Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

sind eindeutig und voneinander unabhängig, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix positiv
definit ist.
1
D
∂
=
∂
( ξ , µ , ζ )
( x, y,z)
=
∂ξ
∂x
∂η
∂x
∂ζ
∂z
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
∂x
∂ξ
∂z
∂η
∂z
∂ζ
∂x
≠ 0
Gl. 2.27
Die Navier-Stokes-Gleichungen schreiben sich dann
∂ E ~ E ~
D Q
⎜ v
⎝
⎛ v r
r −
∂ ⋅
+
∂τ
∂ξ
⎟⎞
⎠
∂⎜
F ~ F ~
v
⎝
⎛ r r
−
+
∂η
⎟⎞
⎠
∂⎜
⎛ G ~ r
G ~ r
− v
+
⎝
∂ζ
⎟⎞
⎠
= 0
Gl. 2.28
Die Flußvektoren E ~r , F ~r , G ~r sind
⎛ ∂ ∂
E ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
ξ + F ⋅
ξ + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
⎛ ∂ ∂
F ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
η + F ⋅
η + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
∂ ξ ⎞
⎟
∂z
⎠
∂ η ⎞
⎟
∂z
⎠
Gl. 2.29
⎛ ∂ ∂
G ~ r
= D ⋅ ⎜ E ⋅
ζ + F ⋅
ζ + G ⋅
⎝ ∂x
∂y
∂ ζ ⎞
⎟
∂z
⎠
Für die Metrikkoeffizienten gilt in der Kurzschreibweise ζ = ∂ζ
∂x
nach Hildebrandt [19]
x
ξ
η
x
x
=
=
yη
⋅ zζ
− zη
⋅ yζ
D
yζ
⋅ zξ
− zζ
⋅ yξ
D
ξ
η
y
y
=
=
zη
⋅ xζ
− xη
⋅ zζ
D
zζ
⋅ xξ
− xζ
⋅ zξ
D
ξ
η
z
z
=
=
xη
⋅ yζ
− yη
⋅ xζ
D
xζ
⋅ yξ
− yζ
⋅ xξ
D
Gl. 2.30
ζ
x
=
yξ
⋅ zη
− zξ
⋅ yη
D
ζ
y
=
zξ
⋅ xη
− xξ
⋅ zη
D
ζ
z
=
xξ
⋅ yη
− yξ
⋅ xη
D
17