufgrund der niedrigen Gesamtnetzpunktzahl bereits nach
6 h ausreichend konvergierte Ergebnisse.
3.3.1.4 Ergebnisse
In den Abb. 3.41 bis Abb. 3.81 sind die Ergebnisse der Berechnungen mit Variationen der
Anströmrichtung und somit des Anstellwinkels α aufgeführt. Für die Interpretation der
Ergebnisse soll die Darstellung der Vektoren des Geschwindigkeitsfeldes und der Stromlinien
ausreichend sein. Mit der Verwendung der Stromlinien lassen sich sehr gut die Zonen mit
Ablösung dedektieren. Neben den Geschwindigkeitsfeldern sind die Verteilungen des
statischen Drucks p entlang der Plattenlauflänge x angegeben. Mit größerem Anstellwinkel
steigt das Druckgefälle von der Plattenoberseite (Saugseite) zur Plattenunterseite
(Druckseite). Genügend große Zonen mit Ablösung erkennen wir an lokalen Druckmaxima
auf der Saugseite.
69

Abb. 3.41 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 0°, Maßstab 1:4
Abb. 3.42 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 0°, Maßstab 15:10
70

Abb. 3.43 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 0°
Abb. 3.44 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 10°, Maßstab 1:4
71

Abb. 3.45 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10
Abb. 3.46 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 10°
72

Abb. 3.47 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 15°, Maßstab 1:4
Abb. 3.48 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 15°, Maßstab 15:10
73

Abb. 3.49 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 15°
Abb. 3.50 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Anströmwinkel α = 20°, Maßstab 1:4
74

Abb. 3.51 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, Nasenzone, α = 20°, Maßstab 15:10
Abb. 3.52 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 20°
75

Abb. 3.53 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 25°, Maßstab 1:4
Abb. 3.54 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 25°
76

Abb. 3.55 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 30°, Maßstab 1:4
Abb. 3.56 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 30°
77

Abb. 3.57 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 35°, Maßstab 1:4
Abb. 3.58 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 35°
78

Abb. 3.59 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form A, α = 40°, Maßstab 1:4
Abb. 3.60 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form A, α = 40°
79

Abb. 3.61 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 0°, Maßstab 1:4
Abb. 3.62 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 0°, Maßstab 15:10
80

Abb. 3.63 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 0°
Abb. 3.64 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 5°, Maßstab 1:4
81

Abb. 3.65 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 5°, Maßstab 15:10
Abb. 3.66 – Verteilung des statischen Drucks p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 5°
82

Abb. 3.67 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 10°, Maßstab 1:4
Abb. 3.68 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10
83

Abb. 3.69 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 10°
Abb. 3.70 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 15°, Maßstab 1:4
84

Abb. 3.71 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 15°
Abb. 3.72 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/I, α = 20°, Maßstab 1:4
85

Abb. 3.73 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/I, α = 20°
Abb. 3.74 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 0°, Maßstab 1:4
86

Abb. 3.75 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Anströmwinkel α = 0°, Maßstab 15:10
Abb. 3.76 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/II, α = 0°
87

Abb. 3.77 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 5°, Maßstab 1:4
Abb. 3.78 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Nasenzone, α = 5°, Maßstab 15:10
88

Abb. 3.79 – Verteilung von p in Pa entlang Plattenlauflänge x, Platte Form B/II, α = 5°
Abb. 3.80 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, α = 10°, Maßstab 1:4
89

Abb. 3.81 – Geschwindigkeitsfeld um Platte Form B/II, Nasenzone, α = 10°, Maßstab 15:10
3.3.1.5 Bewertung
Mit den Abb. 3.82 bis Abb. 3.83 beschreiben wir die geometrische Ausdehnung und Position
der Zonen mit Ablösung. Wir stellen fest, daß mit steigendem Anstellwinkel α die
Wahrscheinlichkeit einer Ablösung bzw. nach deren Eintreten der Umfang der Ablösung
zunimmt.
Für die kreisrunde Nasengeometrie der Form A ist die Neigung zur Ablösung im Vergleich
mit den Platten der Form B/I und Form B/II am geringsten. Ein Ablösung wird erst für einen
Anstellwinkel α von 10° festgestellt. Der Umfang der Ablösung wächst nur allmählich mit
steigendem Anstellwinkel α.
Für die spitze Nasengeometrie der Form B/I mit einer Nase, deren Spitze mit einem
Rundungsradius r von 0,2 mm versehen ist, tritt schon für den Anstellwinkel α von 0° eine
Ablöseblase an der Nasenvorderkante auf. Für die ideal spitze Nasengeometrie der Form B/II
ist die Ablöseblase an der Nasenvorderkante bei einem Anstellwinkel α von 0° noch größer.
Die Ausdehnungen der Ablösezonen für die Platten der Form B/I und der Form B/II scheinen
sich jedoch mit größerem Anstellwinkel α anzugleichen.
Das Zentrum des Ablösewirbels entfernt sich mit größerem Anstellwinkel α und wachsenden
Umfang der Ablösung von der Nasenspitze der untersuchten Platte in Richtung
Plattenlauflänge x, wobei sich an der Nasenvorderkante der Platte mit kreisrunder
Nasengeometrie der Form A gut beschreibbare Ablösezonen herausbilden. Die Platten mit
spitzer Nasengeometrie der Form B sind für weitere Untersuchungen weniger gut geeignet.
90

Wir halten schließlich fest, daß neben der Reynoldszahl Re, dem Anstellwinkel α sowie der
Form der Nasengeometrie die Charakteristik der Grundgeometrie des umströmten festen
Körpers z.B. Dicke der Platte oder gekrümmte Oberfläche auf die Ausprägung der Zonen mit
Ablösung einen grundlegenden Einfluß hat.
Form A Form B/I Form B/II
Höhe h [mm]
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Anstellwinkel α [°]
Abb. 3.82 – Höhe h der Ablösezone in mm in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α in °
250
Form A Form B/I Form B/II
Länge l [mm]
200
150
100
50
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Anstellwinkel α [°]
Abb. 3.83 – Länge l der Ablösezone in mm in Abhängigkeit vom Anstellwinkel α in °
91

Form A Form B/I Form B/II
Abstand a [mm]
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Anstellwinkel α [°]
Abb. 3.84 – Abstand a des Zentrums des Ablösewirbels von der Nasenspitze in mm in Abhängigkeit vom
Anstellwinkel α in °
3.3.2 Plattenumströmung mit Ausblasung
In den Berechnungen der Plattenumströmung mit Ausblasung möchten wir zwei wesentliche
Phänomene erfassen. Erstens haben wir im Kapitel 3.3.1 die Induzierung von Ablösungen an
der Nasenvorderkante untersucht. Sollte keine Ablösung erfolgen, so haben wir es dennoch
mit Gebieten einer verzögerten Hauptrömung zu tun, in welche wir zweitens mit einer
definierten Ausblaserate M einen Kühlluftstrom aus einer Ausblaseöffnung eingeblasen.
Die Folge ist die Ausbildung charakteristischer Wirbelstrukturen Ω x , welche die Mischung
von Hauptstrom und Kühlluftstrom und somit die kalorimetrischen Bedingungen in der
Grenzschicht sowie an der festen Wand beeinflussen.
3.3.2.1 Mischung von Kühlluftströmung und Hauptströmung
Es existieren bereits eine Reihe von Publikationen, die sich mit Mischprozessen bei der
Ausblasung eines Kühlluftstroms in den Hauptstrom befassen.
Im Verlauf des Mischprozesses Kühlluftstrom und Hauptstrom entwickeln sich vier
charakteristische Wirbelstrukturen nach Abb. 3.85, Ardey [2], Beeck [7], Vogel [38] und
Wilfert [40].
92

