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2.6.1.2 Implizite Methode Wir können die zeitlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichung in konservativer Differentialform Gl. 2.3 durch die Crank-Nicolson Form substituieren, die sich aus der Gl. 2.33 ergibt. rt qi + ∆t rt − qi ∆t = 1 2 rt q ⋅ i + + ∆t rt 1 + qi + rt 1 − 2 ⋅ qi + ∆t rt − 2 ⋅ qi ∆x rt+ ∆t rt + qi −1 + qi −1 Gl. 2.33 rt t Der unbekannte Lösungsvektor qi + ∆ t ist jetzt nicht nur von der Lösung Q r abhängig, es rt t existieren auch Abhängigkeiten zu den räumlich benachbarten Lösungen q ∆ rt t und q ∆ . Wir können so durch Invertierung mit den Informationen aus sämtlichen N Netzpunkten ein algebraisches Gleichungssystem erstellen, das innerhalb eines einzelnen Schrittes lösbar wäre. Betrachten wir die Dimension des Lösungsraums mit N 3 würden sich ca. N 7 Rechenoperationen ergeben, Hildebrandt [19]. Man hat daher für die implizite Methode auch iterative Algorithmen entwickelt, die eine sehr stabile Lösung des algebraischen Gleichungssystems innerhalb weniger Zeitschritte ermöglichen. Von Nachteil sind die umfangreichen Algorithmen, die aufwendig implementiert werden müssen, sowie die aufwendigen Matrizenoperationen je Zeitschritt. i+ + 1 i− + 1 2.7 Erzeugung von Turbulenz In den wenigsten Fällen treten in der Technik rein laminare Strömungen auf, die durch geschichtete, weitgehend parallele Bewegungen charakterisiert sind. Die meisten Strömungen können als turbulent betrachtet werden. Turbulente Strömungen zeichnen sich durch hochfrequente instationäre Schwankungen der integralen Zustands- und Bewegungsgrößen in zeitlicher und räumlicher Abhängigkeit um einen Mittelwert aus. Die Berücksichtigung der Turbulenz in Strömungen ist äußerst wichtig, da die Turbulenz einen wesentlichen Einfluß auf das Strömungsverhalten hat. Die Turbulenz ist maßgeblich für den größeren Widerstand der turbulenten Strömung. Andererseits ermöglicht die Turbulenz einen größeren Druckanstieg in Diffusoren oder entlang von Flugzeugtragflügeln und Gebläseschaufeln, da sie das vorzeitige Ablösen der Strömung verhindert. Wir können uns dieses Phänomen mit dem Auftreten einer zusätzlich zur Vikosität µ entstehenden Wirbelviskosität µ t erklären, die ihre Ursache nicht in den molekularen Reibungskräften hat, sondern in der turbulenten Schwankungsbewegung der Strömung. Erreicht die Reynoldszahl ρ ⋅ v ⋅ l Re = Gl. 2.34 η 20
einen bestimmten kritischen Betrag Re krit , so schlägt die laminare Strömung in eine turbulente Strömung um. An ebenen Platten gilt so nach Baehr [3] eine auf die Plattenlauflänge bezogene kritische Reynoldszahl von Re krit = 3·10 5 ... 5·10 5 . Hildebrandt [19] gibt für Schaufelgitterströmungen in Turbomaschinen eine auf die Profillänge l bezogene kritische Reynoldszahl von Re krit ≈ 3.5·10 5 an. Neben der Reynoldszahl haben weitere integrale Zustands- und Bewegungsgrößen sowie geometrische Randbedingungen Einfluß auf die Einstellung einer laminaren oder turbulenten Strömung, nach Hildebrandt [19] sind das. • Wärmeflüsse • Druckgradienten • Schall und Vibrationen • Oberflächenrauhigkeiten • Anfachung durch Einblasen in die Grenzschicht bzw. Dämpfung durch Absaugen der Grenzschicht oder Einblasen • Turbulenzgrad Tu der Hauptströmung bzw. benachbarter Strömungsgebiete Die hochfrequenten instationären Schwankungen der integralen Zustands- und Bewegungsgrößen beziehen sich auf Turbulenzballen entsprechender Abmessungen, welche einer natürlichen Dämpfung unterliegen, die sich aus der Dissipation, also der Umwandlung von kinetischer Energie der mittleren Bewegung in innere Energie, beim Zerfallen in kleinere Turbulenzballen ergibt. Somit wird das Entstehen unendlich kleiner Wirbelelemente verhindert. Ein hinreichendes Maß für die Beschreibung der Feinstruktur der Turbulenz bei der Annahme lokalisotroper Turbulenz liefert die Kolmogorov-Länge lk −3 4 = Rel ⋅ l Gl. 2.35 und der Zeitmaßstab tk −3 2 −1 = Rel ⋅ l ⋅ν Gl. 2.36 im eindimensionalen Raum. Kolomogorov [23] gibt die Anzahl N der für die Direkte Numerische Simulation einer turbulenten Strömung im dreidimensionalen Raum notwendigen Netzpunkte an, Gl. 2.37. 9 4 N ∝ Re Gl. 2.37 l 21
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Eine Ausnahme nimmt das Ergebnis de
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