Informatische Ideen im Mathematikunterricht - Gesellschaft für ...

proceedings 

Ulrich Kortenkamp; Hans-Georg Weigand; Thomas Weth 

(Hrsg.) 

Informatische Ideen im 

Mathematikunterricht 

Bericht über die 

23. Arbeitstagung des Arbeitskreises 

„Mathematikunterricht und Informatik“ in der 

Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e.V. 

vom 23. bis 25. September 2005 in Dillingen an der Donau

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek 

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; 

detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb. 

ddb.de abrufbar. 

Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek 

Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; 

detailed bibliographic data is available on the Internet at http://dnb.ddb.de. 

Ulrich Kortenkamp; Hans-Georg Weigand; Thomas Weth (Hrsg.) 

Informatische Ideen im Mathematikunterricht. 

Bericht über die 23. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht 

und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 

e.V. vom 23. bis 25. September 2005 in Dillingen an der 

Donau 

ISBN 978-3-88120-471-2 

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung 

und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen 

vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des 

Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. §§ 53, 54 

URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes 

Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, 

Disketten und andere Medien. 

© 2008 by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

Inhaltsverzeichnis 

1 Ulrich Kortenkamp, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth: Vorwort der Herausgeber 5 

1 Leitgedanken zur Tagung „Informatische Ideen im Mathematikunterricht“ . . . . . . . . . 5 

2 Der Tagungsband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

I Hauptvorträge und Podiumsdiskussion 7 

2 Astrid Beckmann, Schwäbisch Gmünd: Informatische Aspekte im Mathematikunterricht – 

Möglichkeiten und Chancen 9 

1 Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2 Informatische Aspekte im Mathematikunterricht – Möglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 9 

3 Informatische Aspekte im Mathematikunterricht – Chancen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

3 Johannes Magenheim, Paderborn: Systemorientierte Didaktik der Informatik — Sozio-technische 

Informatiksysteme als Unterrichtsgegenstand? 17 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2 Fachdidaktik und Fachwissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3 Sozio-technische Informatiksysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4 Informatiksysteme im Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

5 Informatik Lernlabor — ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

6 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4 Torsten Brinda, Erlangen: Wechselwirkungen zwischen mathematischer und informatischer 

Bildung 37 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2 Wirkungen der Mathematik auf die informatische Bildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3 Informatiksysteme als Lernhilfen für die mathematische Bildung . . . . . . . . . . . . . . 39 

4 Wirkungen der Informatik auf die mathematische Bildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5 Peter Bender, Paderborn: Brauchen wir ein Schulfach „Informatik“? — Eine Podiumsdiskussion 

43 

1 Vorrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2 Das Podium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3 Die Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4 Ein Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

II Vorträge 47 

6 Christine Bescherer, Flensburg: Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie – Übertragung 

des FITness-Konzepts auf die Mathematiklehrerausbildung 49 

1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2 Das FITness-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3 Die Veranstaltung „Einführung in die Informatik“ für alle Lehrämter der Mathematik . . . 51 

4 Fazit und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

7 Hans-Jürgen Elschenbroich, Düsseldorf: Back to the roots 55 

1 Quadrieren und Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

2 Heron-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

3 HERONS Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

4 Wurzelschnecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

5 Wurzelziehen nach EUKLID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

1

8 Martin Epkenhans, Paderborn: Laufzeitanalysen, Wachstumsfunktionen und asymptotische 

Untersuchungen 59 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2 Algorithmen in der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

3 Anforderungen an den Mathematikunterricht aus Sicht der Informatik . . . . . . . . . . . 60 

4 Realisierungen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

5 Schlussbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

9 Andreas Filler, Heidelberg: Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen: Generieren 

von Bewegungsbahnen sowie von Geraden und Kurven als Punktmengen 63 

1 Einleitung, Problemlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

2 Einbeziehung von Grafiksoftware oder CAS für die Behandlung von Parameterdarstellungen 64 

3 Geraden und Ebenen als Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

4 Die Zeit als Parameter — Generieren einfacher Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

5 Parameterdarstellungen von Kreisen und einigen weiteren Kurven . . . . . . . . . . . . . 67 

6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

10 Dörte Haftendorn, Lüneburg: Krypto-logisch 73 

1 Mathematische Grundlagen des RSA-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

2 Didaktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3 Algorithmische Aspekte im Hinblick auf die Lehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

4 Gesellschaftliche Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

11 Ulrich Kortenkamp, Schwäbisch Gmünd: Strukturieren mit Algorithmen 77 

1 Algorithmen in der Schule? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

2 Rezepte oder Algorithmen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

3 Zusammenfassung: Funktionen von Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

4 Schlussbemerkung: Programmieren und Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . 83 

12 Anselm Lambert und Pia Selzer, Saarbrücken: Schillernde Diskretisierung – eine Schnittstelle 

von Mathematik und Informatik 87 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2 Was bedeutet „Informatik“? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

3 Zentrale, aktuelle und zukuftsweisende Ideen der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

4 Exemplarisches Beispiel für den Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

13 Herbert Löthe, Ludwigsburg: Erlebnis Mathematik mit Computer — Realisierung am Beispiel 

des Folgenbegriffs 101 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

2 Von Inhalten zu Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

3 Die Lernumgebung „Folgen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

4 Technische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

14 Georg Hauck, Markus Mann, Weingarten: Gute Seiten, schlechte Seiten — Internetangebote 

für den Mathematikunterricht 109 

1 Ausgangslage und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

2 Seminarkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 

3 Das Befragungsinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

4 Erste Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

5 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

15 Fritz Nestle: Papageiengeplapper versus verstandene Sprachproduktion 117 

1 Die Inflation der Lernstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 

2 Lernthemen der Gegenwart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 

3 Neue Lernstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

4 Charakterisierung kognitiver Lernthemen und Kriterien der Auswahl . . . . . . . . . . . . 118 

5 Lern- bzw. Arbeitsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

6 Taxonomische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 

2

16 Reinhard Oldenburg, Heidelberg: Vom Nutzen und vom Nachteil der Informatik für den Mathematikunterricht 

123 

1 Ausgangspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

2 Mathematik und Informatik — ein schwieriges Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

3 Algorithmen sind gut! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

4 Mathematik als Zuliefer-Wissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

5 Prozess-Objekt-Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 

6 Methoden-Werkzeugkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

7 Problematische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

8 Abschlussthesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

17 Jürgen Roth, Würzburg: Dynamik von DGS — Wozu und wie sollte man sie nutzen? 131 

1 Alte Idee der beweglichen Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

2 Funktionen des DGS-Einsatzes (Wozu?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

3 Fokussierungshilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 

4 Sinnvoller Einsatz der dynamischen Möglichkeiten von DGS (Wie?) . . . . . . . . . . . . 134 

5 Dimensionen des Einsatzes von DGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

18 Reinhold Thode, Kiel: Lineare Gleichungssysteme im Unterricht mit CAS-Rechnern 139 

1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

2 Eine Unterrichtseinheit zu linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

3 Iteratives Lösen von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

4 Schlussbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 

19 Bert Xylander, Gera: Objektorientierung im Mathematikunterricht 153 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

2 Informatische Konzepte der Objektorientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

3 Mathematische Interpretationen der objektorientierten Konzeptideen . . . . . . . . . . . . 154 

4 Objektorientierung im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

5 Skizze einer „objektorientierten“ Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 

6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 

III Arbeitsgruppen 165 

20 Andreas Filler, Heidelberg: Arbeitsgruppe: Computergrafik und Mathematikunterricht 167 

21 Fritz Nestle, Ludwigsburg: Arbeitsgruppe: Konstruktion korrekturgünstiger Aufgaben — 

auch mit sofortiger automatischer Auswertung 169 

1 Konstruktion korrekturgünstiger Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

2 Online-Lernkontrollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

22 Dörte Haftendorn, Lüneburg: Arbeitsgruppe: Wieviel Programmieren-Können braucht man 

in der Mathematiklehre? 171 

1 Fragestellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 

3

Raum für Notizen 

4

• Vorwort der Herausgeber 

Ulrich Kortenkamp, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth 

1 Leitgedanken zur Tagung 

„Informatische Ideen im 

Mathematikunterricht“ 

Seit seiner Gründung führt der Arbeitskreis „Mathematikunterricht 

und Informatik“ das Wort „Informatik“ 

in seinem Namen. Dies war immer wieder 

Anstoß und Verpflichtung, die Entwicklungen 

der Informatik und deren Auswirkungen auf den 

Mathematikunterricht in den Focus der Betrachtungen 

zu nehmen. 

Einerseits bedeutet dies insbesondere, dass es 

die Aufgabe des Arbeitskreises ist, Ziele, Inhalte 

und Methoden des Mathematikunterrichts bei 

Einbeziehung Neuer Technologien kritisch zu hinterfragen 

und konstruktive Vorschläge im Hinblick 

auf mögliche Veränderungen zu unterbreiten. 

Immer wieder war die Frage der Beziehung 

des Mathematikunterrichts zum Fach und zum 

Schulfach Informatik Gegenstand reger Diskussionen. 

So stand die Herbsttagung des Arbeitskreises 

1994 in Wolfenbüttel unter dem Thema 

„Fundamentale Ideen - Zur Zielorientierung eines 

künftigen Mathematikunterrichts unter Berücksichtigung 

der Informatik“. Dort wurden unter 

anderem folgende Themen angesprochen: 

• Wo im Fächer-Kanon der allgemeinbildenden 

Schule soll die Informatik angesiedelt werden? 

(Bender) 

• Ansatzpunkte zu Änderungen im Mathematikunterricht 

aus Sicht der Informatik (Modrow) 

• Mathematik und Informatik - Konkurrenten 

oder Partner? (Lehmann) 

• Zielsetzungen eines künftigen Mathematik- und 

Informatikunterrichts - Überlegungen aus bildungstheoretischer 

Sicht (Heymann) 

• Programmieren im Mathematikunterricht (Winkelmann) 

• Entbehrliche Ziele und Inhalte des heutigen Mathematikunterrichts 

(Weigand) 

• Neue Ziele und Inhalte eines künftigen Mathematikunterrichts 

(Hischer) 

• Fundamentale Konzepte der Informatik beim 

Einsatz mathematischer Software (Köhler) 

Im letzten Jahrzehnt hat sich die Informatik 

als Wissenschaft – natürlich – weiterentwickelt, 

die Institute für Informatik wurden ausgebaut, der 

gesamte Bereich des Internets kam neu hinzu, 

neue Programmierparadigmen entstanden. Während 

sich das Schulfach Informatik in der Oberstufe 

etabliert hat, gibt es in der Sekundarstufe I 

unterschiedliche Entwicklungen: Die „Informationstechnische 

Grundbildung“ hat ihren Charakter 

als eigenes Fach weitgehend verloren, Informatik 

als Pflichtfach in der Sekundarstufe I gibt es in nur 

wenigen Bundesländern. 

Die Auswirkungen der Informatik zeigen sich 

heute unmittelbar in der – fast – jederzeitigen Verfügbarkeit 

von Computern, deren – bald – flächendeckender 

Anschluss ans Internet und die Mobilität 

und Verkleinerung der Geräte. Der Ausbau 

der Didaktik der Informatik hat – teilweise – zu 

Veränderungen bei Zielen, Inhalten und Methoden 

des Informatikunterrichts geführt. 

Für die Herbsttagung des Arbeitskreis Mathematikunterricht 

und Informatik in Dillingen vom 

23. bis 25. September 2005 wurden daher die folgenden 

Fragen in den Blickpunkt gerückt: 

• Was sind die zentralen aktuellen und zukunftsweisenden 

informatischen Ideen und in welcher 

Art und Weise wirken sie auf den Mathematikunterricht 

ein? 

• Welche Möglichkeiten und Chancen bietet ein 

verstärktes Einbeziehen dieser (welcher?) Ideen 

für den Mathematikunterricht? 

• Welches sind die Wechselbeziehungen zwischen 

Informatik- und Mathematikunterricht? 

2 Der Tagungsband 

Der Tagungsband der Jahrestagung 2005 wurde 

das erste Mal mit der Hilfe des Textsatzsystems 

LATEX gesetzt, welches in der Mathematik der übliche 

Weg zu hochwertigem Textsatz ist, aber in 

der Fachdidaktik dennoch selten benutzt wird. 

Die Gestaltung wurde dabei nahe an der traditionellen 

Gestaltung der AK-Tagungsbände gehalten. 

Seine größten Vorteile konnte LATEX bei 

der Literaturverwaltung ausspielen; durch das System 

BibTEX wurde eine einheitliche Referenzierung 

aller zitierter Quellen erreicht. 

Die Umwandlung der (meist in Word-Format 

vorliegenden) Vorlagen nach LATEX benötigte erheblichen 

Aufwand, wodurch der Tagungsband 

auch erst lange nach der Tagung erscheinen konnte. 

Wir möchten uns hierfür besonders bei den Autoren 

entschuldigen, die schon lange auf das Erscheinen 

ihrer Beiträge gewartet haben. 

Die Herausgeber hoffen aber, dass sich der erhöhte 

Aufwand gelohnt hat. Zudem kann in den 

nächsten Jahren auf die nun erstellten stylefiles 

und die vorhandene Literaturdatenbank zurückgegriffen 

werden; vielleicht werden wir ja auch einige 

Beiträge der nächsten Tagungen direkt im 

LATEX-Format erhalten! 

Hans-Georg Weigand 

Thomas Weth 

Ulrich Kortenkamp 

Dezember 2007 

5

Ulrich Kortenkamp, Hans-Georg Weigand, Thomas Weth 

6

Teil I 

Hauptvorträge und Podiumsdiskussion 

7

• Informatische Aspekte im Mathematikunterricht – 

Möglichkeiten und Chancen 

Astrid Beckmann, Schwäbisch Gmünd 

In unserem technologischen Zeitalter gehören informatische Kenntnisse zur Allgemeinbildung. Da 

Mathematik die Hintergrundtheorie der Informatik ist und grundlegende Begriffe und Methoden der 

Informatik mathematisch sind, ist hier besonders der Mathematikunterricht angesprochen. Im Artikel 

werden zunächst mögliche Aspekte der Informatik identifiziert. An Hand von fächerübergreifenden 

Beispielen wird sodann gezeigt, dass bestimmte informatische Aspekte einen Beitrag zum 

Mathematiklernen liefern können, indem mathematische Methoden und Inhalte durch informatische 

Themen motiviert und bedeutungshaltig erfahren werden. 

1 Hintergrund 

Mit dem Einbeziehen von informatischen Aspekten 

in den Mathematikunterricht wird eine 

Form des fächerübergreifenden Unterrichts zwischen 

Mathematik- und Informatikunterricht angesprochen. 

Nach dem Beckmann’schen Modell 

(Beckmann, 2003b) muss fächerübergreifender/fächerverbindender 

Unterricht immer auf das 

Ziel einer Bereicherung für das Lernen gerichtet 

sein. Die Bereicherung ergibt sich daraus, dass jedes 

Kooperationsfach seine eigenen Aspekte einbringt, 

also auch Aspekte, die z.B. dem Mathematikunterricht 

fremd sind. Im konkreten Fall stellen 

sich damit die Fragen: 

• Welche informatischen Aspekte gibt es? (Möglichkeiten) 

• Welche informatischen Aspekte interessieren 

aus Sicht des Mathematikunterrichts? Mit welchem 

Gewinn? (Chancen) 

2 Informatische Aspekte im 

Mathematikunterricht – 

Möglichkeiten 

2.1 Identifizierung informatischer 

Aspekte 

Eine grobe Einteilung der Informatik führt auf 

fünf Aspekte (Beckmann, 2003a): 

• Programmieren 

• Programmierkonzepte, -sprachen 

• Anwendersoftware 

• Technik 

• Reflexion 

Jeder dieser Aspekte enthält viele weitere Einzelaspekte, 

die auch für sich unterrichtlich interessant 

sein können. Darauf wird in 3 eingegangen. 

Auf alle Fälle ist Informatik mehr als das Anwenden 

von Software. Im Folgenden werden die fünf 

Aspekte kurz vorgestellt. Es zeigt sich, dass in vielen 

Fällen ein Bezug zum Fach Mathematik bereits 

existiert. 

Programmieren 

Ein wesentlicher Bestandteil der Informatik ist das 

Programmieren, das heißt der Entwurf und die 

Aufbereitung eines Algorithmus zur Abarbeitung 

in einem Rechner. Das Programmieren dient in der 

Regel der Lösung einer gestellten Aufgabe. Da es 

aus Sicht des Informatikunterrichts nicht das Ziel 

sein kann, Programmierspezialisten auszubilden – 

Programmieren ist nur ein Unterrichtsthema und 

professionelle Software kann ohnehin nicht erreicht 

werden –, sollte eher das Kennenlernen von 

bestimmten Denkweisen und Programmierparadigmen 

im Vordergrund stehen. Dass hierfür konkrete 

Beispiele nötig sind, versteht sich von selbst. 

Diese können beim Programmieren erfahren werden. 

Es fragt sich, ob Programmieren überhaupt 

ein interessanter Fremdaspekt für den Mathematikunterricht 

ist. In den 70er/80er Jahren wurde im 

Mathematikunterricht bereits programmiert, allerdings 

später darauf verzichtet. In Abschnitt 3 werden 

Chancen erörtert. 

Programmierkonzepte, -sprachen 

Im Zusammenhang mit höheren Programmiersprachen 

werden vier Konzepte unterschieden: 

imperativ Modifizierung von Daten auf der 

Grundlage des Variablenkonzepts; Eingabewerte 

werden in Variablen gespeichert und 

durch Anweisungen weiter verarbeitet. 

funktional Grundlage ist eine Regel, die angibt, 

wie die Eingabe zu kombinieren ist, um eine 

Ausgabe zu erzeugen; beruht auf dem Funktionsbegriff 

logisch Ziel ist es, eine Anfrage, mit Hilfe von 

Fakten und Regeln zu beantworten; wurde 

ursprünglich für Forschungen der Sprachentwicklung 

konzipiert. 

Objektorientierung Grundlage ist die Idee, 

Kenntnisse über Probleme zu abstrahieren 

und in Objekten mit dynamischen und statischen 

Eigenschaften, durch Attribute und 

Methoden zusammen zu fassen; wurde speziell 

für die Bewältigung sehr komplexer 

Probleme entwickelt. Es fällt auf, dass die 

9


Konzepte weder der Mathematik noch dem 

menschlichen Denken fremd sind. Beispiele: 

Der Funktionsbegriff ist mathematisch. 

Menschliches Denken ist oft objektorientiert 

(vgl. die Untersuchung bei Schwill 

1995). 

Anwendersoftware 

Beispiele für Anwendersoftware sind bekanntermaßen 

Computer-Algebrasysteme, Dynamische 

Geometriesysteme, Raumgeometrieprogramme, 

Stochastikprogramme, Tabellenkalkulationsprogramme 

usw. usw. Auch wenn Anwendersoftware 

von vielen (schulischen) Anwendern oft als der 

einzige informatische Aspekt verstanden wird, 

stellt sich die Frage, ob es sich bei Anwendersoftware 

überhaupt um einen informatischen Aspekt 

handelt. Die Zuordnung von Anwendersoftware 

zum Informatikunterricht ist durchaus umstritten. 

Anwendersoftware wird zum Teil nicht als eigenes 

Thema, sondern eher als Anwendung in verschiedenen 

Fächern gesehen (vgl. Bartke 2000; 

Friedrich 1998 und der aktuelle Verzicht auf das 

Fach ITG am Beispiel von Baden-Württemberg). 

Zweifelsfrei erfordert das Anwenden auch Themen 

aus anderen Fächern. Aus Sicht des Mathematikunterrichts 

ist dies besonders deutlich. Viele 

Anwendersysteme betreffen die Mathematik und 

werden auch im Mathematikunterricht genutzt. 

Auf die damit zusammen hängenden Chancen 

wird in Abschnitt 3 eingegangen. 

Technik 

In der Informatik geht es um Informationsverarbeitung 

und Datenübertragung. Die technische 

Realisierung ist der Computer. Dabei werden informatische 

Inhalte durch die technische Umsetzung 

physikalischer Prinzipien ausgedrückt. Das 

Einbeziehen informatischer Inhalte bedeutet damit 

hier auch das Einbeziehen physikalischer 

Aspekte wie: 

Informationsverarbeitung Verarbeiten von Signalen 

unter Berücksichtigung vorhandener 

Bauelemente wie Diode, Transistor usw. 

Datenübertragung Darstellung von Daten durch 

Signale, also über physikalische Größen 

wie elektrische Spannung oder Lichtstärke 

Die angesprochenen physikalischen Anwendungen 

betreffen verschiedene Gebiete der Mathematik 

(vgl. Beckmann, 2003a). Beachtenswert 

ist, dass durch das Einbeziehen informatischer 

Aspekte die Boolesche Algebra wieder an Bedeutung 

gewinnen könnte. 

Reflexion 

Ein besonderes Kennzeichen der Informatik bzw. 

des Informatikunterrichts ist das reflektierende 

10 

Vorgehen. Reflexion bezieht sich hier auf zweierlei: 

sozialkundliche Reflexion Beurteilung von informatischen 

Inhalten in ihrem sozialen 

Kontext, zum Beispiel die Frage nach Veränderungen 

im politischen Leben, im Bereich 

der Kommunikation, der Arbeitswelt 

usw. 

mathematische Reflexion betroffen sind grundlegende 

Fragen wie die nach Berechenbarkeit 

und Entscheidbarkeit sowie die Reflexion 

über ein Programm, Terminierung 

usw. Aus Sicht des Mathematikunterrichts 

ist die sozialkundliche Reflexion im Mathematikunterricht 

eher fremd, während die 

mathematische Reflexion aus didaktischer 

Sicht ständig Bestandteil des Unterrichts 

sein sollte. Dass Informatik an Reflektieren 

erinnert, kann als Chance für den Mathematikunterricht 

gesehen werden (Hischer & 

Weigand, 1998). In Abschnitt 3 wird darauf 

eingegangen. 

2.2 Identifizierung gemeinsamer 

Aspekte von Informatik und 

Mathematik 

Neben den typisch informatischen Aspekten gibt 

es Methoden und Konzepte, die beide Disziplinen 

betreffen und damit einen besonderen Ansatz für 

eine Kooperation versprechen. Dies sind (Beckmann, 

2003a): 

• Modellbildung 

• Gemeinsame Methoden: Strukturierung, Algorithmus, 

Rekursion und Iteration 

• Gemeinsame Inhalte und Begriffe: Berechenbarkeit, 

Entscheidbarkeit, Funktion, Variable 

• Sprache 

In Abschnitt 3 werden einzelne Aspekte an 

Hand von Beispielen aufgegriffen und ihre Chancen 

diskutiert. 

3 Informatische Aspekte im 

Mathematikunterricht – 

Chancen 

In diesem Kapitel werden mögliche Chancen an 

ausgewählten Beispielen aus dem Vortrag erläutert. 

3.1 Chance: Durch den informatischen 

Aspekt findet eine intensivere 

Auseinandersetzung mit der 

Mathematik statt 

Informatischer Aspekt: 

Programmieren, Methode der 

Variablenzuweisung 

Der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung 

des größten gemeinsamen Teilers zweier Zah-

Informatische Aspekte im Mathematikunterricht – Möglichkeiten und Chancen 

len beruht prinzipiell darauf, dass die ggT- 

Bestimmung auf die ggT-Bestimmung zweier 

kleinerer Zahlen zurückgeführt wird. Dies kann in 

einem einfachen interativen Algorithmus realisiert 

werden, indem zunächst zwei „Integer-Variablen“ 

x und y festgelegt werden, die dann nach folgender 

Anweisung bearbeitet werden: 

If x > y then x := x − y 

Besondere Impulse, die sich aus der Informatik 

ergeben, sind hier: Das Programmieren erfordert 

eine genaue Analyse des Verfahrens. Die Beurteilung 

des fertigen Programms muss die Mathematik 

einbeziehen. Algorithmus, Iteration, Frage 

nach Korrektheit werden direkt thematisiert. Die 

Informatik regt zur Reflexion an. Besonders beachtenswert 

ist, dass die Informatik hier mit der 

Methode der Variablenzuweisung einen speziellen 

Beitrag zum inhaltlichen Verstehen des Verfahrens 

liefert. Während in der Mathematik der 

Euklidische Algorithmus durch einfaches Durchindizieren 

(ai = biq + r) schematisch angewandt 

werden kann, wird durch die in der Informatik übliche 

explizite Zuweisung a ← b und b ← r der 

zentrale Gedanke des Verfahrens verdeutlicht. 



In der mathematikdidaktischen Literatur gibt es 

zahlreiche Arbeiten, die die Bedeutung von Anwendersoftware 

im Mathematikunterricht aufzeigen 

(vgl. insbesondere die Tagungsbände zum 

Arbeitskreis „Mathematikunterricht und Informatik“, 

auch Literaturverzeichnis in Beckmann 

2003a). Danach liegt der Schwerpunkt der mathematischen 

Tätigkeit nicht mehr auf dem „nichtkreativen“ 

Arbeiten, sondern wird durch Aktivitäten 

wie Modellieren, Darstellen, Interpretieren 

ergänzt und darauf verlagert. Ein besonderer 

Wert des Computereinsatzes kann in der Möglichkeit 

gesehen werden, Schüler und Schülerinnen 

selbstständiges Arbeiten zu ermöglichen und 

damit zu einer intensiveren Auseinandersetzung 

mit der Mathematik anzuregen. Insbesondere ist 

dies im Zusammenhang mit Dynamischen Geometriesystemen 

und entdeckendem Lernen vielfach 

aufgezeigt worden (vgl. z.B. o.a. Tagungsbände). 

Hier wird auf eine weitere Zusammenfassung 

verzichtet und stattdessen zwei Beispiele 

aufgezeigt: 

In einem Projekt an der PH Schwäbisch 

Gmünd wurde der Einsatz des Computers als 

Übungs- und Wiederholungsmedium im Mathematikunterricht 

in 9. Realschulklassen untersucht 

Kittel et al. (2005b,a). Die Erprobung erfolgte in 

zwei Klassen des Ostalbkreises mit Tablet-PCs 

und an Hand verschiedener Aufgaben, die auf unterschiedlichen 

Anwendersystemen beruhen. Die 

Aufgaben waren so konzipiert, dass eine selbstständige 

Erkenntnisgewinnung möglich ist (vgl. 

Abb. 2.1: Zusammenhang zwischen Multiplizieren, 

Dividieren und Potenzieren mit positivem und 

negativen Exponent) 

In der Erprobung zeigte sich, dass in einigen 

Fällen der PC tatsächlich zum längeren Probieren 

animierte und eine Lehrperson erst spät oder gar 

nicht gerufen wurde, auch wenn die Aufgabe nicht 

befriedigend gelöst werden konnte. Offensichtlich 

verstanden diese Schüler und Schülerinnen 

den Computer als ein Medium für eigenständige 

Arbeit. Der von den Schülern geäußerte Wunsch 

nach mehr Hilfemöglichkeit direkt am Computer 

unterstreicht dies (Beckmann, Hole, Kittel, Ladel 

2006). In einigen der eingesetzten Aufgabendateien 

bietet der Computer direkte Hilfe an. Neben der 

ständigen Sicht auf die grundlegenden Formeln 

im oberen Tabellenbereich war insbesondere auch 

die Möglichkeit der direkten Hilfeanforderung gegeben. 

Die im Hilfesystem aufrufbaren Hilfstexte 

und Hilfsbeispiele heben schwerpunktmäßig auf 

das Verständnis ab. So wird zum Beispiel bei der 

Hilfe zu Aufgabe 3−2 = ... nicht sofort gesagt, 

dass diese Potenz gleichwertig zum Term 1 

32 ist, 

sondern wie diese Potenz entstehen kann: 

3 hoch −2 ergibt sich aus einem 

Bruch mit dem Zähler 3 hoch 2 und 

dem Nenner 3 hoch 4. Das Ergebnis 

ist dann 3 hoch (2 − 4), also 3 hoch 

−2. 

Die Chance zu einer intensiveren Auseinandersetzung 

mit Mathematik ergibt sich insbesondere 

auch im Zusammenhang mit modellierenden 

Tätigkeiten. Anregende Beispiele zur vertiefenden 

Arbeit in der Analytischen Geometrie mit 

dem Porgramm Povray zeigt Filler 2001. Die Konstruktion 

eines 3D-Objekts erfordert eine intensive 

Beschäftigung mit der Lage und Darstellung 

von Punkten, Geraden, Ebenen und Kugeln 

(Abb. 2.2). Weitere Beispiele zu diesem Themenkomplex 

finden sich zum Beispiel auch bei Leuders 

Leuders (2004). 

3.2 Chance: Durch den informatischen 

Aspekt wird Mathematik vielseitiger 

erfahren 

Informatischer Aspekt: Funktionen 

Funktionen und Funktionsbegriff betreffen sowohl 

die Mathematik, als auch die Informatik. 

Das Einbeziehen informatischer Aspekte gestattet 

eine vielseitige Behandlung. Die Informatik regt 

dazu an, Funktionen und Relationen zu betrachten, 

in denen die Argumente nicht immer nur eine 

Zahl oder überhaupt eine Zahl sein müssen. Man 

denke an die Schaltfunktionen 

f Schalt :{0,1} n → {0,1} m 

11


Abbildung 2.1: Beispiel aus der Datei Potenzieren (Aufgabe Hole, vgl. Beckmann et al. (2006)), Möglichkeit 

zum selbstständigen Arbeiten 

Abbildung 2.2: Konstruktion eines Schneemanns in „vectory“. Wie lautet die Geradengleichung für einen 

zusätzlichen Besen? 

12


oder an das Problem des Ordnens von Spielkarten, 

die durch Farbe und Buchstaben gekennzeichnet 

sind. 



Einige Besonderheiten: Die Anwendersoftware 

gestattet das gleichzeitige Erfassen unterschiedlicher 

Darstellungsformen. Durch die Dynamisierung 

geometrischer Konstruktionen lassen sich 

geometrische Zusammenhänge entdecken, Hypothesen 

formulieren und an weiteren Beispielen 

prüfen. Es ist möglich, viele Beispiele (fast) 

gleichzeitig zu erfassen. 

Gemeinsamer Aspekt: Variablen 

Variablen sind grundlegende Werkzeuge für die 

Verständigung und für Verallgemeinerungen. Empirische 

Untersuchungen zeigen, dass Schüler und 

Schülerinnen oft nur ein eingeschränktes Verständnis 

vom Variablenbegriff haben, dass sie 

Schwierigkeiten haben zwischen Variable als Unbekannte 

und Variable als allgemeine Zahl zu unterscheiden 

(Ursini & Trigueros, 1997; Warren, 

1999). Durch den Bezug zur Informatik kann der 

Variablenbegriff vielseitiger erfahren werden, indem 

zwischen gebundener und freier und zwischen 

globaler und lokaler Variable unterschieden 

wird (Löthe, 1998). 

Abbildung 2.3: Tangente als Grenzwert der Sekante 

Gemeinsamer Aspekt: Rekursion und 

Iteration 

Iteration und Rekursion sind grundlegende Begriffe 

der Mathematik. In der Mathematik gibt 

es zahlreiche Anwendungen dafür wie zum Beispiel 

Näherungsverfahren für Gleichungssysteme, 

Intervallschachtelungen und vollständige Induktion. 

Iteration und Rekursion sind wichtige Strategien 

beim Problemlösen. In der Informatik ist es 

gängige Praxis, eine Problemlösung iterativ und 

rekursiv in einem Programm umzusetzen. Im Mathematikunterricht 

kann die Behandlung von Iteration 

und Rekursion dazu beitragen, Ideen zum 

Gleichungslösen oder zu Folgen und Reihen zu 

entwickeln. Es kann hilfreich sein für das Verstehen 

mathematischer Begründungsverfahren, zum 

Nachweis der Berechenbarkeit, aber auch um entsprechende 

Funktionen in Programmen verstehen 

zu können. Speziell versprechen Wachstumsprozesse 

und Fragen zum Grenzwertbegriff interessante 

Ansätze (Abb. 2.3). Ein weites Anwendungsfeld 

ergibt sich bei der Konkretisierung iterativer 

Vorgänge und ihrer Algorithmisierung in 

einem Programm (Abb. 2.4). 

Informatischer Aspekt: Technik 

Technische Anwendungen in der Informatik betreffen 

viele Gebiete der Mathematik. Neben der 

Booleschen Algebra, die im Zusammenhang mit 

Kodierung eine Rolle spielt, ergeben sich auch 

zahlreiche Anwendungen für Termumformungen 

und das Lösen von Gleichungssystemen. Die 

Übertragungsgeschwindigkeit in einem Lichtwellenleiter 

lässt sich durch die Anwendung und Lösung 

des Brechungsgesetzes ermitteln (Beckmann 

2003b). 

3.3 Chance: Der informatische Aspekt 

leistet einen Beitrag zur Entwicklung 

der Problemlösefähigkeit 



Beispiele: Dynamische Geometriesysteme können 

durch das Erkennen von Invarianzen Beweisteile 

initiieren (Beckmann, 2001). Modulares Arbeiten 

(Makros) entspricht der allgemeinen Methode 

des Problemlösens, Probleme in Teilprobleme 

zu zerlegen (Heugl, 1999; Lehmann, 2000; 

Schumann, 2001). Bestimmte Formen strategischen 

Arbeitens können angeregt werden, etwa 

durch das Nutzen der Formel- und Kopierfunktionen 

in Tabellenkalkulationsprogrammen (Beckmann 

et al., 2006) usw.. 

Informatischer Aspekt: Programmieren 

Das Programmieren enthält typische heuristische 

Tätigkeiten und führt auf bestimmte Strategien 

wie Rekursion, Iteration, Modularisierung usw. 

(vgl. oben) und die Frage nach einfacheren Algorithmen 

oder alternativen Verfahren. 


Programmierkonzepte 

Die Gegenüberstellung unterschiedlicher Programmierkonzepte 

und die Prüfung ihrer jeweiligen 

Eignung im Kontext spricht allgemeine heuristische 

Kompetenzen an. 

Beispiel: Gegenüberstellung des imperativen 

Konzepts und der Objektorientierung zur Berechnung 

der Zweierpotenz für n ∈ {1,2,...,10}. Imperatives 

Konzept: Wiederholung der Elementarschritte: 

Berechne für i = 1 bis i ≤ n mit i := i+1, 

p := p · b . . . Objektorientierung: Datenkapselung 

folgendermaßen: Objekt: Zweier-Potenz, Attribute: 

Basis 2, Exponent n, Potenzwert p, Methoden: 

13


Abbildung 2.4: „Kunstwerk“ durch Iteration: Entfalte einen langen Papierstreifen in jedem Schritt „rechtwinklig“ 

(L-Form). Quelle: http://www.schulpraxis.de/chaos.html 

Potenz berechnen, p = 2n 

3.4 Chancen: Der informatische Aspekt 

motiviert eine Beschäftigung mit 

(besonderen) mathematischen 

Inhalten und führt auch zu 

Veränderungen in den Tätigkeiten 

und Inhalten des 

Mathematikunterrichts 

Beispiele (vgl. dazu Beckmann 2003a): 

• Informatik motiviert die bewusste Thematisierung 

der Programmierkonzepte 

• Modulares Arbeiten motiviert lokales Ordnen 

• Die Boolesche Algebra wird aktuell 

• Anwendersoftware verlagert vom rechnerischen 

auf den geometrisch-grafischen Gehalt eines 

Problems 

• Das Experimentieren mit dynamischen Geometriesystemen 

führt auf Sätze, die ohne DGS 

nicht behandelt worden wären 

• Die Nutzung des Internets gestattet neue Aktivitäten 

wie Chat über Mathematik, Erstellen von 

mathematischen Webseiten, Webquests usw. 

• Verstärkt werden Aktivitäten wie Modellieren, 

Darstellen, Interpretieren 

Viele dieser Aspekte zeigen sich zum Beispiel 

in der Umsetzung eines fächerübergreifenden 

Lehrgangs zwischen Mathematik- und Informatikunterricht 

zum Thema Sprache und Grammatik. 

Zentrale Aktivitäten eines solchen Lehrgangs 

sind das Reflektieren über natürliche Sprache, 

das Modellieren der Sprache als formale 

Sprache und einer Grammatik. Zentrale Themen 

sind Kodierung, Zahldarstellung und technische 

Umsetzung vor dem Hintergrund der Booleschen 

Algebra. Aus Platzgründen wird hier auf eine genauere 

Darstellung verzichtet und zur gründlicheren 

Lektüre auf Beckmann 2005 verwiesen. 

14 

4 Zusammenfassung 

Mathematik ist Grundlage für viele informatische 

Inhalte. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, 

informatische Aspekte in den Mathematikunterricht 

einzubeziehen. Dadurch kann mehr Einsicht 

in mathematische Inhalte gewonnen werden. 

(Vergessene) mathematische Denkweisen werden 

angeregt. Wichtige Kompetenzen werden angesprochen 

(Modellieren). Es entstehen interessante 

Vernetzungen. Die Bedeutung der Mathematik 

wird in vielen Zusammenhängen erfahren. Durch 

den informatischen Aspekt findet eine intensivere 

Auseinandersetzung mit Mathematik statt und 

die Mathematik wird vielseitiger erfahren. Der informatische 

Aspekt leistet einen Beitrag zur Entwicklung 

der Problemlösefähigkeit und motiviert 

eine Beschäftigung mit (besonderen) mathematischen 

Inhalten. 

Literatur 

Bartke, P. (2000): Kritische Analyse des Diskussionspapiers 

‘Gesamtkonzept der informatischen Bildung’ aus dem GI- 

Fachausschuss 7.3 Informatische Bildung an Schulen. URL 

http://www.inf.fu-berlin.de 

Beckmann, Astrid (2001): Probleme beim Beweisenlernen — 

DGS als Lösung? In: Elschenbroich, Hans-Jürgen, Thomas 

Gawlick & Hans-Wolfgang Henn (Hg.): Zeichnung — Figur 

— Zugfigur, Hildesheim: Franzbecker, 21–30 

Beckmann, Astrid (2003a): Fächerübergreifender Mathematikuntericht, 

Teil 4: Mathematikunterricht in Kooperation mit 

Informatik. Franzbecker 

Beckmann, Astrid (2003b): Fächerübergreifender Unterricht 

— Konzept und Begründung. Hildesheim: Franzbecker 

Beckmann, Astrid (2005): Kommunikation als fächerverbindendes 

Thema von Mathematik und Informatik mit Aspekten 

aus Deutsch und Physik. In: Engel, Jochen, Rose Vogel & Sylvia 

Wessolowski (Hg.): Strukturieren — Modellieren — Kommunizieren, 

Hildesheim: Franzbecker, 119–132 

Beckmann, Astrid, Volker Hole, Andreas Kittel & Silke Ladel 

(2006): Der Computer als Übungs- und Wiederholungsmedium 

im Mathematikunterricht – eine unterrichtliche Erprobung 

mit Tablet-PCs. In: Beckmann, Astrid (Hg.): Ausgewählte Unterrichtskonzepte 

im Mathematikunterricht in unterrichtlicher 

Erprobung, Franzbecker


Filler, Andreas (2001): Dreididemsionale Computergrafik und 

Analytische Geometrie, Vorschläge für den Mathematikunterricht 

in der Sekundarstufe II. mathematica didactica, 

2, 21–56, URL http://www.ph-heidelberg.de/wp/ 

filler/3D/frameie4.html 

Friedrich, St. (1998): Schulinformatik — eine endlose Debatte. 