Schornsteinwirbel Ω 1
Der Schornsteinwirbel entsteht als eine Ringwirbelstruktur infolge der aerodynamischen
Sperrung der Hauptströmung am geneigten freien Zylinder des Kühlluftstrahls.
Hufeisenwirbel Ω 3
Der Hufeisenwirbel hat seinen Ursprung im positiven Druckgradienten der am Kühlluftstrahl
aufgestauten Hauptströmungsgrenzschicht. Die Trägheitskräfte in den äußeren Schichten sind
größer als in den unteren Schichten, daher ist das Kräftegleichgewicht zwischen Druckkraft
und der Trägheitskraft im wandnahen Bereich der Grenzschicht weiter stromauf erreicht als
im oberen Teil.
Stromabwärts bewirkt der positive Druckgradient eine Rückströmung aufgrund der größeren
Druckkraft. Die weiter außen liegenden Grenzschichten rollen zur Versorgung der unteren
Grenzschichten gegen den Kühlluftstrahl ein und schwimmen seitlich am zylinderförmigen
Kühlluftstrahl ab.
Abb. 3.85 – Wirbelstrukturen im Ausblasestrahl, Quelle Vogel [38]
Nierenwirbel Ω 2
Der Nierenwirbel resultiert aus den Trägheitskräften in der freien Scherschicht des
Kühlluftstrahls, die nicht ausreichen, um die Strömung der Strahltrajaktorie folgen zu lassen.
Die Druckkräfte bewirken die Aufwärtsdrift im Strahlkern.
Es entstehen im Fall einer nicht lateralen Ausblasung zwei symmetrische, gegendrehende
Wirbel. Tritt der Kühlluftstrahl im Hauptstrom aus, so werden seine äußeren Randschichten
erfaßt und die Strahlablenkung verstärkt.
93

Totwasserwirbel Ω 4
Totwasserwirbel entstehen durch instationäre Vorgänge stromabwärts von der
Ausblaseöffnung und sind von ihrer Charakteristik den Wirbeln im Nachlauf von Zylindern
ähnlich. Die Totwasserwirbel entstehen an der Grenzschicht des freien Kühlluftstrahls in
Gebieten mit negativen Druckgradienten. Sollte sich der Kühlluftstrahl vollständig in der
Grenzschicht des Hauptstroms befinden, so können sich oberhalb des Kühlluftstrahls
aufgrund der Scherwirkung der Drehbewegung des Nierenwirbels zwei kleine Wirbel bilden.
3.3.2.2 Einflußfaktoren
Wir können folgende Einflußfaktoren auf den Mischprozeß benennen, nach Ardey [2]:
Aerodynamische Faktoren
Geschwindigkeitsverhältnis
Temperatur- bzw. Dichteverhältnis
Turbulenzgrad der Hauptströmung
statische Temperatur
Grenzschichtdicke
Geometrische Faktoren
Plattenanstellwinkel α
Bohrungsform
Bohrungslänge
Bohrungsteilung
Platten- bzw. Anlaufnase
Ausblasewinkel β
Tab. 3.7 – Einflußfaktoren
Das Geschwindigkeitsverhältnis c K /c H und das Dichteverhältnis ρ K /ρ H bestimmen gemeinsam
das Impulsverhältnis I bzw. das Massenstromverhältnis M, im folgenden Ausblaserate M
genannt.
I
=
ρ
ρ
K
H
⋅ c
⋅ c
2
K
2
H
Gl. 3.10
M
ρK
⋅c
= ρ ⋅c
H
K
H
Gl. 3.11
Ist die Menge der Kühlluftströmung im Vergleich zur Hauptströmung klein, so paßt sich die
Strömungsrichtung der Kühlluft direkt nach Verlassen der Ausblaseöffnung der Richtung der
Hauptströmung an. Wesentliche Anteile der Kühlluft verbleiben dann an der Wandoberfläche,
Ardey [2].
94

Impulsverhältnis I und Ausblaserate M
Ist das Impulsverhältnis I bzw. die Ausblaserate M der Kühlluftströmung entsprechend groß,
so wird stromabwärts der Ausblasung die Strömungsrichtung der Kühlluft nur graduell an die
Richtung der Hauptströmung angepaßt, wobei in den betroffenen Scherströmgebieten große
aerodynamische Verluste auftreten. Infolge der durch die Kühlluftströmung eingebrachten
hohen kinetischen Energie hebt in diesem Fall die Kühlluftströmung von der Wandoberfläche
ab und verringert damit die Kühlwirkung im Ausblasebereich.
Um eine hohe effektive Kühlwirkung zu erhalten, ist ein großer Massenstrom notwendig, da
mit der Erhöhung der Menge an vorhandenem Kühlmedium in einem bestimmten Volumen
die Summe der bezogenen spezifischen Wärmekapazität und somit das Potential der
kompensierbaren Wärmemenge ansteigt.
In realen Kühlsystemkonfigurationen stellt sich das Dichteverhältnis ρ K /ρ H von Kühlluft- und
Hauptluftströmung über das Temperaturverhältnis T K /T H sowie unter anderem von den
Zustandsgrößen der Fluide ein. Unter Modellbedingungen ist oft nur die Einstellung des
entsprechenden Dichteverhältnisses ρ K /ρ H in Abhängigkeit vom verwendeten Meßverfahren
sowie der technischen Randbedingungen mit verschieden schweren Gasen möglich.
Es existieren auch Untersuchungen, bei denen reversible Temperaturverhältnisse eingestellt
wurden, wobei diese Vorgehensweise für den Fall des Auftretens gekoppelter
aerodynamischer Phänomene z.B. Transition infolge Ausblasung wenig geeignet erscheint.
Turbulenz
Wird Turbulenz in der Hauptströmung angenommen, so verhindert die angenommene
Wirbelviskosität die Ausbildung schwächerer Wirbel in der Kühlluftströmung. In den
Scherströmungsgebieten entstehen kleine Turbulenzballen, die durch die größeren
Turbulenzballen der Hauptströmung dominiert werden.
Eine erhöhte Turbulenz bewirkt die Beschleunigung der Vermischung von Kühlluft und
Hauptströmung. Für Ausblasebohrungsreihen in einer Konfiguration der Filmkühlung ist die
verstärkte Vermischung der Kühlluftströmung mit der Hauptströmung erwünscht, um eine
homogene Kühlwirkung zu erhalten. Parallel wirkt jedoch auch eine normal zur
Wandoberfläche auftretende Mischbewegung thermisch ungünstig, da in diesem Mischprozeß
heißes Fluidmedium der Hauptströmung zur Wandoberfläche und Kühlluft von der
Wandoberfläche transportiert wird.
Somit kommt es bei kleinen Ausblaseraten zu einer Verminderung der Kühlwirkung aufgrund
der verstärkten Vermischung von Kühlluftströmung und Hauptströmung. Für große
Ausblaseraten bleibt der Anteil der turbulenzinduzierten, wandnormalen Mischbewegung
konstant, die längsgerichtete Mischbewegung nimmt jedoch zu und somit auch die gesamte
Kühlwirkung der Ausblaskonfiguration.
Oberflächenrauhigkeit
Eine erhöhte Oberflächenrauhigkeit hat eine verbesserte Kühlwirkung zur Folge, da die
Ausmischung der Kühlluftströmung im Wandbereich gefördert wird, die wandnormale
Mischbewegung hingegen unbeeinflußt bleibt. Der Einfluß der Oberflächenrauhigkeit wird in
der vorliegenden Arbeit nicht untersucht.
95

