Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

∫∫ ρ v ⋅ dA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ρv
⋅
A
r
r
V
r
dV
Gl. 2.6
substituieren und erhalten die Integralform
⎡∂ρ
⎣ ∂t
r⎤
⎦
∫∫∫ ⎢
+ ∇ ⋅ ρv
⎥
⋅ dV =
V
0
Gl. 2.7
Für ein willkürlich festgelegtes finites Kontrollvolumen des stetigen Strömungsfelds
innerhalb des Kontrollraums gilt, daß wir das Integral in der Gl. 2.7 gleich null annehmen
können und somit die konservative Differentialform Gl. 2.3 erhalten, da für ein mitbewegtes
Systemvolumen
dm = 0 mit m ( t ) =
dt
∫∫∫ ρ ⋅ dV
V ()
Gl. 2.8
t
gilt. Die Integralform Gl. 2.7 und die konservative Differentialform Gl. 2.3 besitzen die
gleiche mathematische Bedeutung. Für die numerische Behandlung ergeben sich jedoch
aufgrund der unterschiedlichen Reihenfolge der Approximationen verschiedener
Diskretisierungsverfahren, deren Methoden unter den Begriffen der Finiten-Volumen-
Diskretisierung für die Integralform sowie der Finiten-Differenzen-Verfahren für die
konservative Differentialform zusammengefaßt werden, Hildebrandt [19]. Wenden wir die in
Gl. 2.3 und Gl. 2.7 exemplarisch an der Masse dargestellte allgemeine Erhaltungsgleichung
der Masse auf die Erhaltung von Impuls und Energie an, folgt das System der Navier-Stokes-
Gleichungen. Die Erhaltungsgleichungen lauten in konservativer Form nach Hildebrandt [19]
r r r
∂Q
∂
+
∂t
∂x
( E − Ev ) ∂( F − Fv
) ∂( G − Gv
)
= 0
+
r
∂y
r
+
r
∂z
r
Gl. 2.9
⎡ ρ ⎤
⎢
ρ ⋅ u
⎥
r ⎢ ⎥
Q = ⎢ ρ ⋅ v ⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ et
⎥⎦
⎡ ρ ⋅ u ⎤
⎢ 2
ρ ⋅ u + p
⎥
r ⎢ ⎥
E = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ u ⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w ⋅ u
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ u ⎥⎦
r
F
⎡ ρ ⋅ v ⎤
⎢
ρ ⋅ u ⋅ v
⎥
⎢ ⎥
2
= ⎢ρ
⋅ v + p⎥
⎢ ⎥
⎢
ρ ⋅ w ⋅ v
⎥
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ v ⎥⎦
mit dem Lösungsvektor Q r und den konvektiven Flußvektoren E r , F r , G r ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎡ ρ ⋅ w ⎤
⎢
ρ ⋅ u ⋅ w
r ⎢
G = ⎢ ρ ⋅ v ⋅ w
⎢ 2
⎢
ρ ⋅ w + w
⎢⎣
ρ ⋅ ht
⋅ w
Gl. 2.10
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