In: Koerber, B. & I.-R. Peters (Hg.): Informatische Bildung 

in Deutschland, Berlin: Log IN Verlag, 75–88 

Heugl, H. (1999): Computeralgebrasysteme — das gelobte 

Land des Mathematikunterrichts? In: Kadunz, G. (Hg.): Mathematische 

Bildung und neue Technologien, Stuttgart, Leipzig: 

Teubner, 127–146 

Hischer, Horst & Hans-Georg Weigand (1998): Mathematikunterricht 

und Informatik. Gedanken zur Veränderung eines 

Unterrichtsfachs. LOG-IN, 18(2), 10–18 

Kittel, Andreas, Astrid Beckmann, Volker Hole & Silke Ladel 

(2005a): The computer as an exercise and repetition“ medium 

in mathematics lessons – Educational Effectiveness of Tablet 

PC. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 37(5) 

Kittel, Andreas, Astrid Beckmann, Volker Hole & Silke Ladel 

(2005b): Der Computer als Übungs- und Wiederholungsmedium 

im Mathematikunterricht – eine unterrichtliche Erprobung 

mit Tablet-PCs. In: Vorträge auf der 39. Tagung für Didaktik 

der Mathematik in Bielefeld, Beiträge zum Mathematikunterricht, 

Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, Heidelberg: 

Franzbecker 

Lehmann, Eberhard (2000): CAS-Bausteine bei der Modellierung 

mathematischer Standardthemen. In: Herget, Wilfried, 

Hans-Georg Weigand & Thomas Weth (Hg.): Standardthemen 

des Mathematikunterrichts in moderner Sicht, Franzbecker 

Lehmann, Eberhard (2004): Konzeptionelle Überlegungen 

zur Einbeziehung informatischer Inhalte und Methoden beim 

Computereinsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe 

2. Hildesheim: Franzbecker 

Leuders, Timo (2004): Kreatives geometrisches Konstruieren 

mit Ray-Tracing Software. In: Leuders, Timo (Hg.): Materialien 

für einen projektorientierten Mathematik- und Informatikunterricht, 

Hildesheim: Franzbecker 

Löthe, Herbert (1998): Mathematik mit Informatik. Ein Programm 

und ein Projekt. LOG-IN, 18(12), 19–26 

Schumann, Heinz (2001): Modulares Arbeiten im Geometrieunterricht. 

MNU, 54(6), 332–336 

Schwill, Andreas (1995): Fundamentale Ideen in Mathematik 

und Informatik. In: Hischer, Horst & M. Weiß (Hg.): Fundamentale 

Ideen. Zur Zielorientierung eines künftigen Mathematikunterrichts 

unter Berücksichtigung der Informatik, Hildesheim: 

Franzbecker, 18–25 

Ursini, S. & M. Trigueros (1997): Understanding of different 

uses of variable: A study with starting college students. In: 

Pehkonen, E. (Hg.): Proceedings of the 21th conference of the 

International Group for the Psychology of Mathematics Education, 

Band 4, Lahti, 254–261 

Warren, E. (1999): The concept of a variable; Gauging students’ 

understanding. In: Zaslavsky, O. (Hg.): Proceedings of 

the 23th conference of the International Group for the Psychology 

of Mathematics Education, Band 4, Haifa, 313–320 

15


16

• Systemorientierte Didaktik der Informatik — 

Sozio-technische Informatiksysteme als 

Unterrichtsgegenstand? 

Johannes Magenheim, Paderborn 

Der Beitrag versucht in knapper Form, die Grundzüge einer systemorientierten Didaktik der Informatik 

zu beschreiben. Er wird sich zunächst mit dem Einfluss der fachwissenschaftlichen Wurzeln 

der Informatik und ihrer theoretischen Konzepte auf die Fachdidaktik beschäftigen. Hierbei kommt 

der Produkt-Prozess Relation in der Softwareentwicklung eine wesentliche Bedeutung zu. Sie ermöglicht, 

Informatiksysteme als Ergebnis eines sozio-technischen Gestaltungsprozesses zu begreifen, 

der zugleich ihre Produktqualität und die damit verbundenen gesellschaftlichen Implikationen 

bestimmt. In dieser Sichtweise bilden sozio-technische Informatiksysteme, die fachwissenschaftlichen 

Methoden ihrer Gestaltung und vor allem ihre medialen Qualitäten einen wichtigen Gegenstandsbereich 

des Unterrichtsfachs Informatik. Der Artikel befasst sich daher neben einer Klärung 

des Begriffs Informatiksystem im Weiteren mit Fragen nach dem allgemein bildenden Beitrag eines 

dem systemorientierten didaktischen Ansatz verpflichteten Informatikunterrichts. Ferner werden 

Fragen der unterrichtspraktischen Umsetzung angesprochen. Es wird gezeigt, dass sich die von der 

systemorientierten Didaktik für die Informatik begründete Methode der Dekonstruktion in besonderem 

Maße mittels interaktiver computerbasierter Medien realisieren lässt Am Beispiel des Informatik 

Lernlabors wird dieses unterrichtsmethodische Konzept verdeutlicht. 

1 Einleitung 

Ob man sich nun an den Klassikern der didaktischen 

Analyse (Klafki, 1995) oder an aktuellen 

internationalen Curricula zur informatischen Bildung 

orientiert, z.B. ACM (ACM, 2003), UNES- 

CO (van Weert & Tinsley, 2000), IEEE (IEEE & 

ACM, 2004), es sind zumeist die gleichen Bezugsfragen, 

die die curriculare Diskussion und damit 

auch die Diskussion fachdidaktischer Konzepte 

prägen. Hinter didaktischen Kriterien zur Inhaltsauswahl 

und zur Zielbestimmung, wie Wissenschaftsorientierung 

(relevante Gegenstandsbereiche 

und Methoden der Fachwissenschaft im Sinne 

der Wissenschaftspropädeutik), Erfahrungsorientierung 

(Gegenstandsbereich ist persönlicher Erfahrung 

der Schüler zugänglich), Schülerorientierung 

(Altersgemäßheit, Orientierung an Schülerinteressen) 

oder Handlungsorientierung (Gegenstände 

lassen sich in einem hohem Maße 

durch unterrichtliche Eigenaktivität der Schüler 

erschließen) (Ministerium für Schule und Weiterbildung, 

1999; Behörde für Bildung und Sport, 

2003) stehen Fragen nach dem. . . 

Was Welches sind die zentralen Inhalte des Unterrichtsfachs 

Informatik? 

Warum Nach welchen Kriterien werden die Inhalte 

aus der Vielfalt der informatischen 

Themen der Fachwissenschaft ausgewählt, 

und welche spezifische allgemein bildende 

Bedeutung kommt ihnen zu? 

Wozu Welches sind die zentralen Bildungsziele 

des Unterrichtsfachs Informatik? 

Wie Mit welchen spezifischen Unterrichtsmethoden 

sollen die Inhalte im Informatikunter- 

richt vermittelt werden, und in welcher Relation 

stehen diese zu den fachwissenschaftlichen 

Methoden der Informatik? 

Womit Welche spezifischen Medien können im 

Unterrichtsfach eingesetzt werden, und 

welche Bedeutung kommt dabei professionellen 

Entwicklungswerkzeugen der Informatik 

zu? 

Für wen Für welche Zielgruppen soll Informatik 

bzw. informatische Bildung in welcher 

schulischen Organisationsform angeboten 

werden? 

Der vorliegende Beitrag kann auf diese Fragen 

keine umfassenden Antworten liefern. Er unternimmt 

allerdings den Versuch, die mit den Fragen 

aufgeworfenen didaktischen Entscheidungsebenen 

aus der Perspektive des Verhältnisses von 

Fachdidaktik zur Fachwissenschaft Informatik zu 

beleuchten. Dabei sollen aus dem Verständnis 

zentraler Anliegen der Fachwissenschaft Informatik 

heraus, Schlussfolgerungen für Methoden, Bildungsziele 

und Inhalte des Unterrichtsfachs Informatik 

gezogen werden. Um der Gefahr des Entwurfs 

einer ‘Abbilddidaktik’ zu entgehen, müssen 

die Spezifika des Unterrichtsfaches Informatik im 

schulischen Fächerkanon vor allem im Hinblick 

auf ihre allgemein bildenden Funktionen analysiert 

und begründet werden. In diesem Zusammenhang 

spielen auch die medialen Qualitäten 

von Informatiksystemen und die Bedeutung digitaler 

Medien in der Informations- und Wissensgesellschaft 

eine wichtige Rolle. 

So wird gezeigt werden, dass das Unterrichtsfach 

Informatik über die inhaltliche und methodische 

Beschäftigung mit sozio-technischen In- 

17


formatiksystemen hinaus auch ein fundamentales 

Verständnis für den kompetenten Umgang und die 

bewusste Nutzung computerbasierter Medien fördern 

und damit einen allgemein bildenden Beitrag 

leisten kann. 

Im Unterrichtsfach selbst konfrontiert die zunehmende 

Nutzung von computerbasierten Medien 

in Lehr- Lernprozessen verschiedenster Fachgebiete 

auch die Didaktik der Informatik mit der 

Frage, welche Bedeutung den Informations- und 

Kommunikationstechniken nicht nur als Unterrichtsgegenstand 

sondern auch als Medium in der 

informatischen Bildung beigemessen wird. Hier 

hat der Einsatz des Computers, z. B. im Informatikunterricht 

bei der Codierung von Programmen, 

im Vergleich zu anderen Fächern eine lange 

Tradition. Mit den erweiterten medialen Funktionen 

des Computers veränderte sich auch die Palette 

der Einsatzszenarios von IuK-Techniken in der 

informatischen Bildung. Diese im Vergleich zum 

traditionellen Einsatz von Computern erweitere 

mediale Funktion kommt besonders jenen didaktischen 

Ansätzen und methodischen Vorgehensweisen 

entgegen, die die Visualisierung von Prozessen 

und Zusammenhängen im Kontext von Informatiksystemen 

zu deren Verständnis und ihrer 

interaktiven Modellierung im Unterricht nutzen 

wollen. Die erweiterten medialen Funktionen 

des Computers im Informatikunterricht ermöglichen 

zugleich auch eine größere Bandbreite 

methodischer Variationen und eröffnen vielfältige 

Sichtweisen auf die Genese und Praxis soziotechnischer 

Informatiksysteme. Der hier vorliegende 

Beitrag versucht, dieses Postulat zu begründen. 

Ausgehend von dem Blickwinkel einer systemorientierten 

Didaktik der Informatik auf soziotechnische 

Informatiksysteme wird deshalb auch 

der Einsatz von computerbasierten Medien im Informatikunterricht 

beschrieben und die daraus resultierenden 

methodischen Implikationen erörtert. 

2 Fachdidaktik und 

Fachwissenschaft 

2.1 Historische Wurzeln des Faches und 

fachwissenschaftliches 

Selbstverständnis 

Ausgangspunkt der Überlegungen ist zunächst 

das wissenschaftstheoretische Selbstverständnis 

des Faches Informatik und die dadurch begründeten 

zentralen Fachinhalte und Methoden. 

Hier stößt didaktische Theoriebildung an 

eine erste schwer zu überwindende Hürde. 

Die relativ junge Fachwissenschaft Informatik 

befindet sich hinsichtlich eines geschlossenen 

fachwissenschaftlichen Selbstverständnisses und 

der Entwicklung einer Theorie der Informatik 

noch in einem Anfangsstadium. Informatik 

18 

wird u. a. als Ingenieur-, Arbeits-, Kognitions- 

, (Software)Technik-, Struktur- oder Gestaltungswissenschaft 

bzw. als Kultur- und Wissenstechnik 

angesehen (vgl. Coy et al., 1992; Schubert 

& Schwill, 2004). Eine Vielzahl von unterschiedlichen 

Sichtweisen erfordert von didaktischer 

Theoriebildung in ihrem Entdeckungs- und 

Begründungskontext (vgl. Magenheim, 1992) unter 

Beachtung von bildungstheoretischen Konzepten 

eine fachwissenschaftliche Fokussierung auf 

die für den Unterricht wesentlichen und in zeitlicher 

Hinsicht stabilen Inhalte und Methoden. 

Einen entsprechenden Versuch hat beispielsweise 

Schwill (1993) mit seinem Konzept der fundamentalen 

Ideen unternommen. In seinem Ansatz 

findet zunächst jedoch eine weitgehende Eingrenzung 

auf die formalen Methoden der Fachwissenschaft 

Informatik statt. 

Eindeutig sind die mathematischen und ingenieurwissenschaftlichen 

Wurzeln des Faches zu 

identifizieren, wenngleich sich mit der fachwissenschaftlichen 

Etablierung der Disziplin auch eine 

eigenständige Schwerpunktsetzung herausbildet. 

Die Abb. 3.1 beschreibt eine nicht notwendigerweise 

eindeutige Zuordnung von fachwissenschaftlichen 

Themenstellungen der Informatik 

zu ihren Bezugswissenschaften. Am Beispiel der 

Beziehung zur Mathematik wird deutlich, dass 

zunächst genuin mathematische Themenbereiche, 

wie Algorithmik oder Zahlentheorie aufgrund des 

informatischen Bestrebens nach Maschinisierung 

von Formalismen in informatiknahe Fragestellungen 

verwandelt wurden. Hierfür steht etwa das 

Thema Berechenbarkeit und Komplexität von Algorithmen 

mit dem für die Informatik zentralen 

Konzept der Turing Maschine oder das Thema 

Kryptografie. Ähnliches lässt sich auch für die 

Ingenieurwissenschaften feststellen, wo mit der 

Softwaretechnik und ihren Vorgehensmodellen eine 

neue informatikspezifische Teildisziplin mit 

weiteren Untergliederungen entstanden ist. 

Bedingt durch die medialen Qualitäten von Informatiksystemen 

sind auch Fragen des Wissenserwerbs 

der computergestützten Kommunikation 

und Kooperation oder der ‘künstlichen Intelligenz’ 

in informatischer Perspektive und mit informatischen 

Methoden zu behandeln. So werden 

Psychologie, Kognitions- und Medienwissenschaften 

zu Bezugswissenschaften der Informatik. 

Darüber hinaus zeugen die so genannten 

‘Bindestrichinformatiken’ wie Medieninformatik, 

Rechtsinformatik, Medizininformatik und andere 

von den zahlreichen Anwendungs- und Einsatzgebieten 

informatischer Methoden. 

Es ist Aufgabe der Fachdidaktik zu prüfen, 

welche dieser informatischen Inhalte mit unterschiedlichen 

historischen Bezugswissenschaften 

der Informatik für eine unterrichtliche Thema-

Systemorientierte Didaktik der Informatik — Sozio-technische Informatiksysteme als 


(A) Mathematik & Theoretische 

Informatik 

• Formale Logik 

• Algorithmen 

• Formale Beschreibungen 

u. Kalküle 

• Numerik 

• Zahlentheorie 

• Sprache, Grammatik, 

Automat 

• Berechenbarkeit; 

Komplexität 

• Turing Maschine 

• . . . 

(B) Ingenieurwissenschaften 

• formale Typografie 

• Maschinisierung von 

Kalkülen 

• techn. Semiotik 

• Protokoll 

• Embedded Systems 

• Mechatronik 

• Hardware, 

Rechnerarchitektur 

• Vernetzung 

• Verteilte Systeme 

• . . . 

(C) Softwaretechnik (D) Kognition und digitale 

Medien 

• Vorgehensmodelle • Daten 

• Projektmanagement • Information 

• Modellierungstechniken • Wissen 

• Entwurf / Design 

• Kommunikation 

• HCI / GUI 

• Lernen, Arbeiten 

• graf. Beschreibungsmittel • Kooperation 

• Re-engineering 

• Organisation 

• Systemgestaltung 

• Medien 

• Programmiersprache, • Lernplattformen 

Compiler 

• Wissensmanagement 

• . . . 

• . . . 

Abbildung 3.1: Gegenstandsbereiche informatischer Bildung in Orientierung an der Genese der Fachwissenschaft 

und an den für die Systemgestaltung relevanten Teilgebieten 

tisierung infrage kommen. Um diese Frage zu 

beantworten, sollen einerseits einige der zentralen 

wissenschaftstheoretischen Konzepte der Informatik 

noch etwas genauer umrissen und andererseits 

die Frage nach dem allgemein bildenden 

Gehalt derartiger Themen erörtert werden. Insbesondere 

ist die Frage zu klären, ob die technischen 

Bezüge der Informatik dem allgemein bildende 

Auftrag schulischer Fächer an einer allgemein bildenden 

Schule widersprechen oder ob im Gegenteil 

das Fach neue Chancen und Perspektiven für 

die Allgemeinbildung an diesen Schulen eröffnet. 

2.2 Wissenschaftstheoretische 

Konzepte der Informatik 

Gehen wir zunächst von dem Postulat aus, dass es 

eine wichtige Aufgaben der Informatik ist, Methoden 

und fachwissenschaftliche Konzepte bereitzustellen, 

um Informatiksysteme zu entwickeln 

und zu implementieren. Es lassen sich dann in 

der Tradition der jeweiligen Bezugswissenschaften 

der Informatik wissenschaftstheoretische Konzepte 

ausmachen, die für das Verständnis der 

Fachwissenschaft Informatik und die informatische 

Methodik der Systemgestaltung von zentraler 

Bedeutung sind. Hier ist sicher nicht der Raum 

um einen kompletten Überblick zu geben oder die 

einzelnen Konzepte umfassend dazustellen. Dennoch 

sollen einige genannt werden, um zu verdeutlichen, 

wo sich aus wissenschaftspropädeutischer 

Sicht fachdidaktische Anknüpfungspunkte 

für eine Auswahl von Lehrinhalten ergeben. 

Die Entwicklung von Informatiksystemen 

setzt im Rahmen der Modellierung das formale 

Beschreiben von Datenstrukturen und Algorithmen 

voraus. Diese Formalisierung ist gleichzeitig 

gekoppelt mit einem Prozess der Abstraktion und 

Reduktion durch De-kontextualisierung. Die Ideen 

der Entwickler und Kunden, ausgetauscht im 

Medium von natürlicher Sprache auf der Basis interpretierbarer 

Information und vor dem Hintergrund 

eines subjektiven Erfahrungskontexts und 

subjektgebundenen Wissens, werden durch diesen 

Prozess auf formale Daten und deren formalisierbare 

Zusammenhänge abgebildet. Sie werden 

damit ihrer kontextbezogenen Semantik beraubt, 

sind aber nach syntaktisch eindeutigen Regeln 

durch Maschinen verarbeitbar. Wissen wird 

über den kooperativen Informationsaustausch im 

Softwareentwicklungsprozess in eine Datenstruktur 

mit zugehörigen Daten transformiert, mittels 

formaler Beschreibungen (Algorithmen) manipulierbar. 

Krämer (1988) hat das Resultat dieses Prozesses 

im Konzept der formalen Typografien treffend 

zusammengefasst und beschrieben. Formale 

Typografien sind frei von Sinnhaftigkeit, können 

nach eindeutigen formalen Regeln manipuliert 

werden und basieren auf einem eindeutig zu 

identifizierenden Zeichensystem. 

Dieser Aspekt, die Fähigkeit von Computern, 

Zeichensysteme zu manipulieren, hat ihnen den 

Ruf als universelle symbolverarbeitende Maschine, 

und der Informatik die Charakterisierung als 

technische Semiotik eingetragen. Text erhält damit 

auch einen Doppelcharakter. Einerseits Medium 

zur menschlichen Kommunikation und andererseits 

Medium zur Steuerung von Maschinen. Im 

einen Fall mit kontextgebundener Semantik, im 

anderen Fall sinnfrei und lediglich syntaktischen 

Regeln gehorchend. 

Diese fundamentalen Zusammenhänge der 

Maschinisierung von Wissen finden ihre logische 

Ergänzung in der Äquivalenz zwischen Klassen 

von Automaten und Klassen spracherzeugender 

Grammatiken (Chomsky, 1957). Mit dem Konzept 

der Turingmaschine hat die theoretische Informatik 

ein adäquates Beschreibungsmittel zur 

Durchführbarkeit dieser syntaktischen Regeln folgenden 

formalen Operationen gefunden. 

19


Abbildung 3.2: Dimensionen von Informatiksystemen 

nach Wegner (1997) 

Wegner (1997) zeigte jedoch, dass diese formalisierbare 

Dimension von Informatiksystemen 

nicht ausreicht, um derartige Systeme in ihrer ganzen 

Komplexität zu erfassen. In seiner nicht unumstrittenen 

Abhandlung zum ‘Verhältnis von Algorithmik 

und Interaktion’ wies er zurecht darauf 

hin, dass traditionelle Algorithmen zwar einen 

sehr wichtigen, aber eben nur einen Teil möglicher 

Aktivitäten eines Informatiksystems abdecken. 

Wichtige Komponenten heutiger Informatiksysteme 

bilden die Benutzungsoberflächen 

(GUI: Graphical User Interface), die die Interaktionen 

zwischen dem formal-technischen Teil des 

Systems und den Nutzern (HCI: Human Computer 

Interaction) ermöglichen. Die Vielfalt an 

möglichen Nutzereingaben und deren Einfluss auf 

die inneren Systemzustände sind mit deterministischen 

Regeln kaum umfassend zu beschreiben. 

Ähnliches gilt für parallele Prozesse und verteilte 

Systeme, wo etwa bei Routing-Problemen oder 

der Auslastung von Prozessor-Knoten beim Grid 

Computing nichtdeterministische, von sich stets 

verändernden äußeren Rahmenbedingungen abhängende 

externe Einflüsse die inneren Systemzustände 

verändern. 

Ein weiteres zentrales, die Hardware von Informatiksystemen 

betreffendes Konzept der Informatik 

ist die von Neumann Architektur von Prozessoren, 

die basierend auf der dynamischen Speicherung 

der Programmablaufsteuerung einen entscheidenden 

Wendepunkt in dem historisch lang 

andauernden Bemühen darstellte, formale Kalküle 

durch mechanische Konstruktionen ausführen zu 

lassen (z.B. Napier Stäbe, Schickards Rechenmaschine 

u. Ä.). 

Für informatische Lernprozesse ist es daher 

wichtig, diese typischen Eigenschaften von Informatiksystemen 

auch zu thematisieren und Informatikunterricht 

nicht nur auf die Codierung 

sequentieller, zumeist aus der Mathematik bekannter 

Algorithmen in einer Programmiersprache 

zu reduzieren. Insofern sollten softwareergonomische 

Fragestellungen und die Gestaltung von 

20 

Benutzungsoberflächen ebenso zu Gegenstandsbereichen 

des Informatikunterrichts gehören, wie 

die ereignisorientierte Programmierung oder vernetzte 

Systeme. Auch mechatronische Fragestellungen, 

die den Zusammenhang von Hard- und 

Software, Aktoren und Sensoren, wie bei eingebetteten 

Systemen verdeutlichen, sollten nicht 

ausgeklammert sondern anhand einfacher Beispiele 

verdeutlicht werden. 

3 Sozio-technische 

Informatiksysteme 

3.1 Erscheinungsformen von 

Informatiksystemen und 

Informatikunterricht 

Die systemorientierte Didaktik postuliert, dass es 

eine der zentralen Aufgaben der Fachwissenschaft 

Informatik sei, Informatiksysteme (IS) mit fachspezifischen 

Methoden zu gestalten. Im Sinne des 

didaktischen Prinzips der Wissenschaftsorientierung 

fällt dann dem Unterrichtsfach Informatik 

die Aufgabe zu, Informatiksysteme unter Produkt- 

Prozess Aspekten als zentralen Gegenstandsbereich 

informatischer Bildung zu betrachten. So 

können einerseits formale, strukturierende Methoden 

z. B. zum Zwecke der Abstraktion und Modellierung 

Inhalte des Informatikunterrichts sein. 

Andererseits beinhaltet die für die Systemgestaltung 

wesentliche Modellierung neben technisch 

funktionalen auch kommunikative Prozesse und 

interpersonale Handlungsabläufe (vgl. z.B. Floyd 

et al., 1992). Somit können, die mit einem Informatiksystem 

modellierten und bei dessen Einsatz 

vollzogenen Prozessveränderungen auf technischfunktionaler, 

kommunikativer und interpersonaler 

Handlungsebene in didaktischen Betrachtungen 

nicht ausgeklammert bleiben. Probleme und 

Methoden der Schnittstellengestaltung, der Softwareergonomie, 

der Kommunikation in vernetzten 

Systemen und der Veränderung von sozialen 

Handlungssystemen etc. sollten deshalb ebenfalls 

Unterrichtsgegenstände sein. 

Ein erstes Konzept zu einem systemorientierten 

Ansatz zur Didaktik der Informatik findet 

sich in einer Diplomarbeit von Foegen (1996), 

der Systeme als fundamentale Idee der Informatik 

beschreibt und auf die bedeutende Rolle von 

Akteuren (Auftraggeber, Entwickler, Nutzer) bei 

der Modellierung von Informatiksystemen verweist. 

In späteren Publikationen (z. B. Magenheim, 

2001a,b) wurde der Ansatz unter Rekurs auf 

techniksoziologische Diskussionen begründet und 

unterrichtsmethodisch mit dem Konzept der Dekonstruktion 

verbunden. 

Ausgangspunkt für die unterrichtliche Auseinandersetzung 

können konkrete im Erfahrungsfeld 

der Schülerinnen und Schüler angesiedelte Informatiksysteme 

sein. Sie können unterschiedlichen



gesellschaftlichen Anwendungsfeldern der Informationstechnik 

entstammen und von unterschiedlicher 

Komplexität sein. Als Erscheinungsformen 

derartiger Informatiksysteme im Erfahrungsumfeld 

der Schüler/innen sind z.B. 

• elektronische Geräte (Handys, MP3-Player, 

Spielkonsolen, . . . ) 

• Verkehrsmittel (PKW, Verkehrsleitsysteme, . . . ) 

• PCs mit Software (Lernsoftware, Lernplattform, 

Spielesoftware, . . . ) 

• Automaten (Bankautomaten, Getränkeautomaten, 

Fahrkartenautomaten, . . . ) 

• Informationssysteme (webbasierter Veranstaltungskalender, 

Fahrplanauskunft, Wettervorhersage, 

. . . ) 

• Handels- und Tauschsysteme (Musiktauschbörsen, 

Homebanking, Internetauktionen, Partnersuche, 

. . . ) 

• Kommunikationsmedien (Chat, Podcast, Wikis, 

Blog, . . . ) 

zu nennen. In einer Vielzahl weiterer gesellschaftlicher 

Anwendungsfelder der Basistechnologie 

Mikroelektronik lassen sich Informatiksysteme 

identifizieren, die dem Kriterium der Schülerorientierung 

genügen. 

Unter einem Informatiksystem wird wegen 

der sozialen Implikationen des Softwareentwicklungsprozesses 

und der oben beschriebenen Sozialität 

der Produkteigenschaften von Software 

immer ein sozio-technisches Informatiksystem 

verstanden. Als sozio-technisches Informatiksystem 

(IS) wird dabei die Einheit von Software, 

Hardware und assoziiertem sozialen Handlungssystem 

von Personen angesehen, die mit dem 

technischen Teil des Systems und miteinander interagieren. 

Zur Software zählt hierbei insbesondere 

auch die grafische Benutzungsoberfläche (GUI 

— Graphical User Interface) während der Hardware 

auch elektronische und mechanische Bauteile 

zur Steuerung peripherer technischer Prozesse 

(Embedded Systems) und zur Kommunikation 

mit anderen Informatiksystemen (Vernetzung) zugeordnet 

werden können. Es ist zu beachten, dass 

eine eindeutige Abgrenzung der Komponenten eines 

IS nicht immer möglich ist, da z. B. Teile einer 

Software in einem Produkt auch in Form von 

Hardware realisiert werden könnten. Der technische 

Teil des Systems ist unauflöslich mit dem sozialen 

Handlungssystem verbunden. Die Software 

eines IS repräsentiert fundamentale Ideen und 

fachwissenschaftliche Methoden der Informatik, 

wie etwa Algorithmen, Kontroll- und Datenstrukturen, 

Entwurfsmuster, Automaten, Sprachkonzepte 

etc. Ferner beinhaltet die Software modellierte 

Abbildungen von Arbeitsabläufen, die den 

sozialen Kontext des Einsatzumfeldes des IS mit 

den dort angelegten Handlungsrollen von Perso- 

nen widerspiegeln und beeinflussen. Mittlerweile 

wird in zahlreichen Grundsatzpapieren, Lehrplänen 

und didaktischen Konzeptionen der Begriff 

‘Informatiksystem’ verwendet, um Gegenstandsbereiche, 

Zielsetzungen und auch die Methodik 

des Informatikunterrichts herzuleiten und 

zu begründen, z. B. Arbeitskreis 7.3.1 der G.I. e.V. 

(1993); Baumann (1996). Oft sind jedoch der wissenschaftstheoretische 

Hintergrund und die Einbindung 

des sozialen Handlungssystems in den 

technischen Part des Informatiksystems unklar. 

3.2 Theoretische Bezüge 

Auch im Rahmen dieses Beitrags ist eine umfassende 

Auseinandersetzung mit den techniksoziologischen 

und wissenschaftstheoretischen Hintergründen 

des Begriffs ‘sozio-technisches Informatiksystem’ 

nur sehr begrenzt möglich. Der Begriff 

impliziert die Existenz eines technischen und eines 

sozialen Subsystems, wobei der technische 

Part des Systems unauflösbar mit dem von interagierenden 

Personen gebildeten Handlungssubsystem 

verbunden ist. Die wissenschaftstheoretischen 

Wurzeln des Begriffs liegen nicht nur in der 

Informatik sondern auch in der Techniksoziologie. 

Die systemorientierte Technikwissenschaft 

hat ihre Ursprünge in der allgemeinen Systemtheorie 

von von Bertalanffy (1949) und in 

der Kybernetik von Wiener (Wiener, 1965). Beeinflusst 

wurde sie auch von Diskussionen um 

die Systemtheorie von Luhmann (1984). Syrbe 

(1995) hat in Anlehnung an Ropohl (z. B. 

Ropohl, 1999a) versucht, den Begriff des soziotechnischen 

Informatiksystems für die informatische 

Diskussion nutzbar zu machen. Er bezieht 

sich auf Ropohls Konzept eines abstrakten Handlungssystems. 

Ropohl unterscheidet vier Systemmodelle 

(vgl. z.B. Syrbe, 1995, S. 224): 

1. abstrakte Handlungssysteme (Instanz, die 

Handlungen vollzieht) 

2. menschliche Handlungssysteme (kooperierende 

Personen und Personengruppen, Organisationsmodelle) 

3. Sachsysteme/technische Systeme (künstlich 

hergestellte, planmäßig nutzbare, gegenständliche 

Gebilde) 

4. sozio-technische Systeme (soziale und personale 

Funktionsträger sind mit Sachsystemen 

aggregiert) 

In die letzte Gruppe fallen auch die soziotechnischen 

Informatiksysteme, die es daher auch 

hinsichtlich ihrer sozialen Dimensionen zu analysieren 

gilt (Ropohl, 1999b, S. 1): 

„The concept of the socio-technical 

system was established to stress the 

reciprocal interrelationship between 

21


humans and machines and to foster 

the program of shaping both the 

technical and the social conditions of 

work, in such a way that efficiency 

and humanity would not contradict 

each other any longer.“ 

Hesse (1994) verwiesen von Seiten der Informatik 

bei ihrer Begriffsbestimmung von Softwaretechnik 

ebenfalls auf den Systembegriff. In 

einem sozio-technischen Informatiksystem kann 

zwischen der technischen Repräsentationsebene 

(Maschinen) der Kommunikationsebene (Gruppe 

von Menschen) und der Wissensebene (subjektive 

Sicht des Einzelnen) unterschieden werden. 

Auf der technischen Ebene werden Daten in 

Form von Signalen und Symbolen ausgetauscht 

und verarbeitet. Auf der Kommunikationsebene 

dient die Sprache zum Austausch von Nachrichten. 

Auf der Wissensebene ist schließlich die Information 

angesiedelt, die des Interpretationskontextes 

für die Nachrichten bedarf. Daten bedürfen 

der Codierung in einer Sprache bevor sie als 

Nachricht und durch individuelle Interpretation zu 

subjektivem Wissen verarbeitet werden können. 

Dieses systemische Konzept stellt einen Zusammenhang 

zwischen Wissen, Information und Daten 

her und begründet mit in diesem Zusammenhang 

einen subjektivistisch geprägten Wissensbegriff. 

Subjektive Wissensbestände und normative 

Positionen können die Bewertung und Entwicklung 

sozio-technischer Systeme maßgeblich beeinflussen, 

vor allem dann, wenn sie als wesentliche 

Bestandteile öffentlicher Meinung in einer 

Gesellschaft zum Maßstab praktischen Handelns 

werden (Tondl, 1999, S. 12): 

“The process of integrating knowledge, 

value-related, and other global, 

intellectual, or spiritual factors, and 

some religious ideas, should not be 

ignored when explaining the genesis 

and key motives and factors of technologically 

relevant initiatives, technological 

changes, and major innovations.” 

Subjektives Wissen und subjektive problembezogene 

Einstellungen (z.B. der Entwickler, 

Auftraggeber und Anwender) sind es auch, die 

Gestaltungsentscheidungen und die Nutzung von 

Informatiksystemen bestimmen. Nygaard (1986) 

hat in seinem Perspektivenkonzept zur Softwareentwicklung 

betont, dass es sehr unterschiedliche 

und dennoch schlüssige Sichtweisen auf 

ein Informatiksystem geben kann, die die Bewertung 

von sozio-technischen Informatiksystemen 

bestimmen können. Die Berücksichtigung einer 

derartigen mehrperspektivigen Sicht auf Informatiksysteme 

sollte auch für informatische Bildungs- 

22 

prozesse gelten, zumal sie auch unter lerntheoretischer 

Perspektive gefordert wird (s. u.). 

Auch neuere Ansätze zur Techniksoziologie, 

wie etwa Krohn (Krohn, 1992) in seiner ‘Sozialtheorie 

der Technik’ betonen die Bedeutung des 

sozialen Kontextes eines technischen Systems und 

die Notwendigkeit seiner Analyse als Voraussetzung 

für ein umfassendes Systemverständnis bei 

der Modellierung. Engbring (Engbring, 2003) hat 

in Anknüpfung an Keil-Slawik (2001) und Krohn 

(Krohn, 1992) den Begriff der Kontextuellen Informatik 

beschrieben. Bei diesem Ansatz werden 

vor allem die medialen Funktionen von Informatiksystemen 

und deren Bedeutung für menschliches 

Lernen und Arbeiten sowie die Notwendigkeit 

partizipativer Softwareentwicklung unter 

Beteiligung von Nutzern, Entwicklern und Auftraggebern 

herausgearbeitet. Technikgenese wird 

in einem technologischen Dreieck beschrieben, 

mit den zu den Produkten komplementären Prozessen. 

Technische Artefakte werden im Kontext 

von Soziofakten gestaltet und regulieren diese 

gleichzeitig. Andererseits vollzieht sich die 

Entwicklung technischer Artefakte auf der Basis 

von Wissen (Kognifakte), das wiederum umgekehrt 

durch die Existenz der technischen Artefakte 

erweitert werden kann. Schließlich ist auch 

eine Wechselwirkung zwischen den Soziofakten 

und den Kognifakten zu verzeichnen, wobei Erfahrungen 

und Wissen über den Technikgebrauch 

zu rechtlichen Regulierungen führen können bzw. 

Kenntnisse über die soziale Praxis von soziotechnischen 

Systemen zu deren Weiterentwicklung 

führen kann (vgl. Engbring, 2003). Diese 

Wechselwirkung basierend auf der Produkt- 

Prozess-Komplementarität sozio-technischer Systeme 

sollte in ihrer Gesamtheit Gegenstand informatischer 

Bildungsprozesse sein, ohne dass ein 

Aspekt vollkommen ausgeklammert bleibt. 

3.3 Systementwicklung und 

Informatikunterricht 

Aus dieser systemorientierten Perspektive bedeutet 

die Gestaltung eines soziotechnischen Informatiksystems 

nicht nur, einen Teil sozialer Realität 

zu modellieren, sondern entsprechende Beschreibungen 

auf der Basis einer Modellierungssprache 

in maschinenlesbaren Code umzusetzen 

und das System dann in Praxis zu implementieren 

und zu evaluieren. Weiterhin sollte Softwareentwicklung 

und ihre Produkte, die Informatiksysteme, 

als wichtige Inhaltsbereiche informatischer 

Bildung nicht nur rein technisch betrachtet, sondern 

auch als sozio-technische Beziehungsgefüge 

angesehen werden. Informatischem Modellieren 

kommt deshalb nicht nur die Aufgabe zu, Szenarios 

der realen Welt zu beschreiben und ihr Verhalten 

vorherzusagen, sondern verlangt vielmehr 

von den Entwicklern die Fähigkeit künftige sozio-



Abbildung 3.3: Technikgenese nach Krohn (1992) und Engbring (2003) 

technische Systeme, die entsprechend der Modellierung 

implementiert werden sollen, in ihrem 

Verhalten zu antizipieren und diese Überlegungen 

in den Gestaltungsprozess mit einzubeziehen. Das 

theoretische Konzept der sozio-technischen Informatiksysteme 

unterstützt diese Auffassung von 

Softwareentwicklung und begründet für die informatische 

Bildung damit die Forderung nach der 

unterrichtlichen Auseinandersetzung sowohl mit 

den technischen als auch mit den sozialen und 

ethischen Aspekten derartiger Systeme. 

In der weiteren Konsequenz dieser Sichtweise 

ergibt sich die Notwendigkeit sozio-technische Informatiksysteme 

nicht nur als vorgegebenes Produkt 

in einem Anwendungskontext, sondern auch 

als Ergebnis des Softwareentwicklungsprozesses 

zu begreifen. Informatische Bildung sollte vermitteln, 

dass Software kein statisches Produkt ist, 

sondern soziale Interaktionen aus seinem Einsatzumfeld, 

seinem sozialen Kontext, repräsentiert 

und materialisiert. Die Produkt-Prozess-Relation 

oder Produkt-Prozess-Komplementarität der Softwareentwicklung 

ist ein fundamentales Konzept 

der Informatik, dessen genauere Betrachtung auch 

Rückschlüsse für die didaktische Analyse von Inhaltsbereichen 

des Informatikunterrichts liefern 

kann. 

Prozesse und Kontext 

Werfen wir zunächst einen Blick auf die Prozessaspekte 

von sozio-technischen Informatiksystemen 

und deren Bedeutung für die Auswahl von Unterrichtsinhalten: 

• Zu einem fundamentalen Verständnis von Informatiksystemen 

und ihren sozialen Folge- 

wirkungen in unterschiedlichsten gesellschaftlichen 

Einsatzbereichen gehört die an elementaren 

Beispielen konkretisierte Einsicht, dass 

Software sowohl technische als auch soziale 

und interaktive Aspekte ihres Einsatzumfeldes 

beinhaltet. Lernenden sollte vermittelt werden, 

dass die Gestaltung der Benutzungsoberfläche 

ein wesentliches Element zur Strukturierung der 

Mensch-Computer Interaktion darstellt und damit 

auch Arbeits- und Lernprozesse im Einsatzumfeld 

der Software beeinflusst werden können. 

Ferner sollte Modellierung auch als Prozess 

der Antizipation künftiger Einsatzszenarios 

des Informatiksystems erfahrbar gemacht werden. 

• Das ‘Produkt Software’ und das assoziierte 

sozio-technische Informatiksystem kann ebenfalls 

als Resultat eines Kommunikations- und 

Verhandlungsprozesses zwischen Entwicklern, 

Auftraggebern und Nutzern angesehen werden. 

Im Rahmen dieses Kommunikationsprozesses, 

der von unterschiedlichen Interessen geprägt 

sein kann, entstehen Dokumente, wie Zielvereinbarungen, 

Zeitplanungen, Aufwandseinschätzungen 

etc. Diese Dokumente können — 

im Original, oder als didaktische Materialien — 

Grundlage für einen handlungsorientierten Informatikunterricht 

sein, der sich z.B. darum bemüht, 

mit Hilfe von Rollenspielen Systemgestaltungsprozesse 

und mögliche Interessenskonflikte 

zwischen Gruppen von Beteiligten sichtbar 

zu machen. 