Grenzschicht
Die Grenzschicht wird in der Regel an der Ausblasestelle von der Kühlluftströmung
durchstoßen, so daß neben der Grenzschicht auch die Hauptströmung beeinflußt wird. Ist die
Grenzschicht ausreichend dick, verbleibt die Kühlluftströmung ohne eine Beeinflussung der
Hauptströmung innerhalb der Grenzschicht. Somit wird keine Turbulenz in den
Scherschichtgebieten der Kühlluftströmung und Hauptluftströmung erzeugt. Es kann
vorkommen, daß durch die Kühlluftausblasung eine laminare Grenzschicht zum Umschlag
gezwungen wird, und somit das Auftreten von laminaren Umschlagblasen verhindert werden
kann. Des weiteren kommt es vor, daß eine turbulente Grenzschicht infolge der
Kühlluftausblasung relaminarisiert.
Druckgradient
Durch das Auftreffen der Wandgrenzschicht auf den Kühlluftstrahl an der Ausblaseöffnung
wird der Hufeisenwirbel gebildet. Die Ausprägung und Form des Hufeisenwirbels ist von der
Art und Struktur der auftreffenden Wandgrenzschicht und dem Impulsverhältnis I abhängig.
An der Vorderseite der Ausblasebohrung beschleunigt die Hauptströmung, ein negativer
Druckgradient verringert das Impulsverhältnis I im Nachlauf des Kühlluftstrahls und
ermöglicht so die Anpassung des Kühlluftstroms an die Hauptströmung mit dem Anlegen der
Kühlluft direkt hinter der Ausblasestelle.
Eine verzögerte Hauptströmung und ein positiver Druckgradient hat im Nachlauf des
Kühlluftstrahls ein Ansteigen des Impulsverhältnisses zu Folge und bewirkt somit das
Abheben der Kühlluft.
Krümmung der Lauflänge
In der Arbeit von Ardey [2] wird die Ausblasung in der AGTB-Kaskade untersucht. Ardey [2]
macht in diesem Zusammenhang Angaben, inwieweit wir die Ergebnisse von Untersuchungen
an der ebenen Platte mit denen an der Turbinenkaskade vergleichen können.
Die Turbinenkaskade zeichnet sich durch eine konvexe Krümmung der Oberfläche an der
Profilsaugseite aus, welche bei geringerer Ausblaserate M verglichen mit der ebenen Platte zu
einem stärkeren Abheben des Kühlluftstrahls an der Hinterkante der Austrittsöffnung führt.
Für die weitere Stromlinienkrümmung wird immer ein Druckgradient normal zur Oberfläche
erzeugt. So ensteht bei konvexer Krümmmung an der Oberfläche ein Druckminimum. Der
Kühlluftstrahl wird im weiteren Verlauf stärker an die Oberfläche gehalten.
Für hohe Ausblaseraten wird die Kühlwirkung infolge der konvexen Krümmung an der
Profildruckseite gesteigert. Für die konkave Krümmung an der Druckseite der
Turbinenkaskade gilt der gegenteilige Effekt.
Für niedrigere Ausblaseraten veringert sich das Abheben des Kühlluftstrahls an der
Hinterkante der Ausblaseöffnung, in Fällen höherer Ausblaseraten entfernt sich der
Kühlluftstrahl durch den Druckgradienten zunehmend von der Oberfläche, so daß die
Kühlwirkung abnimmt.
Trifft Kühlluft auf die konkave Oberfläche stromab von der Ausblaseöffnung wird sie in
lateraler Richtung homogener verteilt als an ebenen Platten.
96

Orientierung der Ausblasewinkel
Im wesentlichen beschreiben zwei Winkel die Orientierung der Ausblasegeometrie bezogen
normal zur Profiloberfläche der Ausblasewinkel β sowie lateral zur Richtung der
Hauptströmung der Lateralwinkel. Je größer der Ausblasewinkel β ist, umso weiter dringt der
Kühlluftstrom in den Haupstrom ein. Die aerodynamischen Verluste werden so größer, die
Bildung von Totwasserwirbeln Ω 4 nimmt hinter der Ausblaseöffnung zu. Die laterale
Ausblasung erzeugt eine Asymmetrie und bewirkt Effekte wie das Abtrennen von
Einzelwirbeln und kann so zur Verbesserung der Kühlluftverteilung führen, jedoch auch zur
Erhöhung der aerodynamischem Verluste. Die laterale Ausblasung wird in der vorliegenden
Arbeit nicht untersucht.
Bohrungsteilung
Einen signifikanten Einfluß hat die Bohrungsteilung auf die Homogenität der Vermischung.
Sollten die Bohrungen in einer Reihenanordnung ausreichend dicht angeordnet sein, so
beeinflussen sich die einzelnen Kühlluftstrahlen und formen eine geschlossene
Kühlluftschicht mit optimaler Kühlwirkung an der Profiloberfläche, die nicht so weit in die
Hauptströmung eindringt wie ein Einzelstrahl mit gleicher Ausblaserate M.
Ein zu dichtes Setzen von Ausblasebohrungen bzw. Ausblaseschlitzen kann bezogen auf die
Festigkeit des gekühlten Bauteils problematisch sein.
Bohrungsformen
Eine Verbesserung der Kühlluftausbreitung ist mittels Einsatz besonderer Bohrungsformen
für Einzelstrahlen von kreisrund bis trichterförmig mögllich. Die Fächerform führt zu einer
geringen Störung der Hauptströmung durch Kühlluft. Für die Trichterform neigt die Kühlluft
hinter der Bohrungshinterkante weniger zum Abheben, Vogel [38].
Bohrungslänge
Die Bohrungslänge hat Einfluß auf die Rohrströmungshomogenität, lange Bohrungen bilden
ausgeprägte Rohrströmungen aus. Für kurze Bohrungen können sich Strömungsinhomogenitäten,
die am Bohrungseintritt entstehen, noch im Bohrungsaustritt auswirken.
3.3.2.3 Adiabate Filmkühleffektivität
Die adiabate Filmkühleffektivität η bestimmen wir mit dem Verhältnis der Differenz von
adiabater Wandtemperatur T W und statischer Temperatur des Hauptstroms T H und der
Differenz von statischer Temperatur des Kühlluftstroms T K und statischer Temperatur des
Hauptstroms T W , Gl. 3.12.
TW
− TH
η =
Gl. 3.12
TK
− TH
97

3.3.2.4 Randbedingungen
Wie schon bei der freien Anströmung einer Platte ohne Ausblasung wird die Option external
flow berechnet, Kapitel 2.10.2.4. Wir definieren den äußeren Rand der Platte als
Festkörperrand . Die Platte wird vom freien Strömungsfeld umgeben, welches an der
externen Randbedingung endet. Desweiteren definieren wir einen inlet , an dem die
Einströmrandbedingungen gelten.
In der Tab. 3.8 geben wir die numerischen Randbedingungen für die Berechnung an.
Referenzgrößen
Referenzlänge l 500 mm
Referenzgeschwindigkeit v 20 m/s
Dichte ρ 1,169 kg/m³
Totaltemperatur T 298 K
Wärmekapazität konst. p c p 1004,5 J/(Kg·K)
Isentropenexponent κ 1,4
Prandtlzahl Pr 0,72
Reynoldszahl Re 666667
Externe Randbedingung
Anströmgeschwindigkeit v H 20 m/s
Anstellwinkel α 0° – 45°
statischer Druck p H 100000 Pa
statische Temperatur T H 298 K
Einströmrand
inlet
Anströmgeschwindigkeit v K 10,71 / 15,3 / 18,36 / 21,4 m/s
Ausblasewinkel β 35°
statischer Druck p K 100000 Pa
statische Temperatur T K 228 K
2
Tab. 3.8 – numerische Randbedingungen, Platte mit Ausblasung
Die unterschiedlichen Anstellwinkel α werden wie schon bei den Berechnungen der Platte
ohne Ausblasung mit der angepaßten Anströmrichtung der Hauptströmung eingestellt, Kapitel
3.3.1.
98

