Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

2.5 Zeitabhängigkeit der Erhaltungsgleichungen
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein Gleichungssystem gekoppelter, nichtlinearer,
partieller Differentialgleichungen. Wir können Differentialgleichungen ellyptischen,
parabolischen sowie hyperbolischen Typs beschreiben, wobei der Typ der
Differentialgleichung wesentlichen Einfluß auf die Art der eingesetzten Lösungsalgorithmen
hat.
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind im mathematischen Sinne immer von der Zeit abhängig.
Ein stationärer Fall ergibt sich dann, wenn alle zeitabhängigen Terme der
Erhaltungsgleichungen verschwindend klein werden, ∂ ∂t = 0 .
Aus den Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich für die Annahme des Grenzfalles Re → ∞ die
Euler-Gleichungen herleiten. Stationäre Euler-Gleichungen stellen im Unterschall Ma < 1 den
ellyptischen Typ im Überschall Ma > 1 den hyperbolischen Typ eines Differentialgleichungssystems
dar. Insbesondere in transsonischen Turbomaschinen wechselt der Typ der
stationären Euler-Gleichungen bei der Veränderung des Strömungszustands an der Saugseite
der Turbinensschaufel. Instationär formulierte Euler–Gleichungen sind unabhängig vom
Strömungszustand. Sie sind vom hyperbolischem Typ.
Man setzt daher in Fällen wechselnder Strömungszustände Lösungsalgorithmen des
hyperbolischen Typs ein, um den aufwendigen Wechsel bei der Anwendung der Lösungsverfahren
zu vermeiden.
In der Strömungsmechanik existieren neben den Euler-Gleichungen noch weitere vereinfachte
Formen der Navier-Stokes-Gleichungen, welche vom parabolischen Typ sind. Werden nur die
Terme der viskosen Schubspannungen vernachlässigt, so erhalten wir Navier-Stokes-
Gleichungen parabolischen Typs.
Die diffusen Flüsse der Navier-Stokes-Gleichungen behalten unabhängig von der Machzahl
ihren ellyptischen Charakter. Da die Größenordnung der diffusen Flüsse E r
v , F r
v , G r
v in der
Regel für weite Teile des Lösungsgebietes klein ist, können die Lösungsalgorithmen des
hyperbolischen Typs zur Lösung der stationären sowie instationären Navier-Stokes-
Gleichungen beibehalten werden, wobei es für instationäre Strömungen keine Rolle spielt, ob
Unterschall oder Überschall herrscht.
2.6 Diskretisierungstechniken
Grundlage für die Diskretisierungstechniken sind die Herleitungen von Substitutionen der
Ableitungen in den Erhaltungsgleichungen nach dem Satz von Taylor.
r 2 r rt
+ ∆t
rt
rt
rt
rt
⎡ 2
t
4
t
2 ⎤
∂q
∂ q qi
− qi
qi
1 − 2⋅
qi
+ q ⎛
i 1
u ⎞ t ⎛ u ⎞
⎢ ⎜
∂
⎜
∂ x
− =
− +
−
⎟ ∆ ⎟ ∆
+ − ⋅ + ⋅ + K⎥
t 2
x
t
2
2
x
⎢
t
2
4
t
12 ⎥
14243
∂ ∂ 144444
∆
2444444
∆ 3
Differenti i
i
Taylor Glied
gleichung
al
⎣
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠
⎦
− −
1444444
244444
43
erster und zweiter Ordnung
Taylor−Glieder
höherer Ordnung
Rundungsfehler
=
0
18