• Softwareentwicklung kann nicht nur von evtl. 

konfligierenden Interessensgruppen beeinflusst 

sein. Auch Restriktionen, die sich durch 

23


Zeitvorgaben, begrenzte materielle Ressourcen 

(Finanzrahmen, vorhandene Entwicklungstools 

und Technik) sowie durch die Notwendigkeit 

äußern, bereits bestehende Systeme in die Neuentwicklung 

zu integrieren, prägen oft die Praxis 

von Softwareprojekten. Diese Zweck-Mittel- 

Relation sollte auch in Problemlösephasen des 

Informatikunterrichts z. B. in Form von vorgegebenen 

Randbedingungen einfließen. Problemlösen 

im Informatikunterricht wird neben 

formal analytischen methodischen Arbeitsweisen 

von daher auch immer normative und reflexive 

Anteile im Hinblick auf die Zweck-Mittel- 

Relation beinhalten. 

• Es ist zu berücksichtigen, dass Modellierungsund 

Konstruktionsphasen sowohl im fachwissenschaftlichen 

als auch im unterrichtlichen 

Kontext einem Prozess von Abstraktion, Formalisierung 

und Reduktion durch Entkontextualisierung 

unterworfen sind (siehe Abschnitt 

2.2). Dieser Prozess der Maschinisierung, der zu 

einem auf Maschinen ausführbaren Programm 

führt, sollte im Unterricht in seinen Phasen bewusst 

herausgearbeitet werden. Hierzu gehört 

auch die Klärung des Verhältnisses von Syntax 

und Semantik und des Unterschiedes zwischen 

menschlicher Kommunikation und Informationsverarbeitung 

sowie maschineller Datenverarbeitung. 

• Vor allem kommerzielle Software ist kein statisches 

Produkt, sondern unterliegt im Rahmen 

des Software-Lebenszyklus einem Prozess von 

Weiterentwicklung und Qualitätsverbesserung. 

Somit wird deutlich, dass es zumindest theoretisch 

kein finales Produkt gibt und zur Softwareentwicklung 

nicht nur Phasen der Konstruktion 

sondern auch Phasen des Praxiseinsatzes, 

der Evaluation und der Qualitätssicherung 

gibt. Hier sind unterrichtsmethodische Konzepte 

notwendig, um den Lebenszyklus-Prozess 

von Software sowohl von der Entwickler- als 

auch von der Verbraucherseite her zu beleuchten. 

• Auch die fachlichen Konzepte, Methoden und 

Werkzeuge zur Systemgestaltung unterliegen 

einem Wandlungsprozess, der zumindest teilweise 

im Informatikunterricht nachvollzogen 

werden sollte. Es wäre daher wünschenswert, 

einige ausgewählte der unterschiedlichen 

Modellierungs- und Programmparadigmen 

(imperativ, prädikativ, objektorientiert, funktional..) 

und die zugehörigen Entwicklungstools 

zumindest exemplarisch im Informatikunterricht 

zu behandeln. 

• Im Zusammenhang mit der Implementierung 

von Software spielt die Weiterbildung der Nutzer 

und ggf. deren Einbindung in den Entwicklungsprozess 

eine wichtige Rolle, die über 

24 

die Akzeptanz und Funktionsfähigkeit eines Informatiksystems 

entscheidet. Auch der Zusammenhang 

von Organisationsentwicklung, Technikintegration 

und Lernanforderungen an die 

Nutzer sollte gerade im Hinblick auf die Förderung 

der Berufsfähigkeit der Jugendlichen an 

geeigneten Beispielen im Unterricht exemplarisch 

veranschaulicht werden. 

• Schließlich sollte ein Blick auf die dynamische 

Seite eines Informatiksystems gerichtet 

und laufende Prozesse betrachtet werden. Hierzu 

können Muster der Mensch-Maschine Interaktion, 

die durch das System impliziert werden, 

aber auch technische Kommunikationsprotokolle 

oder das Zusammenspiel verschiedener Komponenten 

eines verteilten Systems. 

Produkt und Kontext 

Die Eigenschaften, d.h. die technischen und sozialen 

Funktionen eines Informatiksystems sind eng 

mit dem Entwicklungsprozess verbunden. 

• Software als Teil eines Informatiksystems begründet 

nicht nur technische Artefakte sondern 

repräsentiert auch gegenstandsbezogenes 

Wissen. Dieses Wissen enthält neben Fakten 

und Verfahren oftmals auch technische Regeln, 

wie Handhabungshinweise sowie teilweise implizit 

ethische Normen und rechtliche Regularien 

(z.B. Jugendschutzbestimmungen, Richtlinien 

zur Maskengestaltung, Datenschutzbestimmungen). 

Langfristig kann der technologische 

Wandel auch zu veränderten Repräsentationsformen 

von Wissen im Softwaresystem sowie 

im sozialen Kontext des Informatiksystems 

bis hin zu einem generellen Wandel im gesellschaftlichen 

System führen (Datenschutzgesetzgebung, 

Urheberrecht, Politische Akzeptanz 

von Inhalten im Internet, Kommunikationsmedien,. 

. . ). An dieser Stelle wird ein enger Zusammenhang 

zwischen technologischer und gesellschaftlicher 

Entwicklung deutlich, der prinzipiell 

gestaltbar ist und daher auch zum Themenspektrum 

des Informatikunterrichts gehören 

sollte (vgl. Engbring, 2003; Lessig, 1999). 

• Neben Hardware und anderen primär 

physikalisch-technischen Komponenten wie 

Sensoren und Aktoren besteht der technische 

Part eines sozio-technischen Informatiksystems 

aus Software mit den oben beschriebenen kontextbezogenen 

Prozesseigenschaften. Zur Softwareentwicklung 

und zum Re-engineering des 

Systems sind informatische Kenntnisse und methodisches 

Wissen verschiedenster Bereiche erforderlich, 

wie etwa Modellierungsnotationen, 

Algorithmik, Compiler, Sprachkonzepte, Entwurfsmuster, 

Vorgehensmodelle, Softwareergonomie, 

fundamentale informatische Ideen etc. 

Mit diesem Gegenstandsbereich wird der ei-



gentliche Kern des fachwissenschaftlichen informatischen 

Wissens auf deklarativer und prozeduraler 

Ebene berührt. Für die Schulinformatik 

sind hier relevante Inhaltsbereiche zu identifizieren, 

die allerdings anhand didaktischer Filter 

in Orientierung an allgemein didaktischen 

Kriterien und an Prinzipien der Allgemeinbildung 

auszuwählen sind. 

• Eine weitere wichtige Produkteigenschaft von 

Informatiksystemen sind ihre potenziellen medialen 

Funktionen. Sie können als einfache 

oder komplexe Mediensysteme zur Unterstützung 

grundlegender menschlicher Aktivitäten 

wie lernen, arbeiten, gestalten, kommunizieren, 

partizipieren oder entspannen und konsumieren 

verwendet werden. In dieser Funktion 

wird nicht nur erneut der enge Zusammenhang 

von technischen und sozialen Aspekten eines 

Informatiksystems deutlich. Auch die Bedeutung 

dieser Systemfähigkeiten für Lern- und 

Bildungsprozesse ist hier offensichtlich. Ein 

grundlegendes Verständnis der Funktionsweise 

computerbasierter digitaler Medien ermöglicht 

den adäquaten Systemgebrauch und verleiht den 

Nutzern die Fähigkeit, künftige Anwendungsszenarien 

im beruflichen, privaten und öffentlichen 

Bereich fundiert zu beurteilen. Dieses Verständnis 

eröffnet die Möglichkeit zu weiterführendem 

Wissenserwerb und ermöglicht es, neue 

Anforderungen erfolgreich bewältigen zu können. 

Der Informatikunterricht kann einen Beitrag 

zu diesem erforderlich fundamentalen Verständnis 

digitaler Medien leisten, in dem er die 

ihnen zu Grunde liegenden informatischen Konzepte 

der Produkt-Prozessrelation vermittelt. 

3.4 Informatiksysteme als digitale 

Medien 

Ein grundlegendes Verständnis digitaler Medien 

und ihrer kompetenten Nutzung in verschiedenen 

Anwendungsszenarien hat für Schülerinnen 

und Schüler eine enorme Bedeutung zur Bewältigung 

von aktuellen und künftigen Alltagssituationen. 

Folgt man diesem Postulat, so kann hieraus 

auch ein wichtiger Beitrag des Informatikunterrichts 

für die Allgemeinbildung abgeleitet werden, 

indem er als Lernort für die Förderung eines 

solchen Verständnisses identifiziert wird. Bevor 

der Zusammenhang zur Allgemeinbildung im folgenden 

Kapitel eingehender erörtert wird, soll an 

dieser Stelle des Beitrags zunächst auf die mediale 

Qualität von Informatiksystemen in verschiedenen 

Einsatzbereichen eingegangen und so Kriterien 

für die schulische Aufarbeitung dieses Gegenstandsbereichs 

bereitgestellt werden. 

Bereits der Medientheoretiker McLuhan 

(1994) postulierte, dass Technisierung nicht nur 

als Substitution eines Handlungszusammenhangs 

durch Instrumentalisierung zu verstehen sei, son- 

dern dass Technisierung sowohl instrumentelle als 

auch mediale Dimensionen beinhalte. 

Hinsichtlich der medialen Qualitäten von Informatiksystemen 

kann in Anlehnung an Keil- 

Slawiks Definition von primären, sekundären und 

tertiären Medienfunktionen (Keil-Slawik, 2002) 

zwischen Cognitive Tools, Lernsoftware und adaptiven 

Systemen unterschieden werden. Computerbasierte 

‘Cognitive Tools’ ermöglichen die interaktive 

Gestaltung von Medienobjekten. Sie unterstützen 

das Suchen, Sortieren, Rekombinieren, 

Strukturieren, Visualisieren, Speichern oder Verteilen 

von Daten und fördern auf diese Weise mittels 

geeigneter Repräsentationen und Anordnungen 

der formalen Daten den Wissenserwerb. Beim 

Wissenserwerb müssen die Nutzer den Prozess 

der De-kontextualisierung der formalen Daten so 

weit als möglich invertieren, indem sie die Daten 

in einem Prozess von Interpretation und ggf. Kommunikation 

mit kontextbezogener Semantik anreichern. 

„Lernsoftware“ implizit demgegenüber eine in 

ihr vergegenständlichte Abfolge von Interaktionen 

und Rückmeldungen mit den Nutzern, die unter 

didaktischen und lerntheoretischen Erwägungen 

implementiert wurde. Damit werden Formen der 

Mediennutzung im Medium selbst abgebildet. 

Adaptive Softwaresysteme sollten darüber 

hinaus in der Lage sein, Lerner- und Nutzungsverhalten 

anhand der stattfindenden Interaktionen 

zu analysieren und im Hinblick auf Lerneffizienz 

für die Nutzer zu modellieren. 

Diese medialen Dimensionen von Informatiksystemen 

treten nicht nur im Zusammenhang mit 

computerbasierten Lernumgebungen in Erscheinung, 

sondern kommen auch bei anderen basalen, 

menschlichen Tätigkeiten zum Tragen. Man 

kann sie in computerbasierten Anwendungsszenarien 

des Lernens, Arbeitens, Gestaltens, Kommunizierens, 

Konsumierens, Entspannens und Partizipierens 

identifizieren. 

Während einfache Formen von Cognitive 

Tools zunächst auf der Manipulation von Zeichen 

und von Objekten des Informatiksystems beruhen, 

können komplexere Systeme eine Kombination 

dieser elementaren Funktionen enthalten und 

in Bezug auf ihren Nutzungskontext spezifisch geprägt 

sein. Sie können dabei verschiedene Aspekte 

unterschiedlicher basaler menschlicher Tätigkeiten 

umfassen. 

Ein Informatiksystem in Form einer netzgestützten 

Lernumgebung beinhaltet beispielsweise 

Software, die Groupware- und Lernplattformfunktionen 

bereitstellt. Sie kann als wichtiges 

Element eines kooperativen schulischen Lern- 

Designs angesehen werden. Sie sorgt neben Userund 

Content-Management-Funktionen vor allem 

für die computergestützte Kommunikation zwi- 

25


schen den Lernenden in dem vernetzten System. 

Bei den dabei auftretenden Interaktionstypen 

kann in Abhängigkeit vom Grad der softwaretechnischen 

Unterstützung für kollaborative 

Lernprozesse zwischen Lernszenarien mit kommunikationsfähigem 

Computerarbeitsplatz im lokalen 

Netz, Arbeitsplatz im Netz mit Groupwarefunktionalität 

und Arbeitsplatz im Netz mit Workflowmanagement 

unterschieden werden (Schulmeister, 

2003). 

In einem anderen Beispiel, das den Einsatz 

von Cognitive Tools in der Sphäre des Arbeitens 

repräsentiert, kann in einem Unternehmen das 

Workflowmanagement in der Verwaltung, die Prozesssteuerung 

und die Fertigungsplanung medial 

durch entsprechende Visualisierungen unterstützt 

und mit CAD/CAM-Systemen der Fertigungsprozess 

direkt gestaltet werden. 

Neue Formen technikgestützter Kommunikation 

und Kooperation, wie Weblogs, Wikis, Podcasts, 

‘Social Software’ etc. repräsentieren im Bereich 

von Kommunikation, Entspannung und Arbeit 

ebenfalls sozio-technische Informatiksysteme 

mit spezifischer medialer Qualität. 

In dieser Art können für viele Anwendungsbereiche 

komplexere mediale Qualitäten von Informatiksystemen 

beschrieben werden, wobei die 

Sphären des Lernens und Arbeitens im Sinne 

des oben beschriebenen technologischen Dreiecks 

eng miteinander verwoben sind. 

Dabei beinhalten die sozio-technischen Informatiksysteme 

neben formal-informatischen, technische, 

mediale und kontextuelle Aspekte. Die 

medialen Funktionen dienen als Mittler bei den 

Interaktionen zwischen den Nutzern und dem 

technischen Sub-System. 

4 Informatiksysteme im 

Unterricht 

4.1 Informatikunterricht und 

Allgemeinbildung 

Nachdem die Bedeutung sozio-technischer Informatiksysteme 

für die Informatik und informatische 

Bildungsprozesse in den bisherigen Abschnitten 

erläutert wurde, stellt sich die Frage, ob 

sie auch unter allgemein bildender Perspektive, 

vor allem wegen ihres nicht unerheblichen Technikanteils, 

Unterrichtsgegenstand an allgemeinbildenden 

Schulen sein können. Gerade in der relativ 

jungen Disziplin ‘Didaktik der Informatik’ 

kommt bei der Auswahl von relevanten Fachinhalten 

und Vermittlungsmethoden für den Informatikunterricht 

an allgemein bildenden Schulen 

der Frage nach dem Beitrag des Faches zur Allgemeinbildung 

und seiner spezifischen Leistung 

im Vergleich zu anderen etablierten Fächern eine 

besondere Bedeutung zu. Es soll an dieser 

Stelle keine Rezeption der Allgemeinbildungsdis- 

26 

kussion, etwa des informatikkritischen Ansatzes 

von Bussmann & Heymann (1987) und der Replik 

seitens der Informatikdidaktik z. B. von Witten 

(2003) erfolgen (vgl. auch Wedekind et al., 

1998; Hartmann & Nievergelt, 2002). Auch ein 

Rekurs auf internationale Curricula soll nicht vorgenommen 

und die dort postulierten allgemeinbildenden 

‘kulturtechnischen’ Funktionen informatischer 

Bildung sollen hier nicht diskutiert werden 

(vgl. z.B. Task Force of the Pre-College Committee 

of the Education Board of the ACM, 1997; 

NRC, 1999; ACM, 2003). Vielmehr soll an das 

bildungstheoretische Konzept von Klafki (1995) 

angeknüpft werden, dass mit dem Konzept der 

epochaltypischen Schlüsselprobleme nicht auf ein 

ahistorisches Wertesystem Bezug nimmt, sondern 

die Bewertung der Relevanz von Bildungsthemen 

als normativen Vorgang und Resultat einer historisch 

geprägten Gesellschaftsanalyse ansieht. Allgemeinbildung 

kann demzufolge in der Tradition 

bildungstheoretischer Didaktik in dreierlei Hinsicht 

charakterisiert werden (Klafki, 1996): als 

• allgemein, im Sinne einer Bildung für alle Mitglieder 

einer Gesellschaft; 

• allgemein, in dem alle Grunddimensionen 

menschlicher Fähigkeiten und Fertigkeiten 

durch Lernprozesse angesprochen werden; 

• allgemein schließlich im Sinne der erkenntnismäßigen 

Erschließung epochaltypischer Schlüsselprobleme 

einer Gesellschaft, wie etwa das 

der Entwicklung und des Einsatzes von IuK- 

Technologien mit ihren sozialen Folgewirkungen. 

Als inhaltliche und methodische Konsequenzen 

für Lernprozesse, die sich an diesem Konzept 

von Allgemeinbildung orientieren, werden gefordert: 

• Unterrichtliche Problemstellungen im Kontext 

ihrer Genese aufzuzeigen. 

• Lernen stets als ganzheitlichen Prozess zu verstehen, 

der im weitesten Sinne kognitive, fachmethodische 

aber auch normativ-bewertende 

und sozial-kommunikative Aspekte mit einbezieht. 

• In diesen Lernprozessen Kritik- und Argumentationsfähigkeit 

sowie Emphatie zu fördern. 

• Bei Schülerinnen und Schülern die Fähigkeit 

zum vernetzten Denken zu fördern. 

Ausgehend von den oben keineswegs vollständig 

beschriebenen Gegenstandsbereichen informatischer 

Bildung, die sich in historischer Perspektive 

verschiedenen Bezugswissenschaften der 

Informatik zuordnen lassen (vgl. Abb. 3.1) und 

die sich auch in der komplementären Produkt- 

Prozess-Relation von Informatiksystemen widerspiegeln, 

können allgemein bildende Funktionen 

des Informatikunterrichts beschrieben werden. Es



Abbildung 3.4: Komponenten und Sichten auf sozio-technische Informatiksysteme 

ist jeweils zu hinterfragen, ob die betreffenden informatischen 

Gegenstandsbereiche, den drei genannten 

Kriterien genügen. In einem weiteren 

Sinne könnten die unterrichtliche Auseinandersetzung 

mit diesen Gegenstandsbereichen auch 

als Beitrag des Informatikunterrichts zur Vermittlung 

von allgemeinen Bildungsstandards verstanden 

werden. Standards werden hierbei als Kompetenzen 

und Qualifikationsziele für Schülerinnen 

und Schüler angesehen, die man mittels Verknüpfung 

von Inhalten (zentrale Wissensbereiche) und 

Fähigkeiten (zentrale Kompetenzbereiche) charakterisieren 

kann (vgl. z. b. Terhart, 2000; Klieme 

et al., 2003) Die nachfolgend benannten Kompetenzen, 

zu deren Erwerb auch der Informatikunterricht 

einen allgemein bildenden Beitrag zu leisten 

vermag, können zwar schwerpunktmäßig bestimmten 

informatischen Inhaltsbereichen zugeordnet 

werden (s. o.). Da diese Zuordnung aber 

nicht disjunkt und eindeutig ist und der Kompetenzerwerb 

in verschiedenen Inhaltsbereichen 

stattfinden kann, soll hier lediglich deren keinesfalls 

vollständige Aufzählung erfolgen: 

• Fähigkeit zu vernetztem problemlösendem Denken. 

• Fähigkeit zum Anwenden von formalisierenden 

Methoden zur Strukturierung von Problemen 

und zur Modellbildung. 

• Kenntnis der Prinzipien und Unterschiede 

zwischen maschineller Datenverarbeitung und 

menschlicher Informationsverarbeitung. 

• Einsicht in Methoden, Beherrschbarkeit und 

Grenzen der Automatisierung geistiger Prozesse. 

• Kenntnis von Kriterien und Verfahren zur sozialverträglichen 

Technikgestaltung. 

• Fähigkeit, Technikentwicklung als interessensgeleiteten 

Gestaltungsprozess zu begreifen und 

daraus die Fähigkeit zur reflektierten Partizipation 

an Gestaltungs- und Nutzungsprozessen 

von Informatiksystemen zu entwickeln. 

• Kenntnis über die Funktion technischer Artefakte 

als externes Gedächtnis und Medium. 

• Fähigkeit zur Nutzung von IuK-Systemen zur 

Arbeits- und Lernorganisation, zur Kommunikation 

und zum Wissensmanagement. 

• Kenntnis der gesellschaftlichen Bedeutung und 

Wirkung von computerbasierten Medien. 

• Fähigkeit zu einem kritischen Umgang mit und 

eigener Anwendung von digitalen Medien. 

Diese Anforderungen lassen sich kaum im 

Rahmen einer fächerintegrierten Medienbildung 

oder einer informationstechnischen Grundbildung 

realisieren. Sie bedürfen eines fundierten Informatikunterrichts, 

der sich mit verschiedenen Sichtweisen 

auf sozio-technische Informatiksysteme 

auseinandersetzt und gesellschaftliche Auswirkungen 

sowie sozialverträgliche Techniknutzung 

und —gestaltung stets als Teil des Modellierungsund 

Designprozesses begreift. Gesellschaftliche 

Auswirkungen von Informatiksystemen werden 

in einem derart gestalteten Informatikunterricht 

nicht als Exkurs am Ende einer vorwiegend technischen 

Problemen verhafteten Unterrichtseinheit 

angehängt, sondern werden im Unterricht als integraler 

Bestandteil des softwaretechnischen Designprozesses 

thematisiert. 

27


So hängt die Entscheidung, ob beispielsweise 

bei einem kleinen vernetzten Warenwirtschaftssystem 

für einen Schulkiosk, die Kassenarbeitsplätze 

mit Leistungskontrollfunktionen der Mitarbeiter 

ausgestattet werden, von einer entsprechenden 

Designentscheidung bei der Anforderungsanalyse, 

aber auch von den Sichtweisen der bei der Systementwicklung 

Beteiligten ab (Nutzer, Auftraggeber). 

Im Unterricht sollten Entwurfsentscheidungen 

für ein Informatiksystem vor dem Hintergrund 

der Kriterien zur Allgemeinbildung daher 

sowohl im Hinblick auf ihre formalen Eigenschaften 

(Laufzeit, Effizienz, Korrektheit, Wartbarkeit..) 

aber auch im Hinblick auf die sozialen 

Folgewirkungen diskutiert werden. 

Informatik steht somit im Kanon der Fächer 

an allgemeinbildenden Schulen für die kritische 

Auseinandersetzung mit der Nutzung und Gestaltung 

informationstechnischer Systeme und digitaler 

Medien. Es kann mit der Förderung dieser 

Fähigkeiten bei Schülerinnen und Schülern einen 

einzigartigen Beitrag für deren individuelle Zukunftsbewältigung 

in einer durch digitale Medien 

und Informations- und Kommunikationstechniken 

geprägten Welt leisten. 

4.2 Inhaltsauswahl mittels thematischer 

Filter 

Die bisherigen Ausführungen legen nahe, Inhalte 

des Informatikunterrichts zu orientieren an 

• den Lernvoraussetzungen der Lernenden. 

• dem Beitrag der informatischen Inhalte zur Allgemeinbildung. 

• den spezifischen Eigenschaften soziotechnischer 

Informatiksysteme. 

Dem letztgenannten Punkt soll in diesem Kapitel 

unter didaktischen Gesichtspunkten noch einmal 

größere Aufmerksamkeit gewidmet werden. Dabei 

soll zwischen der Situierung des sozialen Kontexts 

von Informatiksystemen nach Anwendungsbereichen 

und den oben geschilderten Sichten auf 

ein Informatiksystem unterschieden werden. 

Wenn wir der Bedeutung des sozialen Kontextes 

von Informatiksystemen auch im Unterricht 

gerecht werden wollen, muss ihm dort entsprechend 

Raum gegeben werden. Informatiksysteme 

sollten unterrichtlich daher in einem konkreten 

Anwendungszusammenhang thematisiert werden, 

wobei im Laufe eines Curriculums der Vielfalt der 

gesellschaftlichen Anwendungsfelder von Informatiksystemen 

Rechnung getragen werden sollte. 

Dies würde auch unter lerntheoretischen Gesichtspunkten 

einer Situierung und inhaltlichen Ankerung 

von Lerninhalten entgegenkommen (vgl. Abschnitt 

4.3). Das Situieren von Unterrichtsinhalten 

kann nach grundlegenden menschlichen Aktivitäten 

wie lernen, arbeiten, gestalten, kommunizieren, 

partizipieren oder entspannen und kon- 

28 

sumieren erfolgen, die zugleich auch als zentrale 

Anwendungsbereiche von Informatiksystemen 

angesehen werden können. Anwendungsbereiche 

von Informatiksystemen bilden dabei einen spezifischen 

sozialen Kontext unterschiedlicher Komplexität, 

in Abhängigkeit von der Komplexität der 

technischen Systemkomponenten und der mit ihr 

verbundenen sozialen Interaktionen. 

Im Folgenden sollen einige Gegenstandsbereiche 

exemplarisch in Orientierung an den Anwendungsfeldern 

der Informatiksysteme kurz benannt 

werden (vgl. Magenheim & Schulte, 2006): 

Lernen Cognitive Tools, Lernsoftware, computergestützte 

Lernumgebungen, E-learning, 

computergestütztes kooperatives Lernen, 

Mobiles Lernen, E-Learning, . . . 

Arbeiten Geschäftsprozessmanagement, Prozesssteuerung, 

Eingebettete Systeme, Automaten, 

computergestütztes kooperatives 

Arbeiten, . . . 

Gestalten Autorenwerkzeuge, CASE-Tools, 

CAD-CAM Systeme, Virtuelle Realität, . . . 

Kommunizieren Internetdienste, Publikationswerkzeuge 

(z. B. Blogs and Wikis), 

Content- Management-Systeme, grafische 

Benutzungsoberflächen, . . . 

Partizipieren Internet, E-Government, E-voting, 

Bürgernetze, Kommunale Portale, . . . 

Entspannen Medienkonvergenz; Digitalisierung, 

Digital TV, Netzbasierte Spiele, 

Edutainment . . . 

Konsumieren E-commerce, Internetauktionen, 

webbasierte Tauschbörsen, RFID, . . . 

In diesen Anwendungsfeldern sollten in Orientierung 

an den Sichten auf Informatiksysteme 

(Medien, Kontext, Formalismen, Technik) informatische 

Konzepte identifiziert und lerngruppenbezogen 

vermittelt werden. Hierbei können so genannte 

didaktische Linsen als thematische Filter 

dienen, die einen integrativen Zugang zu Informatiksystemen 

eröffnen, indem sie jeweils die Beziehung 

zwischen den vier Sichtweisen fokussiert 

auf einen Themenschwerpunkt herstellen. Als derartige 

didaktische Linsen könnten auch in Anlehnung 

an internationale Diskussionen (van Weert & 

Tinsley, 2000; ACM & IEEE, 2001; ACM, 2003; 

Denning, 2004) dienen (vgl. Magenheim & Schulte, 

2006): 

Automation beschreibt, wie Informatiksysteme 

menschliche Tätigkeiten incl. geistiger Leistungen 

mittels geeigneter informatischer 

Konzepte übernehmen. Dies kann sich auch 

auf die technische Ebene der Hardware incl. 

der eingebetteten Systeme erstrecken. 

Interaktion beschreibt, hauptsächlich mediale 

Funktionen von Informatiksystemen und



deren Einfluss auf die Interaktion mit dem 

System bzw. der Menschen untereinander. 

Informationsverarbeitung Interaktion benötigt 

äquivalente Prozesse innerhalb des technischen 

Systemparts auf der Ebene der Formalismen. 

Hier geht es z.B. um Algorithmen, 

Informationsbeschaffung, Datenstrukturen 

und Modellbeschreibungen etc. 

Netzwerke Technische (Topologien, Client/Server- 

Architektur, Protokolle) und soziale Perspektiven 

der Vernetzung (soziale Gemeinschaften, 

Kooperation, Kommunikation), 

Normen, Regeln und Gesetze In Anlehnung an 

das technologische Dreieck bestehende Zusammenhänge 

von Informatiksystemen und 

durch sie erzeugte Verhaltensnormen (z. B. 

Netiquette), Regeln (z.B. Bedienungsanleitungen) 

und Gesetze (z. B. Datenschutz). 

Soziale und ethische Aspekte Weiter gefasste 

Linse, die sich mit gesellschaftlichen Auswirkungen 

von Informatiksystemen z.B. im 

Sinne von Digitaler Ungleichheit, Globalisierung, 

Rationalisierung, Ethik etc. beschäftigt. 

Ist ein Unterrichtsthema aus einem der Anwendungsfelder 

ausgewählt und für die Schüler 

entsprechend ihren Erfahrungen situiert worden, 

können die vier Sichten auf ein Informatiksystem 

und die didaktischen Linsen als thematische Filter 

dienen, um das Thema unterrichtlich weiter zu 

konkretisieren. Der Unterrichtsgegenstand ist mittels 

dieser Filter auf mögliche integrative Zugänge 

zu informatischen Konzepten sozio-technischer 

Informatiksysteme zu beleuchten. Hierbei ist es 

durchaus sinnvoll, mehrere Filter für einen multiperspektivischen 

Zugang einzusetzen. Im Sinne 

eines Spiralcurriculums sollten jeweils unterschiedliche 

Sichten, Filter und Anwendungsbereiche 

gewählt werden, um den Schülerinnen und 

Schülern den Aufbau einer kohärenten persönlichen 

Wissensstruktur über Informatiksysteme zu 

ermöglichen. 

4.3 Methoden der Vermittlung 

Wie schon oben erwähnt, findet die geforderte 

Situierung von Lerninhalten beim Erkunden 

von Informatiksystemen ihre Entsprechung in verschiedenen 

konstruktivistisch orientierten Theorien 

des Lernens. So betont beispielsweise die 

Cognition and Technology Group at Vanderbilt 

(1994), dass Lernszenarien problembasiert und in 

authentischen Situationen ‘geankert’ sowie verschiedene 

Lösungsmöglichkeiten beinhalten sollten. 

Offene Lernumgebungen sollten exploratives 

und kooperatives Lernen ermöglichen. Ähnliche 

Forderungen werden von Jonassen (1999) 

für das Lerndesign von explorativen, konstruktivistischen 

Lernumgebungen erhoben. Vygots- 

kys sozio-kulturelle Theorie betont die Bedeutung 

sozialer Interaktion und des kooperativen Austausches 

beim Wissenserwerb (Vygotsky, 1978). 

Hung (2002) beschreiben den Aufbau von ‘Lerngemeinschaften’, 

die ihre Lernprozesse weitgehend 

selbstständig organisieren. Auf die sich verändernde 

Lehrerrolle in derartigen Lernszenarien 

verweisen Collins et al. (1999). Nach ihrem Phasenkonzept 

des ‘Cognitive Apprenticeship Model’ 

steht der wachsenden Eigenverantwortlichkeit 

der Lernenden im Verlauf eines andauernden 

Lernprozesses ein Rückzug des Lehrers hin 

zum Coach und Lernprozessberater gegenüber. 

Schließlich betont die Cognitive Flexibility Theory 

von Spiro (1992), dass den Lernenden unterschiedliche 

Sichten auf den gleichen Lerngegenstand 

ermöglicht werden sollte, um bei ihnen assoziatives 

Denken zu fördern und durch die subjektive 

Konstruktion themenbezogener Wissenszusammenhänge 

eine höhere Qualität von Wissen 

zu erreichen. Die Umsetzung dieser Anforderungen 

an Lernprozesse in der Praxis des Informatikunterrichts 

bedeutet hinsichtlich des methodischen 

Vorgehens und der medialen Repräsentation 

von Informatiksystemen einen Wandel in der 

tradierten Unterrichtsmethodik. 

Methodik des Informatikunterrichts orientiert 

sich in Lerneinheiten, die die Erstellung von Teilen 

eines Computerprogramms oder eines kompletten 

Softwareprodukts zum Ziel haben, oft an 

grundlegenden Vorgehensmodellen der Softwareentwicklung. 

Einer Phase der Problemanalyse 

und der Problemeingrenzung folgen Anforderungsdefinition, 

Designentwurf, Codierung, Implementation 

und Praxistest des Produkts. Diese 

von einigen didaktischen Ansätzen favorisierte 

unterrichtsmethodische Vorgehensweise der Konstruktion 

von Software kann für den Informatikunterricht 

als grundsätzlich geeignet angesehen 

werden, da sie eine Reihe von lerntheoretischen 

und lernpsychologischen Aspekten berücksichtigt. 

Dazu gehören Konzepte, wie das der Handlungsorientierung 

im Unterricht oder die Förderung 

der Motivation der Schülerinnen und Schüler, 

die durch das Erlebnis der Materialisierung einer 

Idee — von dem theoretischen Entwurf hin 

zum fertigen Softwareprodukt — exemplarisch 

Kenntnisse über den Prozess der Gestaltung von 

Informatiksystemen erlangen können. Allerdings 

beinhaltet dieses unterrichtsmethodische Vorgehensmodell 

auch eine Reihe von Mängeln: 

• die Komplexität der in einer konstruktiven Phase 

von den Schülern zu erstellenden Software 

ist oft nicht hinreichend, um informatische Konzepte, 

wie etwa das der Objektorientierung, hinreichend 

verdeutlichen zu können. 

• der Phase der Modellierung, deren Wichtigkeit 

immer wieder betont wird (Hubwieser, 2000), 

29


wird nicht zuletzt mangels geeigneter medialer 

Unterstützung und methodischer Konzepte zu 

wenig Aufmerksamkeit gewidmet. 

• Konstruktion von Software im Unterricht erlaubt 

nur einen eingeschränkten Blick auf die 

verschiedenen Phasen des ‘Software Life Cycle’. 

Insbesondere die Revision von Entwurf 

und Design nach Phasen der Rückkopplung mit 

Anwendern und Auftraggebern, wie sie bei iterativen 

partizipativen Vorgehensmodellen üblich 

sind, können bei einer am Wasserfallmodell 

orientierten unterrichtlichen Vorgehensweise 

nur eingeschränkt oder gar nicht berücksichtigt 

werden. 

• Phasen der praxisbezogenen Anforderungsdefinition 

mit Kopplung an die Anforderungsszenarios 

von realen Informatiksystemen mit analoger 

Funktionalität sind nur schwer in das 

rein konstruktive unterrichtliche Vorgehensmodell 

integrierbar. 

• Phasen der Evaluation der Software in der Praxis 

und damit die Rückkopplung von Softwareentwicklung 

mit Situationen des realen Lebens 

sind in dieses Unterrichtskonzept nur schwer 

einzubinden. 

Um den geschilderten Mängeln eines rein konstruktiv 

ausgerichteten unterrichtsmethodischen 

Vorgehens entgegenzuwirken und im Informatikunterricht 

verschiedene Stadien des Softwareentwicklungsprozesses 

erfahrbar zu machen, incl. eines 

zumindest medialen Bezuges zu realen Informatiksystemen, 

bedarf es medialer und unterrichtsmethodischer 

Ergänzungen der Konstruktion. 

Phasen eines durch multimediale Elemente angereicherten, 

erkundenden und entdeckenden Lernens 

eines bereits bestehenden und ausführlich 

dokumentierten Systems, können sich mit Phasen 

der Konstruktion eines eigenen Softwareprodukts 

abwechseln. Dabei muss keineswegs die vorliegende 

‘fertige’ Software komplett analysiert und 

erkundet werden. Es genügt ggf. auch, geeignete 

informatische Konzepte, wie Algorithmen, Designmodelle 

oder Codekonstrukte, zu analysieren, 

um sie dann auf Anwendungssituationen bei 

der Konstruktion des eigenen Softwareprodukts 

zu übertragen. Bereits Lehmann (1995) versuchte 

mit seinem Konzept der Wartung von Informatiksystemen, 

komplexere Informatiksysteme im Unterricht 

zu behandeln, ohne jedoch die multiperspektivische 

Sichtweise einzufordern. 

Eine geeignete Alternative zum konstruktiven 

unterrichtsmethodischen Vorgehen, die diesen 

Anforderungen genügt, ist das Konzept der Dekonstruktion. 

Dekonstruktion ist als wissenschaftliche 

Methode ursprünglich in der Philosophie, 

der Literaturwissenschaft, später auch in Architektur 

und Kunst anzutreffen. Die Methode operiert 

mit spezifischen Formen der Textanalyse und 

30 

hat die Offenlegung von Form, Inhalt und Hintergründen 

eines literarischen Werkes und der Intentionen 

seiner Autoren zum Ziel. Wenn man Software 

zunächst als Text (Quellcode) betrachtet, mit 

dessen Hilfe man Maschinen steuern und auf diese 

Weise implizit auch soziale Wirklichkeit gestalten 

kann, dann wird klar, dass Dekonstruktion (Zima, 

1994) zunächst als Instrument der Quellcodeanalyse 

auch hier eingesetzt werden kann. Dekonstruktion 

ist als Methode der informatischen Bildung 

in der Lage, vielschichtige Sichten auf Software 

zu eröffnen und so den Lernenden auf der 

Basis erster Vorkenntnisse, die sie in traditionellen 

Vermittlungsprozessen erworben haben, einen 

differenzierten Einblick in fachwissenschaftliche 

Konzepte und Methoden zu vermitteln. 

Bei der Sicht auf Formalismen z. B. bei der 

Quellcodeanalyse, können nicht nur Klassen, Objekte, 

Algorithmen oder Sprachkonstrukte einer 

Programmiersprache erkundet werden, sondern es 

ergeben sich auch Einblicke in fundamentale informatische 

Ideen, wie z. B. das Konzept ‘Teile 

und Herrsche’. Über visualisierte Formen der 

Softwaredarstellung, wie etwa UML-Diagramme, 

eröffnen sich Einsichten in komplexe Zusammenhänge 

und erschließen sich möglicherweise verwendete 

Standard-Entwurfsmuster, sowie Designund 

Entwurfsentscheidungen. Eine mediale Sicht 

wird durch die Analyse der GUI ermöglicht. Sie 

eröffnet Zugänge zu Problemen der Softwareergonomie, 

aber auch zu formalen Konzepten wie IOund 

Exception-Handling. Die Funktionalität der 

Software kann insgesamt getestet und bewertet 

werden. Möglicherweise sind verschiedene Systementwürfe 

verfügbar, die miteinander verglichen 

und hinsichtlich ihrer informatischen Konzepte 

und Folgewirkungen im sozialen Einsatzkontext 

bewertet werden können. Letzteres setzt aber eine 

solide informatische Wissensbasis hinsichtlich Inhalten 

und fachwissenschaftlichen Methoden sowie 

das Erarbeiten von adäquaten Bewertungskriterien 

voraus und ist somit als optionales fortgeschrittenes 

Lernziel anzusehen. Damit können 

sich über Dekonstruktion nicht nur Einblicke in 

das vorliegende Softwareprodukt, sondern auch in 

den Prozess seiner Genese eröffnen. Die Methode 

der Dekonstruktion ermöglicht sozusagen eine 

medial gestützte Zeitreise in die verschiedenen 

Entstehungsphasen des Informatiksystems bis 

hin zu seinem Einsatz und erschließt Zusammenhänge, 

die bei einem rein konstruktiven Vorgehen 

nicht möglich gewesen wären. ‘Protokolle’ 

über Designentscheidungen, die sich auf die Bewertung 

alternativer Entwürfe beziehen, verdeutlichen, 

wie Nutzungsszenarien und Handlungsabläufe 

im sozio-technischen Informatiksystem festgelegt 

werden. Die Diskussion von Fragen der 

kontextuellen Informatik (Kontextuelle Informa-



Abbildung 3.5: Sichten auf Entwicklungsphasen von Informatiksystemen durch Dekonstruktion 

tik, 2002) ist somit kein Additum, das gegebenenfalls 

als Exkurs an eine Lerneinheit angefügt 

wird, sondern ist im informatischen Kernbereich 

der Anforderungsanalyse, des Systemsentwurfs 

und des Softwaredesigns angesiedelt. Ob ein Informatiksystem 

die Erhebung von Leistungsdaten 

an Arbeitsplätzen ermöglicht ist einerseits eine 

Entwurfs- bzw. im Detail eine Designentscheidung 

und hat andererseits erhebliche Bedeutung 

für den betrieblichen Controllingprozess und den 

Datenschutz. Das Verhältnis von Produkt und Prozess 

bei der Softwareentwicklung wird damit zum 

relevanten Gegenstand im Informatikunterricht, 

anhand dessen sich elementare Konzepte der Informatik 

erarbeiten lassen (Magenheim, 2003). 