3.3.2.5 Rechennetz und Turbulenzmodell
Das Rechennetz bauen wir aus zwei Blöcken auf, wobei wir mit Block 1 das freie
Strömungsfeld modellieren. Block 1 ist ein O-Netz und umschließt mit seinen 33x175x33
Netzpunkten die berechnete Plattengeometrie der Form A, Abb. 3.86. Auffallend ist die
höhere Netzdichte auf der Seite der Ausblaseöffnung. Diese ist notwendig, um die
interessierenden Phänomene, wie Ablösung sowie die duch die Ausblasung induzierten
Wirbelstrukturen zu erfassen. Das Fehlen weiterer Netzpunkte auf der zur Ausblasung
abgewandten Seite (Druckseite für den Fall einer Anstellung) würde das Gesamtergebnis der
Rechnung weiter verschlechtern, da der umströmte Körper ja selbst im freien Strömungsfeld
Strömungen bzw. Inhomogenitäten erzeugt, die folglich Auswirkungen auf die
interessierenden Gebiete auf der Saugseite der Platte hätten. Mit 33x17x17 Netzpunkten
diskretisieren wir das Ausblaserohr als H-Netz, für deren Randbedingung die solid-, inlet- und
connection-Bedingung gelten. Die Verbindungsrandbedingung verbindet Block 2 mit
Block 1. In Abb. 3.87 und Abb. 3.88 ist der Aufbau des dreidimensionalen Netzes ersichtlich.
Beide Blöcke werden entsprechend den Symmetrierandbedingungen gespiegelt, um den
numerischen Aufwand gering zu halten und die physikalischen Vorgaben d.h. eine
Reihenausblasung in ein inkompressibles Strömungsfeld zu realisieren.
Abb. 3.86 – Seitenansicht des Rechennetzes Platte Form A mit Ausblasung
Die gewählte Konfiguration ist die für das berechnete Ausblaseproblem einfachste
Möglichkeit, ein Rechnennetz zu erzeugen. Sie zeichnet sich aber auch durch zusätzliche
Netzverzerrungen in den Randzonen der Ausblaseöffnung sowie im Plattennachlauf aus und
trägt somit zu der relativ niedrigen Güte des gesamten Rechennetzes bei. Abhilfe würden
aufwendigere Mehr-Block-Strukturen schaffen, die jedoch auch viel Erfahrung bei der
Netzgenerierung voraussetzen.
99

Mit beiden Blöcken ergibt sich die Gesamtnetzpunktzahl von 195488 Netzpunkten. Für den
allgemeinen Aufbau des Netzes sowie der Auswahl des Turbulenzmodells gelten die
Begründungen aus Kapitel 3.3.1.2.
Abb. 3.87 – Rechennetz Platte Form A mit Ausblasung, gesamte Platte
Abb. 3.88 – Rechennetz Platte Form A mit Ausblasung, Nähe Ausblaseöffnung
100

3.3.2.6 Rechnung
Die Berechnung der Platte erfolgt mit verschiedenen, variierten Anfangsbedingungen auf der
O2 Workstation von SGI, Tab. 3.8.
Die O2 Workstation startet die Rechnung mit der maximalen Gesamtnetzpunktzahl von
195488 Netzpunkten und beginnt nach der Ausführung zusätzlicher Speicherverwaltungsprozesse
mit dem Auslagern von Daten aus dem Arbeitsspeicher in den Festplattenspeicher
und umgekehrt –shifting. Dieser Vorgang behindert den Euranus-Prozeß so bedeutend, daß
wir keinen Fortschritt in der Rechnung erwarten können.
Eine Berechnung ist unter den beschriebenen Umständen aufgrund des sehr begrenzten
Umfangs des Arbeitsspeichers nur mit einer geringeren Anzahl von Netzpunkten möglich.
Wir dünnen das Rechennetz folglich mit 33x175x17 Netzpunkte für Block 1 und 17x17x17
Netzpunkte für Block 2 auf die Gesamtnetzpunktzahl von nur noch 103088 Netzpunkten aus.
Wie schon für die Platte ohne Ausblasung berechnen wir das Strömungsfeld im full multi grid
Modus auf drei Diskretisierungsnetzen.
In den Abb. 3.89 und Abb. 3.90 sind beispielhaft die Verteilungen der Residien der Dichte ρ
für verschiedene Anstellwinkel α in Abhängigkeit der Iterationsschritte n dargestellt. Sehr
deutlich erkennen wir das sprunghafte Ansteigen der Konvergenz nach jedem Umschalten der
Berechnung vom gröberen auf das feinere Netz. Für jedes Rechennetz konvergiert die
Rechnung, und das Residuum nimmt mit weiteren Iterationsschritten n einen bestimmten
Grenzwert an, um den das Residuum dann mehr oder weniger gedämpft schwankt. Auffallend
sind die relativ hohen Schwankungen des Residuums mit dem Anstellwinkel α von 30° in
Abb.3.90, als deren Ursachen wir die durch die Anstellung der Platte erzeugten
Strömungsinhomogenitäten sowie die Strömungsablösung an der Nasenvorderkante
identifizieren.
Auch ist das Residuum mit Anstellung der Platte weitaus höher als bei der Berechnung der
Platte ohne Anstellung, Abb. 3.89, was auf die unzureichende Diskretisierung des gesamten
Rechenraums hindeutet. Die Rechnung wird nach einer Konvergenzzeit von ca. 30 h
abgebrochen, da der Wert der Gesamtkonvergenz zu diesem Zeitpunkt ausreichend bzw.
keine weitere Absenkung des Residuums zu erwarten ist.
Die Berechnung der inkompressiblen Strömung muß kompressibel erfolgen, für diese
Entscheidung gelten die Feststellungen aus Kapitel 3.3.1.2.
101

Abb. 3.89 – Residuum der Dichte ρ für Berechnung der Platte Form A mit Massestromverhältnis M = 1,5 und
Anstellwinkel α = 0°, Skalierung lautet residuals ≡ log Residuum
Abb. 3.90 – Residuum der Dichte ρ für Berechnung der Platte Form A mit Massestromverhältnis M = 1,5 und
Anstellwinkel α = 30°, Skalierung lautet residuals ≡ log Residuum
102

3.3.2.7 Ergebnisse
In der Abb. 3.91 und der Abb. 3.92 ist die Verteilung der adiabaten Wandtemperatur T W über
die Lauflänge x von 130 mm aufgetragen. Um den Bereich in der Nähe der Ausblaseöffnung
näher untersuchen zu können, ist für eine Lauflänge x von 55 mm die Verteilung der
adiabaten Wandtemperaturen entsprechend ihrer Ausblaserate M und Anstellwinkel α
geordnet aufgeführt., Abb. 3.93 bis Abb. 3.96. Mit der Darstellung der adiabaten
Wandtemperatur T W in den benannten Abb. ist jedoch noch keine Aussage über die Art des
Strömungsfeldes um die Platte sowie die Form und die Ausprägung der Mischprozesse von
Hauptstrom und Kühlluftstrom möglich. Hierzu ziehen wir die Ergebnisse der Berechnungen
mit Ausblaseraten M von 0,7 bis 1,4 heran, aus denen der Verlauf der Stromlinien des
Hauptstroms um die Platte und des Kühlluftstroms aus der Ausblaseöffnung ersichtlich wird.
In CFV ist es nicht möglich, eigene Ergebnisgrößen wie die adiabate Filmkühleffektivität η zu
definieren. Die notwendige Nachbearbeitung der Ergebnisse ist aufwendig und ungenau.
Für die Berechnungen der Platten mit Ausblasung und Anstellung werden im Vergleich mit
den Ergebnissen in Kapitel 3.3.1 kleinere Ablösezonen bei gleichem Anstellwinkel α und
identischen Hauptstromverhältnissen erfaßt. Die Ursache kann, wie schon am Beispiel der
AGTB-Kaskade geschehen, die ungenügende Diskretisierung der Grenzschicht an der
Nasenzone als auch in die aerodynamische Wechselwirkung zwischen verzögertem bzw.
abgelösten Hauptstrom und ausgeblasenen Kühlluftstrom sein.
3.3.2.8 Bewertung
Die Ergebnisse aus den Berechnungen stimmen im wesentlichen mit unseren Erwartungen
überein.
Für sämtliche Ergebnisse gilt, daß sich entsprechend der engen Bohrungsteilung eine
geschlossene Kühlluftschicht infolge der gegenseitigen Beeinflussung der einzelnen
Kühlluftstrahlen stromab von der Ausblaseöffnung bildet. Die Kühlluftschicht ist sehr
homogen und gewinnt an Effektivität mit Erhöhung der Ausblaserate M. Die Ausbildung der
Kühlluftschicht wird durch die Anstellung der Platte insofern beeinflußt, daß aufgrund der
Verzögerung der Strömung und der damit verbundenen Schwächung der Grenzschicht
einerseits die niedertemperierte Kühlluftschicht in die Zone um bzw. vor die Ausblaseöffnung
wandert und andererseits sich der Wirkungsbereich der Kühlluftschicht in der Fernzone in
Richtung der Plattenlauflänge x ausweitet. Diese Effekte werden besondere für die Fälle der
niedrigen Ausblaseraten M von 0,7 und 1,0 festgestellt. Für höhere Ausblaseraten wie M =
2,0 sind sie weniger ausgeprägt.
Für die Ergebnisse der Berechnungen mit der Ausblaserate M = 0,7 gilt, daß der
Kühlluftstrahl die Grenzschicht nicht verläßt und in ihr in unmittelbarer Wandnähe
stromabwärts triftet. Die Mischprozesse bleiben schwach. Für die Anstellung der Platte mit α
= 40° erhalten wir stromab fern von der Ausblaseöffnung sogar eine höhere Wandtemperatur
T W als für α = 10°.
Das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 0,7 und ohne Anstellung ist nur
bedingt verwendbar.
103

