Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

2.6.1.2 Implizite Methode
Wir können die zeitlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichung in konservativer
Differentialform Gl. 2.3 durch die Crank-Nicolson Form substituieren, die sich aus der Gl.
2.33 ergibt.
rt
qi
+
∆t
rt
− qi
∆t
=
1
2
rt
q
⋅ i
+
+
∆t
rt
1 + qi
+
rt
1 − 2 ⋅ qi
+
∆t
rt
− 2 ⋅ qi
∆x
rt+
∆t
rt
+ qi
−1
+ qi
−1
Gl. 2.33
rt
t
Der unbekannte Lösungsvektor qi
+ ∆
t
ist jetzt nicht nur von der Lösung Q r abhängig, es
rt
t
existieren auch Abhängigkeiten zu den räumlich benachbarten Lösungen q
∆ rt
t
und q
∆ .
Wir können so durch Invertierung mit den Informationen aus sämtlichen N Netzpunkten ein
algebraisches Gleichungssystem erstellen, das innerhalb eines einzelnen Schrittes lösbar wäre.
Betrachten wir die Dimension des Lösungsraums mit N 3 würden sich ca. N 7
Rechenoperationen ergeben, Hildebrandt [19]. Man hat daher für die implizite Methode auch
iterative Algorithmen entwickelt, die eine sehr stabile Lösung des algebraischen
Gleichungssystems innerhalb weniger Zeitschritte ermöglichen.
Von Nachteil sind die umfangreichen Algorithmen, die aufwendig implementiert werden
müssen, sowie die aufwendigen Matrizenoperationen je Zeitschritt.
i+
+ 1
i−
+ 1
2.7 Erzeugung von Turbulenz
In den wenigsten Fällen treten in der Technik rein laminare Strömungen auf, die durch
geschichtete, weitgehend parallele Bewegungen charakterisiert sind. Die meisten Strömungen
können als turbulent betrachtet werden. Turbulente Strömungen zeichnen sich durch
hochfrequente instationäre Schwankungen der integralen Zustands- und Bewegungsgrößen in
zeitlicher und räumlicher Abhängigkeit um einen Mittelwert aus. Die Berücksichtigung der
Turbulenz in Strömungen ist äußerst wichtig, da die Turbulenz einen wesentlichen Einfluß auf
das Strömungsverhalten hat. Die Turbulenz ist maßgeblich für den größeren Widerstand der
turbulenten Strömung. Andererseits ermöglicht die Turbulenz einen größeren Druckanstieg in
Diffusoren oder entlang von Flugzeugtragflügeln und Gebläseschaufeln, da sie das vorzeitige
Ablösen der Strömung verhindert. Wir können uns dieses Phänomen mit dem Auftreten einer
zusätzlich zur Vikosität µ entstehenden Wirbelviskosität µ t erklären, die ihre Ursache nicht in
den molekularen Reibungskräften hat, sondern in der turbulenten Schwankungsbewegung der
Strömung.
Erreicht die Reynoldszahl
ρ ⋅ v ⋅ l
Re = Gl. 2.34
η
20