5 Informatik Lernlabor — ein 

Beispiel 

5.1 Mediale Bausteine des ILL 

Im Informatik Lernlabor an der Universität Paderborn 

wird seit einiger Zeit der Versuch unternommen, 

dieses unterrichtsmethodische Konzept 

unter wissenschaftlicher Begleitung in die 

Praxis umzusetzen. Dazu bedurfte es einer Reihe 

von medialen Voraussetzungen. Neben den in 

der informatischen Bildung schon seit jeher verwendeten 

Tools zur Softwareentwicklung wie z.B. 

Editoren, (grafische) Debugger oder komplexere 

Entwicklungsumgebungen mit integrierten ‘GUI- 

Buildern’ sollen in dekonstruktiven Unterrichtsphasen 

eine Reihe weiterer interaktiver computerbasierter 

Medien eingesetzt werden. 

Diese Medien sind nach Inhaltsmodulen gegliedert 

und repräsentieren jeweils als Paket ein 

für didaktische Zwecke aufbereitetes Informatiksystem. 

Das Informatik Lernlabor verfügt gegenwärtig 

über vier Inhaltsmodule mit unterschiedli- 

chem Ausbaugrad: 

Modul Hochregallager Es hat die Steuerung von 

Transport- und Lagerungsprozessen in einem 

Hochregallager zum Gegenstand. Neben 

den üblichen computerbasierten Medien 

wird in diesem Modul zusätzlich ein Lego 

Mindstorms Modell eines Hochregallagers 

für Zwecke der Dekonstruktion bereitgestellt. 

Außerdem gibt es eine verteilte, 

webbasierte Simulationsumgebung, in der 

die Lernenden ihre Programmierung für die 

realen Mindstorms Systeme an einem virtuellen 

Modell testen können. 

Modul Schulkiosk In diesem Inhaltsmodul werden 

elementarste Konzepte eines Warenwirtschaftssystems 

thematisiert. Die zu dekonstruierende 

Software unterstützt die 

Ein- und Verkaufsvorgänge eines Schulkiosks. 

Verkaufshandlungen werden als Use 

Cases analysiert, um geeignete Klassenstrukturen 

für die Modellierung zu gewinnen. 

Die Software liegt in verschiedenen 

Ausbaustufen vor. 

Modul ‘Computerspiel’ Das Computerspiel 

‘Ursuppe’ bildet den Ausgangspunkt dieses 

Inhaltsmoduls. Die zugehörige Software 

ist in der Lage, nach entsprechenden 

Benutzereingaben die Spielverwaltung zu 

übernehmen und Spielstände grafisch anzuzeigen. 

Anhand des Spiels kann u. a. thematisiert 

werden, wie bei Entwurfs- und 

Designentscheidungen zwischenmenschliche 

Interaktionen und Handlungen graduell 

auf das System übertragen werden können. 

Modul ‘Redaktionssystem’ Mit diesem Modul 

werden vor allem webbasierte Transaktionen 

bei der Gestaltung von Text- und ande- 

31


ren Dokumenten über eine Webschnittstelle 

vorgestellt. Es sollen webseitige Zugriffe 

auf eine Datenbank, die dynamische Erzeugung 

von Webseiten aus Datenbankinhalten 

und das Workflowmanagement thematisiert 

werden. Die Software wird demnächst in 

verschiedenen Ausbaustufen vorliegen. 

Als besondere Form der ‘Lernsoftware’ werden 

im ILL (Informatik Lernlabor) Lernobjekte 

(‘Learning Objects’) genutzt [IEEE 2002]. Darunter 

sind abgeschlossene kleinere multimediale 

Lerneinheiten zu verstehen, die den Nutzern Inhalte 

mit interaktiven, multimedialen Medien präsentieren 

und die sich auf eine begrenzte Anzahl 

von zu realisierenden Lernzielen beziehen. 

Lernobjekte dienen den Nutzern vorwiegend zum 

selbstgesteuerten, erkundenden Lernen eines Gegenstandsbereichs. 

Ihre Integration in das Informatik 

Lernlabor ermöglicht ein Konzept von 

‘Blended Learning’, bei dem sich Formen des Präsenzlernens 

mit Phasen des E-learning mit computerbasierten 

Medien abwechseln (Magenheim, 

2003; Sauter & Sauter, 2003). Lernobjekte sollten 

den Lernenden in einer interaktiven, für kollaborative 

Arbeitsweisen offenen und möglichst webbasierten 

Erkundungsumgebung angeboten werden. 

Diese Aufgabe kann z.B. von einer Lernplattform 

oder Groupware mit spezifischen, das 

E-learning unterstützenden Funktionen übernommen 

werden. 

Eine solche Lernumgebung, die exploratives 

Lernen unterstützt, wird neben den Lernobjekten 

weitere multimediale Dokumente und ein zu 

dekonstruierendes Softwareprodukt enthalten. Zu 

den ergänzenden Medienobjekten zählen etwa Videosequenzen 

von Arbeitsabläufen in realen Informatiksystemen, 

Interviews mit Auftraggebern 

und Nutzern, Gespräche zwischen Entwicklern 

über Entwurfsentscheidungen sowie Animationen 

zu Informationsflüssen und Arbeitsabläufen 

(Use Cases). Damit werden Vermittlungskonzepte, 

wie die videogestützte Anforderungsdefinition 

umsetzbar. Die zu dekonstruierende Software 

ist ein in seiner Komplexität reduziertes Produkt, 

das aber wesentliche Features eines realen 

Informatiksystems beinhaltet und die Exploration 

von fundamentalen informatischen Konzepten erlaubt. 

Tools und Lernsoftware in Form von Learning 

Objects ermöglichen vielfältige Sichten auf 

das Produkt Software und seinen Entstehungsprozess. 

Durch diese Form der medialen Repräsentation 

können Anwendungsorientierung und Realitätsbezug 

der informatischen Bildung gesichert 

und bei den Studierenden der Erwerb von vernetztem 

Wissen, wie oben gefordert, realisiert werden. 

Grundsätzlich kann man zwischen den im Folgenden 

dargestellten unterschiedlichen Elementen 

der multimedialen Erkundungsumgebung unter- 

32 

scheiden. 

Allgemeine und themenbezogene 

Dokumente und Lernobjekte 

(Inhaltsmodule) 

Zu den allgemeinen Lernobjekten und Dokumenten 

gehören Information über Protokolle und 

technische Kommunikation, Algorithmen, Objektorientierte 

Modellierung, Modellierungssprachen, 

Entwurfsmuster und Sprachkonstrukte. Die 

spezifischen Lernobjekte und Dokumente beziehen 

sich auf das der Lerneinheit jeweils zugrunde 

liegende Inhaltsmodul. Im Fall des Moduls ‘Hochregallager’ 

gehören z. B. Informationen über eingebettete 

Systeme, die Firmware des Mindstorms 

RCX, die zugehörige Javaschnittstelle, Prinzipien 

der Steuerung und Regelung, die Mechanik der 

Lego Bauteile, von den Mindstorms Bricks verwendete 

Kommunikationsprotokolle sowie Informationen 

über Elemente eines realen Hochregallagers 

dazu. Die Dokumente werden z. T. in Form 

von interaktiven Animationen und Videosequenzen 

zum realen und virtuellen System angeboten. 

Softwaretools und spezifische Tools 

Zu den allgemein genutzten Tools zählen Modellierungswerkzeuge 

wie UML-Editoren, auf CRC 

Karten (s. u.) bezogene Mindmapping Tools, grafische 

Debugger und integrierte Entwicklungsumgebungen. 

Spezifische Tools sind im Falle des 

Hochregallagers virtuelle Simulationsumgebungen 

für die Mindstorms Bricks, sowie Mindstorms 

bezogene Entwicklungstools. 

Guided tours 

Guided tours dienen der Erkundung der multimedialen 

computerbasierten Lernmaterialien. Sie 

können von den Lernenden in Phasen des selbstgesteuerten 

Lernens z.B. anhand von angebotenen 

Naviagationshilfen genutzt werden, um sich 

Lerninhalte eigenständig zu erschließen, die sie 

für die Bewältigung der Konstruktionsaufgabe benötigen. 

LMS und CMS 

Die multimedialen Materialien und Dokumente, 

die computerbasierten Animationen und digitalen 

Videosequenzen müssen den Lernenden 

in geeigneter Form zur Verfügung gestellt werden. 

Gleiches gilt für die benötigten Cognitive 

Tools. Dazu wird zumindest eine Groupware 

mit elementaren Funktionen einer Lernplattform 

benötigt. Sie sollte über ein User- und Accessmangement 

verfügen und elementare webbasierte 

Kommunikationsdienste anbieten (Mail, 

Chat). Auf diese Weise können für das Konzept 

des Blended Learning grundlegende Funktionen 

eines Lernmanagement- (LMS) und Content- 

Management-Systems (CMS) erfüllt werden. In



der gegenwärtigen Erprobungsphase des Lernlabors 

verwendet die Arbeitsgruppe das System 

STeam (STeam, 2003). 

Didaktische Software 

Die didaktische Software dient der oben bereits 

ausführlicher beschriebenen Methode der Dekonstruktion. 

Im Fall des Hochregallagers wird 

beispielsweise eine Steuerungssoftware für die 

Ein- und Auslagerung von Paletten mit der dazu 

notwendigen Auftragsverwaltung, den Transporten 

zwischen verschiedenen Bereichen des Lagers 

und der Kommunikationskontrolle zwischen 

den autonomen Systemen bereitgestellt. Außerdem 

gehören ein mit Legobausteinen konstruiertes 

Modell eines Hochregallagers, das von der 

Software gesteuert wird, sowie eine Simulationssoftware 

zu dem zu erkundenden, didaktisch aufbereiteten 

Informatiksystem. 

Aufgabensammlung und 

Erkundungsaufträge 

Die Erkundung des Hochregallagers wird jeweils 

durch spezifische Erkundungsaufträge initiiert, 

die sich auf wesentliche informatische Prinzipien 

des Systems beziehen und für die später zu lösende 

komplexere Konstruktionsaufgabe von zentraler 

Bedeutung sind. Hierzu zählt beispielsweise 

die Analyse und Bewertung des von den autonomen 

Systemen verwendeten Kommunikationsprotokolls, 

das mit gängigen Konzepten wie Token 

Ring und CSMA/CD im Hinblick auf seine Effizienz 

verglichen werden kann. Kleinere themenbezogene 

Übungsaufgaben in der Erkundungsumgebung 

sind darüber hinaus geeignet, während der 

Dekonstruktion gewonnene Einsichten und Fertigkeiten 

zu vertiefen. 

5.2 Arbeitsformen im Informatik 

Lernlabor 

Mit Hilfe der vielfältigen medialen Repräsentationen 

von Informatiksystemen im Informatik 

Lernlabor können dort lernerzentrierte, explorative 

Lernprozesse umgesetzt werden, wie sie oben 

eingefordert wurden. Hierbei findet in der Regel 

ein Wechsel zwischen entdeckendem, selbstgesteuertem 

Lernen mit Materialien der Lernplattform 

und Phasen des Präsenzlernens mit Moderation 

durch einen Tutor statt. Auch hierbei spielen 

die in der Plattform bereitgestellten medialen Repräsentationen 

des Informatiksystems eine bedeutende 

Rolle. Insgesamt kann man bei der Methodik 

des Informatik Lernlabors deshalb zu Recht 

von einem Konzept des ‘Blended Learning’ sprechen. 

Lernprozesse im Informatik Lernlabor können 

nach diesem unterrichtsmethodischen Vorgehensmodell 

in unterschiedliche Phasen eingeteilt werden, 

die in Abhängigkeit von den jeweiligen In- 

haltsmodulen teilweise variieren. Es gibt zunächst 

zwei methodische Hauptphasen, die Phase der Dekonstruktion 

und die Phase der Konstruktion. Sie 

lassen sich wiederum weiter unterteilen. Prototypisch 

sieht das unterrichtliche Methodenmodell 

im Informatik Lernlabor dann wie folgt aus: 

Dekonstruktionsphase 

Exploration 

• Die Lernenden erhalten Erkundungsaufträge, zu 

deren Erledigung sie die medialen Repräsentationen 

des Informatiksystems im Lernlabor nutzen. 

• Die Aufträge werden sowohl individuell als 

auch in Gruppen erledigt und dienen der Verbreiterung 

der Wissensbasis der Lernenden zum 

Gegenstandsbereich. 

Re-engineering 

• Die Lernenden erhalten Aufträge, das bestehende 

Informatiksystem zu verändern, indem 

beispielsweise erweiterte Funktionen eingeführt 

werden. 

• Dies kann arbeitsteilig aber auch in nur einer 

Gruppe geschehen. Desingentwürfe werden 

verglichen und im Hinblick auf ihre technische 

Funktionalität und mögliche soziale Folgewirkungen 

bewertet. Diese Phase soll zu einem vertieften 

Verständnis des Informatiksystems führen. 

Konstruktionsphase 

Transfer 

• Die Lernenden erhalten einen komplexeren 

Auftrag zur Entwicklung eines Informatiksystems, 

der in der Regel arbeitsteilig erledigt 

werden muss. 

• Die bei der Dekonstruktion des vorhandenen, 

medial repräsentierten Informatiksystems erworbenen 

Kenntnisse müssen auf die neue Anforderungssituation 

transferiert werden. Eine 

einfache direkte Übertragung von Quellcode ist 

in der Regel nicht möglich, sondern es müssen 

Modifikationen vorgenommen werden. 

Softwareentwicklung 

• Diese länger andauernde Phase beinhaltet die 

für die Konstruktion von Software üblichen 

Teilphasen, wie etwa Anforderungsdefinition, 

Spezifikation, Entwurf, Implementierung. 

• In diese Phase können handlungsorientierte Modellierungskonzepte, 

wie etwa das Modellieren 

mit CRC-Karten (Beck & Cunningham, 1989; 

Ambler, 1998) oder das Object-Game (Bergin, 

2000) eingebunden werden, um einen ersten 

Überblick über die Struktur eines Entwurfs zu 

erhalten. 

• Diese Phase wird in der Regel arbeitsteilig erledigt. 

33


Abbildung 3.6: Mediale Repräsentationen eines Informatiksystems. Die Abbildungen zeigen mediale Repräsentationen 

des Inhaltsmoduls ‘Hochregallager’ auf verschiedenen Abstraktionsebenen (reales System, 

Mindstorms, Modell, virtuelle Simulation des Mindstorms Modell, Dokumente auf grafischer und Quellcodeebene 

zur Mindstorms Steuerung) und mit unterschiedlichen Betätigungsmöglichkeiten für die Lernenden. 

Evaluation 

• Wie in jeder projektartig organisierten Lehrveranstaltung 

findet gegen Ende des Vorhabens eine 

Evaluation statt. Sie bezieht sich auf die erzielten 

Ergebnisse des Lernprozesses. 

• Hinsichtlich der Qualität der Lernprozesse 

kommt der Eigenbewertung der Lernenden eine 

hohe Bedeutung zu. 

• Ferner besteht die Möglichkeit, die Qualität 

des erstellten Produkts, gemessen an den zuvor 

gesteckten Anforderungsdefinitionen sowie den 

Verlauf des Lernprozesses ggf. durch computerbasierte 

Beobachtungsmethoden zu bewerten. 

In der gegenwärtig vorliegenden Konzeption 

sind die Materialien des Informatik Lernlabors 

eher für leistungsstarke Lerngruppen in der gymnasialen 

Oberstufe bzw. für den Einsatz in der 

Hochschulausbildung geeignet. Es ist aber gut 

vorstellbar, weniger komplexe bis einfachste Informatiksysteme 

für den schulischen Gebrauch in 

ähnlicher Form zu entwickeln. 

6 Schlussfolgerungen 

Die bisherigen Erprobungen, vor allem im Hochschulbereich, 

haben zu positiven Rückmeldungen 

der Studierenden und zu erfreulichen Ergebnissen 

in der Produktqualität am Ende der Kurse geführt. 

Diese Befunde konnten auch im Rahmen 

einer qualitativen Studie belegt werden (Magenheim 

& Scheel, 2004). Es müssen nun genauere 

empirische Analysen durchgeführt und das Konzept 

auf weniger komplexe Systeme übertragen 

werden. Außerdem sollte unabhängig vom methodischen 

Gesamtkonzept des Informatik Lernlabors 

der Ansatz der systemorientierten Didaktik 

mit ihren medialen und methodischen Implikationen 

in der alltäglichen Praxis des Informatikunterrichts 

stärker verankert werden. Hierbei können 

Exkursionen zur Erkundung realer Informatiksy- 

34 

steme durchaus deren mediale Repräsentation ersetzen. 

Literatur 

ACM (Hg.) (2003): A Model Curriculum for K—12 Computer 

Science: Final Report of the ACM K–12 Task Force Curriculum 

Committee. New York, URL http://csta.acm. 

org/Curriculum/sub/k12final1022.pdf 

ACM & IEEE (Hg.) (2001): Computing Curricula, Computer 

Science Volume. URL http://www.sigcse.org/ 

cc2001/ 

Ambler, Scott W. (1998): Building Object Applications That 

Work: Your Step-by-Step Handbook for Developing Robust 

Systems with Object Technology. Cambridge University Press 

Arbeitskreis 7.3.1 der G.I. e.V. (1993): Veränderte Sichtweisen 

für den Informatikunterricht, GI-Empfehlungen für das Fach 

Informatik in der Sekundarstufe II allgemeinbildender Schulen 

Baumann, Rüdeger (1996): Didaktik der Informatik. Stuttgart: 

Klett 

Beck, Kent & Ward Cunningham (1989): A Laboratory For Teaching 

Object-Oriented Thinking. In: OOPSLA’89 Conference 

Proceedings, Band 24, New Orleans 

Bergin, Joseph (2000): The Object Game. URL 

http://csis.pace.edu/~bergin/patterns/ 

objectgame.html 

von Bertalanffy, Ludwig (1949): General System Theory. rep. 

1969 Auflage, New York 

Bussmann, H. & H.W. Heymann (1987): Computer und Allgemeinbildung. 

Neue Sammlung, 27(1), 2ff 

Chomsky, Noam (1957): Syntactic Structures. Den Haag: 

Mouton 

Cognition and Technology Group at Vanderbilt (1994): Multimedia 

environments for enhancing student learning in mathematics. 

In: Vosniadou, S., E. de Corte & Heinz Mandl (Hg.): 

Technology based learning environments. Psychological and 

educational foundations, Springer-Verlag, 167–173 

Collins, A., J.S. Brown & S.E. Newman (1999): Cognitive apprenticeship: 

Teaching the crafts of reading, writing, and mathematics. 

In: Resnick, L.B. (Hg.): Knowing, learning, and instruction, 

Hillsdale, NJ: Erlbaum 

Coy, Wolfgang, Frieder Nake, Jörg-Martin Pflüger, A. Rolf, 

J. Seetzen, D. Stiefkes & R. Stransfeld (Hg.) (1992): Sichtweisen 

der Informatik. Theorie der Informatik, Braunschweig: 

Vieweg



Denning, P.J. (2004): Great Principles in Computing Curricula. 

URL http://cne.gmu.edu/pjd/PUBS/GP_ 

curr_sigcse.pdf 

Engbring, D. (2003): Informatik im Herstellungs- und Nutzungskontext. 

Dissertation, Universität Paderborn 

Floyd, Christiane, Reinhard Budde & Heinz Züllighoven (Hg.) 

(1992): Software Development and Reality Construction. Berlin: 

Springer-Verlag 

Foegen, M. (1996): Entwurf eines didaktischen Konzepts der 

Informatik. Diplomarbeit, TH Darmstadt 

Hartmann, Werner & Jürg Nievergelt (2002): Informatik 

und Bildung zwischen Wandel und Beständigkeit. 

Informatik-Spektrum, 25(6), 465–476, URL http:// 

link.springer.de/link/service/journals/ 

00287/bibs/2025006/20250465.htm 

Hesse, W. (1994): Terminologie der Softwaretechnik, ein Begriffssystem 

für die Analyse und Modellierung von Anwendungssystemen 

Teil 1: Begriffssystematik und Grundbegriffe. 

Informatik-Spektrum, 17, 39–47 

Hubwieser, Peter (2000): Didaktik der Informatik — Grundlagen, 

Konzepte, Beispiele. Berlin 

Hung, D. (2002): Forging links between ‘Communities of 

Practice’ and Schools. Journal of E-Learning, 1(2), 23–33 

IEEE & ACM (Hg.) (2004): Curriculum Guidelines for 

Undergraduate Degree Programs in Software Engineering. 

URL http://sites.computer.org/ccse/ 

SE2004Volume.pdf 

Jonassen, D.H. (1999): Designing Constructivist Learning Environments. 

In: Reigeluth, C.M. (Hg.): Instructional-Design 

Theories and Models: A New Paradigm of Instructional Theory, 

Band 2, Kapitel 10, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates 

Keil-Slawik, Reinhard (2001): Von Informatik und Gesellschaft 

zum Kontext der Informatik. FIFF-Kommunikation, 

4/2001, 39–45 

Keil-Slawik, Reinhard (2002): Denkmedien — Mediendenken: 

Zum Verhältnis von Technik und Didaktik. it + ti. Informationstechnik 

und Technische Informatik, 44(4), 181–186 

Klafki, Wolfgang (1995): „Schlüsselprobleme“ als thematische 

Dimension einer zukunftsbezogenen „Allgemeinbildung“ 

— Zwölf Thesen. Die Deutsche Schule, 3. Beiheft 1995, 

Schlüsselprobleme im Unterricht, Thematische Dimensionen 

einer zukunftsorientierten Allgemeinbildung, 9ff 

Klafki, Wolfgang (1996): Grundzüge eines neuen Allgemeinbildungskonzepts. 

Im Zentrum: Epochaltypische Schlüsselprobleme. 

In: Klafki, Wolfgang (Hg.): Neue Studien zur Bildungstheorie 

und Didaktik, 5. Auflage, Weinheim: Beltz, 43–81 

Klieme, Eckhard, Hermann Avenarius, Werner Blum, Peter 

Döbrich, Hans Gruber, Manfred Prenzel, Kristina Reiss, Kurt 

Riquarts, Jürgen Rost, Heinz-Elmar Tenorth & Helmut J. 

Vollmer (2003): Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. 

BMBF, URL http://www.bmbf.de/pub/zur_ 

entwicklung_nationaler_bildungsstandards. 

pdf 

Kontextuelle Informatik (2002): Projekt der Fachgruppe 

Informatik und Gesellschaft an der Universität Paderborn. 

URL http://iug.uni-paderborn.de/iug/ 

projekte/kontextinfo 

Krämer, S. (1988): Symbolische Maschinen. Die Idee der 

Formalisierung in geschichtlichem Abriß. Darmstadt: Wissenschaftliche 

Buchgesellschaft 

Krohn, W. (1992): Zum historischen Verständnis der Technik. 

In: Hurrle, G. (Hg.): Technik — Kultur — Arbeit, Marburg: 

Schüren, 27–34 

Lehmann, Eberhard (1995): Komplexe Systeme, Eine fundamentale 

Idee des Informatikunterrichts. LOG-IN, 15(1), 29–37 

Lessig, L. (1999): Code and other laws of cyberspace. New 

York: Basic Books 

Luhmann, N. (1984): Soziale Systeme. Grundriß einer allgemeinen 

Theorie. Frankfurt (Main) 

Magenheim, Johannes (1992): Neue Technologien in der Schule. 

In: Tagungsband zur Fachtagung der Gesellschaft für Informatik 

Thüringen am 21. 3. 1992, ’Computer in der Schule’, 

Jena 

Magenheim, Johannes (2001a): Deconstruction of Sociotechnical 

Information Systems with Virtual Exploration Environments 

as a Method of Teaching Informatics. In: Montgomerie, 

C. & J. Viteli (Hg.): Proceedings of ED-MEDIA 2001, 

World conference on Educational Multimedia, Hypermedia & 

Telecommunications, AACE, 1199–1204 

Magenheim, Johannes (2001b): Informatiksystem und Dekonstruktion 

als didaktische Kategorien - Theoretische Aspekte 

und unterrichtspraktische Implikationen einer systemorientierten 

Didaktik der Informatik. informatica didactica, Zeitschrift 

für fachdidaktische Grundlagen der Informatik, 3, URL 

http://www.informatica-didactica.de 

Magenheim, Johannes (2003): Wissensmanagement, Dekonstruktion 

und ‘Learning Communities’ in der Softwaretechnik 

— Didaktische Konzepte im BMBF-Projekt MuSofT. In: Rinn, 

U. & J. Wedekind (Hg.): Didaktik der neuen Medien, Münster, 

255–269 

Magenheim, Johannes & O. Scheel (2004): Using Learning 

Objects in an ICT-based Learning Environment. In: Proceedings 

of E-Learn 2004, World Conference on E-Learning in 

Corporate, Government, Healthcare, & Higher Education, Washington, 

DC, 1375–1382 

Magenheim, Johannes & Carsten Schulte (2006): Social, Ethical 

and Technical Issues in Informatics — An Integrated Approach. 

In: Proceedings of the IFIP WG 3.1, 3.3, & 3.5 Joint 

Conference „Imagining the future for ICT and Education“, 

Ålesund, Norway 

McLuhan, M. (1994): Die magischen Kanäle — Understanding 

media. Dresden: Verlag der Kunst 

NRC (1999): Being Fluent with Information Technology. Washington, 

DC: National Academy Press, URL http://www. 

nap.edu/catalog/6482.html 

Nygaard, K. (1986): Program Development as a Social Activity. 

In: Kugler, H. (Hg.): Information Processing, Band 86 

Ropohl, Günter (1999a): Allgemeine Technologie. Eine Systemtheorie 

der Technik. München, Wien: Hanser 

Ropohl, Günter (1999b): Philosophy of Socio-Technical 

Systems. Society for Philosophy and Technology, 4(3), URL 

http://scholar.lib.vt.edu/ejournals/SPT/ 

v4n3/ 

Sauter, W. & A.M. Sauter (2003): Blended Learning, Effiziente 

Integration von E-Learning und Präsenztraining. Luchterhand 

Schubert, Sigrid & Andreas Schwill (2004): Didaktik der Informatik. 

Heidelberg, Berlin: Spektrum Akademischer Verlag 

Schulmeister, Rolf (2003): Lernplattformen für das virtuelle 

Lernen — Evaluation und Didaktik. München, Wien: Oldenbourg 

Schwill, Andreas (1993): Fundamentale Ideen der Informatik. 

Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 93(1), 30ff 

Spiro, R.J. (1992): Cognitive flexibility, constructivism and hypertext: 

Random access instruction for advanced knowledge 

acquisition in ill-structured domains. In: Duffy, T. & D. Jonassen 

(Hg.): Constructivism and the Technology of Instruction, 

Hillsdale, NJ: Erlbaum 

Behörde für Bildung und Sport, Freie und Hansestadt Hamburg 

(Hg.) (2003): Rahmenplan Wahlpflichtfach Informatik, 

Bildungsplan neunstufiges Gymnasium Sekundarstufe I. Hamburg 

STeam (2003): Structuring Information in a Team. URL 

http://steam.upb.de/index.html 

35


Syrbe, M. (1995): Über die Notwendigkeit einer Systemtheorie 

in der Wissenschaftsdisziplin Informatik. Informatik- 

Spektrum 

Task Force of the Pre-College Committee of the Education 

Board of the ACM (Hg.) (1997): ACM Model High School 

Computer Science Curriculum. ACM, URL http://www. 

acm.org/education/hscur/index.html 

Terhart, Ewald (Hg.) (2000): Perspektiven der Lehrerbildung 

in Deutschland. Weinheim: Beltz 

Tondl, L. (1999): Information and Systems Dimensions of 

Technological Artifacts. In: Society for Philosophy & Technology, 

Band 4, URL http://scholar.lib.vt.edu/ 

ejournals/SPT/v4n3/ 

Vygotsky, L.S. (1978): Mind in society: the development of 

higher psychological processes. Cambridge: Harvard University 

Press 

Wedekind, Hartmut, Günther Görz, Rudolf Kötter & Rüdiger 

Inhetveen (1998): Modellierung, Simulation, Visualisierung: 

Zu aktuellen Aufgaben der Informatik (Zur 

Diskussion gestellt). Informatik-Spektrum, 21(5), 265–272, 

URL http://link.springer.de/link/service/ 

journals/00287/bibs/8021005/80210265.htm 

36 

van Weert, Tom & D. Tinsley (Hg.) (2000): Information and 

Communication Technology in Secondary Education — A 

Curriculum for Schools. UNESCO, URL http://wwwedu. 

ge.ch/cptic/prospective/projets/unesco/ 

en/welcome.html 

Wegner, P. (1997): Why interaction is more powerful than algorithms. 

Communications of the ACM, 40(5), 81–91 

Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und 

Forschung des Landes Nordrhein Westfalen (Hg.) (1999): 

Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium 

und Gesamtschule, Informatik. Nummer 4725 in Schriftenreihe 

Schule in NRW, Ritterbach Verlag 

Wiener, Norbert (1965): Cybernetics or Control and Communication 

in the Animal and the Machine. Cambridge, Mass.: 

MIT Press 

Witten, Helmut (2003): Allgemeinbildender Informatikunterricht? 

Ein neuer Blick auf H. W. Heymanns Aufgaben allgemeinbildender 

Schulen. In: Hubwieser, Peter (Hg.): INFOS 

2003, LNI, Band 32, 59–75 

Zima, Peter V. (1994): Die Dekonstruktion. Einführung und 

Kritik. Stuttgart: UTB

• Wechselwirkungen zwischen mathematischer und 

informatischer Bildung 

Torsten Brinda, Erlangen 

Mathematik und Informatik stehen in enger Wechselbeziehung zueinander. Die Mathematik ist für 

viele Teilgebiete der theoretischen, der praktischen, der technischen und der angewandten Informatik 

grundlegend und stellt für diese begriffliche und methodische Hilfsmittel bereit (z. B. vollständige 

Induktion, Mengen- und Graphentheorie). Die Informatik ihrerseits stellt Methoden zur Gestaltung 

von softwarebasierten Werkzeugen und Lernhilfen zur Verfügung, die dann z. B. in der Mathematikausbildung 

zum Einsatz gelangen können. Durch die starke Sichtbarkeit der gesellschaftlichen 

Auswirkungen eignen sich informatische Themenfelder als motivierende Anwendungskontexte für 

mathematische Themen. Informatische Strukturierungs- und Problemlösetechniken können als Lernhilfen 

dienen und die Mathematikausbildung unterrichtsmethodisch bereichern. Möglichkeiten und 

Grenzen dieser Vernetzung werden herausgestellt. 

1 Einleitung 

Die informatische Bildung an allgemein bildenden 

Schulen leistet einen wesentlichen Beitrag zur 

Allgemeinbildung in einer von Informations- und 

Kommunikationssystemen beeinflussten Wissensgesellschaft, 

indem sie Lernende dazu befähigt, 

diese Technologien zu verstehen, zu bewerten und 

bei der Lösung von Aufgaben und Problemen im 

privaten sowie im beruflichen Bereich zielgerichtet 

anwenden zu können. Die Anwendung erfordert 

notwendig elementare Bedienerfertigkeiten. 

Um ein grundlegendes Verständnis der Technologien 

in einer durch technischen Wandel und kontinuierliche 

Weiterentwicklungen geprägten Welt 

zu erlangen, ist die Aneignung langlebiger Informatikkonzepte 

erforderlich, welche in Verknüpfung 

mit der Entwicklung und Ausprägung von 

Lernstrategien, auch unter Verwendung von Informatiksystemen 

in Form von computerbasierten 

Medien und Lernhilfen, zur Vorbereitung auf lebensbegleitendes 

Lernen beiträgt. 

Alle drei genannten Zielbereiche, die Beherrschung 

grundlegender Informatikkonzepte, die 

Schulung von Bedienerfertigkeiten sowie der Einsatz 

von Informatiksystemen als Medien oder 

Lernhilfen sind wechselseitig miteinander verbunden 

Hubwieser (2003). Bedienfertigkeiten stellen 

eine Voraussetzung für den Einsatz von Informatiksystemen 

als Medien bzw. als Lernhilfen dar. 

Eine fundierte Bewertung deren Einsatzmöglichkeiten 

erfordert die Kenntnis bestimmter Fachkonzepte. 

Im Lehr-Lern-Prozess ist die Vermittlung 

von Bedienerfertigkeiten mit der Vermittlung 

von Fachkonzepten verknüpft, um diese nicht auf 

das Erlernen von Rezepten zu reduzieren. Umgekehrt 

wäre die Vermittlung von Konzepten ohne 

praktische Arbeit an Informatiksystemen wenig 

motivierend, vergleichbar mit Schwimmunterricht 

ohne Becken. 

Wie ordnen sich in diese innerinformatischen 

Betrachtungen nun Wechselwirkungen mit der 

mathematischen Bildung ein? Die Beherrschung 

grundlegender Informatikkonzepte ist in Teilbereichen 

abhängig von der Beherrschung grundlegender 

Mathematikkonzepte, da diese deren Fundament 

darstellen. Umgekehrt fördern spezifische 

Informatikinhalte und -methoden das Verständnis 

von mathematischen Inhalten und können aufgrund 

ihrer stärkeren gesellschaftlichen Sichtbarkeit 

auch als motivierende Anwendungskontexte 

dienen. Der Einsatz von Informatiksystemen 

als Medien bzw. als Lernhilfen ist nicht an das 

Fach Informatik gebunden, sondern wird in vielen 

Richtlinien und Lehrplänen explizit als fächerübergreifende 

Aufgabe angelegt. Die Informatik 

wirkt in diesen Bereich hinein, indem sie Methoden 

und Werkzeuge zur technischen Gestaltung 

computerbasierter Lernhilfen und Medien bereitstellt. 

2 Wirkungen der Mathematik auf 

die informatische Bildung 

Von der Mathematik gehen vielfältige Wirkungen 

auf die informatische Bildung aus, von denen hier 

einige im Folgenden genauer dargestellt werden 

sollen. 

Betrachtet man zunächst den schulischen Bereich, 

so ist die historische, nationale Entwicklung 

des Schulfaches und der Informatiklehrerbildung 

Ursache für die anfänglich besonders häufige 

Wahl der Mathematik als Problemdomäne. Die 

ersten aktiven Informatiklehrkräfte in den Anfängen 

des Faches kamen aus anderen Fächern (insbesondere 

aus der Mathematik und der Physik) 

und waren zuvor im Bereich der Informatik fortbzw. 

weitergebildet worden. Die ersten Empfehlungen 

der Gesellschaft für Informatik zu Zielsetzungen 

und Inhalten des Informatikunterrichts an 

Schulen Brauer et al. (1976) betonten Algorithmen 

und Datenstrukturen. Die Lehrkräfte wählten 

oft ihre anderen Fächer (Mathematik, Physik) als 

Problemdomänen, so dass z. B. Algorithmen zur 

37


Berechnung der Fakultät und des größten gemeinsamen 

Teilers oder zur Primzahlerzeugung häufig 

anzutreffen waren. Obgleich fächerübergreifende 

und -verbindende Ansätze als erstrebenswert galten 

und gelten, gab es Kritik, da schwierige Informatikinhalte 

mit schwierigen Inhalten aus der Mathematik 

und der Physik kombiniert wurden, was 

für viele Lernende eine zu große Hürde darstellte. 

Beim Übergang in das Berufleben zeigt sich, 

dass für eine Teilpopulation der im Informatikbereich 

beruflich Aktiven der Bezug zur Mathematik 

und die Verknüpfung mit logisch konstruierten 

und exakten Strukturen ein wesentlicher Motivator 

für ihre Berufswahl zu sein scheint Alstrum 

(2003). Alstrum befragte hierzu 500 Personen 

aus dem Informatikumfeld (verschiedene Nationen 

mit US-Schwerpunkt, 78% Frauen, Alter von 

25 bis 60 Jahren; 90% wenigstens mit Bachelor-, 

mehr als 50% mit Masterabschluss, 37% mit Doktortitel; 

17% Studierende, 36% Lehrende, 33% 

aus der Industrie; mehr als 50% mit eigenen Lehrerfahrungen 

zumindest auf College-Ebene). Sie 

kam zu dem Ergebnis, dass der individuelle Nutzen 

des Fachgebietes der stärkste Motivator für eine 

Tätigkeit sei, gefolgt vom Wissenschafts- und 

Theorieinteresse, den Experimentiermöglichkeiten 

und dem Wunsch, technischen Fortschritt zu 

gestalten. Zum Wissenschafts- und Theorieinteresse 

gaben 69% der Befragten an, dass die Möglichkeit 

exakte Lösungen zu erstellen, ein mehr 

oder weniger starker Einflussfaktor für ihre Berufswahl 

gewesen sei. 90% gaben dies für die mit 

der Berufswahl verbundenen logischen Strukturen 

an. Für 60% waren die mathematischen Grundlagen 

besonders ausschlaggebend. 76% fühlten sich 

von der erreichbaren Schönheit und Eleganz technischer 

Lösungen besonders motiviert. Während 

Befragte mit hohen Skalenwerten beim Nutzen 

auch hohe Skalenwerte bei den Experimentiermöglichkeiten 

und der Fortschrittsgestaltung hatten, 

bildeten Befragte mit hohem Wissenschaftsinteresse 

eine eigene Gruppe für sich mit niedrigen 

Skalenwerten bezüglich der übrigen Dimensionen. 

Die Existenz einer solchen Teilgruppe, 

die durch weitere Studien validiert werden müsste, 

legt eine stärkere Verknüpfung von Theorie 

und Praxis nahe. Im Bundesland Bayern spielen 

Aspekte der Theoretischen Informatik in der 

Informatiklehrerausbildung und im ersten Staatsexamen 

eine zentrale Rolle, um diese Theorie- 

Praxis-Verzahnung im Informatikunterricht bestmöglich 

zu verankern. 

In unterschiedlichen Generationen von Studierenden 

und in unterschiedlichen Bildungssystemen 

gibt es darüber hinaus deutliche Belege für 

eine starke Korrelation zwischen der mathematischen 

Vorbildung aus der Schule und den Programmierfähigkeiten 

in Informatikanfangskursen 

38 

an Hochschulen (Baldwin & Henderson, 2002). In 

einer Studie von Konvalina et al. (1983, amerikanischer 

Raum) zu Lernerfolgsfaktoren in der Informatik 

wurde festgestellt, dass die Anzahl der in 

der High School und am College belegten Mathematikkurse 

der statistisch signifikanteste Unterschied 

zwischen erfolgreichen und nicht erfolgreichen 

Studierenden war. Wilson & Shrock (2001, 

amerikanischer Raum) identifizierten bei der Korrelationsanalyse 

von zwölf möglichen Prädiktoren 

zu Midtermklausurergebnissen in einem Informatikanfangskurs 

die mathematische Vorbildung aus 

der High School als zweitwichtigsten Prädiktor. 