Die Einflußzone des Kühlluftstrahls mit ihrer niedrigen Wandtemperatur T W reichen sehr weit
in die Gebiete von der Ausblaseöffnung ab in Richtung des Hauptstroms. Dieses Ergebnis ist
nicht mit den Ergebnissen der Berechnungen mit Anstellwinkeln α von 10° und 40°
vergleichbar. Als Ursache für die überzogene Ausprägung der Einflußzonen können wir die
unzulässige Ausdünnung des Wandnetzes identifizieren. Sämtliche nachfolgenden
Berechnungen sind mit dem im Kapitel 3.3.2.5 beschriebenen Netz durchgeführt worden.
Jedoch sind allgemein betrachtet, die Ergebnisse der Berechnungen mit der Ausblaserate M =
0,5 fehlerhaft, da unmittelbar hinter der Ausblaseöffnung kalte Wandzonen mit
Wandtemperaturen T W entstehen, die niedriger sind, als die statische Temperatur T K der am
inlet definierten Randbedingung. Sehr ausgeprägt sind diese kalten Wandzonen für die
Ausblasekonfiguration mit der Ausblaserate M = 0,7 und dem Anstellwinkel α = 0°, etwas
kleiner für die Anstellwinkel α von 10° und 40°. Die Ursachen für das Entstehen der zu kalten
Wandzonen dürften in der nicht ausreichenden Konvergenz der Berechnungen bzw. in der
eigentlich unangepaßten Verwendung der kompressiblen Berechnungsoption von
FINE/TURBO V3.0 für eine inkompressibles Strömungsproblem liegen.
In den Ergebnissen der Berechnungen mit der Ausblaserate M von 1,0 wird ein weiterer
Effekt mit Veränderung des Anstellwinkels α deutlich. Ist der Kühlluftstrom noch für ein α
von 0° anliegend, so kommt es für einen größeren Anstellwinkel α und damit verbundenen
Verzögerung des Hauptstroms bzw. Ablösung an der Nasenvorderkante zur Verkleinerung der
durch den Kühlluftstrom unmittelbar gekühlten Zonen und zur verstärkten Durchmischung
von Hauptstrom und Kühlluftstrom. Es entsteht eine im Vergleich mit dem Ergebnis der
Berechnung ohne Anstellung homogenere Kühlluftschicht. Die Wandkühlung ist für den
Anstellwinkel α = 30° am effektivsten. Für den Fall der Berechnung mit dem Anstellwinkel α
von 30° durchtrennt der Strahl des Kühlluftstroms eine Wirbelzone. Im wandferneren Bereich
erfährt der Kühlluftstrom eine aerodynamische Umlenkung und trifft stromabwärts wieder auf
die Wand des umströmten Körpers auf. Die Kühlung der Gebiete, die von der
Ausblaseöffnung weiter entfernt sind, nimmt zu.
Wir müssen annehmen, daß es sich bei dem Teilbereich der Wirbelzone stromab von der
Ausblaseöffnung tatsächlich um ein von der Verzögerung des Hauptstroms herrührendes
Teilgebiet der Ablösung handelt, da die Ergebnisse aus Kapitel 3.3.1 größere Ablösegebiete
für identische Anstellwinkel α anzeigen. Inwieweit der ausgetretene Kühlluftstrom
Totwasserwirbel erzeugt oder eine stabilisierende Wirkung hat, muß Gegenstand numerisch
aufwendigerer Untersuchungen sein.
In den Ergebnissen der Berechnungen der Platten mit Ausblasung werden im Vergleich zu
den Ergebnissen in Kapitel 3.3.1 kleinere Ablösezonen bei gleichem Anstellwinkel α und
identischen Hauptstromverhältnissen erfaßt. Die Ursache hierfür kann, wie schon am Beispiel
der AGTB-Kaskade festgestellt, an der ungenügenden Diskretisierung der Grenzschicht in der
Nasenzone als auch an einer vermuteten aerodynamischen Wechselwirkung zwischen
verzögertem bzw. abgelösten Hauptstrom und ausgeblasenen Kühlluftstrom liegen.
Das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 ohne Anstellwinkel ist äquivalent
mit den bereits beschriebenen Ergebnissen der Berechnungen mit niedrigeren Ausblaseraten.
104

Eine Ausnahme nimmt das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 und dem
Anstellwinkel α = 30° ein. Die Analyse der Stromlinien zeigt, daß die Zone der Ablösung bis
über den Bereich der Ausblaseöffnung hinaus sehr mächtig ist. Dieser Sachverhalt schlägt
sich in der Verteilung der Wandtemperatur T W mit der weitgehenden Vermischung von
Hauptstrom und Kühlluftstrom wieder.
Da das Ergebnis der Berechnung mit der Ausblaserate M = 1,2 und dem Anstellwinkel α =
30° mit Ergebnissen für den gleichen Anstellwinkel α nicht vergleichbar ist, muß es als falsch
gelten.
Die warmen Temperaturzonen des Hufeisenwirbels sind für die Berechnungen mit der
Ausblaserate M = 1,4 stärker als bei Berechnungen mit niedrigeren Ausblaseraten ausgeprägt.
Mit dem Einsetzen der Strömungsablösung verschwinden diese warmen Temperaturzonen
seitlich der Nachlaufzone der Ausblaseöffnung.
Trotz variiertem Anstellwinkel α können wir einer durch die Filmkühlausblasung ausgelöste
Ablösung der Hauptströmung stromab von der Ausblaseöffnung keinem Ergebnis der
Berechnungen eindeutig zuordnen, da in den Fällen der Strömungsablösung im
Nachlaufbereich der Ausblaseöffnung bereits vor der Ausblaseöffnung eine Ablösung der
Hauptströmung aufgrund des variierten Anstellwinkel α und der hierdurch hervorgerufenen
Strömungsverzögerung auftritt. Wir müssen beachten, daß der Kühlluftstrahl eine Sperrung
der verzögerten Hauptströmung in Wandnähe hervorruft und somit selbst zur Entwicklung der
Ablösung vor der Ausblaseöffnung bzw. nach der Ausblaseöffnung beiträgt. Ist die
Ausblaserate M kleiner, so können wir den umgekehrten Effekt durch das Einbringen von
kinetischer Energie in die Grenzschicht erwarten und die verzögerte Hauptströmung
stabilisieren. Möglicherweise werden für sehr kleine Ausblaseraten M die Ablösezonen aus
aerodynamischer Sicht positiv beeinflußt, d.h. kleiner. Für den Fall höherer Ausblaseraten M
schießt der Kühlluftstrahl, wie bereits beschrieben, durch den Ablösewirbel und kommt
stromabwärts von der Ausblaseöffnung an der Wand zum Anliegen.
Letztendlich halten wir bezüglich der Entwicklung der Position des Temperaturminimums
und somit Auftreffpunktes des Kühlluftstrahls auf der Wand fest, daß bei niedrigen
Ausblaseraten von 0,7 bis 1,2 mit der Vergrößerung des Anstellwinkels α sich das
Temperaturminimum auf der Wand stromab von der Ausblaseöffnung in Richtung des
Hauptstroms verschiebt.
Für die Ausblaserate M ab 2,0 hingegen nähert sich das Temperaturminimum auf der Wand
mit Vergrößerung des Anstellwinkels α wieder der Ausblaseöffnung. Die Distanz zwischen
Ausblaseöffnung und Auftreffpunkt des Kühlluftstrahls verringert sich. Eine Erklärung wäre
mit der Zunahme der Turbulenz und somit Wirbelviskosität µ t in der Grenzschicht und in den
wandnahen Bereichen der verzögerten bzw. abgelösten Hauptströmung möglich, die den
aerodynamischen Widerstand gegenüber den Kühlluftstrahl erhöht und diesen verstärkt
umlenkt.
Um die Ergebnisse der numerischen Simulation zu verbessern, ist eine umfangreichere und
angepaßte Diskretisierung des physikalischen Rechenraums notwendig. Die Berechnung von
Konfigurationen mit einer weitaus höheren Anzahl von Variationen der Ausblasrate M sowie
des Anstellwinkels α würde die Phänomenologie der Ausblasung weiter erklären helfen.
105

