Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

2.9 Turbulenzmodelle
Im allgemeinen kommen bei der Modellierung partielle Differentialgleichungen zum Einsatz,
nach deren Ordnungen wir die Turbulenzmodelle kategorisieren. So können wir einen
Zusammenhang zwischen den turbulenten Schubspannungen und den Größen der mittleren
Bewegung mit einem Eingleichungs-Modell bzw. Zweigleichungs-Modell bzw. bei einem
Verzicht auf Differentialgleichungen mit der Verwendung von ausschließlich algebraischen
Gleichungen ein Nullgleichungs-Modell herstellen.
Es existieren zwei wichtige Modellansätze, das Reynoldsspannungsmodell und das
Wirbelviskositätsmodell. Das Reynoldsspannungsmodell berücksichtigt das anisotrope
Verhalten der Turbulenz, welches mit der Erhöhung der Anzahl zu lösender Gleichungen und
somit des Rechenaufwands einher geht. Jedoch werden die Strömungsphänomene sehr gut
erfaßt.
Das Wirbelviskositätsmodell geht von der Annahme isotroper Turbulenz nach dem
Bossinesq-Ansatz Gl. 2.44 aus. Sämtliche Schwankungsbewegungen werden in den drei
Raumrichtungen als identisch angenommen, so daß die Reynolds-Spannungen mit gleicher
Gewichtung in die Wirbelviskosität µ t eingehen.
u ′
= v′′
= w′
Die in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodelle basieren ausschließlich auf dem
Wirbelviskositätsmodell.
Die scheinbaren Spannungen der turbulenten Strömung werden mit dem Bossinesq-Ansatz
modelliert.
⎛ ∂v ~ v ~ 2 u ~ 2
v v
i ∂ k ∂ k ⎞
− ρ ⋅ i′′⋅
′′ j = µ t ⋅
⎜ + − ⋅δij
⋅ − ⋅ ij ⋅ ⋅ k
xk
xi
3 x
⎟ δ ρ
Gl. 2.44
⎝ ∂
∂ k ⎠ 3
Des weiteren gelten
1
h ~ h ~ u ~ 2
ρ 2
t = + ⋅ + k ρ ⋅ htv′′
= ρ ⋅ h′′⋅
v′′
+ ⋅ q ⋅ v′′
− u ~ ⋅τ
t
2
2
2 2 2 2
q = u′′
+ v′′
+ w′
Gl. 2.45
sowie mit der kinetischen Energie k der turbulenten Schwankungsbewegung
k =
2
ρ ⋅ q
=
2 ⋅ ρ
1
⋅ q ~
2
2
Gl. 2.46
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