Byrne & Lyons (2001) untersuchten Einflussfaktoren 

auf Abschlussprüfungsnoten in einem einführenden 

Programmierkurs für Studierende eines 

Informatiknebenfachs in Irland und stellten auch 

hier eine signifikant positive Korrelation zwischen 

der Prüfungsnote und der schulischen Mathematikabschlussnote 

fest. 

Im Hinblick auf Beratungsszenarios bei der 

Studienwahl bedeutet dies, dass der Umfang 

und der individuelle Erfolg der mathematischen 

Schulausbildung den Lernerfolg in daran anschließenden 

Ausbildungsphasen der Informatik 

mit beeinflussen. In Studienberatungen zur Informatik 

wird daher explizit darauf hingewiesen, 

dass die von der Mathematik geförderten Fähigkeiten 

zur Abstraktion und zu logischem Denken 

in der Informatik benötigt werden. Die Mathematik 

stellt für viele Teilbereiche der Informatik 

formale, begriffliche und methodische Hilfsmittel 

bereit. Beim Problemlösen in der Informatik 

erfolgt der wichtige Teilschritt der Problemrepräsentation 

z. B. formal mathematisch, grafisch 

oder numerisch. Informatiklernende müssen diese 

Fähigkeiten entwickeln, um erfolgreich Systeme 

analysieren, entwerfen, implementieren und 

testen zu können. Bei der Programmierung konstruieren 

Lernende Operationen und Datentypen. 

Das setzt fundierte Kenntnisse zur Auswertung 

von Ausdrücken und zur Rangfolge von Operatoren 

voraus, um beim Testen und bei der Fehlersuche 

in berechnungsorientierten Programmen nicht 

die Orientierung zu verlieren. Die Generierung 

von Testfällen beim Überdeckungstesten erfordert 

notwendig Kenntnisse über mögliche Belegungen 

und Auswertungen boolescher Ausdrücke. In relationalen 

Datenbanken werden Tabellen durch Relationen 

modelliert, die jeweils aus einer Menge 

von Tupeln gebildet werden. Für das Verständnis 

fortgeschrittener Datenbankoperationen sind 

demnach der Mengenbegriff und Mengenoperationen, 

wie z. B. Vereinigung, Schnitt und Kreuzprodukt 

erforderlich. Im Bereich der Rechnerarchitektur 

spielen verschiedene Zahlensysteme, 

wie z. B. das Binär-, das Dezimal- und das Hexadezimalsystem, 

sowie die boolesche Algebra eine

zentrale Rolle. Für die Analyse von Routingprozessen 

in Computernetzwerken sind Erkenntnisse 

aus der Graphentheorie hilfreich. Die Gestaltung 

zuverlässiger und abhörsicherer Kommunikation 

in Computernetzwerken bedingt mathematische 

Grundlagen aus den Bereichen der Datenverschlüsselung 

und -kompression. Die theoretische 

Informatik hat einen besonders großen Bezug 

zur Mathematik. Sie verwendet in großem Umfang 

Konzepte der diskreten Mathematik, Operationen, 

Unendlichkeit, Beweise, Reduktionen, 

rekursive Definitionen, Graphen, Bäume, Mengen, 

Relationen, Zeichenketten, abstrakte Sprachen 

und die mathematische Induktion. Beim 

Software-Engineering und bei der Systemanalyse 

werden Software-Metriken konstruiert und verwendet 

und die Komplexität und die Korrektheit 

von Algorithmen analysiert. Hierfür sind z. B. 

Kenntnisse über das Wachstum von Funktionen 

und über Korrektheitsbeweise erforderlich. 

Die Verwendung formaler Spezifikationsmethoden 

trägt zu einer Verbesserung der Softwarequalität 

bei und erhöht damit den Programmiererfolg. 

In verschiedenen Studien wurden Systeme 

mit und ohne Verwendung formaler Methoden 

gestaltet, z. B. ein Gateway-System (Larson 

et al., 1996) und ein Flugkontrollsystem (Pfleeger 

& Hatton, 1997). Im Ergebnis wurde jeweils 

festgestellt, das die Verwendung formaler Methoden 

zu einer geringeren Zahl von Programmdefekten, 

besseren Laufzeiteigenschaften, besserer 

Code-Struktur, leichterer Fehleridentifizierbarkeit 

und geringerem Behebungsaufwand führte. Formale 

Methoden gewinnen deshalb in der Softwaretechnik 

zunehmend an Bedeutung. Es zeigt sich 

ein deutlich erkennbarer Bezug vieler Teilgebiete 

der Informatik zur Mathematik. Da die Informatikausbildung 

an Schulen erst beginnt, als Pflichtfach 

in die Sekundarstufe I vorzustoßen, können 

solche Bezüge bei der Lehrplangestaltung explizit 

berücksichtigt werden. Im Bundesland Bayern 

wurde eine Unterrichtsreihe zum funktionalen 

Modellieren (zunächst in der Jahrgangsstufe 8 

und jetzt) in der Jahrgangsstufe 9 verankert, um 

auf den Funktionsbegriff der Mathematik zurückgreifen 

zu können (Hubwieser, 2005). Auf Hochschulebene 

führen die Bezüge zur Mathematik 

immer wieder zu Diskussionen darüber, wie viel 

und welche Mathematik sich Informatikstudierende 

im Rahmen ihrer Studien aneignen müssen. Eine 

weiterführende Zusammenstellung mathematischer 

Grundlagen der Informatik findet sich in Beaubouef 

(2002). Die Kehrseite eines soliden mathematischen 

Fundaments kann in folgenden, zumeist 

unbegründeten, Eindrücken bestehen (Bruce 

et al., 2003): 

„[. . . ] mathematics is simply used as 

a filter — weeding out students too 

Wechselwirkungen zwischen mathematischer und informatischer Bildung 

weak or unprepared to survive — or 

just to pare down the hordes of potential 

computer science majors to a 

more manageable size [. . . ] it is just 

another sign that faculty in their ivory 

towers have no clue what practioners 

really do or need“ 

3 Informatiksysteme als 

Lernhilfen für die 

mathematische Bildung 

Informatiksysteme können auf vielfältige Weisen 

als Lernhilfen in der mathematischen Bildung eingesetzt 

werden und diese vermittlungsmethodisch 

durch neue Interaktionsmöglichkeiten bereichern. 

Schubert & Schwill (2004) unterscheiden beim 

Lernen mit Informatiksystemen fünf sehr unterschiedliche 

Niveaustufungen der Interaktion: 

1. Navigation im Lernmaterial, 

2. Eingabe von digitalen Notizen der Schüler zum 

Lernmaterial, 

3. Eingabe von Aufgabenlösungen: auswählen 

von Werten aus einer festen Menge oder Interpreter 

für freie Eingaben erforderlich, 

4. Planen und Umsetzen von Explorationsstrategien, 

5. Planen und Durchführen von Software- 

Experimenten. 

Betrachtet man diese Niveaustufungen genauer 

hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit auf die Mathematik, 

so ist beim ersten Punkt an multimediale 

Lernmaterialien zu denken, die den Mehrwert 

gegenüber einem Druckmaterial sofort ersichtlich 

werden lassen. Die Stärke liegt in der Verknüpfung 

textueller Darstellungen mit Videosequenzen 

oder Animationen mathematischer Prozesse, 

wie z. B. Umstellungen von Gleichungen 

oder Konstruktionen geometrischer Figuren, die 

Lernende in unterschiedlichen Detaillierungsgraden 

wiederholt betrachten und analysieren können. 

Durch die Verknüpfung solcher E-Learning- 

Materialien mit E-Learning-Plattformen, Systemen 

zur Verwaltung und Organisation webbasierter 

Lehr-Lern-Materialien und -Prozesse, mit rollenbasierter 

Benutzerverwaltung wird es möglich, 

individuelle Lernpfade und digitale Notizen zum 

Material personenbezogen zu verwalten und auf 

Wunsch auch zu exportieren. 

Die für Lehr-Lern-Prozesse im Zusammenhang 

mit Informatiksystemen so wichtige Interaktivität 

kann bei der Gestaltung webbasierter Aufgaben 

sehr unterschiedliche Formen annehmen. 

Leicht zu programmierende Multiple-Choice oder 

Lückentext-Aufgaben sind in vielen Themenbereichen 

weit verbreitet, eignen sich aber vorwiegend 

für das kurzfristige Einüben von Faktenwissen. 

Interpreter für freie Texteingaben oder 

39


zur Bewertung von selbst erstellten mathematischen 

Aufgabenlösungen, sind bedeutend schwieriger 

zu realisieren. Der Übergang zur Exploration 

und zum Experiment ist hierbei fließend. Während 

explorationsfreundliche Lernumgebungen zu themenbezogenen 

Entdeckungen stimulieren, werden 

beim Experimentieren zuvor gebildete Hypothesen 

systematisch überprüft. 

Für kleinere interaktive Lerneinheiten kommen 

häufig Java-Applets zum Einsatz. Für ausgewählte 

Themenbereiche werden unter Verwendung 

von Informatikmethoden fachspezifische 

Programmpakete gestaltet (z. B. Computer- 

Algebrasysteme). Diese fungieren nicht nur als 

Lernhilfen, sondern ermöglichen auch das Lösen 

von Aufgaben, die von Hand nicht zu bearbeiten 

wären. Das Verständnis der zugrunde liegenden 

Lösungsstrategien wird dadurch jedoch keineswegs 

überflüssig, da die einzelnen Schritte sonst 

nicht nachvollzogen werden können. 

Der Einsatz multimedialer Lehr-Lern- 

Systeme kann den Unterricht somit methodisch 

bereichern. Zahlreiche Themenbereiche lassen 

sich identifizieren, die Potenzial für eine fächerübergreifende 

oder -verbindende Herangehensweise 

bieten, z. B. Fehler erkennende und 

-korrigierende Codes, Codierungstechniken (vgl. 

Abb. 1), Chiffriermethoden, etc. 

Abbildung 4.1: Applet zum Huffman-Code (Bewer, 

2005) 

Die Informatik entwickelt und erprobt Methoden 

und Werkzeuge zur Gestaltung solcher Systeme 

und schafft immer neue, lernförderliche Interaktionsmöglichkeiten. 

Im Bereich der Physik und 

Chemie konnten beispielsweise schon vollständige 

virtuelle Labore (in 3D) mit den damit verbundenen 

Experimentiermöglichkeiten gestaltet werden. 

Es werden einheitliche Beschreibungstechniken 

für Lehr-Lern-Materialien entwickelt (z. B. 

Learning Object Metadata) mit dem Ziel, diese 

weltweit zielgerichtet recherchieren zu können. 

Damit wirkt die Informatik wesentlich in andere 

Bildungsbereiche hinein. 

40 

4 Wirkungen der Informatik auf 

die mathematische Bildung 

Kehrt man die im Abschnitt 2 geführte Voraussetzungsanalyse 

um, so zeigt sich, dass Informatikinhalte 

und -methoden auch als Anwendungsszenarien 

oder Lernhilfen für Inhalte der Mathematik 

eingesetzt werden und dortige Lehr-Lern- 

Prozesse methodisch bereichern können. 

Der Funktionsbegriff der Mathematik wird besonders 

deutlich sichtbar beim funktionalen Modellieren 

und dem Arbeiten mit funktionalen Programmiersprachen, 

wie z. B. ML oder Haskell. 

Lernende können damit sehr leicht Funktionen definieren 

und diese bezüglich bestimmter Eingaben 

auswerten. Da die Syntax sehr stark an der 

Mathematik orientiert ist, ist spezielles Programmierungsvorwissen 

hierbei entbehrlich. Lernende 

können die Wirkungen von Funktionskonkatenationen 

überprüfen, den aus dem Mathematikunterricht 

bekannten Funktionsbegriff auf nichtnumerische 

Datentypen erweitern und auch so komplizierte 

Konzepte, wie Funktionen höherer Ordnung 

handlungsorientiert erkunden und durchdringen. 

Der Mengenbegriff und typische Mengenoperationen 

finden eine praktische und in vielen Lebenssituationen 

erkennbare Anwendung im Bereich 

der Datenmodellierung und der Datenbanksysteme. 

Abfragen mit Datenbanksprachen, wie z. 

B. SQL, machen die Wirkungen von Mengenoperationen 

direkt sichtbar. Für einen handlungsorientierten 

Zugang sind nur wenige Syntaxelemente 

erforderlich. Inhalte aus dem Bereich der linearen 

Algebra, wie z. B. die Repräsentation und die Berechnung 

von Geraden, Ebenen, Kugeln und von 

Schnittpunken, -geraden oder -kreisen sowie das 

Rechnen mit Matrizen spielen eine große Rolle 

im Bereich der Computergrafik. Hier lassen sich 

entweder vorbereitete mathematische Bibliotheken 

von Programmiersprachen bei der Modellierung 

und Berechnung dreidimensionaler Situationen 

anwenden oder in kleinem Umfang selber gestalten. 

Weitere Beispiele für denkbare Anwendungskontexte 

bilden: 

• Wachstum von Funktionen — Algorithmenanalyse 

• Logik — Rechnerarchitektur 

• Graphen — Netzwerke 

• Zahlentheorie — Kryptologie 

Die Verknüpfung mathematischer und informatischer 

Inhalte lässt sich unterrichtsmethodisch 

unter Verwendung der informatikunterrichtspezifischen 

Projektmethode realisieren, die Elemente 

des pädagogischen und des informatischen 

Projektbegriffs kombiniert (Schubert / Schwill 

2004, 293ff). Dabei werden das systematischzielgerichtete 

und arbeitsteilige Vorgehen der In-

formatik und pädagogische Aspekte der selbstbestimmten, 

organisierten und -verantworteten 

Gruppenarbeit verknüpft. Damit werden die planerischen 

und organisatorischen Fähigkeiten von 

Lernenden gefördert und gefordert und neue Möglichkeiten 

der Kommunikation und Kooperation 

im Unterricht eröffnet. 

5 Zusammenfassung und 

Schlussfolgerungen 

Für die informatische Bildung in Schulen können 

Bezüge zu mathematischem Vorwissen das Verständnis 

schwieriger Informatikinhalte erleichtern, 

indem bspw. der Funktionsbegriff der Informatik 

über den Funktionsbegriff der Mathematik 

entwickelt wird und bei der Ausgestaltung von 

Funktionen zunächst aus der Mathematik bekannte 

Operatoren verwendet werden. Diese Vernetzung 

hat aber natürliche Grenzen, wenn einerseits 

schwierige (und möglicherweise wenig beliebte) 

Inhalte der Mathematik, wie z. B. das Beweisverfahren 

der vollständigen Induktion zum Nachweis 

der Korrektheit von Algorithmen in die Informatik 

übertragen wird oder andererseits motivierende 

Inhalte der Informatik (z. B. aus dem Bereich der 

Computergrafik) zum theoretischen Verständnis 

mathematische Grundlagen (z. B. Matrizenrechnung) 

erfordern, die im Schulunterricht in der Regel 

nicht erreicht werden. Die Fortführung dieser 

Vernetzung auf der Hochschulebene erfolgt zumeist 

nicht systematisch. Mathematische Grundlagen 

werden oftmals ohne näheren Bezug zur Informatik 

in eigenen Lehrveranstaltungen vermittelt. 

Deren Aufgreifen und Verknüpfen mit Gegenständen 

der Informatik liegt in der Verantwortung 

der jeweiligen Dozenten und orientiert 

sich damit zumeist an deren individuellen Vorlieben. 

Ausgewählte Informatikinhalte sind umgekehrt 

aufgrund ihres Theoriebezugs auch zur 

Motivation von und als Lernhilfen für Inhalte der 

Mathematik geeignet, wie auch weitere Beiträge 

in diesem Band belegen. Diesen exemplarischen 

Untersuchungen müssen systematische Evaluationen 

folgen. Trotz aller möglichen Bezüge und den 

zuvor dargelegten Wechselwirkungen dominieren 

die Unterschiede die Gemeinsamkeiten und Anknüpfungspunkte. 

Obwohl beide Wissenschaften 

Modellbegriffe verwenden und diesen in der Ausbildung 

großen Stellenwert einräumen, offenbarte 

eine eingehende Analyse zur informatischen Modellierung 

(Thomas, 2002) das unterschiedliche 

Modellierungsverständnis. Ebenso gibt es große 

Unterschiede bezüglich der fundamentalen Ideen 

(Schubert & Schwill, 2004, 71ff). 

Wollte man gegenwärtige Inhalte des Informatikunterrichts 

ersatzweise in den Mathematikunterricht 

integrieren und damit Teile der informatischen 

Bildung abdecken, so müsste dafür im 

Wechselwirkungen zwischen mathematischer und informatischer Bildung 

Mathematikunterricht sehr viel Raum geschaffen 

werden, dem aber andere wertvolle mathematische 

Inhalte zum Opfer fallen müssten, denn den 

Ideen der Informatik lassen sich die Ideen der 

Mathematik nicht so zuordnen, dass eine Mitbehandlung 

informatischer Inhalte im Mathematikunterricht 

den Schülern ein angemessenes Bild der 

Informatik vermitteln könnte. Konzepte, die eine 

Integration informatischer Inhalte in andere Fächer 

auf der Ebene der informationstechnischen 

Grundbildung vorsahen, gelten außerdem heute 

als gescheitert. 

Eine starke Vernetzung auf der Ebene fächerübergreifender 

und -verbindender Projekte gilt als 

erstrebenswert und wird praktiziert. Die starke 

Vernetzung der Informatik mit anderen Wissenschaften 

führte dazu, dass heute Probleme lösbar 

sind, die ohne diese Vernetzung nicht handhabbar 

gewesen wären. So sind im Gebiet der Bioinformatik 

Methoden der Natur nachgebildet und 

am Beispiel der neuronalen Netze und der evolutionären 

Optimierungsalgorithmen Verfahren geschaffen 

worden, mit den sich heute Probleme 

nicht nur der Biologie und der Informatik lösen 

lassen, die vorher nicht zugänglich waren. 

Im Bildungsbereich hat die Informatik die technischen 

Grundlagen für verschiedenste, computerunterstützte, 

webbasierte Lehr-Lern-Formen entwickelt, 

die auf Systemen basieren, die ihre Zuverlässigkeit 

oftmals formalen Methoden verdanken. 

Literatur 

Alstrum, Vicky L. (2003): What is the attraction to computing? 

Communications of the ACM, 46(9), 51–55 

Baldwin, Doug & Peter B. Henderson (2002): The importance 

of mathematics to the software practitioner. IEEE Software, 

19(2), 110–112 

Beaubouef, Theresa (2002): Why computer science students 

need maths. SIGCSE Bulletin, 34(4), 57–59 

Bewer, Stefan (2005): E-Learning-Material zum Huffman- 

Code. URL http://www.die.informatik. 

uni-siegen.de 

Brauer, W., Volker Claus, R. Deussen, J. Eickel, W. Haacke, 

W. Hosseus, C.H.A. Koster, D. Ollesky & K. Weinhart (1976): 

Zielsetzungen und Inhalte des Informatikunterrichts. Zentralblatt 

für Didaktik der Mathematik, 8(1), 35–43 

Bruce, Kim B., Robert L. Scot Drysdale, Charles Kelemen 

& Allen Tucker (2003): Why math? Communications of the 

ACM, 46(9), 41–44 

Byrne, Pat & Gerry Lyons (2001): The effect of student attributes 

on success in programming. In: Proceedings of the 6th 

Annual Conference on Innovation and Technology in Computer 

Science Education, New York: ACM Press, 49–52 

Hubwieser, Peter (2003): Didaktik der Informatik — Grundlagen, 

Konzepte, Beispiele. 2. Auflage, Berlin 

Hubwieser, Peter (2005): Von der Funktion zum Objekt — Informatik 

für die Sekundarstufe 1. In: Friedrich, Steffen (Hg.): 

Unterrichtskonzepte für die informatische Bildung, Bonn: Köllen, 

27–41 

Konvalina, John, Stanley A. Wilemann & Larry J. Stephens 

(1983): Math proficiency: a key to success for computer 

41


science students. Communications of the ACM, 26(5), 377– 

382 

Larson, Peter Gorm, John Fitzgerald & Tom Brooks (1996): 

Applying formal specification in industry. IEEE Software, 

13(3), 48–56 

Pfleeger, Shari Lawrence & Les Hatton (1997): Investigating 

the influence of formal methods. IEEE Computer, 30(2), 33– 

43 



42 

Thomas, Marco (2002): Informatische Modellbildung. Dissertation, 

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, Universität 

Potsdam 

Wilson, Brenda Cantwell & Sharon Shrock (2001): Contributing 

to success in an introductory computer science course: a 

study of twelve factors. In: Proceedings of the 32nd SIGCSE 

Technical Symposium on Computer Science Education, New 

York: ACM Press, 184–188

• Brauchen wir ein Schulfach „Informatik“? — Eine 

Podiumsdiskussion 

Peter Bender, Paderborn 

1 Vorrede 

Unser Arbeitskreis „Mathematikunterricht & Informatik“ 

(AK MU&I) wurde im Frühjahr 1978 

auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik 

der Mathematik (GDM) in Münster aus der 

Taufe gehoben. Zunächst wurde er AK „Informatik“ 

genannt; — ein Name, der in der damaligen 

Situation nahe lag und den man, wenn man einmal 

die Themen, besonders seit Mitte der 1980er 

Jahre, Revue passieren lässt, heute vielleicht nicht 

mehr verwenden würde. Dies gilt auch für den Namen, 

den der AK heute offiziell trägt: Nachdem ab 

1978 mehrere Jahre lang das Programm durchgängig 

„Mathematikunterricht & Informatik“ lautete, 

wurde, nach Durchprobieren der einen oder anderen 

Variante, nämlich genau dieses Programm 

zum Namen des AK erhoben. 

Im Laufe der Jahre kam immer einmal wieder 

die Diskussion auf, ob der AK sich nicht umbenennen 

sollte, weil man zunehmend ein weites 

Verständnis von Informatik brauchte, wenn man 

sie in den generellen Tagungsthemen oder in den 

einzelnen Vorträgen wiederfinden wollte. So standen 

in den 1990er Jahren direkte didaktische Fragen 

zum Mathematikunterricht im Vordergrund, 

natürlich immer auf der Folie der Neuen Medien: 

stoffdidaktische Analysen zu Gebieten wie 

Geometrie, Arithmetik, Algebra, Funktionenlehre 

in Verbindung mit Grundfragen wie Begriffsbildung, 

Modellbildung, Orientierung an fundamentalen 

Ideen, Ausprägung einer modernen mathematischen 

Unterrichtskultur usw. Seit etwa 2000 

haben wir, zumindest bei der Setzung der Generalthemen, 

den medialen Aspekt stärker in den 

Vordergrund gerückt; allerdings — und genau so 

war es gedacht — wurde in den Tagungsbeiträgen 

die Beziehung zum mathematischen Stoff keineswegs 

vernachlässigt. Besonders in jüngster Zeit 

haben wir dabei auch an ganz aktuelle, unser Fach 

durchaus überschreitende Problemstellungen angeknüpft 

wie 2002 „Lehr- und Lernprogramme“, 

2003 „Internet“ und 2004 „Bildungsstandards“. 

Die Umbenennungsdiskussionen verstummten 

aber immer ebenso schnell wieder, und zwar 

nicht nur, weil man einfach den traditionsreichen 

Namen beibehalten wollte, sondern: Der Name ist 

auch Programm. Selbst wenn dieses, im Nachvollzug 

der rasanten Entwicklung der IT-Landschaft, 

inzwischen erheblich erweitert wurde, wie gerade 

angedeutet, so sind die Bezüge zur Wissenschaft 

„Informatik“ nach wie vor einer der Kerne dieses 

Programms. 

Für diese Tagung haben wir uns vorgenom- 

men, uns dem informatischen Kern des Mathematikunterrichts 

etwas intensiver zu widmen, nachdem 

wir diesen zum letzten Mal 1994 in Wolfenbüttel 

zum Leitthema erkoren und intensiv diskutiert 

hatten. Für diese Schwerpunktsetzung war es 

sowieso wieder einmal an der Zeit. Aber außerdem 

hat sich ja inzwischen eine eigenständige Didaktik 

der Informatik mit einigen Professuren in 

Deutschland etabliert und gut entwickelt, so dass 

jetzt der Kreis der Diskutantinnen & Diskutanten 

(D&D) deutlich weiter als 1994 gezogen werden 

konnte. So haben wir simultan für die Besetzung 

des Podiums und für die Auswahl der Hauptvortragenden 

der Tagung dezidiert die Informatik- 

Didaktik einbezogen. 

2 Das Podium 

Auf dem Podium saßen zwei genuine Informatik- 

Didaktiker, Ulrich Hoppe aus Duisburg-Essen und 

Johannes Magenheim aus Paderborn, sowie drei 

Kolleginnen & Kollegen mit eher mathematikdidaktischer 

Provenienz, Herbert Löthe aus Ludwigsburg 

und Eberhard Lehmann aus Berlin, die 

beide in ihrem ganzen Werk eine dezidierte Berücksichtigung 

informatischer Ideen und Inhalte 

in einem Unterricht, den man dann vielleicht gar 

nicht mehr Mathematik-Unterricht nennen würde, 

gefordert und „gelebt“ haben, und schließlich 

Astrid Beckmann aus Schwäbisch Gmünd, 

die zwar ebenfalls starke Bezüge zur Informatik 

sieht, aber dennoch der Mathematik den Primat 

zuspricht. Insgesamt kann man das Podium durchaus 

als „informatik-freundlich“ charakterisieren. 

Die Auswahl war, wie gesagt, von der Auswahl 

der Hauptvortragenden bestimmt, und diese wiederum 

war in ihrer Tendenz Ausfluss des Tagungsthemas. 

Es mag als Mangel empfunden werden, dass 

niemand dabei war (auch der Diskussionsleiter 

nicht), die oder der von informatischen Inhalten 

im Unterricht der allgemeinbildenden Schule gar 

nichts hält. Ob es in unserem AK überhaupt so jemanden 

gibt, sei dahin gestellt. Jedenfalls ist für 

eine solche Diskussion ein gewisser Grundkonsens 

erforderlich; und dieser war gegeben. Allerdings 

fehlte ihr dann auch ein wenig die Würze einer 

tiefer gehenden Auseinandersetzung. Im Folgenden 

werde ich die einzelnen Äußerungen nicht 

den Personen zuordnen, von denen sie stammen, 

da zahlreiche Beiträge (oft in unterschiedlichen 

Nuancierungen) von mehreren Seiten kamen und 

wir ja keine interpretativen Interaktionsanalysen 

betreiben, wo es sehr wohl darauf ankäme, wer 

was gesagt hat. 

43


Der äußere Verlauf der Diskussion fand in der 

(aus meiner Sicht) bewährten Manier statt, dass 

zunächst die Podiums-Teilnehmerinnen & Teilnehmer 

je ein fünfminütiges vorbereitetes Statement 

abgaben und in einer zweiten Runde nochmals 

je fünf Minuten Zeit zum Reagieren hatten 

und sodann das Plenum einbezogen wurde, — bei 

einer Gesamtdauer von knapp zwei Stunden. 

3 Die Diskussion 1 

3.1 Die Eröffnungsstatements 

Fraglos haben Mathematik und Informatik einen 

weiten gemeinsamen Bereich an Ideen, Inhalten, 

Methoden, Anwendungen usw. 2 Allerdings ist die 

Mathematik sowohl phylo-, als auch ontogenetisch 

ohne jeden Zweifel klar vorgängig, und es 

fragt sich, was die Informatik darüber hinaus zu 

bieten hat, so dass sie 

• in den Mathematik-Unterricht einbezogen werden, 

• sich als eigenes Fach neben der Mathematik gerieren 

oder sogar 

• die Mathematik als Schulfach ersetzen soll (auf 

welcher Stufe?). 

Alle drei Alternativen schwangen in der Diskussion 

mit, die dritte allerdings eher in einem 

Nebensatz als bewusst einseitig entwickelte Vision 

unter ganz bestimmten Bedingungen. 

Argumente für die Informatik wurden zunächst 

einmal aus der so gesehenen Mangelhaftigkeit 

des aktuellen Mathematik-Unterrichts generiert: 

Das veraltete Prinzip der dominierenden Arbeit 

mit Schulbüchern mit ihren traditionellen Arbeitsweisen 

und ihrer Orientierung am Stoff, von 

dem außerdem ein Teil überflüssig ist („Gerümpel“, 

„Plunder“ ), ruft nach einer „Entschlackung“ 

des mathematischen Stoffs, Hereinnahme von Informatik 

und nicht zuletzt Übergang zu projektartigem 

Arbeiten. Hier wird die Informatik zunächst 

als Katalysator zur überfälligen grundlegenden 

Veränderung des Mathematik-Unterrichts 

gesehen, darüber hinaus aber auch als substanzielle 

Bereicherung. 

Sie soll Basis-Wissen und Können für den 

Einsatz von Informationstechnik in vielen Bereichen 

liefern, aber ihr Wesen als Schul-Disziplin 

soll nicht aus diesem Einsatz bestehen. In der Informationstechnik 

verändert sich nämlich immer 

wieder allzu schnell allzu Vieles, so dass für ein 

Heranreifen von fundamentalen Ideen nicht genügend 

Zeit vorhanden ist. 

Die genuinen Informatik-Didaktiker können 

sich ein Aufgehen der Informatik im Mathematik- 

Unterricht allerdings so wenig vorstellen wie das 

Umgekehrte. Dass die Informatik trotz langjähriger 

Bemühungen bis heute in der Schule kaum 

Fuß gefasst hat, liegt nicht zuletzt an der weitgehend 

fehlenden Qualifikation bei den Lehrerinnen 

& Lehrern (L&L), aber eben auch an der Verwässerung 

zu Informationstechnik (ITG!) bzw. zu 

Medienbildung, wie sie in zahlreichen Ansätzen 

stattgefunden hat, in denen viele informatische Inhalte 

nicht bzw. unfundiert behandelt werden. 

Es ist sogar festzustellen, dass genuin mathematische 

Inhalte in der Informatik behandelt werden 

(müssen), weil sie dort gebraucht werden, 

aber in der Mathematik selbst nicht (mehr) vorkommen. 

Zu denken ist hier an Teile der (Linearen) 

Algebra und vor allem an die Logik, z.B. die 

Vollständige Induktion. — Allerdings bewegt man 

sich mit diesem Argument im Bereich der Sekundarstufe 

II, und es bedeutet wohl mehr einen Appell 

an den Mathematik-Unterricht als eine Legitimation 

des Informatik-Unterrichts. 

Die Verbindung zur Mathematik ist unübersehbar, 

und so liegt die spezifische Stärke der Informatik 

eher in ihren Bezügen zu den Ingenieur , 

zu den Kognitions- und zu den Sozialwissenschaften, 

bzw. sie ist konstituierender Teil einer Integration 

dieser drei. Da geht es um eine Entmystifizierung 

von Technik, um das Verstehen von einschlägigen 

Konzepten und um eine kritische Bewertung. 

— Genau das ist die Frage, ob man in der 

allgemeinbildenden Schule ein solches Fach etablieren 

möchte. Es würde sein Potenzial zwar vornehmlich 

in der Sekundarstufe II entfalten, müsste 

aber schon früher angelegt werden. Eine etwas 

konkretere Liste von Benefizien eines Informatik- 

Unterrichts könnte so aussehen: 

• Verstehen von (ja allgegenwärtigen) Informatik- 

Systemen, 

• Modellbildung (intensiver als in Mathematik), 

• Denken in Systemen (u.a. Modularisierung), 

• Arbeiten in Projekten (mit starken Bezügen zur 

„Realität“ ), womit man stets der aktuellen Entwicklung 

in Technik, Wissenschaft und Gesellschaft 

usw. auf der Spur wäre (was sich allerdings, 

aus Sicht der Lehrperson, auch als Nachteil 

erweisen kann), 

• Befreiung von curricularen Zwängen (wenigstens 

derzeit noch), 

• Gelegenheit zu fächerübergreifendem Unterricht. 

1 Aus Umfangsgründen kann ich so manchen der geäußerten Gedanken nicht aufnehmen, insbesondere wenn er (zu) speziell war 

oder nicht hinreichend gut in die große Linie der Diskussion gepasst hat, und muss so manchen aufgenommenen Gedanken erheblich 

kürzer darstellen, als er geäußert wurde. 

2 Wenn im Folgenden von „Mathematik“ oder „Informatik“ die Rede ist, so ist immer „mit ihren Ideen, Inhalten, Methoden, 

Denkweisen, Anwendungen usw.“ mitzudenken. Darüber hinaus ist klar, dass diese Kategorien eigentlich einer näheren Bestimmung 

bedürften. 

44

Von einem eigenständigen Informatik- 

Unterricht könnten viele Fächer profitieren, nicht 

zuletzt die Mathematik, indem sie durch solche 

Schülerinnen & Schüler (S&S) exogen bereichert 

wird, die außerdem Informatik als Fach haben. Eine 

Charakterisierung der Informatik, die zugleich 

die Leitziele für ein Schulfach liefert, könnte folgendermaßen 

aufgebaut sein: Informatik als 

• (allgemeine) Wissenschaft von der Informationsverarbeitung 

in Technik und Natur, 

• Anwendungswissenschaft per se, 

• Kulturtechnik des algorithmischen Denkens. 

Aber selbst diese Charakterisierung greift 

noch zu kurz. Unverzichtbar ist vielmehr ihr Wesen 

als geeignete Trägerin des Gedankens von der 

Automatisierung geistiger Tätigkeiten, also der 

Übergang von der Semantik zur Datenverarbeitung. 

Zwar ist die Informatik auch insofern ein 

Abkömmling der Mathematik; aber diese nimmt 

diesen Gedanken heutzutage nicht mehr in geeigneter 

Weise auf, was ja u.a. dazu geführt hat, dass 

inzwischen z.B. die Logik in der Wissenschaft 

praktisch sogar besser in der Informatik aufgehoben 

ist. 

Diese Abstammungseigenschaft wurde aber 

auch wieder für ein Plädoyer für einen Einbezug 

informatischer Inhalte (= Integration der Informatik) 

in den Mathematik-Unterricht (mit dann erhöhter 

Stundenzahl), also gegen ein eigenständiges 

Schulfach Informatik, ins Feld geführt. Viele 

Begriffe, Methoden und Denkweisen der Informatik 

wurzeln in der Mathematik, haben ihre Entsprechung 

in mathematischen Begriffen usw. und 

sind mit diesen eng verwandt. Der Mathematik- 

Unterricht hat daher eine besondere Verantwortung 

gegenüber der Informatik. Allerdings ist dies 

nicht nur eine Verpflichtung, sondern auch eine 

Chance vor dem Hintergrund des pädagogischen 

Prinzips des fächerverbindenden Unterrichts, 

die zu einer wesentlichen Erweiterung des 

Fachs „Mathematik“ führen könnte. Gerade in der 

aktuellen Umbruchssituation könnte eine solche 

Verbindung auf den Weg gebracht werden, und 

zwar in ihrer engsten Form, nämlich der (zeitweisen) 

Verschmelzung. 

Von sämtlichen D&D wurde die Problematik 

angesprochen, die sich bei allen Varianten stellt, 

nämlich wie die potenziellen L&L in Aus- und 

Weiterbildung dazu befähigt werden können, informatische 

Inhalte kompetent zu vermitteln. 

3.2 Die Statements der zweiten Runde 

(Reaktionen) 

Die D&D griffen durchaus die Argumente ihrer 

Mit-D&D auf. Indem sie sie an ihre je eigene 

Sichtweise adaptierten, gelang ihnen aber durchweg, 

sie ihrem je eigenen Plädoyer einzuverleiben. 

Brauchen wir ein Schulfach „Informatik“? — Eine Podiumsdiskussion 

Von der einen Seite wurden die Besonderheiten 

der Informatik, die in der ersten Runde von 

einigen D&D zur Begründung eines eigenständigen 

Fachs „Informatik“ verwendet worden waren, 

nun als Chance zur Verbesserung des Mathematik- 

Unterrichts herangezogen. Dabei sollen die integrierten 

Inhalte durchaus ihre informatische Eigenart 

beibehalten, und das Fach „Informatik“ 

soll sogar eine gewisse Aufwertung erfahren, indem 

die Mathematik stärker auf es ausgerichtet 

wird, z.B. auch durch eine Renaissance der Logik. 

Diese Ausrichtung ist aber nicht nur als Anpassung 

an die Informatik zu verstehen. Vielmehr 

sind ja viele Wesenszüge der Informatik auch solche 

der Mathematik, denen man sich jetzt wieder 

stärker zuwenden würde. Man erachtet zwar 

eine Vergrößerung der Stundenzahl für notwendig; 

diese würde aber gewiss nicht im erforderlichen 

Umfang erfolgen, so dass von einer solchen 

Integration auch ein heilsamer Zwang zur „Entrümpelung“ 

des Mathematik-Curriculums ausgehen 

würde, verbunden eben mit einer Stärkung 

informatik-affiner Inhalte und Arbeitsweisen. 

Wenn im Informatik-Unterricht, wie er aktuell 

vor allem in der Sekundarstufe II stattfindet, 

die o.g. Benefizien ein pädagogisch ansprechenderes 

Umfeld generieren, als man es i.a. 

im Mathematik-Unterricht erlebt, so gibt es dafür 

Gründe, die bei einer Erhebung der Informatik 

zum Pflichtfach sicherlich entfallen würden: 

kleine Kurse, interessierte S&S, engagierte L&L, 

weitgehende curriculare Freiheiten (die man sich 

allerdings nehmen muss), Image des Besonderen. 

Das Umfeld würde sich dem Alltag der anderen 

Fächer angleichen; — vielleicht nicht vollständig, 

indem die Informatik sich die etwas freundlicheren 

Gegenstände und Arbeitsweisen reservieren 

würde, die allerdings die Mathematik eigentlich 

genauso (oder in analoger Weise) für sich reklamiert: 

um das zu sehen, braucht man nur die o.a. 

Liste der Benefizien durchzumustern. Damit nicht 

das eine Fach (enger gesehen: die eine Spielart eines 

Denkprinzips) sich die Rosinen herauspickt, 

sollten die beiden Spielarten (Fächer) zusammen 

unterrichtet werden. 

Bei getrennter Organisation hingegen könnten 

erhebliche Synergie-Effekte nicht realisiert werden. 

Es wäre ein größerer Zeitumfang erforderlich. 

Dieser Bedarf könnte angesichts der übervollen 

Stundentafeln (in mehreren Bundesländern 

Kürzung des Gymnasiums um ein Jahr!) nur auf 

Kosten der Mathematik gehen, da ja deren Affinität 

zur Informatik auf der Hand liegt. Eine solche 

Kürzung dürfte noch nicht einmal im Sinne 

„der“ Informatik sein und wäre derzeit im Zuge 

der PISA-bedingten Popularität „der“ Mathematik 

auch nicht durchsetzbar, ginge also doch eher 

auf Kosten „der“ Informatik. 

45


Die Befürworter eines eigenständigen Schulfachs 

„Informatik“ in der allgemeinbildenden 

Schule legten Argumente nach: Modellbildung in 

der Informatik hat doch einen wesentlich anderen 

Charakter als in den Naturwissenschaften oder in 

der Mathematik, indem nämlich die Modelle der 

Informatik darauf angelegt sind, später als Technik 

implementiert zu werden, weswegen Einiges 

mit bedacht werden muss, z.B. etwaige Änderungen 

im vorhinein. Teil dieses Modellbildungs- 

Paradigmas ist das Programmieren. Dieses ist natürlich 

mehr als Kodieren (was heute automatisiert 

möglich ist); aber sogar in einem engen Verständnis 

hat es seinen Wert als Disziplinierung der Kognition 

im Zuge der mit ihm verbundenen Externalisierung 

des Denkens und Operationalisierung 

abstrakter Begriffe. 

