Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

Wir unterscheiden zwei wichtige Diskretisierungstechniken der Zeitabhängigkeit, die
explizite Methode und die implizite Methode.
2.6.1.1 Explizite Methode
Ersetzen wir die zeitlichen und räumlichen Ableitungen der Erhaltungsgleichungen in
konservativer Differentialform Gl. 2.31 durch die zentralen Differenzen, so erhalten wir für
r
q
t+
∆t
i
r
− q
∆t
t
i
=
den Lösungsvektor Q r ( ) 2 t
r
q
t
i+
1
r
+ 2 ⋅ q
∆x
t
i
r
+ q
i−1
Gl. 2.31
Der Index i beschreibt die Position des betrachteten Knotenpunktes im eindimensionalen
rt
t
Diskretisierungsraum mit der Netzweite ∆ x . Wir erkennen, daß der Lösungsvektor qi
+ ∆
t
zum Zeitpunkt t + ∆t
ausschließlich von der Lösung Q r
zum Zeitpunkt t abhängig ist.
Die Gl. 2.31 kann einfach in den numerischen Diskretisierungsansatz implementiert und
berechnet werden. Von Nachteil ist die Beschränkung der numerischen Schrittweite ∆ t über
die Dimension der Netzweite ∆ x .
Für eine stabile Rechnung darf ein numerischer Zeitschritt expliziter Verfahren ∆ t nur so
groß sein, daß eine sich mit lokaler Schallgeschwindigkeit a ausbreitende Störung nicht das
lokale Einflußgebiet von ∆ x verläßt, Hirsch [21]. Die Courant-Friedrichs-Lewy –CFL-
Bedingung wird mit der CFL-Zahl beschrieben, wobei für die explizite Methode 0 < CFL ≤ 1
gilt, Gl. 2.32.
∆t
CFL = a ⋅
Gl. 2.32
∆x
Aus der Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung und dem begrenzten Verhältnis von Zeitschritt
und Netzauflösung ∆ t ∆x
folgt eine große Anzahl von Zeitschritten und ein
dementsprechend hoher Rechenaufwand, der für feine Netze bei gleichbleibendem Verhältnis
von Zeitschritt und Netzauflösung ∆ t ∆x
noch zunimmt.
Moderne explizite Lösungsalgorithmen verwenden stabilere Diskretisierungsansätze mit
teilweise impliziten Formulierungen, die höhere CFL-Zahlen zulassen. Desweiteren werden
Konvergenzbeschleunigungstechniken verwendet, die lokale anstatt globale Zeitschritte
verwenden. Diese Techniken finden nur für stationäre Strömungsprobleme aufgrund deren
Unempfindlichkeit gegenüber zeitlichen Verzerrungen Anwendung, Hildebrandt [19].
19