106
Abb. 3.91 – adiabate Wandtemperatur Tw über die Lauflänge x von 130 mm, Maßstab 1,75:1

107
Abb. 3.92 – adiabate Wandtemperatur Tw über die Lauflänge x von 130 mm, Maßstab 1,75:1

Abb. 3.93 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm und M = 0,7; Maßstab 3:1
108

Abb. 3.94 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm und M = 1,0; Maßstab 3:1
109

Abb. 3.95 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm und M = 1,2; Maßstab 3:1
110

Abb. 3.96 – adiabate Wandtemperatur T w über die Lauflänge x von 55 mm und M = 1,4; Maßstab 3:1
111

Abb. 3.97 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 und α = 0°
Abb. 3.98 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 und α = 10°
112

Abb. 3.99 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 und α = 30°1
Abb. 3.100 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 0,7 und α = 40°
113

Abb. 3.101 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 und α = 0°
Abb. 3.102 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 und α = 10°
114

Abb. 3.103 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,0 und α = 30°
Abb. 3.104 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,2 und α = 0°
115

Abb. 3.105 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 und α = 0°
Abb. 3.106 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 und α = 10°
116

Abb. 3.107–Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 und α = 20°
Abb. 3.108 – Stromlinien um Platte Form A mit M = 1,4 und α =40°
117

4 BEWERTUNG VON FINE/TURBO V3.0
Im Rahmen der Diplomarbeit wird die Eignung von FINE/TURBO V3.0 für den Einsatz zur
Berechnung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung und
Strömungsablösung untersucht. Als signifikanter Nachteil des vorliegenden numerischen
Strömungslösers ist in diesem Zusammenhang das Nichtbeherrschen der CHT-Technik, mit
der wir in der Lage wären, Wärmeströme in festen Körpern durch Kopplung der
Thermodynamik der Strömung zu erfassen. Es ist zu hoffen, daß NUMECA in Zukunft
Anstrengungen unternehmen wird, die CHT-Technik in FINE/TURBO einer höheren Version
zu implementieren. Mit dieser Version könnten wir weitaus genauere Ergebnisse bei der
Berechnung moderner Filmkühlkonfigurationen erwarten
FINE/TURBO V3.0 zeigt bei der Berechnung inkompressibler Strömungsfelder noch
Schwächen, insbesondere bei der Berechnung der Kanalströmung in Kapitel 3.1 und Platte
Form A mit Ausblasung.
Abschließend können wir jedoch festhalten, daß FINE/TURBO V3.0 ein bedienerfreundliches,
universell einsetzbares und mächtiges Werkzeug ist, um Strömungen zu
berechnen und die so gewonnenen Ergebnisse für die Vorauslegung von Modellen bzw.
technischer Systeme, die insbesondere im Turbomaschinenbau eingesetzt werden.
4.1 Anforderungen an die Hardware
FINE/TURBO V3.0 ist auf sämtlichen UNIX-Plattformen mit Ausnahme von LINUX
lauffähig. Es wird ein Arbeitsspeicher von mindestens 64 Mbyte dynamischen RAM
vorausgesetzt. Für einen Knotenpunkt müssen wir bei der Berechnung der turbulenten Navier-
Stokes-Gleichungen unter kompressiblen Strömungsbedingungen absolut 2000 Byte zu
Verfügung stellen.
FINE/TURBO V3.0 ist ein Einknotenlöser, paralleles Rechnen von Mehrblöcken ist nicht
möglich. Konkurrenzprodukte hingegen, wie Fluent und Megacads sehen paralleles Rechnen
in Netzwerken vor. In Zukunft sollte auf paralleles Rechnen ein besonderer Augenmerk gelegt
werden, da sich insbesondere aufwendige und hochauflösende Mehrblocknetze mit parallelem
Rechnen in vertretbar kurzer Zeit realisieren lassen. Als vertretbare Rechenzeit für ein
konvergiertes Ergebnis sehen wir maximal 24 h an.
So wäre die Berechnung einer Turbinenkaskade mit einem Rechennetz von über 1 Million
Netzpunkten, einem dynamischen RAM von ≈ 2 Gbyte und einer angenommen hohen CPU-
Leistung von über 500 Mhz innerhalb von ca. 48 h zu bewältigen.
Für die Bildverarbeitung ist mindestens X11 window system release 4 im open GL standard
erforderlich.
Die Konfiguration der verwendeten O2 SGI ist für Berechnungen mit geringen bis mittleren
Ansprüchen ausreichend. Die Grenzen beim Arbeiten mit der O2 SGI werden bei > 180000
Netzknoten und einer geringen Taktfrequenz der CPU von 180Mhz gesetzt.
Der in dieser Arbeit verwendete Rechner war eine O2 Silicon Graphics Workstation –SGImit
einem überzeugend arbeitendem MVP unit 0 version 1.3 Graphiksystems.
118

Video: MVP unit 0 version 1.3
AV: AV1 Card version 1, O2Cam type 1 version 0 connected.
FLASH PROM version 4.3
On-board serial ports: 2
On-board EPP/ECP parallel port
1 180 MHZ IP32 Processor
FPU: MIPS R5000 Floating Point Coprocessor Revision: 1.0
CPU: MIPS R5000 Processor Chip Revision: 2.1
Data cache size: 32 Kbytes
Instruction cache size: 32 Kbytes
Secondary unified instruction/data cache size: 512 Kbytes on Processor 0
Main memory size: 192 Mbytes
Iris Audio Processor: version A3 revision 0
Integral Ethernet: ec0, version 1
CDROM: unit 4 on SCSI controller 0
Disk drive: unit 1 on SCSI controller 0
CRM graphics installed
Integral SCSI controller 1: Version ADAPTEC 7880
Integral SCSI controller 0: Version ADAPTEC 7880
Vice: TRE
4.2 Fehler im numerischen Strömungslöser
Während der Arbeit mit FINE/TURBO V3.0 treten noch eine Reihe von Problemen auf, deren
Ursache in der noch fehlerbehafteten Programmierung des numerischen Strömungslösers
liegt. Des weiteren leiten sich aus der Arbeit mit FINE/TURBO V3.0 einige
Verbesserungswünsche ab, die sich auf die Form und die Art im Bedienalgorithmus beziehen.
IGG V2.6
• Für den Aufbau der Geometrie sind als Positionsangaben nur absolute
Koordinatenangaben zugelassen, relative Koordinatenangaben würden die Bedienung
vereinfachen.
• Der Netzgenerator verfügt über einen weitaus geringeren Bedienkomfort als einfache
CAD-Systeme, es fehlen logische Funktionen.
• Die Schnittstelle für CAD-Daten ist unzureichend. In der vorliegenden Version ist ein
Datenaustausch nur über IGES möglich, Schnittstellen für weitere CAD-Standards wären
wünschenswert
• Problematisch ist zeitweise das Laden von IGES-Daten sowie IGG-eigenen .dat Daten in
ein neuangelegtes IGG-Projekt, die Geometrieelemente werden nicht korrekt
wiedergegeben. Das Problem verschwindet, wenn ein intaktes Netz in IGG geladen und
geschlossen wurde und erst im Anschluß das Laden der betreffenden Geometriedaten
erfolgt.
• Werden innerhalb des Projektes Geometrieelemente kopiert, so sind diese nicht immer
korrekt dargestellt. Dies trifft insbesondere für Kreisbögen sowie NURBS zu.
119