Allerdings werden trotz dieser guten Argumente 

die Chancen für ein eigenständiges Schulfach 

„Informatik“ eher gering eingeschätzt, und 

zwar weniger aus inhaltlichen, sondern mehr aus 

organisatorischen Gründen, mit denen es schon in 

der L&L-Ausbildung anfängt. 

3.3 Einbezug des Plenums 

Da, jedenfalls in Berlin, die Zahl der Oberstufen- 

S&S, die sich für Informatik anmelden, stetig abnimmt, 

könnte sich das Problem eines eigenständigen 

Informatik-Unterrichts in der Sekundarstufe 

II bald von selbst erledigen, und deswegen sollte 

Informatik in den Mathematik-Unterricht einbezogen 

werden. — Dem wurde (durchaus realistisch) 

entgegengehalten, dass diese Informatik- 

Abstinenz vielleicht weniger Ausfluss von Desinteresse 

als von der Organisation der Oberstufe 

(nicht nur) in Berlin sei. Wenn die Informatik 

im Abitur ein höheres Gewicht erhielte und dann 

auch von Fach-L&L unterrichtet würde, würde sie 

häufiger gewählt. — Mit dem Einwand, dass ja 

jedes Fach eine solche Gewichtung beanspruchen 

könne, wurde die Stimmung im Plenum zum Ausdruck 

gebracht, nach der der Informatik als Schulfach 

eine geringere allgemeinbildende Bedeutung 

zukomme, als das vorher in den Statements auf 

dem Podium angeklungen war. Z.T. sprach man 

sich hier eher für Informationstechnik-Unterricht 

oder Medienerziehung o.ä. als für Informatik- 

Unterricht aus. 

Einig war man sich, dass jedwede Reform, 

die informatische Inhalte verstärkt in die Schule 

bringen soll, mit der Kompetenz der Lehrkräfte 

steht und fällt, die diese zu unterrichten haben, 

und dass es derzeit damit deutschlandweit nicht 

gut aussieht. Sogar L&L, die sich eigentlich dezidiert 

„der“ Informatik (i.w.S.) zugewandt hatten, 

sind gerade dabei, sich wieder zurückzuziehen, 

weil ihnen das permanent erforderliche Um- und 

Neu-Lernen zu aufwändig ist. — Natürlich muss 

man hierbei, wie überhaupt bei allen Aussagen 

46 

zum realen Unterricht über informatische Inhalte, 

von Bundesland zu Bundesland, ja, von Schule zu 

Schule, differenzieren. Dennoch kam man überein, 

dass die Lage insgesamt als eher mangelhaft 

einzuschätzen ist. 

Nach diesem Ausflug zu mehr praktischen 

Fragen kehrte die Diskussion noch einmal zum 

Grundsätzlichen zurück. Die folgenden Aussagen 

stammen von einzelnen D&D und wurden, jedenfalls 

vom atmosphärischen Eindruck her, von anderen, 

oft von vielen, unterstützt. Wie groß der 

Anteil der Zustimmung jeweils wirklich war, ist 

mir natürlich nicht bekannt. 

Dank der Arbeit der Informatik-Didaktik dürfte 

heute bei der Informatik ein höherer Grad an 

allgemeinbildendem Charakter sichtbar sein als 

bei unserer letzten Diskussion 1994. Es ist allerdings 

nicht gelungen (vielleicht ist es auch gar 

nicht möglich), nennenswerte informatische Inhalte 

in die Mathematik-L&L-Bildung zu integrieren, 

womit bei jeder Variante, nach der diese 

Inhalte in der Schule verankert werden, die 

L&L-Bildung ein Problem darstellt. Im Korpus 

einer potenziellen Schul-Informatik sind wesentliche 

Teile enthalten, die auch der Mathematik- 

Unterricht leistet bzw. leisten könnte, wenn man 

nicht in Mathematik nur den oft „schlechten“ realen 

Unterricht gegenüber einem „guten“ virtuellen 

Informatik-Unterricht sieht. Andererseits haben 

sich die beiden Fächer mit ihren schul-relevanten 

Bildungs-Gehalten seit 1994 noch weiter auseinander 

entwickelt. Der Mathematik-Unterricht 

müssen dazu kommen, die mathematik-affinen 

Teile der Informatik zu assimilieren, und sich 

dann aber auch partiell stärker an dieser ausrichten. 

Die (Schul-)Informatik enthält allerdings 

nicht nur mathematik-affine Teile (genannt wurden 

ihr ingenieurwissenschaftlicher Wesenszug 

und konkreter die Gestaltung von Oberflächen 

oder Programmier-Kenntnisse am Ende der Sekundarstufe 

I u.a.). Fraglich ist, ob diese genug 

Substanz für ein eigenständiges Pflichtfach in der 

Sekundarstufe I (d.h. für Alle) bilden. 

4 Ein Resümee 

Die Situation ist ähnlich wie die im Jahr 1994 

mit den beiden vernünftigen Alternativen eines eigenständigen 

Informatik-Unterrichts in der allgemeinbildenden 

Sekundarstufe I und einer Integration 

der Informatik in den Mathematik-Unterricht 

mit mehr oder weniger Gewicht. Seitdem haben 

sich Gesellschaft, Schule, S&S, die Wissenschaft 

„Informatik“, aber auch die Wissenschaft „Mathematik“ 

!, die Didaktiken beider Fächer, die L&L- 

Ausbildung weiter entwickelt, und wir können 

beide Alternativen noch besser begründen als damals.

Teil II 

Vorträge 

47

• Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie – 

Übertragung des FITness-Konzepts auf die 

Mathematiklehrerausbildung 

Christine Bescherer, Flensburg 

Das „FITness-Konzept“ ist ein 1999 mit großem Aufwand vom National Research Council, USA, 

entwickeltes Konzept „Being Fluent with Information Technology“, in dem beschrieben wird, über 

welche Kenntnisse informatischer Grundkonzepte, informationstechnischen Fertigkeiten und informatischen 

Denkweisen Schülerinnen und Schüler verfügen sollten. Diese drei Bereiche werden in 

jeweils 10 Unterpunkten beschrieben. Einige davon sind: 

Informatische Denkweisen Mit Komplexität umgehen, Testen von Lösungen, Kommunizieren mit 

verschiedenen Zielgruppen, . . . 

Informatische Grundkonzepte Computer (Hardware, Software), Informationssysteme (wirtschaftsinformatische 

Sichtweise), Modellierung und Abstraktion, . . . 

Informationstechnische Fertigkeiten Aufbauen und Verbinden von Computern, Informationen im 

Internet finden, Datenbanken nutzen und pflegen, . . . 

Es wird – neben dem Konzept an sich – eine Umsetzung dieses Konzepts in Form der Vorlesung 

„Einführung in die Informatik“ für Studierende des Mathematiklehramts an der Universität Flensburg 

vorgestellt. 

1 Motivation 

Wie kann eine Einführung in die Informatik 

für Studierende des Mathematiklehramts aussehen? 

Welches „informatische“ Wissen und welche 

Kompetenzen im Umgang mit Informationstechnologie 

(IT) brauchen zukünftige Mathematiklehrerinnen 

und -lehrer? Auf einer allgemeinen Ebene 

lässt sich dies einfach beantworten: Alles das, 

was ihnen später hilft einen guten Mathematikunterricht 

zu gestalten. Schon in dieser Allgemeinheit 

wird klar, dass es sich dabei um weit mehr 

Wissen und Kompetenzen handelt, als z.B. in einem 

Programmierkurs oder einer Anwendungsschulung 

abgedeckt werden kann. 

Für zukünftige Mathematiklehrende spielen 

jedoch neben der für alle Lehrenden notwendigen 

Kompetenzen im Umgang mit Computern 

noch wesentlich mehr Aspekte der Informatik 

eine Rolle. Dies sind zum einen vertiefte 

Kenntnisse über die technischen Hintergründe 

von Informatik-nahen Werkzeugen wie Computeralgebrasystemen 

oder Dynamischen Geometriesystemen. 

Zum anderen ist dies ein Wissen zu 

den Überschneidungsfeldern von Informatik und 

Mathematik wie Algorithmen, Programmierstrukturen 

oder etwa Modellieren bzw. Logik. 

Hinzu kommen noch zwei weitere – im Bereich 

Informationstechnologie besonders ausgeprägte 

– Probleme: Die extreme Heterogenität der 

Vorkenntnisse und die Uneinigkeit in der (deutschen) 

Fachdidaktik, welche Inhalte denn überhaupt 

zu einem Grundwissen in Informatik bzw. 

Informationstechnologie zu zählen sind. 

Im Sommersemester 2005 war ich zuständig 

für die Vorlesung mit Übung „Einführung in die 

Informatik“ an der Universität Flensburg für Studierende 

im zweiten Semester aller Lehramtsstudiengänge 

mit dem Fach Mathematik. Dabei basierte 

ich das Konzept der Veranstaltung auf dem 

theoretischen Rahmenwerk „Being Fluent with 

Information Technology“ (FITness) und führte eine 

erste Evaluation mit Hilfe eines Fragenbogens 

zur „Computernutzer-Selbstwirksamkeit“ durch. 

2 Das FITness-Konzept 

Im Jahr 1999 veröffentlichte der National Research 

Council, USA – nach einem aufwändigen 

Entwicklungsverfahren – das Konzept „Being 

Fluent with Information Technology“ (kurz „FITness“, 

NRC (1999)), das ein intellektuelles Rahmenwerk 

zur Entwicklung von Curricula und 

Lehrgängen sowie Lehrbüchern darstellt. 

Der Begriff „Fluency“ ist kaum ins Deutsche 

zu übertragen, da er das Substantiv zu „flüssig“ 

im Sinne von „Er kann flüssig lesen.“ „Sie spricht 

flüssig Spanisch.“ darstellt. Unter „Fluency“ wird 

von den Autoren die Fähigkeit verstanden, „Wissen 

umzuformulieren, sich selbst kreativ und angemessen 

auszudrücken und Information zu produzieren 

und zu generieren (anstatt sie nur zu verstehen)“ 

(NRC, 1999, S. VIII). Ganz bewusst ist 

das Ziel eine Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie 

und nicht Informatik im Sinne 

von Computer Science. Dies bedeutet, dass informatische 

Inhalte nicht als Selbstzweck aufgenommen 

werden, sondern „nur“ in dem Umfang wie 

es für eine langfristige Nutzung von IT notwendig 

ist. Wie später zu sehen ist, ist dies jedoch weit 

mehr als üblicherweise im Informatikunterricht in 

49


Schulen unterrichtet wird. 

Die Verfasser gehen von folgenden Grundsätzen 

aus (S. 1 NRC, 1999, vgl.): 

• Die Informationstechnologie ist eine neue Entwicklung, 

die immer noch zu weiten Teilen von 

Menschen ohne eine formale (Aus-)Bildung in 

diesem Bereich genutzt wird. 

• Viele derjenigen, die heutzutage IT nutzen, besitzen 

häufig nur ein beschränktes Verständnis 

der verwendeten Werkzeuge und haben dabei 

das Gefühl, „nicht alle Möglichkeiten auszunutzen“. 

• Viele Menschen fühlen sich unsicher bei der IT- 

Nutzung und wären gerne sicherer im Umgang 

damit. 

• Dagegen bestehen oft sehr hohe Erwartungen zu 

den Vorteilen der IT Nutzung und viele Menschen 

würden diese Vorteile gerne realisieren. 

• Es bestehen bei vielen Menschen Bedenken, 

dass die gesellschaftlichen Auswirkungen durch 

IT ein potentielles Risiko für soziale Werte, 

Freiheit oder wirtschaftliche Interessen usw. 

darstellen und sie deshalb gezwungen sind an 

der Informationsgesellschaft teilzuhaben. 

Dieser Fokus auf eine Allgemeinheit der Bevölkerung 

und nicht auf Informatikerinnen und Informatiker 

zieht sich durch das gesamte Konzept. 

Ausgehend von einem derzeitigen Stand an „FITness“ 

z.B. unter deutschen Studierenden erscheinen 

die geforderten Fertigkeiten und Kompetenzen 

sehr hoch gegriffen, für einen langfristigen, 

sinnvollen und nutzbringenden Umgang mit Informationstechnologie 

sind sie aber unbedingt notwendig. 

Das FITness-Konzept besteht aus den drei 

Teilen „Geistige Fähigkeiten und Denkweisen“, 

„Informationstechnologische bzw. Informatische 

Grundkonzepte“ und „Informationstechnische 

Fertigkeiten“. Diese werden in jeweils zehn 

Unterpunkten genauer, aber nicht sehr detailliert 

beschrieben. Daneben wird in mehreren Exkursen 

z.B. zum Unterschied zwischen „Information Literacy“, 

wie sie z.B. von Bibliothekswissenschaften 

(vgl. AASL (1998) gefordert werden und dem 

FITness-Konzept oder der „Rolle des Programmierens“ 

und Anhängen zusätzliches Material geboten. 

Im Folgenden werden die drei Bereiche aus 

Platzgründen nur kurz vorgestellt, Genaueres findet 

sich in Bescherer (2005b) oder im Original 

(NRC, 1999). 

2.1 Intellektuelle Fähigkeiten und 

Denkweisen 

In diesem Teil werden diejenigen intellektuellen 

Fähigkeiten und Denkweisen beschrieben, die dazu 

betragen können, IT in komplexen Situationen 

und auch in Zukunft einzusetzen. Dabei sollen 

50 

auch die Vorteile des Mediums Computer verstanden 

und genutzt werden, sowie mit unvorhergesehenen 

Problemen umgegangen werden können. 

Insgesamt wird das abstrakte Denken über Information 

dadurch gefördert. 

1. Sich auf ausführliche Begründungen einlassen 

2. Mit Komplexität umgehen 

3. Lösungen testen 

4. Mit Problemen bei falschen Lösungen umgehen 

5. Informationsstrukturen organisieren und sich 

in ihnen bewegen und Informationen evaluieren. 

6. Zusammenarbeiten unter Nutzung von IT 

7. Kommunizieren unter Nutzung von IT und 

über IT 

8. Das Unerwartete erwarten 

9. Sich ändernde Technologien vorausahnen 

10. Auf einer abstrakten Ebene über IT nachdenken 

2.2 Informationstechnologische / 

Informatische Grundkonzepte 

Unter dieser Überschrift werden Prinzipien und 

Ideen zu Computern, Netzwerken und Information, 

also das „Wie und Warum der IT“ zusammengefasst. 

Wissen um diese Grundkonzepte ermöglicht 

Einblicke in die Möglichkeiten und Grenzen 

der IT und dient als „Rohmaterial“ zum Verstehen 

neuer IT-Entwicklungen. 

1. Grundlagen von Computern 

2. Organisation von Informationssystemen 

3. Grundlagen von Netzwerken 

4. Digitale Darstellung von Information 

5. Information organisieren und strukturieren 

6. Modellieren und Abstrahieren 

7. Algorithmisches Denken und Programmieren 

8. Universalität 

9. Grenzen und Gefahren der IT 

10. Einfluss von Information und IT auf die Gesellschaft 

2.3 Informationstechnische Fertigkeiten 

Diese beschreiben die zeitabhängigen Fertigkeiten 

bzw. die Fähigkeit aktuelle Computer zu nutzen. 

Sie sind wichtig für den Arbeitsmarkt und dienen 

in erster Linie zur Sammlung praktischer Erfahrungen 

aus denen dann wiederum neue Kompetenzen 

entwickelt werden können. Inhaltlich entspricht 

dieser Bereich in etwa dem ECDL (European 

Computer Driving Licence, www.ecdl.com). 

1. Einen PC in Betrieb nehmen 

2. Grundlegende Funktionen eines Betriebssystem 

nutzen 

3. Ein Textverarbeitungssystem nutzen, um ein 

Textdokument zu erstellen

Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie – Übertragung des FITness-Konzepts auf die 


4. Ein Grafik- bzw. Bildbearbeitungspaket benutzen, 

um Illustrationen, Präsentationsfolien 

oder andere bildhafte Darstellungen von Ideen 

zu erzeugen 

5. Einen Computer mit einem Netzwerk verbinden 

6. Das Internet nutzen, um Informationen und 

Quellen zu finden 

7. Einen Computer zur Kommunikation mit anderen 

Personen nutzen 

8. Ein Tabellenkalkulationssystem nutzen, um 

einfach Abläufe und Finanztabellen zu modellieren 

9. Ein Datenbanksystem nutzen, um sinnvolle Informationen 

zu sammeln und darauf zuzugreifen 

10. Lehrmaterialien zum Erlernen neuer Anwendungen 

oder Funktionen nutzen 

Diese drei Bereiche sind sehr eng miteinander 

verknüpft und nur in der Gesamtheit aller aufgeführten 

Fähigkeiten, Fertigkeiten und dem Wissen 

zeigt sich die FITness, also die Sicherheit im Umgang 

mit Informationstechnologie. 

3 Die Veranstaltung „Einführung 

in die Informatik“ für alle 

Lehrämter der Mathematik 

3.1 Rahmenbedingungen 

An der Universität Flensburg wurden im Sommersemester 

2005 die Studiengänge für das Lehramt 

an Grund- und Hauptschulen, Realschulen, Sonderschulen 

und Berufsschulen angeboten. 1 Die 

(alte) Prüfungsordnung schrieb dabei einen benoteten 

Schein in „Einführung in die Informatik“ 

vor. Die Veranstaltung (2 Semesterwochenstunden 

Vorlesung und zwei Stunden Übung) sollte 

üblicherweise im 2. Semester besucht werden. 

Aufgrund organisatorischer Probleme fanden 

sowohl die Vorlesung wie auch die Übung (für alle 

ca. 80 Studierenden) im Hörsaal ohne Computerzugang 

für die Studierenden statt. 

Der Leistungsnachweis erfolgte in einer 90minütigen 

Klausur in der ersten Woche nach Vorlesungsende. 

Die Entwicklung informationstechnischer 

Fertigkeiten (ebenso wie die Entwicklung der 

entsprechenden intellektuellen Fähigkeiten) als 

Teil des FITness-Konzepts gelingt jedoch nur, 

wenn die Lernenden selbst an den Anwendungsprogrammen 

arbeiten. Um diese Selbstarbeit anzuregen, 

mussten die Studierenden jede Woche 

Aufgaben bearbeiten, die einerseits inhaltlich mit 

dem in der Vorlesung behandelten informatischen 

Grundkonzepten zusammenhingen, andererseits 

aber eine oder mehrere der formationstechnischen 

Fertigkeiten fördern sollten. Die bearbeiteten Auf- 

gaben stellten die Studierenden allen Veranstaltungsteilnehmern 

über die internetbasierte Groupware 

BSCW (BSCW, 2005) zur Verfügung. Die 

Bearbeitung war freiwillig und viele Studierende 

konnten mit dieser Freiwilligkeit schlecht umgehen. 

(Sie verschoben die Bearbeitung der Aufgaben 

auf kurz vor der Klausur.) 

In der Übungszeit wurden dann einzelne Lösungen 

– mehr oder weniger anonym – besprochen. 

Ergänzt wurden diese Besprechungen noch 

durch sehr kurze (ca. 20 Minuten) Vorträge zu 

eng mit den Übungsaufgaben verbundene Themen. 

Zum Beispiel wurde im Zusammenhang mit 

der Aufgabe sich in der Online-Lernumgebung 

„Mathe-Prisma“ (mat, 2005)), die viele Java- 

Applets enthält, den RSA-Algorithmus zur Verschlüsselung 

zu erarbeiten, wurde Grundsätzliches 

zu Java-Applets besprochen. Die Themen 

der Vorlesungen lehnten sich eng an die Liste der 

informationstechnologischen bzw. informatischen 

Grundkonzepte des FITness-Konzepts an. 

3.2 Themen der Vorlesungen 

• Warum Informatik für Lehramt? FITness- 

Überblick 

• Computer - Komponenten, Hardware, Software 

• Netze / Internet 

• Digitale Repräsentation von Daten I / II 

• Informationssysteme 

• Informationsorganisation 

• Modellieren und Abstrahieren in der Informatik 

• Algorithmisches Denken 

• Programmieren 

• Universalität 

• Grenzen der Informationstechnologie 

• Einfluss der IT auf die Gesellschaft und den Mathematikunterricht 

Die Übungen beschäftigen sich mit so 

verschiedenen Dingen wie Vor- und Nachteile 

unterschiedlicher Graphikformate, RSA- 

Verschlüsselung, computergenerierten Gemälden 

(LOGO-Igelgraphik) oder dem „Game of Life“. 

Eine Übungsaufgabe bestand z.B. in der Beschriftung 

der Anschlüsse auf dem Bild eines 

Barebones-Rechners (mit einer ungewöhnlichen 

Anordnung auf der Rückseite). Dazu mussten die 

Anschlüsse identifiziert werden, aber auch die Beschriftung 

eines im jpg-Format vorliegenden Bildes 

bedarf gewisser Fertigkeiten. Manche Studierende 

behalfen sich mit dem Einfügen des Bildes 

in ein Word-Dokument und anschließender 

Beschriftung, andere verwendeten das vorgeschlagene 

freie Bildbearbeitungsprogramm IrfanView 

(2005). Die in den Übungen verwendete Programmiersprache 

war LOGO, da so der Bezug zur 

Grundschule unmittelbar einsichtig war und die 

1 Im Winterssemester 2005/06 wurde der Lehramtsstudiengang auf den Bachelor of Arts in Vermittlungswissenschaften umgestellt. 

51


ungewohnte Denkweise „Rekursion“ sehr direkt 

umgesetzt werden konnte. 

3.3 Erfahrungen und Ergebnisse 

Grundsätzlich ist das FITness-Konzept für eine 

solche Veranstaltung äußerst tragfähig. Die zeitliche 

Begrenzung auf ein Semester bedingt jedoch, 

dass die oben angesprochenen Mathematikspezifischen 

Aspekte wie Computeralgebrasysteme 

oder z.B. eine etwas ausführlichere Beschäftigung 

mit Modellieren nicht möglich sind. Ein 

großer Teil der Studierenden verfügt bei weitem 

nicht über die grundlegenden Kompetenzen für 

einen sinnvollen Umgang mit Computern im Unterricht. 

Es macht allerdings auch weinig Sinn diese 

Grundlagen zu überspringen. 

Die Klausur wurde von 64 Studierenden 

mitgeschrieben, die Durchfallsquote betrug 36% 

(Nachklausur 20 Studierende und eine Durchfallsquote 

von 25%). 

3.4 Fragebogen zur 

Computernutzer-Selbstwirksamkeit 

(CUSE) 

Da Testergebnisse, insbesondere diejenigen, die 

im Rahmen einer „Papier“ -Klausur erhoben werden, 

sehr wenig oder nichts über FITness, also 

Sicherheit im Umgang mit Computern, aussagen 

können, suchte ich nach einem anderen Instrument 

zur Messung von Änderungen der FITness. 

FITness besteht sicherlich nicht nur aus einer 

Sammlung von Wissen und Fertigkeiten, 

sondern stellt eher eine auf Wissen, Fertigkeiten, 

Erfahrungen usw. basierende Haltung dar. 

Eine Beschreibungsmöglichkeit für die (Selbst- 

)Einschätzung von zukünftigen Verhalten bei konkreten 

Aufgaben ist das von Bandura (1979) entwickelte 

Konzept der Self-Efficacy oder Selbstwirksamkeit. 

Ein sehr gutes Messinstrument für 

die Computernutzer-Selbstwirksamkeit im Kontext 

von Lehren und Lernen ist der 30-Item- 

Fragebogen zur „Computer User Self-Efficacy“ 

von Simon Cassidy u. Peter Eachus (Cassidy & 

Eachus, 2002). Übersetzt wurde er von Christian 

Spannagel, Ludwigsburg. Er besteht aus 30 Items 

mit 6-teiliger Likert-Skala wie z.B. „Ich finde, 

dass Computer beim Lernen behindern.“ (Zustimmung 

möglich zwischen „trifft überhaupt nicht 

zu“ (1) und „trifft völlig zu“ (6)). 

Die Computernutzer-Selbstwirksamkeit wird 

durch Addition aller angekreuzten Punkte – bei 

Umkodierung der „umgekehrt“ formulierten Fragen 

– ermittelt und liegt folglich zwischen 30 

(sehr niedrige Selbstwirksamkeit) und 180 (sehr 

hohe Selbstwirksamkeit). 

Ein solcher Fragebogen (zusammen mit weiteren 

Fragebereichen, die hier aber nicht weiter 

erörtert werden) wurde in der ersten Vorlesung 

und in der letzten Übungsstunde des Sommerse- 

52 

mesters ausgeteilt. Zu Beginn füllten 70 Studierende 

(24 männl. / 45 weibl.) und am Ende 57 Studierende 

den Fragebogen aus. Durch einen anonymen 

Code konnten 41 „Paare“ (vorher/nachher) 

identifiziert werden. 

Im Weiteren werden nur die Ergebnisse der 41 

Paare betrachtet. Ein Vergleich der Mittelwerte ergibt 

keinen signifikanten Zuwachs an Selbstwirksamkeit. 

Die Mittelwerte zu Beginn des Semesters 

(113,41) unterscheiden sich kaum von denen am 

Ende (114,17). Betrachtet man die Mediane so 

lässt sich sogar eine Abnahme der Selbstwirksamkeit 

annehmen (Beginn: 116 / Ende: 115). 

Abbildung 6.1: Computernutzer-Selbstwirksamkeit 

Boxplots der Computernutzer-Selbstwirksamkeit 

zu Beginn (cuse) und zum Ende (cuse2) der 

Veranstaltungen sind in Abb. 6.1 zu sehen. Hier ist 

auch deutlich zu erkennen, dass sowohl das Minimum 

abgenommen (von 63 auf 55) wie auch das 

Maximum zugenommen (von 162 auf 168) hat. 

Um mögliche Ursachen erkennen zu können, 

wurden Tests (General Linear Model) auf Unterschiede 

zwischen den verschiedenen Gruppen mit 

SPSS durchgeführt. Dabei ergaben sich Hinweise, 

dass sich die Gruppe der Studentinnen des 

Lehramtsstudiengangs Grund- und Hauptschule 

(GHS-Frauen) statistisch signifikant von den restlichen 

Studierenden unterscheiden. Die Abb. 6.2 

zeigt den Vergleich der Boxplots.

Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie – Übertragung des FITness-Konzepts auf die 


Abbildung 6.2: Vergleich GHS/Rest 

Da die GHS-Frauen mit 22 Personen etwas 

mehr als die Hälfte der 41 „Paare“ ausmachen, 

ist eine getrennte Untersuchung dieser beiden 

Gruppen angebracht. Erste Vermutungen legen 

nahe, dass diese Unterschiede sowohl mit 

den geringeren Vorerfahrungen in der Computernutzung 

sowie auch der erwarteten Notwendigkeit/Nützlichkeit 

im späteren Lehrerdasein zusammenhängen. 

Dazu ist aber eine Auswertung 

der weiteren (offenen) Fragebereiche der Fragenbögen 

notwendig. 

4 Fazit und Ausblick 

Grundsätzlich ist das theoretische Rahmenwerk 

des FITness-Konzepts sehr gut geeignet, um darauf 

eine Veranstaltung zur „Einführung in die Informatik“ 

für Studierende verschiedener – wenig 

Informatik-naher – Studiengänge aufzubauen. 

Was bisher fehlt, ist ein entsprechendes Lehrbuch. 

Es gibt zwar ein englischsprachiges Lehrwerk 

vom Vorsitzenden der FITness-Kommission Lawrence 

Snyder „Fluency with Information Technology 

Skills, Concepts and Capabilities“ (Snyder, 

2005). Es ist jedoch – typisch amerikanisch 

– äußerst umfangreich und für Studierende in 

Grundstudium eher nicht zumutbar. 

Selbstverständlich sind weitere Untersuchungen 

zu Einflussfaktoren auf die Computer-Nutzer- 

Selbstwirksamkeit notwendig. Einerseits spielen 

hier sicherlich personen-spezifische Faktoren wie 

Vorerfahrungen und Ähnliches eine große Rolle. 

Andererseits haben vermutlich die Art und Methode 

der Vermittlung informationstechnologischer 

bzw. informatischer Denkweisen und Grundkonzepte 

eine großen Einfluss. Hierzu werden derzeit 

noch verschiedene Lehr-/Lernszenarien wie Vorlesungen 

mit integrierten Computerübungen oder 

ein sinnvoller Einsatz von LoDiCs (LoDiCs sind 

methodische Strukturen zur Vermittlung informationstechnologischer 

Fertigkeiten und Grundkonzept 

beim Bearbeiten fachspezifischer Inhalte - 

vgl. Bescherer (2005a)) entwickelt, erprobt und 

evaluiert. 

Literatur 

(2005): MathePrisma - eine wachsende Modulsammlung 

zur Mathematik. URL http://www.matheprisma. 

uni-wuppertal.de 

AASL (1998): Information Literacy Standards for Student 

Learning. URL http://www.ala.org/ala/ 

aasl/aaslproftools/informationpower/ 

InformationLiteracyStandards_final.pdf 

Bandura, Albert (1979): Self-efficacy: Toward a unifying theory 

of behavioral change. Psychological Review, 84, 191–215 

Bescherer, Christine (2005a): LoDiC — Learning on Demand 

in Computing. In: Proceedings of 8th IFIP World Conference 

on Computers in Education 2005, Capetown 

Bescherer, Christine (2005b): Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie 

— Ein Konzept zur „FITness“ im Computerbereich. 

LOG-IN, 135, 42–45 

BSCW (2005): Basic Support for Cooperative Work. URL 

http://www.bscw.de 

Cassidy, Simon & Peter Eachus (2002): Developing the computer 

user self-efficacy (CUSE) scale: Investigating the relationship 

between computer self-efficacy, gender and experience 

with computers. Journal of Educational Computing Research, 

26(2), 169–189 

IrfanView (2005): URL http://www.irfanview.com 

NRC (1999): Being Fluent with Information Technology. Washington, 

DC: National Academy Press, URL http://www. 

nap.edu/catalog/6482.html 

Snyder, Lawrence (2005): Fluency with Information Technology 

Skills, Concepts and Capabilities. München: Addison Wesley 

53


54

• Back to the roots 

Hans-Jürgen Elschenbroich, Düsseldorf 

Vom Heron-Algorithmus zum geometrischem Wurzelziehen mit dem Höhensatz. Antike Ansätze 

zum Wurzelziehen werden mit modernen Werkzeugen visualisiert und dynamisiert. Dadurch werden 

auch funktionale Aspekte verdeutlicht. 

„Das Wurzelziehen und ebenso das Quadrieren 

wird heutzutage als rein algebraische Aufgabe 

angesehen. In heutiger Sicht heißt es „Wird eine 

Zahl mit sich selbst multipliziert, so nennt man 

das Quadrieren.“ und „Beim Wurzelziehen (oder 

Radizieren) ist eine nicht-negative Zahl gesucht, 

die beim Quadrieren die Ausgangszahl ergibt.“ 

(Lambacher-Schweizer, 2002) 

1 Quadrieren und Radizieren 

Eine geometrische Grundvorstellung ist da nicht 

mehr erkennbar. Dabei liegt sie auf der Hand: 

Abbildung 7.1: Quadrieren 

Abbildung 7.2: Radizieren 

Benutzt man handelsübliche Taschenrechner, 

so reduziert sich das Quadrieren oder Radizieren 

auf einen schlichten Tastendruck: 

Abbildung 7.3: Quadrieren, Radizieren mit dem 

Taschenrechner 

In dieser Tasten-Black-Box geht selbst das 

in der algebraischen Definition erwähnte Suchen 

nach der passenden Zahl unter, geschweige denn 

dass irgendwie durchsichtig wird, wie denn diese 

Zahl gesucht wird. Die Schüler haben üblicherwiese 

ein rein algebraisches Verständnis von Wurzeln 

und meist gar keins davon, wie diese Wurzeln 

denn im Taschenrechner ermittelt werden. Dies 

war nicht immer so, die antiken Ursprünge sind 

eindeutig geometrischer Art. 

2 Heron-Algorithmus 

Diese Berechnung von √ A wird durch die Formel 

von HERON gesteuert: 

xn+1 = xn + A xn 

2 

Mathematisch gesehen wird dadurch eine konvergente 

Folge von Zahlen (xn) produziert. In moderner 

informatischer Sicht liegt ein Algorithmus 

vor, der durch eine WHILE-Schleife oder durch 

eine Rekursion realisiert wird. Aber warum liefert 

diese Vorschrift (näherungsweise) die gesuchte 

Wurzel? Und wie kam vor zweitausend Jahren 

HERON VON ALEXANDRIA auf die Formel? Was 

kann uns sein Ansatz heute noch geben? 

3 HERONS Ansatz 

Die in der Antike übliche Deutung eines Produkts 

a · b war geometrischer Art, als Flächeninhalt eines 

Rechtecks mit den Seitenlängen a und b. Daraus 

resultierte auch eine geometrische Deutung 

der Wurzel einer Zahl, nämlich als Seitenlänge 

eines Quadrates mit dem betreffenden Flächeninhalt. 

HERONS Idee bestand dann darin, ein Rechteck 

unter Beibehaltung seines Flächeninhalts A 

immer „quadratischer“ machen. Er produzierte 

eine Folge von flächengleichen Rechtecken, die 

gegen ein Quadrat konvergierten. Die Seitenlänge 

des intuitiv als existent erkannten „Grenzquadrats“ 

ist dann die Wurzel aus dem Flächeninhalt. 

Bleibt noch die Frage zu klären: Wie sieht ein 

kanonisches √ Startrechteck für die Berechnung von 

A aus? HERON suchte wohl für den Startwert 

(für eine Seitenlänge) die zu A nächst gelegene 

Quadratzahl. Für die Berechnung von als Beispiel 

wäre dies 9 = 32 , der Startwert für x wäre also 3 

(und für y zwangsläufig 10 

3 ). So gehen auch die 

Schulbücher heute noch vor, weil dadurch Iterationsschritte 

zu sparen sind. 

Wenn man aber im Zeitalter moderner Werkzeuge 

eine Ersparnis von zwei Iterationsschritten 

vernachlässigt und stattdessen mehr Wert auf ein 

kanonisches Startrechteck legt, kommt man zu einem 

Rechteck mit den Seitenlängen 1 und A, das 

immer den gewünschten Flächeninhalt A hat. 

55

Hans-Jürgen Elschenbroich, Düsseldorf 

Abbildung 7.4: Kanonisches Startrechteck 

Nach einigen Iterationsschritten — die man 

am besten mit einem Makro erledigt — erhält man 

dann folgendes Bild, das auch die Konvergenz visualisiert: 

Abbildung 7.5: Heron-Algorithmus geometrisch 

Durch diese dynamische, geometrische Visualisierung 

kommt automatisch eine funktionale 

Fragestellung ins Blickfeld: Auf welcher Linie 

liegen denn die markierten Eckpunkte der flächengleichen 

Rechtecke? 

4 Wurzelschnecke 

HERON war ein antiker Ingenieur und angewandter 

Mathematiker. Mit seinem Ansatz ist eine einfache 

und heute noch genutzte Berechnung einer 

Quadratwurzel möglich geworden. Eine zeichnerische 

Konstruktion von für war schon lange vor 

ihm bekannt. Für natürliche Zahlen erfolgte sie 

mit der bekannten „Wurzelschnecke“ nach PY- 

THAGORAS. 

Abbildung 7.6: Wurzelschnecke für √ 9 

Diese geniale Konstruktion versagt allerdings 

für nicht-natürliche Zahlen. Ein allgemeinerer 

geometrischer Ansatz für diese Aufgabe ist aber 

auch schon seit EUKLID bekannt. 

56 

5 Wurzelziehen nach EUKLID 

Genaugenommen sind es sogar zwei Ansätze. Ein 

Ansatz basiert auf dem Denken in Proportionen 

(was schon lange kaum noch gepflegt wird): „Zu 

zwei gegebenen Strecken die Mittlere Proportionale 

zu finden.“ (Euklid, 2003, Sechstes Buch, 

§ 13) Ein anderer Ansatz beruht auf dem Höhensatz: 

„Ein einer gegebenen geradlinigen Figur 

gleiches Quadrat zu errichten.“ (Euklid, 2003, 

Zweites Buch, § 14) 

Abbildung 7.7: Figur aus Euklid (2003, Zweites 

Buch, § 14) 

Dies ist nicht nur uns eingängiger, sondern 

bietet vor allem Möglichkeiten zur Dynamisierung 

mit geeigneter Software (Elschenbroich, 

2002; Elschenbroich & Seebach, 2003). 

Abbildung 7.8: Geometrisches Wurzelziehen 

Auch hier kommt wieder das oben schon erwähnte 

kanonische Startrechteck zum Einsatz und 

erhält als Überbau die Höhensatz-Figur. Mit moderner 

Geometrie-Software lässt sich nun diese 

Figur dynamisieren und es ergeben sich wieder 

funktionale Fragestellungen: Welche Ortslinie 

durchläuft H, wenn A variiert wird?

Abbildung 7.9: Wurzelfunktion geometrisch 

Man erhält so einen rein geometrischen Weg 

zur Wurzelfunktion! 

6 Fazit 

Back to the roots 

Die Rückbesinnung auf klassische geometrische 

Ansätze gibt uns Visualisierung, tieferes Verständnis 

und Einsicht in die Zusammenhänge. Durch 

die Dynamik geeigneter Dynamischer Geometrie- 

Software wie Euklid-DynaGeo oder Cabri II kommen 

heutzutage automatisch moderne funktionale 

Fragestellungen mit ins Spiel. Wir erhalten eine 

fruchtbare Verbindung von Funktionen & Algebra 

mit Geometrie, deren Vernetzung ein tieferes Verständnis 

von Wurzel und zugehörigen Algorithmen 

ermöglicht. 

Literatur 

Elschenbroich, Hans-Jürgen (2002): Geometrisches Wurzelziehen 

mit dem Heron-Verfahren. MNU, 55(5) 

Elschenbroich, Hans-Jürgen & Günter Seebach (2003): Dynamisch 

Geometrie entdecken. Elektronische Arbeitsblätter mit 

Euklid-DynaGeo, Klasse 9. CoTec 

Euklid (2003): Die Elemente. 4. Auflage, Nummer 235 in 

Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Verlag Harri 

Deutsch 

Lambacher-Schweizer (Hg.) (2002): Lambacher-Schweizer 9. 

Ernst Klett Schulbuchverlag 

57


58

• Laufzeitanalysen, Wachstumsfunktionen und 

asymptotische Untersuchungen 

Martin Epkenhans, Paderborn 

Die im Informatikunterricht behandelten Sortieralgorithmen, Algorithmen auf Datenstrukturen und 

mathematischen Algorithmen sind problemlos auch außerhalb der Informatik verständlich. Zur Bewertung 

von Algorithmen sind asymptotische Laufzeituntersuchungen unentbehrlich. Dabei ist es 

wichtig, einerseits einen qualitativen Unterschied zwischen etwa logarithmischem, linearem, quadratischem 

und exponentiellen Wachstum zu erkennen, aber auch andererseits zu begreifen, dass es 

auf die genaue Laufzeit nicht ankommt. Leicht verständliche Fragestellungen der Informatik motivieren 

so interessante Untersuchungen in der Analysis. 

1 Einleitung 

In den letzten Jahren hat sich der Mathematikunterricht 

scheinbar durch den Einfluss der Informatik 

geändert. Viele Lehrpläne betonen den Anwendungsbezug 

der Mathematik. Die Informatik hat 

sich verstärkt zu einer Wissenschaft entwickelt, 

die längerfristig gültige und tragfähige Grundlagenkonzepte 

entwickelt. Leider wird immer noch 

der Einsatz von Informatikwerkzeugen wie dem 

Computer mit einer Einbeziehung der Informatik 

und einer Kooperation mit dem Fach Informatik 

gleichgesetzt. So findet man unter dem Stichwort 

Informatik in den Richtlinien Mathematik NRW 

(1999) Unterrichtbeispiele, die mit dem Hinweis 

„Computereinsatz sinnvoll“ versehen sind. Der 

Einsatz graphikfähiger Taschenrechner, von Tabellenkalkulationsprogrammen 

und Computeralgebrasystemen 

vermittelt hingegen keinen Einblick 

in das Fach Informatik. 

