Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

2.3 Gleichungssysteme
Die Erhaltungsgleichungen instationärer, reibungsbehafteter Strömungen lassen sich in einem
stetigen Strömungsfeld mit einem beliebigen, raumfesten Kontrollraum herleiten.
Exemplarisch soll am Beispiel der Masse die Kontinutätsgleichung bestimmt werden, Gl. 2.1.
der
∂
⋅ dV
∂t
∫∫∫ ρ
14243 V 4
zeitliche
Änderung
Masse im Kontrollraum
+
über
die
∫∫
A
r r
ρv
⋅ dA
14243
Massenfluß
Flächen des Kontrollraums
=
0
Gl. 2.1
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
Verwenden wir den Nabla-Operator ∇ = ⎜ + + ⎟ so können wir die Gl. 2.1 bei
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
vorausgesetzter stetiger Differenzierbarkeit in die Integralform
∂
∫∫∫ ∫∫∫
r
ρ ⋅ dV + ∇ ⋅ ρv
⋅ dV = 0
Gl. 2.2
∂t V V
bzw. die konservative Differentialform
∂ρ
r
+ ∇ ⋅ρv
= 0
∂t
Gl. 2.3
mit
r r r
∇ ⋅ ρv
= ρ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ
Gl. 2.4
überführen.
Möglich wird dies durch die Annahme, daß sich das finite Kontrollvolumen im karthesischen
Raum in Ruhe befindet, die Integrationsgrenzen in der Gl. 2.2 konstant sind, und sich somit
die Ableitung ∂ ∂t
innerhalb des Integrals bringen läßt.
∂ρ
∂t
∫∫∫ ⋅ dV + ∫∫ ρv
⋅ dA =
V
A
r
r
0
Gl. 2.5
Unter Verwendung des Gaußschen Divergenztheorems können wir das Oberflächen-Integral
in der Gl. 2.5 durch das Volumen-Integral
12