FINE/TURBO V3.0
• Die Nutzung des full multi grid Modus ist nur der Berechnung der Euler-Gleichungen
sowie der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit dem Baldwin-Lomax-Modells
vorbehalten. Die Anwendung des full multi grid Modus sollte in Zukunft auch für die
Berechnung der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit k-ε Modelle möglich sein.
• Es treten Probleme beim Schalten zwischen den Bedienmoden normal und expert auf,
einige Eingabeoptionen im expert Modus werden nicht dargestellt, z.B. unter dem
Menüpunkt general physics wird die Auswahl von Turbulenzmodellen unterdrückt.
Typisch sind in diesem Zusammenhang Fehlermeldungen mit der Ausgabe von Fortran 77
Quelltext im Consolen-Fenster der UNIX Umgebung.
• Die Anzeige für den Menüpunkt computational parameters ist zeitweise gestört. Abhilfe
kann mittels Veränderung des Bildauschnittes innerhalb der FINE/TURBO
Bedienoberfläche geschaffen werden.
• Bisher konnten keine Berechnungen der turbulenten Navier-Stokes-Gleichungen mit dem
Zweigleichungsmodell k-ε Modell für low reynolds und high reynolds erfolgen, die
Modelle funktionieren offensichtlich nicht.
• Es existieren keine Schnittstellen für selbst definierte Turbulenzmodelle, es ist lediglich
die Definition der Dämpfungsfunktion f µ sowie C µ , C ε1 , C ε2 , σ k , und σ ε möglich, NUMECA
[30].
• Für das Rechnen mit dem k-ε Modell ist eine Ausgabe der Vektorfelder für v xyz nur
möglich, wenn auf mindestens ein Skalarfeld der wählbaren Geschwindigkeitskomponenten
v x , v y und v z im Menüpunkt computational variables verzichtet wird.
• Berechnungen mit external bounderies sind problematisch, denn wenn im Menüpunkt
initial solutions vorzugebene Geschwindigkeits- bzw. Temperaturrandbedingungen zu
stark mit den Parametern der betreffenden external bounderies differieren, werden
Randbedingungen während der Rechung falsch gesetzt.
• Inkompressible Berechnungen sind für external flow Bedingungen nicht möglich, dies
führt zur unnötig schlechten Konvergenzwerten und langen Konvergenzzeiten.
• Der zu Beginn der Rechnung per Meldung angeforderte und dann freigegebene
Arbeitsspeicherbedarf ist nicht ausreichend, der wahre benötigte Speicherbedarf ist
weitaus höher. FINE/TURBO V3.0 warnt nicht vor dem Auslagern von
Arbeitsspeicherinhalten auf die Festplatte, welches sehr viel CPU-Leistung benötigt und
so die Berechnung bedeutend hemmt –shifting.
• Es fehlen Algorithmen für das automatische Anpassen des normierten Wandabstand y + für
verschiedene Turbulenzmodelle.
• Für die Auswertung der Daten ist keine Definition von eigenen Ergebnisgrößen möglich,
wie z.B Impulsverhältnis oder Filmkühleffektivität.
• Das willkürliche Herausschreiben von Ergebnissdateien ist nicht möglich, z.B. beim
vorzeitigen Abbrechen – kill – oder beim geordneten Stoppen der Rechnung – suspend - ,
für den letztgenannten Fall wird nur eine .aout ASCI-Datei erzeugt, die den Neustart der
Rechnung zuläßt.
120

• Das geordnete Stoppen der Rechnung im full multi grid Modus ist erst im feinsten Netz
möglich. Somit kann die CFL-Zahl nicht für unterschiedliche Netzweiten ∆x beim
Rechnen auf verschiedenen Netzen im full multi grid Modus verändert werden. Von
Vorteil wäre das vorzeitige geordnet Stoppen und Neustarten mit veränderter
Parametrisierung der Rechnung schon auf gröberen Netzen.
• Die zu berechnenden Werte werden im Menüpunkt computational parameters festgelegt.
Denkbar wäre es aber, sämtliche Ergebnisdaten herauszuschreiben, und erst im CFV eine
Auswertung der Ergebnisse vorzunehmen, um eigene Ergebnisgrößen definieren zu
können. Dies wäre auch in Hinblick auf den heute zur Verfügung stehenden Speicherplatz
auf Festplatten vertretbar.
• Paralleles Multiblockrechnen wird im vorliegenden FINE/TURBO V3.0 nicht angeboten,
was den Umfang der möglicher Netzkonfigrationen einschränkt sowie die Anforderungen
an das Rechnereinzelsystem erhöhen.
CFV
• Für die Erzeugung repräsentativer Darstellungen fehlen logische Funktionen wie
Spiegelungen an Symmetrierandbedingungen.
• Während des Arbeitens mit CFV treten zeitweise Probleme mit der Bildschirmdarstellung
auf. Die Darstellung des Hintergrunds erfolgt dann in Fremdfarben. Es wurde ein
ungenügende refresh Funktionalität der Arbeitsoberfläche festgestellt.
5 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
Mit der vorliegenden Diplomarbeit soll an die Arbeit von Boehme [10] über den numerischen
Ansatz angeknüpft werden. Dies scheitert, da das von Boehme [10] untersuchte instationäre
Strömungsfeld in der Meßkammer unter den im Experiment vorgegebenen Bedingungen
numerisch nicht simuliert werden kann.
Als numerischer Strömungslöser wird FINE/TURBO V3.0 von NUMECA eingesetzt. Wir
überprüfen das Programm auf seine Eignung zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten
mit verzögerter Hauptströmung und Strömungsablösung.
Hierzu berechnen wir die skalierte AGTB-Kaskade ohne Filmkühlausblasekonfigurationen
mit verschiedenen Turbulenzmodellen. Die Ergebnisse zeigen, daß die Berechnungen des
kompressiblen Strömungsfeldes mit FINE/TURBO V3.0 gute Ergebnisse liefern.
Zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung und
Strömungsablösung werden von Leschik [25] hochauflösende Messungen an Plattenmodellen
mit einem remissionsfotometrischen Meßverfahren nach Kottke [24] und Friedrichs [15] zur
Bestimmung der adiabaten Filmkühleffektivität η durchgeführt. Um die Form und den
Umfang der Gebiete mit verzögerter Hauptströmung bzw. mit Ablösung bestimmen zu
können, wird das Strömungsfeld um die von Leschik [25] untersuchten Platten bei variierten
Anstellwinkeln α berechnet.
121