Im Folgenden sollen andere Impulse aus dem 

Informatikunterricht für den Mathematikunterricht 

geschildert werden, die sich durch das Unterrichten 

von Leistungskursen in beiden Fächern 

an einem Berufskolleg entwickelt haben. Dabei 

wird die Maxime verfolgt, dass die Mathematik 

ein eigenständiges Fach mit einer langen Tradition 

ist, die einen kulturellen Wert an sich hat und 

nicht der Rechtfertigung durch ihre Anwendung 

in der scheinbar realen Welt braucht. Die aktuellen 

Veränderungen der Anforderungen an den Mathematikunterricht 

durch Einbeziehung neuer Medien, 

Techniken und Anwendungen werden immer 

von der Frage, welche Inhalte nun dem Zeitgeist 

zu opfern sind, begleitet. Dabei werden häufig 

mathematische Denkweisen wie etwa die vollständige 

Induktion oder die korrekte Fassung des 

Grenzwertbegriffs gewählt. Aus Sicht der Informatik 

sollten diese urmathematischen Themen, 

die früher auch ohne den Blick auf die Informatik 

von Bedeutung waren, weiter gelehrt werden. Die 

ausschnittweise Beleuchtung des Informatikunterrichts 

in diesem Beitrag soll aufzeigen, das klassische 

Themen des Mathematikunterrichts mit einer 

anderen Akzentuierung auch von außen betrachtet 

weiterhin ihren Wert für den Unterricht haben. 

Viele Lehrpläne und didaktischen Rechtfertigungen 

mathematischer Lehrinhalte basieren auf 

dem Begriff der zentralen Idee bzw. dem Konzept 

der fundamentalen Idee. Hieran orientiert sich inzwischen 

auch die Didaktik der Informatik, die in 

einer zaghaften Entwicklung begriffen ist (Schubert 

& Schwill, 2004). Betrachtet man diese Konzepte 

beider Fächer, so findet man eine gemeinsame 

Idee, die Idee des Algorithmus. Diese Idee 

steht nun im Zentrum der Betrachtung. 

2 Algorithmen in der Informatik 

Neben Sortieralgorithmen werden im Informatikunterricht 

häufig Zugriffsalgorithmen auf Datenstrukturen 

wie etwa Liste, Stapel, Schlange und 

Baum thematisiert. Teilweise werden Faktorisierungsverfahren 

und Primzahltests im Zusammenhang 

mit der Kryptologie betrachtet. 

2.1 Sortieralgorithmen 

Zunächst soll eine ungeordnete, nach einem Kriterium 

sortierbare Menge von Objekten in eine Reihenfolge 

gebracht werden. So sollen etwa Wörter 

alphabetisch sortiert werden, Schüler der Körpergröße 

nach aufgestellt werden oder größere 

Mengen von Datensätzen wie z.B. Schülerstammblätter 

nach einem Schlüssel sortiert werden (erst 

nach Klassen, dann nach Nachnamen und Vornamen). 

2.2 Algorithmen und Datenstrukturen 

Algorithmisch interessant sind insbesondere Zugriffsmethoden 

auf Listen und binäre Suchbäume. 

Beide Strukturen beinhalten eine Menge von 

Objekten. Einfügen, Entfernen und Ändern von 

Objekten, das Suchen von Einträgen nach einem 

vorgegebenen Schlüssel ebenso wie die Ausgabe 

sämtlicher Objekte nach einem vorgegebenen Kriterium 

gehören zu den Standardzugriffsmethoden 

auf diese Datenstrukturen. 

2.3 Informatische Betrachtung von 

Algorithmen 

Neben dem Implementieren behandelt die Informatik 

weitere Aspekte von Algorithmen, die eine 

59


Nähe zur Mathematik darstellen, da sie Mathematik 

benutzten. 

Algorithmen müssen korrekt sein, d.h. terminieren 

und das gestellte Problem tatsächlich 

lösen. Sie sollen eine möglichst große Klasse 

gleichartiger Probleme lösen, berechenbar, effizient 

und schnell sein. Nebenbei soll der benötigte 

Speicherbedarf nicht zu sehr mit der Größe des 

Problems wachsen. 

Die Richtlinien des Informatikunterrichts sehen 

eine Bewertung von Algorithmen vor. Hierzu 

bedarf es der Mathematik. 

Im Mathematikunterricht ist man häufig damit 

zufrieden, wenn ein gestelltes Problem konstruktiv 

gelöst werden kann. Insbesondere komfortable 

Taschenrechner haben etwa Verfahren wie 

das Hornerschema aus dem Unterricht verbannt. 

GgT und kgV werden weiterhin mit Hilfe einer 

Primfaktorzerlegung bestimmt, obwohl gerade die 

Kryptologie die Grenzen dieser Verfahren aufzeigt 

und benutzt. 

3 Anforderungen an den 

Mathematikunterricht aus Sicht 

der Informatik 

3.1 Korrektheitsbeweise 

Das Sortierverfahren BubbleSort zum Sortieren 

einer endlichen Folge a1,...,an besteht aus zwei 

Schritten. Zunächst wird durch Vergleichen und 

etwaiges Vertauschen das größte Element an die 

ganz rechte Position gebracht. Dazu werden der 

Reihe nach benachbarte Elemente ai und ai+1 verglichen. 

Ist das linke Element kleiner als das rechte, 

so tauschen beide Elemente ihre Positionen. 

Danach werden die Elemente an den ersten n − 1 

Stellen auf die gleiche Art sortiert. 

Warum erhält man nun eine der Größe nach 

sortierte Liste der Elemente? 

Im Unterricht empfiehlt sich an dieser Stelle 

ein exemplarisches Arbeiten mit natürlichen Zahlen, 

da der Begriff der sortierten Folge vorerst 

nicht thematisiert und die Eigenschaften linear geordneter 

Mengen nicht herausgearbeitet werden 

müssen. Die Schüler können dann intuitiv argumentieren: 

„Es gibt ein größtes Element. Falls dieses 

nicht schon ganz rechts steht, wird es bei irgendeinem 

Vergleich zu einem Vertauschen benachbarter 

Elemente zwingen. Bei den nun folgenden 

Vergleichen gewinnt dieses Element immer 

und rutscht so nach ganz rechts. Danach wird 

das größte Element der verbleibenden n − 1 Elemente 

auf die zweit rechte Position gebracht. Dieses 

ist aber das zweitgrösste Element. So geht es 

dann weiter, bis alle Elemente an der richtigen 

Stelle stehen.“ 

Formal korrekt ist an dieser Stelle ein Beweis 

mit Hilfe der vollständigen Induktion. 

60 

Gewöhnlich zweifeln Schüler nicht an der 

Eindeutigkeit der Lösung. Ebenso wenig bezweifeln 

sie, dass das Ergebnis von der Startreihenfolge 

oder vom gewählten Sortierverfahren abhängt. 

Um nun Schüler für diese Problematik zu sensibilisieren, 

wählt man andere Beispiele. So stehen 

im Telefonbuch verschiedene Teilnehmer mit gleichen 

Namen. Da die Körpergröße in cm angegeben 

wird, können Schüler gleich groß sein. Eine 

eindeutige Reihenfolge existiert in diesen Fällen 

vorerst nicht. Auf diesem Wege kann man die Anforderungen 

herausarbeiten, die man an eine Lösung 

des Sortierproblems stellt. Schrittweise nähert 

man sich der Definition einer linearen Ordnung. 

Zum Beweis der Korrektheit von Bubblesort 

für linear geordnete Mengen sind somit die 

vollständige Induktion wie auch axiomatisches 

Denken aus der Mathematik erforderlich. 

3.2 Laufzeituntersuchungen 

Gewöhnlich werden im Unterricht unterschiedliche 

Sortierverfahren behandelt. Durch eine offene 

Aufgabenstellung wird selten nur ein Sortierverfahren 

von den Schülern entwickelt. Weiter 

kann durch gezielte Aufgabenstellungen das 

Entwickeln unterschiedlicher Verfahren gefördert 

werden. 

So produziert das Einsortieren von Karteikarten 

in einen Karteikasten schnell das Verfahren 

Sortieren durch Einfügen. Beim Sortieren eines 

großen Stapels von Büchern neigt man eher dazu, 

die Bücher zunächst in zwei Stapel zu teilen. 

Sollen 10 im Raum stehende Schüler der Körpergröße 

nach aufgestellt werden, so sucht man sich 

erstmal den größten, dann den zweitgrössten etc. 

und erzeugt so eine Reihenfolge. Damit stellt sich 

irgendwann die Frage nach dem besten Verfahren. 

Das gewöhnlich erstgenannte Kriterium ist hier 

die Schnelligkeit. Dazu kann man anfangs experimentell 

vorgehen. Mittels eines Zufallsgenerators 

werden unterschiedliche große Zahlenfolgen erzeugt. 

Die CPU-Zeit zum Sortieren wird gestoppt 

und die Werte werden in eine Grafik eingetragen. 

Um einen funktionalen Zusammenhang herzustellen, 

bedarf es stochastischer Methoden. 

Bubblesort benötigt zum Sortieren von n Elementen 

n(n−1) 

2 Schlüsselvergleiche. Bei der Behandlung 

konkreter Beispiele im Unterricht werden 

die letzten Durchläufe von den Schülern häufig 

nicht mehr durchgeführt, da man sieht, dass 

die Folge bereits sortiert ist. So stellt man bei einer 

aufsteigende sortierten Folge in einem Durchlauf 

mit n − 1 Vergleichen fest, dass weitere Vergleiche 

unnötig sind. Diese Beobachtung führt zur 

ersten Verbesserung des Verfahrens Bubblesort. 

Bei diesem verbesserten Bubblesort besteht kein 

funktionaler Zusammenhang zwischen der Eingabegröße 

und der Laufzeit. Somit sind theoreti-

Laufzeitanalysen, Wachstumsfunktionen und asymptotische Untersuchungen 

sche Untersuchungen erforderlich. Man führt die 

Begriffe worst-case, best-case undaverage-case- 

Analyse ein. Da Algorithmen unabhängig von der 

gewählten Maschine bewertet werden sollen, benötigt 

man ein Maß für die Laufzeit. Hier bietet 

sich die Anzahl der durchgeführten Schlüsselvergleiche 

an. Im schlechtesten Fall sind es bei Bubblesort 

(n − 1)+(n − 2)+···+ 2+1 Vergleiche, 

im besten Fall n−1 Eine stochastische Analyse ist 

gewöhnlich für den Unterricht zu anspruchsvoll. 

Nun sind wir in der Theorie der Folgen und 

Reihen und beim Beweis von Gauß’ Formel 

n 

∑ = 

i=1 

n(n − 1) 

2 

angelangt. Damit erneut bei der vollständigen Induktion. 

Die Laufzeit von Bubblesort ist also bestenfalls 

linear, schlechtestens quadratisch in der 

Anzahl der Eingabedaten. 

Das Sortierverfahren Mergesort ist ein Divideand 

Conquer Verfahren. Eine Folge a1,...,an 

wird in zwei nahezu gleich große Teile geteilt, die 

wieder nach dem gleichen Verfahren zu zwei Folgen 

a1,...ak und b1,...bl mit k+l = n, |k−l| ≤ 1 

sortiert werden. Abschliessend mischt man beide 

Folgen zur Ergebnisfolge zusammen indem man 

jeweils das kleinere der beiden am Anfang der 

zwei Folgen stehende Element an die Ergebnisfolge 

anhängt. 

Bei der Laufzeitanalyse betrachtet man die 

Fälle 1,2,4,8,...,2 l ,..., da so eine Einteilung in 

gleich große Teile in jedem Teilungsschritt möglich 

ist. Die Anzahl der Schlüsselvergleiche entnimmt 

man folgender Tabelle 

l n best case worst case 

1 2 1 1 

2 4 4 5 

3 8 12 17 

4 16 32 49 

Man erhält zunächst die folgenden Rekursionsformeln: 

und 

T best(2 l+1 ) = 2 · T best(2 l )+2 l 

Tworst(2 l+1 ) = 2 · Tworst(2 l )+2 l+1 − 1. 

Die Suche nach expliziten Formeln gestaltet 

sich etwas schwieriger. Wir erhalten 

und 

T best(2 l ) = l · 2 l−1 

Tworst(2 l ) = (l − 1) · 2 l + 1 

Offensichtlich ist die worst-case Laufzeit für 

l > 1 auch zahlenmäßig schlechter als die Laufzeit 

im besten Fall, so wie wir es bereits bei Bubblesort 

gesehen haben. Ein asymptotischer Laufzeitvergleich 

liefert hier jedoch in beiden Fällen eine 

Laufzeit der Größenordnung nlog(n). An dieser 

Stelle kann man noch einmal thematisieren, 

dass die exakte Laufzeit im besten Fall wie im 

schlechtesten Fall noch von weiteren Faktoren abhängt. 

Eine Bewertung des Algorithmus kann daher 

nur eine asymtotische Untersuchung sein. Nun 

kann man auch problemlos Mergesort, Bubblesort 

und eventuell andere Sortierverfahren miteinander 

vergleichen. 

Das Sortieren durch Einfügen bietet sich insbesondere 

bei sich dynamisch verändernden Mengen 

wie etwa Adressenlisten an. Bei großen Mengen 

von Karteikarten legt man sich Register an. 

Diese Beobachtung kann man im Unterricht bis 

zur Entwicklung binärer Suchbäume weiterentwickeln. 

Einfügen, Suchen und Löschen ist in 

einem balancierten Suchbaum in logarithmischer 

Zeit möglich. Die Anzahl der Blätter eines vollständigen 

Baumes wächst exponentiell in Abhängigkeit 

der Höhe. 

Listen wir nun kurz die mathematischen Methoden 

und Themen auf, die wir in der exemplarischen 

Beleuchtung des Informatikunterrichts benötigt 

haben. 

• vollständige Induktion 

• axiomatisches Denken 

• asymptotische Untersuchungen 

• Funktionen: 

lineare Funktionen, quadratische Funktionen, 

Polynome, Logarithmen, 

Exponentialfunktionen, Folgen 

Stellt der Mathematikunterricht diese Inhalte 

in der gewünschten Form bereit? Auf den ersten 

Blick mag man diese Frage bejahen, eine genauere 

Analyse zeichnet jedoch ein anderes Bild. Die 

vollständige Induktion ist weit gehend aus den 

Lehrplänen und Büchern verschwunden. Axiomatisches 

Denken ist nur implizit vorhanden, wird 

aber nicht gesondert betrachtet. In der Schule werden 

vielfach konkrete Objekte betrachtet. In Modellen 

einer Theorie wie etwa der Gruppentheorie 

arbeitet man kaum bis gar nicht. Da eine axiomatische 

Beschreibung der reellen Zahlen fehlt, ist 

meist auch der Körperbegriff nicht mehr Unterrichtsgegenstand. 

Asymptotische Untersuchungen finden bei gebrochen 

rationalen Funktionen statt, asymptotische 

Vergleiche von Funktionen sind manchmal 

implizit bei Grenzwertbetrachtungen zu finden. 

Die zitierten Funktionsklassen werden im Unterricht 

behandelt und sind entsprechend obiger 

Einteilung auf Jahrgangsstufen verteilt. Bei linearen 

Funktionen werden Steigungen diskutiert, 

61


bei quadratischen Funktionen die Nullstellen und 

die Auswirkung der Parameter auf den Graphen 

der Funktion. Polynome werden als ganz rationale 

Funktionen in der Differentialrechnung diskutiert. 

Logarithmen werden im Kontext der Potenzbildung 

als eine Umkehrung neben dem Wurzelziehen 

und später im Kontext von Wachstumsuntersuchungen 

betrachtet. Bei Untersuchung von 

Wachstumsprozessen, die unseren informatischen 

Untersuchungen nahe kommen, wird gewöhnlich 

nur lineares und exponentielles, manchmal auch 

logistisches Wachstum betrachtet. Die Klassenbildung 

der Funktionen im Mathematikunterricht ist 

an der jeweiligen Fragestellung orientiert. Die Informatik 

hingegen teilt die Funktionen entsprechend 

ihres asymptotischen Verhaltens ein. 

4 Realisierungen im 


Der Mathematikunterricht sollte die vollständige 

Induktion erneut im Kontext des Folgenbegriffs 

lehren. Ein Wechsel zwischen rekursiven Definition 

und expliziten Formeln für Folgen ist wünschenswert. 

Die Einführung der O-Notation, die 

auch im Informatikunterricht stattfinden könnte, 

böte für die Mathematik den Vorteil, das gewisse 

formale Konzepte des Grenzwertbegriffs von 

Folgen vorbereitet oder wiederholt werden könnten. 

Die zur Laufzeituntersuchungen notwendigen 

asymptotischen Untersuchungen können als 

eigenständiger Komplex nach den Untersuchungen 

von Wachstumsprozessen durchgeführt werden. 

Alternativ kann auch die Wachstumstheorie 

anders aufgezogen werden. Die Beispiele, die 

in Schulbüchern zu finden sind, kommen gewöhnlich 

aus der Finanzmathematik, der Biologie 

(Bevölkerungswachstum, Bakterienwachstum 

etc.) oder der Atomphysik. Die Betrachtung bi- 

62 

närer Suchbäume an dieser Stelle hat den großen 

Vorteil, dass fast ohne Vorkenntnisse aus einem 

anderen Fach gearbeitet werden kann. Am vollständigen 

Binärbaum kann man sehr schön exponentielles 

und logarithmisches Wachstum und die 

Korrespondenz von Funktion und Umkehrfunktion 

erfahren. Gleichzeitig erfahren die Schüler, 

dass das Modell eines Baumes, welches aus der 

Stochastik bekannt ist, auch in anderen Zusammenhängen 

nützlich ist. 

Der asymptotische Vergleich von polynomiellen 

Laufzeiten kann im Kontext der gebrochen 

rationalen Funktionen erfolgen. Man lernt, dass 

ein nicht sichtbarer Unterschied der Graphen von 

fn(x) = x n , n ∈ N für große x doch einen qualitativen 

Unterschied der Funktionen beinhaltet, hingegen 

niedrige Terme keine Auswirkung haben. 

Letztere Eigenschaft kennt man von gebrochen rationalen 

Funktionen, bei denen das Verhalten mit x 

nur von den Exponenten der Zähler- und Nennerpolynome 

und evtl. den Leitkoeffizienten abhängt. 

5 Schlussbemerkung 

Eine andere Akzentuierung mathematischer Inhalte 

verbunden mit einer Wiederbelebung verstoßener 

Inhalte des Mathematikunterrichts leistet 

somit eine wertvolle Hilfe für die Analyse und 

Bewertung von Algorithmen im Informatikunterricht. 

Literatur 

Epkenhans, Martin (2005): Alte mathematische Themen aus 

Sicht der Informatik. MNU, 58(3), 155–158 



Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und 

Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hg.) (1999): 

Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium 

und Gesamtschule, Mathematik. Nummer 4720 in Schriftenreihe 

Schule in NRW, Ritterbach Verlag

• Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen: 

Generieren von Bewegungsbahnen sowie von Geraden 

und Kurven als Punktmengen 

Andreas Filler, Heidelberg 

Die Einbeziehung von Computervisualisierungen und die Erstellung einfacher Animationen durch 

die Schüler können dazu beitragen, bei der Behandlung von Parameterdarstellungen von Geraden 

und anderen geometrischen Objekten oft vernachlässigte Gesichtspunkte — insbesondere den Punktmengengedanken, 

funktionale Zusammenhänge sowie dynamische Aspekte — einzubeziehen und 

„mit Leben zu erfüllen“. In diesem Beitrag werden hierfür anhand von Geraden und Ebenen sowie 

als Bahnkurven aufgefassten Kreisen, Spiralen, Schraubenlinien und Wurfparabeln Vorschläge 

unterbreitet und Vorgehensweisen unter Verwendung der 3D-Grafiksoftware POV-Ray sowie (alternativ 

dazu) des CAS MuPAD skizziert. Die Einbeziehung elementarer Arbeitsweisen der Informatik 

(Nutzung von Schleifen und Prozeduren) kann u. a. dazu dienen, mithilfe einfacher Verfahren, die 

sehr oft ausgeführt werden, komplexe Objekte zu erzeugen — dies wird anhand von Darstellungen 

geometrischer Objekte als Punktmengen verdeutlicht. 

Für alle in diesem Beitrag beschriebenen Inhalte stehen Beispieldateien, Videos und ergänzende Materialien 

auf der Internetseite http://www.afiller.de/3dcg (unter der Rubrik Downloads 

& Links) zur Verfügung. 

1 Einleitung, Problemlage 

Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen 

gehören zu den Standardinhalten des Unterrichts 

in analytischer Geometrie. Meist folgen dabei 

nach einer Einführung der Parameterdarstellungen 

sehr schnell Aufgaben zur Umformung 

von Parameter- in Koordinatenform und umgekehrt 

sowie zur Untersuchung von Lagebeziehungen, 

der Bestimmung von Schnittpunkten sowie 

(meist etwas später) zu Abstands- und Winkelberechnungen. 

Zwei wichtige, miteinander verbundene, 

Aspekte der analytischen Geometrie, die anhand 

der Parameterdarstellungen gut verfolgt werden 

könnten, kommen dabei nicht in ausreichendem 

Maße zur Geltung: 1 

• Die Schüler gelangen höchstens in Ansätzen 

zu einer Auffassung geometrischer Objekte als 

Punktmengen. 2 

• Der funktionale Zusammenhang zwischen dem 

Parameter (bzw. den Parametern) und den zugehörigen 

Punkten wird von den Schülern meist 

nicht erkannt. Das Erkennen dieses Zusammenhangs 

setzt eine Sicht auf geometrische Objekte 

als Punktmengen natürlich voraus, geht aber 

darüber noch insofern hinaus, als die Abhängigkeit 

der Lage von Punkten im Raum von dem 

Parameter bzw. den Parametern zu erfassen ist. 3 

Als didaktische Ansätze, die Herausbildung 

auf den konkret-gegenständlichen Aspekt eingeengter 

Konzepte von Parameterdarstellungen bei 

Schülern zu vermeiden sowie den Punktmengengedanken 

und den Schwerpunkt des funktionalen 

Zusammenhangs stärker einzubeziehen, bieten 

sich vor allem zwei Herangehensweisen an (vgl. 

auch MaDiN, 2004): 

• Die Schüler konstruieren die zu einigen Parameterwerten 

gehörenden Punkte bei einer Parameterdarstellung 

der Form P = P0 + t�a und erkennen 

dabei, dass diese Punkte auf einer Geraden 

liegen. Davon ausgehend können Parametergleichungen 

von Geraden eingeführt werden; 

auch die parameterabhängige Beschreibung verschiedener 

Kurven ist so möglich. Des Weiteren 

bieten sich Umkehrüberlegungen an, bei denen 

zu einzelnen Punkten von Geraden bzw. Kurven 

ermittelt wird, welchem Wert des Parameters sie 

zugeordnet sind. Vergleiche verschiedener Parametrisierungen 

derselben Objekte erscheinen in 

diesem Zusammenhang ebenfalls sinnvoll. 

• Es lässt sich die dynamische Sicht auf Geraden 

und andere Kurven als Bahnkurven hervorheben, 

wodurch die Schüler mit dem Parameter 

eine konkrete Bedeutung verbinden. Die Interpretation 

des Parameters als Zeit stellt Bezüge 

zur Beschreibung von Bewegungen in der Phy- 

1Als weiteres Defizit ist die vielfach beklagte Einengung auf die Betrachtung von linearen Objekten (Geraden und Ebenen) zu 

nennen. 

2Wittmann (2003, 377ff) untersuchte auf Parametergleichungen von Geraden bezogene Schülerkonzepte und stellte fest, dass Schüler 

diese oft nicht als Gleichungen ansahen, die Mengen von Punkten in Abhängigkeit von Parametern beschreiben, sondern lediglich 

den Aufpunkt und den Richtungsvektor als „kennzeichnend“ für die beschriebene Gerade betrachteten (vgl. auch Tietze, 2000, S. 

140ff). 

3Dies ist für zweiparametrige Objekte (Ebenen und Flächen) deutlich komplizierter als für einparametrige Gebilde, weshalb Überlegungen, 

wie Schüler funktionale Zusammenhänge zwischen Parametern und dadurch beschriebenen Punkten erfassen und verinnerlichen 

können, vor allem bei Parameterdarstellungen von Geraden bzw. Kurven ansetzen sollten. 

63


sik her. 

2 Einbeziehung von 

Grafiksoftware oder CAS für 

die Behandlung von 

Parameterdarstellungen 

Die Einbeziehung von Elementen der Computergrafik 

in den Unterricht schafft Möglichkeiten, 

die beiden o. g. Herangehensweisen zur Herausarbeitung 

des Punktmengengedankens und dynamischer 

Aspekte umzusetzen. Die „Konstruktion“ 

von Geraden und Kurven, aber auch von Ebenen, 

aus Punkten erfordert dabei lediglich eine Software, 

mithilfe derer die Schüler entsprechende grafische 

Darstellungen anfertigen können. 

Für die Herausbildung einer dynamischen 

Sicht auf Parameterdarstellungen eignet sich besonders 

die Erstellung von Animationen (Videos). 

Hierzu werden Positionen von Objekten oder auch 

die Position des Beobachters in Abhängigkeit 

von einem Zeitparameter beschrieben. Ein Argument 

für die Anfertigung von Animationen zur 

Erlangung einer dynamischen Sicht auf Parameterdarstellungen 

besteht darin, dass sich Schüler 

erfahrungsgemäß für die Generierung von Videos 

in überdurchschnittlichem Maße interessieren. 

Bei der Verwendung geeigneter Software sind 

dazu parameterabhängige Beschreibungen zwingend 

erforderlich. Um durch Parameterdarstellungen 

gegebene Geraden und Kurven als Punktmengen 

?aufzubauen? sowie parameterabhängige 

Animationen zu erstellen, können u. a. die 

3D-Grafiksoftware POV-Ray sowie Computeralgebrasysteme 

(CAS) wie Maple, Mathematica 

und MuPAD genutzt werden. Diese Softwarepakete 

lassen sich für Visualisierungen und Berechnungen 

auch an anderen Stellen des Stoffgebietes 

Analytische Geometrie einsetzen. 4 Im Folgenden 

werden Beispiele unter Verwendung von POV- 

Ray sowie MuPAD dargestellt. 

3 Geraden und Ebenen als 

Punktmengen 

3.1 Einführung von 

Parametergleichungen durch die 

Betrachtung einzelner Punkte 

Zur Einführung der Parameterdarstellung von Geraden 

kann den Schülern eine Aufgabe folgender 

Art gestellt werden: 

Gegeben⎛ sind der Punkt ⎞ P(0,5;1;1,5) und der 

−2,5 

⎜ 

Vektor�a = ⎝ 1 

−1,5 

⎟ 

⎠. 

1. Stellen Sie den Punkt P sowie den Vektor�a (als 

Pfeil, beginnend an P) dar. 

2. Stellen Sie die Punkte P + 0,5 ·�a, P +�a, P + 

1,5 ·�a, P + 2 ·�a sowie P − 0,5 ·�a, P −�a, P − 

1,5 ·�a und P − 2 ·�a dar. 

3. Betrachten Sie die Darstellung aus verschiedenen 

Richtungen. 

Eine mögliche Lösung dieser Aufgabe unter 

Verwendung von POV-Ray mit „anageo“ - 

Vorlagen für die einfache Darstellung von Objekten 

der analytischen Geometrie von Filler (2005) 

zeigt Abb. 9.1. 

Abbildung 9.1: Punkte einer Geraden 

Um Abb. 9.1 zu generieren, sind folgende Befehle 

einzugeben: 

#declare a = ; 

#declare P = ; 

pluspunkt(P, schwarz) 

vektoranpunkt(P, a, silbergrau) 

punkt(P?2*a, blau_matt) 

punkt(P?1,5*a, blau_matt) 

...weitere 6 Punkte 

Bei Verwendung von MuPAD entsteht durch 

die folgenden Eingaben eine (interaktiv drehbare) 

Grafik, wie in Abb. 9.2 dargestellt. 

a:=matrix([-2.5,1,-1.5]) 

P:=matrix([0.5,1,1.5]) 

Pfeila:=plot::Arrow3d(P,P+a) 

PunktP:=plot::Point3d(P) 

PunktMinus20:=plot::Point3d(P-2*a) 

...weitere 6 Punkte 

PunktPlus20:=plot::Point3d(P+2*a) 

plot(Pfeila, PunktP, PunktMinus20, 

PunktMinus15, PunktMinus10, 

PunktMinus05, Punkt05, Punkt10, 

Punkt15, Punkt20) 

4 Einen Überblick ?über die Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik (unter Nutzung von POV-Ray) gibt Filler (2001). 

POV-Ray ist unter http://www.povray.org frei verfügbar. Kurze Anleitungen zur Verwendung dieser Software speziell für den 

Unterricht im Stoffgebiet Analytische Geometrie sowie zugehörige Vorlagen und Ergänzungen stehen im Internet (Filler, 2005) zur 

Verfügung. 

64

Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen: Generieren von Bewegungsbahnen sowie 

von Geraden und Kurven als Punktmengen 

Abbildung 9.2: Punkte einer Geraden (MuPAD) 

Anhand einer der beiden Abbildungen wird 

spätestens nach Betrachtung aus verschiedenen 

Richtungen deutlich, dass alle dargestellten Punkte 

auf einer Geraden liegen. Nach der Darstellung 

einer größeren Zahl von Punkten durch die Verkleinerung 

der Parameterabstände zeigt sich, dass 

alle Punkte der durch P verlaufenden Geraden, deren 

Richtung durch �a gegeben ist, in der Form 

P+t ·�a mit t ∈ R dargestellt werden können. 

3.2 Nutzung von Schleifen oder 

Prozeduren für die Darstellung 

großer Zahlen von Punkten 

Um größere Zahlen von Punkten zu generieren 

und somit tatsächlich sichtbar werden zu lassen, 

dass durch das Einsetzen beliebiger Parameter 

(bzw. Parameterpaare) in die Parametergleichungen 

von Geraden, Kurven und Ebenen 

die Objekte „vollständig aufgebaut“ werden können, 

wäre es sehr mühsam, für jeden darzustellenden 

Punkt eine Zeile in das Programm einzugeben 

(wie oben beschrieben). Durch die Nutzung 

elementarer Programmierkonstrukte ist es hingegen 

leicht möglich, so große Anzahlen von Punkten 

zu generieren, dass sich das Ergebnis nicht 

mehr sichtbar von Geraden bzw. Strecken 5 , Kurvenstücken 

oder Teilen von Ebenen unterscheidet. 

Durch die schrittweise Erhöhung der Zahl dargestellter 

Punkte können sich die Schüler einen 

„plastischen Eindruck“ vom Punktmengencharakter 

geometrischer Objekte verschaffen. 

Abbildung 9.3: 60 Punkte einer Geraden 

Abbildung 9.4: 400 Punkte einer Geraden 

Um die in den Abb. 9.3 und 9.4 dargestellten 

Grafiken zu erzeugen, kann in POV-Ray eine 

Schleife genutzt werden: 

#declare i=-200; 

#while (i


dem für Geraden beschriebenen Vorgehen Ebenen 

„punktweise aufbauen“ ; die folgenden Anweisungen 

und die zugehörige Abb. 9.5 verdeutlichen 

das Vorgehen unter Verwendung von POV- 

Ray, auch hierbei lässt sich natürlich die Zahl der 

dargestellten Punkte erhöhen. 

#declare P = ; 

#declare a = ; 

#declare b = ; 

#declare j=-4; 

#while (j



(jeweils mit t ∈ R) dieselbe Halbgerade. Werden 

diese Parametergleichungen verwendet, um Animationen 

zu generieren, so ergibt (1) eine gleichförmige 

und (2) eine gleichmäßig beschleunigte 

Bewegung auf dieser Halbgeraden. In Abb. 9.7 

ist dies durch die Abstände der Punkte erkennbar; 

zwischen zwei benachbarten Punkten verstreicht 

jeweils gleich viel Zeit. 

Abbildung 9.7: Erzeugung einer Halbgerade mit 

verschiedenen Parameterisierungen 

Bei etwas komplexeren Animationen ist es 

oft erforderlich, in verschiedenen Zeitintervallen 

unterschiedliche Funktionsterme für Positionen 

in Abhängigkeit vom Zeitparameter zu verwenden 

oder auch andere Größen zu animieren. 

Dazu lassen sich Verzweigungen (if-else- 

Anweisungen) einsetzen. Dies sei anhand des 

schrittweisen „Aufbaus“ einer Ebene illustriert. 

Zunächst (für Parameterwerte clock < 1) erfolgt 

der Aufbau einer Geraden entlang eines 

Richtungsvektors der gegebenen Ebene, danach 

(clock = 1..2) wird die Ebene aus dazu parallelen, 

entlang des anderen Richtungsvektors 

der Ebene verschobenen, Geraden konstruiert. In 

POV-Ray lässt sich dieses Vorgehen z. B. folgendermaßen 

realisieren: 

#declare a=; 

#declare b=; 

#declare P=; 

#if (clock


Abbildung 9.9: Sinus und Kosinus am Einheitskreis 

Eine Verallgemeinerung auf Kreise in Mittelpunktslage 

mit beliebigem Radius r ist leicht möglich, 

woraus die Parameterdarstellung 

x(a) = r · cosα 

y(a) = r · sinα 

mit α ∈ [0;2π) eines Kreises der Ebene, dessen 

Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, hergeleitet 

werden kann. 8 Sollen verschiedene Größen 

animiert werden, so ist es im Sinne der Übersichtlichkeit 

sinnvoll, das Intervall des Animationsparameters 

(der Zeit) zu normieren und die obige Parameterdarstellung 

in der Form 

x(a) = r · cos(2π ∗ t) 

y(a) = r · sin(2π ∗ t) 

mit t ∈ [0;1) zu schreiben. Parameterdarstellungen 

von Kreisen, die im Raum auf Koordinatenebenen 

oder dazu parallelen Ebenen liegen, ergeben 

sich daraus, indem eine der drei Koordinaten 

als Konstante dargestellt wird, z. B. z(t) = h. 

Ausgehend von diesen Überlegungen können die 

Schüler eine Animation einer kreisförmigen Bewegung 

generieren. In POV-Ray lässt sich z. B. 

durch die Anweisungen 

#declare r = 10 

sphere { < r*cos(2*pi*clock), 0, 

r*sin(2*pi*clock) > 1 } 

die Animation einer Kugel auf einer Kreisbahn 

erzeugen. 9 Da für die Erlangung eines Überblicks 

über den Ablauf von Animationen oft die 

Darstellung der verwendeten Bewegungsbahnen 

sinnvoll ist, kann zusätzlich die „Spur“ der Kugel 

dargestellt werden, so dass bei Betrachtung der 

Animation sichtbar wird, welche Bahn das Objekt 

zurückgelegt hat. Die Vorgehensweise dazu 

entspricht der bereits für Geraden beschriebenen 

Erzeugung einer Vielzahl kleiner Kugeln (siehe 

Abb. 9.10); im Falle einer kreisförmigen Bahn z. 

B. mithilfe folgender Schleife: 

#declare i=0; 

#while (i 0.1 } 

#declare i=i+1; 

#end 

Abbildung 9.10: Darstellung der Spur einer Kugel 

5.2 Kameraanimationen 

Wird anstelle eines geometrischen Objektes die 

Position der „Kamera“, von welcher aus die Szene 

betrachtet wird, zeitabhängig beschrieben, so entsteht 

eine Animation, bei der sich der Blick auf 

alle Objekte einer Szene verändert. So kann z. B. 

mittels 

camera { location 

< r*cos(2*pi*clock), 4, 

r*sin(2*pi*clock) > 

angle 12 look_at } 

in POV-Ray ein Kameraflug auf einer kreisförmigen 

Bahn simuliert werden, wobei die Kamera 

stets auf den Koordinatenursprung gerichtet 

bleibt. Einige Beispiele zu Kameraanimationen 

befinden sich auf Filler (2005). 

Hinsichtlich der notwendigen mathematischen 

Überlegungen ist es unbedeutend, ob die Schüler 

die Animation eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden 

Objektes (z. B. einer Kugel) oder eine 

Kameraanimation erstellen, bei der sich die Sicht 

auf eine gesamte Szene verändert; erfahrungsgemäß 

ist Letzteres für die Mehrzahl der Schüler 

interessanter. Um jedoch Bewegungskurven sichtbar 

werden zu lassen, empfiehlt es sich, nicht nur 

Kameraanimationen zu erstellen, sondern in Ergänzung 

dazu auch sichtbare Objekte zu animieren. 

8 Durch die Addition von Mittelpunktskoordinaten lässt sich diese Parameterdarstellung auf beliebige Kreise in der Ebene verall- 

gemeinern: x(a) = r cosα + xM, y(a) = r sinα + yM 

9 Auch mithilfe der CAS Maple, Mathematica und MuPAD können Animationen erstellt werden, eine sich auf einer Kreisbahn in 

einer zur xy-Ebene parallelen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegende Kugel mit dem Radius rk lässt sich in MuPAD 

z. B. durch plot::Sphere(rk, [r*cos(t),r*sin(t),h], t = 0..2*PI) animieren. 

68



5.3 Variationen von Kreisen: Spiralen 

und Schraubenlinien 

Nach der Behandlung der Parametergleichungen 

von Kreisen liegt es nahe, durch geeignete Veränderungen 

daran „verwandte“ Kurven parametrisch 

zu beschreiben. Dazu lassen sich folgende Fragen, 

die von den Schülern zu erwarten sind, aufgreifen: 

• Wie kann die Kamera um ein Objekt kreisen 

und sich diesem gleichzeitig annähern? 

• Wie lässt sich bei einer kreisförmigen Bewegung 

der Kamera gleichzeitig deren Höhe ändern, 

so dass Objekte aus unterschiedlichen Höhen 

betrachtet werden. 

Natürlich lassen sich beide Fragen auch so stellen, 

dass sie den Verlauf von Kurven betreffen. 

Für die Realisierung der zuerst genannten Eigenschaft 

kann (zumindest mit Hilfen) von den Schülern 

herausgearbeitet werden, dass dazu die Konstante 

r, die für den Radius des zuvor betrachteten 

Kreises eingesetzt wurde, durch eine Funktion 

r(t) des sich zeitlich verändernden Parameters 

t ersetzt werden muss, z. B. durch r · (1 − t) 

, falls sich der Abstand zum Mittelpunkt im Verlauf 

der Animation von r auf 0 verringern soll (für 

t ∈ [0;1]). Durch diese Überlegung ergibt sich unmittelbar 

die Parameterdarstellung einer archimedischen 

Spirale: 

x(t) = r(1 − t)cos(2πt) 

y(t) = r(1 − t)sin(2πt) 

z(t) = h . 

Auf dieser Grundlage können geometrische 

Objekte oder die Kamera entlang einer archimedischen 

Spirale bewegt werden, wobei die oben für 

kugelförmige Bahnkurven beschriebenen Befehle 

entsprechend zu variieren sind. Allerdings wird 

die Form der Spirale besser sichtbar, wenn zwei 

Umdrehungen durchlaufen werden, was durch Ersetzen 

von (2πt) durch (4πt) in den trigonometrischen 

Termen der Parameterdarstellung erreicht 

wird (siehe Abb. 9.11). 