Anschließend simulieren wir die Ausblasung des Kühlluftstroms in Gebieten des verzögerten
bzw. abgelösten Hauptstroms mit variierten Anstellwinkeln α und Ausblaseraten M mit
FINE/TURBO V3.0.
Die Ergebnisse dieser Berechnungen decken eine Reihe von Problemen auf, die sich sowohl
aus dem Verständnis der Strömungsvorgänge bei der Ausblasung in Gebiete mit verzögerter
Hauptströmung und Strömungsablösung und der sich hieraus ableitenden Auswahl der
Turbulenzmodelle, den noch nicht genügenden Modellvariationen sowie Schwierigkeiten bei
der Beherrschung des numerischen Strömungslösers ergeben. Einen großen Einfluß auf die
Qualität der berechneten Ergebnisse hat die Art und Ausführung der Diskretisierung des
physikalischen Rechenraums und der sich hieraus ableitenden Güte des Rechennetzes.
Der numerische Strömungslöser FINE/TURBO wird auch in Zukunft am Lehrstuhl
Verbrennungskraftmaschinen & Flugantriebe an der Brandenburgischen Technischen
Universität eingesetzt werden, jedoch in einer verbesserten Version. Die O2 Workstation
bietet sich aufgrund ihrer schwachen performance nicht für weitere numerische Simulationen
auf dem in der vorliegenden Arbeit behandelten komplexen Forschungsgebiet an. Sie wird
durch einen leistungsfähigeren Mikrorechner ersetzt werden.
Die numerische Simulation gewinnt neben der experimentellen Arbeit weiter an Bedeutung.
Mit ihr ist es möglich, Modelle für experimentelle Untersuchungen zu dimensionieren bzw.
später die berechneten Ergebnisse mit den Meßergebnisse zu verifizieren.
Die ersten Berechnungen an Platten zur Untersuchung der Filmkühlung in Gebieten mit
verzögerter Hauptströmung und Strömungsablösung bestätigen die prinzipielle Eignung des
gewählten Modells und zeigen mögliche Schwachstellen auf.
Für das Forschungsthema „Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung und
Strömungsablösung“ von Dückershoff [14] ergibt sich nach der Auswertung der numerischen
Ergebnisse aus Kapitel 3.3.2 sowie nach Boehme [10] nicht nur die Anforderung des näheren
Verstehens der Mischprozesse von Hauptstrom und Kühlluftstrom, sondern auch der aktiven
Beeinflussung der wandnahen Strömungsvorgänge, um z.B. die bereits im Pumpen- und
Verdichterbau eingesetzte Ausblasung in verzögerte Gebiete zur Stabilisierung der
Wandgrenzschicht und zur Vorbeugung von Ablösungen auf die Bedingungen der Turbine zu
übertragen.
Das Ergebnis dieser Untersuchungen wäre die weitere Verbesserung des aerodynamischen
Stufenwirkungsgrades der Turbine bei gleichzeitig sichergestellter effektiver Filmkühlung der
Turbinenschaufeln für höhere Turbineneintrittstemperaturen.
Der Gesamtwirkungsgrad von Flugtriebwerken ließe sich auf diesem Wege bedeutend
erhöhen.
122

V. LITERATUR
[1] Anderson, J.D., „An Introduction to Computational Fluid Dynamics“, Lectures Series
1989-02, Karman Institute for Fluid Dynamics, 1989
[2] Ardey, S., „Untersuchung der aerodynamischen Effekte von Vorderkanten-Kühlluftausblasung
an einem hochbelasteten Turbinengitter“, Dissertation, Fakultät der Luftund
Raumfahrttechnik, Universität der Bundeswehr München, München 1998
[3] Baehr, H.-D., Stephan, K., „Wärme- und Stoffübertragung“, ISBN 3-540-60374-3,
Springer Verlag, Stuttgart 1994
[4] Baier, R.D., Koschel, W., Broichhausen, K.D., Fritsch, G., „Systematic Study on the
Fluid Dynamical Behaviour of Streamwise and Laterally Inclined Jets in Crossflow“,
ASME Paper 97-GT-098, 1998
[5] Baldauf, S.; Scheurlen, M., „CFD Based Sensitivity Study of Flow Parameters for
Engine Like Film Cooling Conditions“, ASME Paper 96-GT-310, 1996
[6] Baldwin, B., Lomax, H., „Thin Layer Approximation and Algebraric Model for
Seperated Turbulent Flows“, AIAA 16 th Aerospace Sciences Meeting, Paper 78-257,
1978
[7] Beeck, A., „Strömungsfelduntersuchungen zum aerodynamischen Verhalten eines
hochbelasteten Turbinengitters mit Kühlluftausblasung an der Vorderkante“,
Dissertation, Fakultät der Luft- und Raumfahrttechnik, Universität der Bundeswehr
München, Neubiberg 1992
[8] Berhe, M.K., Patankar, S.V., „A Numerical Study of Discrete-Hole Film Cooling“,
ASME Paper 96-WA/HAT-8, 1996
[9] Bischoff, St., „Messung und Optimierung der Strömungsqualität im Freistrahl des 58 ·
58 cm² Umluftwindkanals Göttinger Bauart und Ermittlung des Wärmeübergangs an
der ebenen Platte bei erzwungener Konvektion mittels Wärme-Stoff-Analogie“,
Studienarbeit, Lehrstuhl Thermische Maschinen, BTU Cottbus, Cottbus 1998
[10] Boehme, T., „Untersuchung zur aktiven Unterdrückung der Strömungsablösung
mittels Lufteinblasung in eine verzögerte Hauptströmung“, Diplomarbeit, Fachbereich
11, TU Berlin, Cottbus 1998
[11] Bohn, D., Becker, V., Kusterer, K., „Auslegung der Filmkühlung moderner Beschaufelungen:
Einsatz von experimentellen Methoden und Strömmungssimulation
mit gekoppelter Wärmeübertragungsberechnung im Design-Prozeß“, DGLR-JT97-
154, Bonn 1997
[12] Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., „Taschenbuch der Mathematik“, VLN 294-
375/28/69, Teubner Verlagsgesellschaft 1969, Moskau 1956
[13] DGLR – Luft-und Raumfahrt, ISSN 0173-6254, B 13716, Seite 18, Deutsche
Gesellschaft für Luft- und Raumfahrt, Bonn 1998
123

[14] Dückershoff, R., „Filmkühlung in Gebieten mit verzögerter Hauptströmung und
Strömungsablösung“, Dissertation, Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen &
Flugantriebe, BTU Cottbus, Cottbus
[15] Friedrichs, St., „Endwall Film-Cooling in Axial Flow Turbines“, Dissertation, Whittle
Laboratory, Cambridge University Engineering Department
[16] Griebel, M., Dornseifer, Th., Neunhoeffer, T., „Numerische Simulation in der
Strömungsmechanik“, ISBN 3-528-06761-6, vieweg Lehrbuch, Braunschweig/
Wiesbaden 1995
[17] Haslinger, W., „Filmkühlung an einer Turbinenschaufelvorderkante: Die adiabate
Filmkühleffektivität aus Messung und numerischer Simulation“, Dissertation D17,
Fachbereich Maschinenbau, TU Darmstadt, Darmstadt 1998
[18] He, P.; Lieu, D.; Salcudean, M., Gartshore, I.S., „Leading Edge Film Cooling
Computations and Experiments Including Density Effects“; ASME Paper 96-GT-176,
1996
[19] Hildebrandt, Th., „Weiterentwicklung von 3D Navier-Stokes-Strömungsrechenverfahren
zur Anwendung in hochbelasteten Verdichter- und Turbinengittern“,
Dissertation, Fakultät der Luft- und Raumfahrttechnik, Universität der Bundeswehr
München, Wendelstein 1998
[20] Hirsch, C., „Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 1:
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1992, Bruessels 1987
[21] Hirsch, C., „Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2:
Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows“, ISBN 0-471-92452-0, John
Wiley & Sons 1992, Bruessels 1988
[22] Käppeli, E., „Strömungslehre und Strömungsmaschinen“, ISBN 3-8171-1023-5,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1987
[23] Kolmogorov, P.S., „Equations of Turbulent Motion of an Incompressible Turbulent
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[24] Kottke, V. „Einfluß des Anströmungsprofils auf den örtlichen Stoffübergang an
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[25] Leschik, W, „Entwicklung eines hochgenauen Kalibrierverfahrens zur Bestimmung
der adiabaten Kühlfilmeffektivität mit der Ammoniak-Diazo-Technik“, Diplomarbeit,
Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen & Flugantriebe, BTU Cottbus, Cottbus 1999
[26] Leylek, J.H., Zerkle, R.D., „Discrete-Jet Film Cooling: A Comparisation of
Computational Results With Experiments“, ASME Transactions, Vol. 116, July 1994
[27] Lin, Y.L., Stephens, M.A., Shih, T.I., „Computation of Leading-Edge Film Cooling
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