Abbildung 9.11: Archimedische Spirale 

Bei der Diskussion der o. g. zweiten Frage 

dürfte es den Schülern leicht fallen, zu erkennen, 

dass zur zeitabhängigen Veränderung der „Höhe“ 

die vorher konstant gehaltene dritte Koordinate 

durch eine Funktion des Parameters zu ersetzen 

ist. Wird dafür eine lineare Funktion gewählt (im 

einfachsten Falle y = t bzw. z = t — je nachdem, 

welche Koordinate bei der Beschreibung von 

Kreisen konstant gehalten wurde), so entsteht aus 

der Kreisgleichung die Gleichung einer Schraubenlinie, 

z. B. für t ∈ [0,1]: 

x(t) = r cos(4πt) 

y(t) = t 

z(t) = r sin(4πt) . 

Abbildung 9.12: Schraubenlinie 

Durch die Kombination beider Überlegungen, 

die vom Kreis zur Spirale bzw. zur Schraubenlinie 

führten (parameterabhängige Beschreibungen des 

Radius und der „Höhe“ in der ursprünglichen Parameterdarstellung 

eines Kreises) entsteht bei Verwendung 

linearer Funktionen in t eine konische 

Spirale mit einer Parameterdarstellung der Form 

x(t) = r(1 − t)cos(4πt) 

y(t) = t 

z(t) = r(1 − t)sin(4πt) . 

69


Abbildung 9.13: Konische Spirale 

Weitere Variationen der bisher betrachteten 

Kurven ergeben sich aus der Verwendung nichtlinearer 

Funktionsterme in t für die Höhe bzw. 

den Radius. So kann die Aufgabe gestellt werden, 

die Parameterdarstellung der Schraubenlinie 

so zu verändern, dass sich deren Punkte zunächst 

sehr langsam und später schneller von denen 

des ursprünglichen betrachteten Kreises entfernen. 

Ebenso sind Variationen der archimedischen 

Spirale möglich. 

Durch Multiplikation der trigonometrischen 

Terme in den Parameterdarstellungen mit unterschiedlichen 

Faktoren (anstelle eines einheitlichen 

Radius) ist auch die Erzeugung von Ellipsenbahnen 

sowie Bahnen auf „elliptischen Spiralen“ und 

„elliptischen Schraubenlinien“ möglich. 10 

Durch Variationen an Parameterdarstellungen 

von Kurven und die dadurch erfolgende Beschreibung 

„neuer“ Kurven ergeben sich reichhaltige 

Möglichkeiten für funktionale Überlegungen, bei 

denen die Schüler ausgehend von qualitativen Beschreibungen 

gewünschter Kurvenverläufe überlegen, 

durch welche Funktionsterme diese entstehen 

können und ihre Überlegungen mithilfe der 

Software überprüfen. 

5.4 Vektorielle Parameterdarstellungen 

— der schräge Wurf 

Sollen im Unterricht vektorielle Beschreibungen 

und Vorgehensweisen im Vordergrund stehen, so 

bietet es sich an, von Parameterdarstellungen von 

Geraden auszugehen. Wie bereits ausgeführt wurde, 

erhält der Parameter, wenn er als Zeit interpretiert 

wird, einen neuen Aspekt, der die geometrische 

Gestalt der beschriebenen Objekte nicht beeinflusst, 

aber Auswirkungen auf die Geschwindigkeit 

von Bewegungen hat. Bei der Arbeit mit 

Animationen lassen sich somit Verbindungen zum 

Physikunterricht herstellen, funktionale Aspekte 

durch die Betrachtung unterschiedlicher Funktionen 

f(t), die den Zeitparameter ersetzen, vertiefen 

sowie einfache Simulationen erstellen. 

Nach den gängigen Rahmenplänen werden 

im Physikunterricht der Sekundarstufe II Bewegungen 

vektoriell beschrieben, wobei der schräge 

Wurf Unterrichtsgegenstand ist. Dieser kann als 

eine aus einer gleichförmigen und einer gleichmäßig 

beschleunigten Bewegung zusammengesetzte 

Bewegung aufgefasst werden. Durch die Addition 

einer in t linearen Komponente und des mit 

t 2 multiplizierten Beschleunigungsvektors in der 

Gleichung 

�x =�x0 +�v ·t + 1 

�g ·t2 

2 

des schrägen Wurfes ergibt sich die Wurfparabel. 

Eine entsprechende Animation lässt sich in POV- 

Ray durch die folgenden Anweisungen generieren. 

#declare x0 = ; 

#declare v0 = ; 

#declare g = ; 

sphere { x0 + v0*clock 

+ g/2*clock*clock 0.25} 

6 Fazit 

Abbildung 9.14: Wurfparabel 

Die vorgestellten Beispiele zeigen, dass es mit 

recht elementaren mathematischen Mitteln, die an 

den Unterricht der Sekundarstufe I anknüpfen, 

möglich ist, interessante Kurven zu modellieren 

und auf dieser Grundlage Animationen zu erstellen. 

Allerdings darf die dazu erforderliche Zeit 

nicht unterschätzt werden. Selbst für relativ elementar 

erscheinende funktionale Überlegungen, 

die z. B. von Kreisen zu Spiralen oder Schraubenlinien 

führen, brauchten in von mir durchgeführten 

Seminaren auch Studierende recht lange — 

da sie diese Überlegungen als interessant empfanden 

und in Experimentierfreude verfielen, waren 

sie jedoch bereit, relativ viel Freizeit dafür aufzuwenden. 

Dies dürfte auch bei vielen Schülern 

der Fall sein, da die Erstellung interessanter Videos, 

wie mehrfach erwähnt, überaus motivierend 

für Jugendliche ist. 

10 Mit POV-Ray und MuPAD erstellte Beispiele mit Animationen auf Ellipsenbahnen stehen (einschließlich der zugehörigen Beschreibungen, 

die sich natürlich vielfältig variieren lassen) im Internet (Filler, 2005) zur Verfügung. 

70



Für die Beschreibung der geometrisch und 

auch hinsichtlich der Erstellung von Kameraanimationen 

besonders interessanten Spiralen ist die 

Vektorrechnung nicht erforderlich; hierfür ist es 

sinnvoller, mit Koordinatenbeschreibungen zu arbeiten. 

Allerdings sind auch ausgehend von vektoriellen 

Geradengleichungen interessante Überlegungen 

zu Bewegungsbahnen möglich. Aus mathematikdidaktischer 

Sicht halte ich den beschriebenen 

Gegenstandsbereich vor allem deshalb für 

lohnenswert, weil die Beschäftigung damit anspruchsvolle 

Überlegungen zu funktionalen Zusammenhängen 

„anstößt“, die bei der gegenwärtig 

dominierenden Behandlung von Parameterdarstellungen 

im Unterricht oftmals nicht hinreichend 

auftreten. 

Die Veranschaulichung von Geraden, Ebenen 

und Kurven durch eine große Zahl von Punkten 

erfordert die Einbeziehung einiger typischer Inhalte 

der Informatik in den Mathematikunterricht 

(Schleifen bzw. Prozeduren und für komplexere 

Animationen auch Verzweigungen). Diese können 

anhand der behandelten Inhalte plausibel gemacht 

und genutzt werden, ohne dass dafür ein zu großer 

Zeitaufwand betrieben werden müsste. Natürlich 

wäre es hierbei auch sinnvoll, mit dem Fach Informatik 

zu kooperieren, falls Schüler der unterrichteten 

Kurse den Informatikunterricht besuchen. 

Literatur 

Filler, Andreas (2001): Dreididemsionale Computergrafik und 

Analytische Geometrie, Vorschläge für den Mathematikunterricht 

in der Sekundarstufe II. mathematica didactica, 

2, 21–56, URL http://www.ph-heidelberg.de/wp/ 

filler/3D/frameie4.html 

Filler, Andreas (2005): 3D-Computergrafik und die Mathematik 

dahinter. URL http://www.afiller.de/3dcg 

MaDiN (2004): Didaktik der Oberstufengeometrie und Linearen 

Algebra. URL http://www.madin.net 

Tietze, U.-P. (2000): Didaktik der Analytischen Geometrie und 

Linearen Algebra (unter Mitarbeit von P. Schroth und Gerald 

Wittmann). In: Tietze, U.-P., M. Klika & H. Wolpers (Hg.): 

Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 2, Vieweg 

Wittmann, Gerald (2003): Schülerkonzepte zur Analytischen 

Geometrie. Hildesheim: Franzbecker 

71


72

• Krypto-logisch 

Dörte Haftendorn, Lüneburg 

Ohne PIN-Nummern, sicheren Datentransfer, digitale Signatur u.a. ist unsere Welt nicht mehr denkbar. 

Die moderne Kryptografie beruht auf Berechnungen modulo großer Primzahlen oder Primzahlprodukten. 

Sie hat ihre Wurzeln damit in Algebra und Zahlentheorie, ist aber schon mit überschaubaren 

Primzahlen ohne Computer nicht zu bewältigen. Zentrale algorithmische Anforderungen liegen 

beim erweiterten Euklidischen Algorithmus und beim Potenzieren im Modul. Informatische Aspekte 

sind also die Entwicklung von entsprechenden Funktionen. Die großen CAS können das, für den 

TI voyage werden Lösungen vorgestellt. Auch die Abarbeitung eines kryptografischen Protokolls ist 

ein Algorithmus im klassischen Sinn. 

Der Vortrag beruht auf Erfahrungen im Informatikunterricht des Gymnasiums und in Vorlesungen 

für Lehramtsstudierende. Für letztere dient die Kryptografie als Ziel und Sinngebung für die Themen 

„Algebra und Zahlentheorie“. Es ist faszinierend wie hier ein gesellschaftlich außerordentlich 

wichtiges Thema in schulisch überschaubarem mathematischen Handeln transparent wird. 

1 Mathematische Grundlagen 

des RSA-Verfahrens 

In der Kryptografie werden Primzahlen in der 

Größenordnung von 150 dezimalen Stellen verwendet. 

Die Sicherheit der Verfahren beruht darauf, 

dass das Produkt aus zwei solchen Primzahlen 

nicht effektiv wieder zerlegt werden kann. 

Im Folgenden wird das Vorgehen mit kleinen 

Primzahlen verdeutlicht. Sei dafürp = 11,q = 

13,n = pq = 143. Aus den Restklassen modulo n 

werden die zu n teilerfremden zu der Menge Z∗ n 

zusammengefasst, mit der Multiplikation modulo 

n bilden diese die „prime Restklassengruppe“. 

Sie enthält ord(Z∗ n ) = ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) Elemente. 

Hier fallen aus den Zahlen bis 143 die 11- 

Vielfachen und die 13-Vielfachen weg, es bleiben 

ϕ(143)= 10·12= 120 Teilerfremde. In allen endlichen 

Gruppen G gilt a ∈ G ⇒ aord(G) = 1, also 

hier a ∈ Z∗ n ⇒ aϕ(n) = 1 (Eulerscher Satz, Begr. 

s.u.). 

Daher kann man in den Exponenten modulo 

ϕ := ϕ(n) rechnen. Das reduziert die Exponenten 

in der Größe, denn 

a 247 ≡a 7 

(mod 143). 

Viel wichtiger für die Kryptografie ist aber, dass 

die Exponenten, die teilerfremd zu ϕ sind, Inverse 

modulo ϕ haben. In diesem Beispiel gilt für alle 

a ∈ Z ∗ n nämlich 

a 7·103 ≡ a 721 ≡ � a 120�6 a 1 = 1 6 · a = a . 

Nun wählt man also beim RSA-Verfahren 

einen „öffentlichen Schlüssel“ e ∈ Z∗ ϕ. Weil 

� 

Z∗ ϕ,· � eine Gruppe ist, gibt es das Inverse d ∈ Z∗ ϕ 

mit ed = 1 in Z∗ ϕ . Also gilt für eine Nachricht 

m ∈ Z∗ n immer med = m in Z∗ n. 

Man beschafft d aus e und ϕ mit dem erweiterten 

euklidischen Algorithmus, der die „Vielfachsummendarstellung“ 

1 = de+ tϕ ≡ de (mod ϕ) 

erzeugt. Man veröffentlicht e und n und hält d geheim. 

Im RSA-Protokoll ist c = m e ,m ∈ Z ∗ n die verschlüsselte 

Nachricht (message), die der Empfänger 

durch Potenzierung mit dem geheimen d entschlüsseln 

kann: 

c d = (m e ) d = m ed = m 1 = m 

Bei der digitalen Signatur wird von dem Signierenden 

mit d potenziert, von dem Verifizienden 

mit dem öffenlichen Schlüssel e. Alle Rechungen 

finden modulo n statt. 

2 Didaktische Aspekte 

Je nachdem, in welchen Zusammenhang man eine 

Lehreinheit zur Kryptografie stellen möchte, ergeben 

sich natürlich jeweils andere Schwerpunkte. 

Ganz sicher aber müssen Primzahlen, Teilbarkeit 

und ggT thematisiert werden. Bei letzteren ist die 

Beschaffung aus dem Euklidischen Algorithmus 

unerlässlich, da man mit ihm durch Rückwärtsarbeiten 

an die Vielfachsummendarstellung herankommt. 

Diesen Algorithmus sollen die Lernenden 

„von Hand“ können, aber für eine sinnvollen Arbeit 

mit kryptografischen Protokollen muss unbedingt 

ein CAS eingesetzt werden (s.u.). Als zweites 

Standbein der Kryptografie ist das Rechnen 

in Restklassenringen zu erarbeiten. Erfahrungsgemäß 

wird das schnell verstanden. Allgemeinere 

Stukturüberlegungen sind nicht unbedingt nötig, 

gehören aber in der Lehrerausbildung sicher dazu. 

Der Begriff „Ordnung eines Gruppenelementes 

a“ als kleinste Zahl k mit a k = 1 kann ebenso 

wie die Tatsache, dass die Elementordnung 

die Gruppenordnung teilt, aus der Betrachtung 

von Potenzen-Tafeln der Primen Restklassengruppe 

Z ∗ n gewonnen werden. Bildet man die Nebenklassen 

g · 〈a〉 der von einem Element a erzeugten 

Untergruppen und überlegt, dass sie alle gleiche 

Elementzahl haben, dann ist der Eulersche 

73


Abbildung 10.1: Potenztafel der primen Restklassengruppe und Berechnungen in dieser 

Satz (s.o.) bewiesen. Rückgriffe auf gruppentheoretische 

Ergebnisse, die den Lernenden nicht einleuchten, 

sind — entgegen häufiger Formulierung 

in Büchern — nicht nötig. Mit diesem „Rüstzeug“ 

können mindestens fünf wichtige kryptografische 

Verfahren verstanden werden, ebenso auch digitale 

Signatur, Zertifizierungen und elektronisches 

Geld. Dies ist eine hinreichend breite Palette, die 

auch Klausuren u.ä. erlaubt. 

3 Algorithmische Aspekte im 

Hinblick auf die Lehre 

Der erweiterte Euklidische Algorithmus ist sowieso 

lehrreich, muss aber hier als CAS-Befehl vorliegen. 

Für den TI voyage hat die Autorin ein 

Progamm entwickelt (Haftendorn, 2005), ein Informatikkurs 

könnte dies als eine Aufgabe bekommen. 

Durchaus algorithmisch interessant sind 

ja auch schon die Erzeugung passender Mengen, 

Folgen und Tafeln wie oben bei der Potenzentafel 

gezeigt. Auch zu Primzahltest sollten zumindest 

Überlegungen angestellt werden. 

Die Sicherheit der modernen Kryptografie beruht 

ja auf der Unmöglichkeit, Zahlen von weit 

über 200 Stellen effektiv in ihre Faktoren zu zerlegen. 

Da muss man auch anders als man es bei 

kleinen Zahlen macht entscheiden können, ob eine 

150 Stellen lange Zahl Primzahl ist oder nicht. 

Schulisch leicht erreichbar ist der „Kleine Fermatsche 

Satz“ als Spezialfall des Eulerschen Satzes 

(s.o.): Für p prim gilt 

a 

Diese letzte (notwendige aber nicht hinreichende) 

Bedingung ist algorithmisch und auch von den 

Lernenden leicht zu prüfen. Ist sie verletzt, kann p 

keine Primzahl sein. 

Als ganz wichtig erweist sich ein geschickter 

Umgang mit der Potenzierung im Modul, 

denn auch bei recht kleinen Zahlen sprengen 

die Potenzen schnell den Bereich für eine exakte 

Zahldarstellung. In obigem Beispiel könnte 

127 103 mod 143 vorkommen und es ist klar, dass 

man nicht erst die 216 dezimalen Stellen der Potenz 

berechnen sollte, bevor man den Rest modulo 

74 

143 bestimmt. Die CAS halten den Befehl „Powermod“ 

bereit, für den TI voyage muss er programmiert 

werden. Die Idee ist, iterativ zu quadrieren, 

stets sofort modular herunterzubrechen 

und nur gewisse Zwischenergebnisse als Faktoren 

in die sich so bildende Potenz aufzunehmen. Und 

zwar denkt man sich den Exponenten als Dualzahl 

geschrieben, die man rechts beginnend durchgeht, 

und man fügt genau dann ein, wenn man eine 1 

liest. 

Des Weiteren muss die Überführung einer 

Wortnachricht in eine Zahl (und zurück) thematisiert 

werden. Es eignet sich eine geschickte Ausnutzung 

des ASCII-Codes. 

Die kryptografischen Verfahren selbst sind Algorithmen 

im klassischen Sinn. Sie haben meist 

eine Schlüsselerzeugungsphase und eine Anwendungsphase. 

Manchmal, wie zum Beispiel beim 

Diffie-Hellmann-Verfahren, wird ein Schlüssel erzeugt, 

der dann für ein ganz anderes Verfahren 

verwendet wird. Jedenfalls ist die schrittweise 

Duchführung „von Hand“ unterrichtlich unentbehrlich. 

„Von Hand“ heißt hier mit einem Werkzeug, 

das „ggt-erweitert“ und „powermod“ ausführen 

kann. 

Als nächste Stufe sind kommentierte CAS- 

Dateien oder Tutorskripten beim TI voyage hilfreich 

(Haftendorn, 2005). Ihre Erstellung ist auch 

als Aufgabe höchst sinnvoll. 

Zu den klausurfähigen Kompetenzen sollte die 

Interpretation und die Erstellung solcher Texte gehören. 

Auch eine graphische Verdeutlichung, wer 

was rechnet, was wem bekannt ist, wer was wem 

schickt u.s.w. ist alles andere als trivial. Ein Informatikkurs 

könnte auch ein Programm erstellen, 

das das Verfahren vollständig „durchzieht“. Für 

alle anderen Lernenden halte ich das Arbeiten mit 

fertigen „Tools“ zumindest für den Anfang nicht 

für so sinnvoll, da dabei das Vorgehen zu stark 

verborgen wird (z.B. Uni Siegen & Uni Darmstadt, 

2005). Hat man aber für das oben Dargestellte 

zeitlich oder curricular gar keinen Platz, so 

ist die erläuterte Anwendung so eines Tools noch 

um ein Vielfaches besser als die Vermeidung dieses 

Themas. 

Die klassische Kryptografie (Alphabet-

Verschiebungen u.ä.) ist allenfalls für sehr junge 

Lernende oder als Einstieg sinnvoll. Es handelt 

sich ausschließlich um Historie. Man mache 

sich klar, dass die mit moderner Kryptografie verschlüsselten 

Texte keinerlei „Muster“ aufweisen, 

die man irgendwie doch herauskriegen könnte. 

Angreifen kann man ausschließlich mit mathematischen 

Vorgehensweisen in Modulringen. 

4 Gesellschaftliche Aspekte 

„Kryptografie umgibt uns“ könnte man pointiert 

sagen. Jedenfalls ist kein anderes mathematisches 

Teilgebiet in unser Welt so allgegenwärtig. Die 

gute alte Geldbörse mutiert schon zur einer Kartenbibliothek, 

jede solche Karte kommuniziert in 

der Sprache der Kryptografie mit dem Automaten, 

in den sie gesteckt wird, dieser sendet und empfängt 

verschlüsselte Daten von seinem Auftraggeber. 

Beim Handy-Telefonieren, beim Internetein- 

Krypto-logisch 

kauf, beim Online-Banking, bei der Software — 

überall geht es um Autentifizierung, sicheren Datentransport, 

Zertifizierung — um kryptografische 

Anwendungen. 

Es wird Zeit, dass sich jede mathematische 

Ausbildung diesen Fragen stellt, insbesondere 

dürfte es heute keine Mathematiklehrerausbildung 

mehr ohne Kryptografie geben. Mindestens die 

Mathematik-Lehrenden müssen die Kompetenz 

erwerben, das Thema altersgemäß und verständlich 

zu unterrichten, die Lernenden handelnd einzubeziehen 

und ihnen das Gefühl zu vermitteln, 

für?s Leben etwas gelernt zu haben. 

Literatur 

Haftendorn, Dörte (2005): Kryptografie. URL http:// 

www.mathematik-verstehen.de 

Uni Siegen & Uni Darmstadt (2005): URL http://www. 

cryptool.de 

75


76

• Strukturieren mit Algorithmen 

Ulrich Kortenkamp, Schwäbisch Gmünd 

„Algorithmen“ im Mathematikunterricht werden zurecht kritisch gesehen; Mathematik treiben lässt 

sich nicht darauf reduzieren, den richtigen Algorithmus zu identifizieren und dann „ablaufen“ zu 

lassen. Es ist nicht einzusehen warum Verfahren, die eine Maschine problemlos durchführen kann, 

überhaupt in Mathematik gelehrt werden sollen – oder doch? 

Dieser Artikel soll das (Auswendig-)Lernen und Ausführen von Algorithmen einem sinnvollen Einsatz 

von Algorithmen gegenüber stellen. Dazu gehört, dass Strukturen sichtbar gemacht werden, die 

ohne Algorithmus verborgen blieben, Modelle erschlossen werden, deren Eigenschaften ohne Algorithmus 

unklar blieben, und Grundbegriffe isoliert werden, da sie als Basis-Bausteine für Algorithmen 

dienen. Es wird ebenso diskutiert, welche Rolle das Programmieren im Mathematikunterricht 

dabei spielen kann. 

1 Algorithmen in der Schule? 

Dieser Artikel soll unterstreichen, dass „algorithmisches 

Denken“ im Mathematikunterricht dabei 

helfen kann Mathematik in vielfältiger Weise 

zu strukturieren. Schülerinnen und Schüler, aber 

auch Lehrerinnen und Lehrer können über Algorithmen 

mathematische Probleme und ihre Lösungen 

wirklich durchdringen. Man mag meinen, 

dass Algorithmen — als maschinennahe Beschreibung 

von Lösungswegen —, Schülerinnen und 

Schüler eher zur maschinenartigen, unkreativen, 

ja unmenschlichen Abarbeitung von mathematischen 

Problemen erziehen, doch mit Bedacht und 

Verstand eingesetzt ist, nach Auffassung des Autors, 

das Gegenteil möglich. 

Algorithmen liefern damit einen großen Beitrag 

zur standardmäßig geforderten Problemlösekompetenz 

und zum mathematischen Modellieren 

(KMK, 2003). Zugleich binden Sie die Schulmathematik 

wieder an die „echte“ und angewandte 

Mathematik an. Das Kopfrechnen hat seinen Platz 

zu recht gegenüber dem Taschenrechner verteidigen 

können, doch wenn wir die Möglichkeit haben, 

die Mathematik so im Unterricht zu unterrichten, 

wie sie in der „realen Welt“ gebraucht 

wird, und dabei gleichzeitig noch wunderbare, 

interessante, anregende Anknüpfungspunkte für 

geistige Herausforderungen geboten bekommen, 

dann müssen wir zugreifen! 

2 Rezepte oder Algorithmen? 

Freudenthal (1972, S. 25) schreibt, nach einer 

Analyse der Schlampigkeiten in der mathematischen 

Sprache, und der Vermutung, dass bessere 

sprachliche Mittel zu einer besseren Vermittlung 

von Mathematik führen: 

Ich sagte schon, daß die Vervollkommnung 

der mathematischen 

Sprache ungehemmt weitergeht. Der 

Endzustand wäre eine Sprache, die 

so exakt ist, daß eine Rechenmaschine 

sie hantieren kann. [. . . ] Wollen 

und weiter 

wir jemandem etwas mitteilen, so erspart 

es uns viel Mühe, wenn wir mit 

seinem wohlwollenden Verständnis 

rechnen können. [. . . ] 

Inzwischen möchte ich aber schon 

sagen, daß das Formalisieren, wenn 

auch bis jetzt meist innerhalb der Mathematik 

geübt, sich in der Zukunft 

als die am wirksamsten transferable 

Tätigkeit des Mathematikers erweisen 

wird. 

Tatsächlich ist die Beherrschung von formalen 

Sprachen und die Formalisierung auch nichtmathematischer 

Situationen seit vielen Jahren das 

Hauptargument für die Einstellung von Mathematikern. 

Selbst eine gewisse Weltfremdheit wird 

gern verziehen. Dennoch, wir unterrichten nicht 

Mathematik, um aus Menschen Mathematiker zu 

machen (selbst wenn diese bessere Einstellungschancen 

haben)! 

Zu der damaligen Zeit war die ubiquitäre Verbreitung 

des Computers noch fern der Realität, 30 

Jahre später hingegen sind die Computer allgegenwärtig. 

Computer beherrschen inzwischen nicht 

mehr nur die Berufswelt, sondern auch große Teile 

des Privatlebens. Moderne Telefone sind weitaus 

leistungsfähiger als die „Rechenmaschinen“ der 

1970er Jahre. Insofern ist die Beherrschung dieser 

Maschinen für die Entwicklung mündiger Menschen 

unerlässlich. 

Algorithmen werden oft auch als Rezepte bezeichnet, 

und gerade das rezepthaftige an Algorithmen 

gibt im Kontext des Mathematikunterrichts 

Anlass zu Kritik. Anstatt ein Problem zu 

verstehen, eine Lösung zu beherrschen, arbeiten 

die (schwächeren) Schülerinnen und Schüler 

ein Rezept ab, welches meist zur korrekten Lösung 

führt. Mathematik beherrscht man also dann, 

wenn man zu einer Aufgabe meistens das richtige 

Rezept auswählt, und dann sorgfältig abarbeitet?!? 

— gewiss nicht! 

77


In diesem Artikel soll zwischen Algorithmen 

und Rezepten unterschieden werden. Zu den Rezepten 

zählen alle Lösungsstrategien, die ohne 

weiteres Nachdenken oder tieferes Durchdringen 

benutzt werden können, um eine – nicht unbedingt 

korrekte – Antwort auf eine Frage zu erhalten. Algorithmen 

sind hinreichend formale Vorschriften 

zur Lösung von klar definierten Problemen, mit 

Anforderungen an die zur Anwendung (Verarbeitung) 

notwendigen Informationen (Eingabe) und 

erwünschte Ergebnisse (Ausgabe). An drei Beispielen 

möchte ich ausführen, in welchen Situationen 

solche Algorithmen auftauchen und wie sie 

im Unterricht verwendet werden können. 

2.1 Strukturieren mit Algorithmen 

Nimmt man ein Standardwerk für den Mathematikunterricht 

in der fünften Klasse zur Hand, so 

kann man dort die offizielle 1 Einführung der Rechenregeln 

für Terme finden. Ein Beispiel findet 

sich in Abb. 11.1. 

Diese Regeln decken sich mit dem, was bei 

den meisten Erwachsenen noch aus der Schulzeit 

in Erinnerung bleibt — „Klammern zuerst“, 

„Punkt vor Strich“ —, die Regel „von links nach 

rechts“ bleibt allerdings schon oft auf der Strecke, 

es ist ja auch zu offensichtlich, und wenn nicht, 

dann ist es auch meist nicht schlimm, die Regel zu 

ignorieren. Die Beispiele in Abb. 11.1 zeigen das 

sehr schön; nur bei Beispiel (d) muss man wirklich 

aufpassen, und weil man das gern vergisst, wird 

man dort auch noch einmal erinnert. 

Abbildung 11.1: Rechenregeln in Welt der Zahl, 

5. Klasse 

Auffällig ist, dass diese Regeln nur dann funktionieren 

können, wenn maximal ein Klammerpaar 

in einer Aufgabe vorkommt — die bessere 

Formulierung „Klammern von innen nach außen 

auflösen“ könnte hier helfen. Das muss sie aber 

gar nicht, denn keine Übungsaufgabe in diesem 

Buch stellt die Lernenden vor diese Schwierigkeit, 

so dass hier glücklicherweise (?) keine Probleme 

zu erwarten sind. 

Ob die Regeln wirklich verstanden worden 

sind, lässt sich am besten durch Umkehraufgaben 

wie folgt überprüfen: 

Setze Klammern, so dass die Gleichung stimmt: 

10+2+7·10+50 · 4= 600 

Nahezu allen Schülerinnen und Schülern ist 

klar, welche Rechenreihenfolge richtig wäre, aber 

nur wenige können die Klammern richtig setzen! 2 

Die interessanteste Lösung ist sicher diese: 

(10+(2+7) · 10)(+)50 · 4= 600 

— die Klammern um das Plus-Zeichen sollen dafür 

sorgen, „dass das zuerst gerechnet wird“, also 

vor der Multiplikation mit 4. 

Die Regeln des Schulbuches sind tatsächlich 

nicht nur unsauber formuliert, sondern ganz und 

gar unbrauchbar, insbesondere sobald es um Aufgaben 

mit mehreren Klammern geht. Die durch 

die Nummerierung suggerierte Reihenfolge ist 

hinfällig, je nach Term muss zuerst Regel 2 oder 

Regel 1 oder Regel 3 beachtet werden — eine Katastrophe, 

denn die Regeln sollten doch auf eine 

nachvollziehbare Art und Weise die Konstruktion 

der Rechenreihenfolge beschreiben! 

Wie sähen denn richtige Regeln aus? Hier sei 

wieder Freudenthal (1972, S. 270) zitiert, der unter 

der Überschrift „Die Sprache der algebraischen 

Formeln“ folgendes Regelwerk angibt, welches 

nicht aus sukzessiv auszuführenden Anweisungen 

besteht, sondern aus gleichzeitig zu beachtenden 

Prinzipien: 

Prinzip A „Man führe alles hintereinander aus, 

wie es geschrieben steht, von links nach 

rechts. 

Prinzip B Man schreibe, was abweichend von 

der linearen Ordnung zusammengehören 

soll, untereinander. 

Prinzip C Überstrichenes gehört zusammen 

Prinzip D Klammerpaare umschließen Zusammengehöriges 

Prinzip E Gewisse algebraische Operationen bewirken 

Zusammengehörigkeit 

Prinzip F Gewisse Interpunktionen bewirken 

Trennung 

Die Aufzählung sollte klarmachen, daß die Formelsprache 

durchaus nicht so einfach ist, wie man 

gerne glaubt.“ 

Zur Erläuterung: Prinzip B bezieht sich zum 

Beispiel auf Brüche, die die neue Reihenfolge 

auch grafisch „bündeln“ ; Prinzip C bezieht sich 

auf Wurzeln oder die (in der Schule selten anzutreffende) 

Konjugation. 

Prinzip E spiegelt die „Punkt vor Strich“ - 

Regel wieder. Hier findet sich auch die Erklärung, 

1 Viele Schülerinnen und Schüler haben diese Regeln bisher intuitiv angewendet oder in früheren Klassen bereits kennen gelernt 

2 Vielen Dank an Angelika Marschall und die Klasse 5a der Rückert-Schule in Berlin-Schöneberg, wo ich diese Aufgabe beobach- 

ten durfte. 

78

warum diese Regel wirklich sinnvoll ist: Spricht 

man von drei Kühen, so multipliziert man eine 

Kuh mit 3 — und das sollte besser nicht getrennt 

werden. Denn drei Kühe und vier Schafe sind bestimmt 

nicht vier Schafe, zu denen sich drei Kuh- 

Schafe 3 gesellen, oder in Zeichen: 

3 · K + 4 · S �= ((3 · K)+4) · S)= (3KS)+(4S)! 

Algorithmisches Auswerten von Termen 

Man kann also zustimmen: „Das System ist viel 

komplizierter.“ (Freudenthal, 1972, S. 270) 

Dies sollte uns aber nicht verleiten, dieses System 

zu unterrichten; der Erfolg eines solchen Ansinnens 

ist vorhersagbar gering, und ob für ein 

späteres erfolgreiches Mathematik-Leben dieses 

Regelwerk notwendig ist, mag bezweifelt werden. 

Was wir aber aus diesen Prinzipien lernen können, 

ist, dass ein einfaches System von hintereinander 

anzuwendenden Regeln nicht funktioniert 

und für schwächere Schülerinnen und Schüler — 

nur um die geht es — keine Hilfe und Orientierung 

bietet, sondern nur ein Überlebensrezept für 

den Unterricht, mit dem einfache Aufgaben meist 

gelöst werden können, schwierige manchmal, und 

das mathematische Verständnis umgangen wird. 

Daher werden diese Kinder spätestens dann, wenn 

sie Anwendungsaufgaben mit selbst aufgestellten 

Formeln bearbeiten sollen, und die Formeln nicht 

Regel-kompatibel sind, scheitern; dies kann man 

im Mathematikunterricht der höheren Klassen regelmäßig 

beobachten. 

Wie kann hier der Computer helfen? Immerhin: 

die Auswertung von Funktionstermen scheinen 

Computer zu beherrschen, auch in der richtigen 

Reihenfolge. Und dies geht nicht über die Formulierung 

von allgemeinen Prinzipien, sondern 

über festgelegte, sequentielle Algorithmen! 

Hier haben wir den klaren Bezug zur Informatik: 

korrekte Klammerungen sind ein Standardbeispiel 

für Gebilde, die sich nicht mehr durch sog. 

reguläre Ausdrücke beschreiben lassen, sondern 

nur durch das höhere Konstrukt der kontextfreien 

Grammatiken (Hopcroft et al., 2002). 

Genau diese kontextfreien Grammatiken können 

auch als Grundlage für Parser benutzt werden, 

also für Programme, die die Syntax von 

(Computer-)Sprachen überprüfen und die vorgegebenen 

Texte zur Weiterverarbeitung strukturieren 

können. 

Wir können nun die Arbeitsweise dieser Parser 

zu Rate ziehen, ohne dass wir genau auf die 

Programmierung eingehen müssen. Die Beschreibung 

einer kontextfreien Grammatik basiert auf 

Ersetzungsregeln, die verwendet werden dürfen, 

Strukturieren mit Algorithmen 

um Schritt für Schritt aus einem Startsymbol einen 

komplexeren Ausdruck abzuleiten. Für Terme ist 

die entscheidende Regel von der Form: 

T −→ ’(’ T ’)’ 

— umgangssprachlich formuliert: „Ein Term darf 

durch den selben Term in Klammern ersetzt werden.“ 

Die Auswertung eines Terms an sich besteht 

aus einem Funktionsaufruf, der die vielen verschiedenen 

Möglichkeiten der Zusammensetzung 

eines Termes prüft, und dann entscheidet, welche 

Ersetzungsregel vermutlich angewandt wurde. Im 

Fall eines geklammerten Termes wird also in dieser 

Funktion zur Auswertung des Termes selbst 

wieder die Funktion zur Auswertung des Termes 

aufgerufen, da das T auch auf der rechten Seite 

der Ersetzungsregel auftaucht. Es handelt sich also 

um einen rekursiven Aufruf! 

Klammergebirge 

Ruft eine Funktion sich selbst wieder auf, so muss 

dafür gesorgt werden, dass der erneute Durchlauf 

durch diese Funktion in „frischem Speicher“ 

durchgeführt wird, ein neuer Speicherbereich 

muss reserviert werden. 4 Die Anzahl der ineinander 

verschachtelten Aufrufe nennt man die 

Rekursionstiefe: Diese wird um eins erhöht, wenn 

man die Funktion rekursiv aufruft, und um eins 

erniedrigt, wenn man aus einem Funktionsaufruf 

wieder zurückkehrt. In dem Beispiel von oben: 

T −→ ’(’ T ’)’ 

wird unmittelbar nach einer öffnenden Klammer 

die Funktion für T aufgerufen, und direkt nach der 

Rückkehr wird die schließende Klammer erwartet. 

Wir dürfen also auch die Klammern als Markierung 

für die Erhöhung bzw. Erniedrigung der 

Rekursionstiefe heranziehen! 

Dies kann man ganz einfach graphisch darstellen. 

Haben wir einen Term, zum Beispiel (98 − 

(20 − 4 · 3 − 2)) · 3, so wechseln wir bei jeder 

Klammer entweder in eine höhere oder niedrigere 

Zeile: 5 

20-4·3-2 

98-( ) 

( )·3 

Damit haben wir in der ersten Zeile eine einfache 

Rechnung, die nur mit den bereits bekannten 

Regeln „von links nach rechts“ und „Punkt vor 

Strich“ bewältigt werden kann. Schreibt man nun 

das Ergebnis in die freie Stelle der nächsten Zeile 

— 

3 oder wie auch immer man das Produkt aus einer Kuh und einem Schaf nennen mag 

4 Daher muss eine Funktion auch irgendwann die Rekursion beenden, sonst ist der Computerspeicher bald voll! 

5 Es ist egal, ob die Klammer bereits mit die Zeile wechselt oder noch nicht, man sollte es nur einheitlich handhaben. Arbeitet man 

auf Papier kann man die Klammer auch über zwei Zeilen verteilen. 

79


20-4·3-2 

98-( 6 ) 

( )·3 

— so erhält man eine einfache Aufgabe in der 

zweiten Zeile, und, nachdem kann das Ergebnis 

dieser Aufgabe dann in die dritte Zeile übernehmen, 

so dass das Endergebnis 92 · 3 = 288 schnell 

gefunden ist. 

Abbildung 11.2: Ein geschriebenes Klammergebirge 

Der Algorithmus kann auf Papier (Abb. 11.2) 

durchgeführt werden, aber auch ganz genauso 

händisch, zum Beispiel mit Duplo-Steinen 

(Abb. 11.3). 

Abbildung 11.3: Ein gebautes Klammergebirge 

Didaktische Überlegungen 

Wir benutzen also hier die Kernidee eines Algorithmus, 

ohne ihn weiter ausführen zu müssen, 

um eine Hilfestellung zu Berechnung von 

Klammerausdrücken zu geben. Diese Hilfestellung 

ist aus verschiedenen Gründen methodisch/didaktisch 

wertvoll: 

• Der Algorithmus kann von Schülerinnen und 

Schülern auf jedem Wissensstand angewandt 

werden; die einfachen Vorschriften stellen keine 

neue Hürde dar. 

• Die Anwendung des Algorithmus ist ein handelnde 

Tätigkeit. Die mechanische Durchführung 

bewirkt, dass die Schülerinnen und Schüler 

die Klammerauflösung nicht nur denkend, sondern 

auch enaktiv erleben. 

• Zusätzlich zur symbolischen Repräsentation des 

Klammerausdruck in einer Zeile erzeugt der Algorithmus 

eine Visualisierung. Diese unterstützt 

80 

die Bildung eines korrespondierenden mentalen 

Modells für Terme (supplantation, siehe auch 

Vogel, 2006). 

• Die verwendeten Symbole sind die gleichen 

Symbole, die auch in der Standardnotation verwendet 

werden. Es gibt daher keinen zusätzlichen 

Lernaufwand für eine neue oder andere 

symbolische Beschreibung! 

• Es sind keine zusätzlichen Werkzeuge notwendig, 

auch kein Computer, sondern nur Rechenpapier 

(Brock & Price, 1980). 

• Das Verfahren kann auch umgekehrt werden: 

Als Umkehraufgabe wird gefordert, dass zu einem 

vorgegeben Klammergebirge (ohne Symbole, 

nur die Form) ein passender Term aufgestellt 

wird. 

2.2 Anwendungsbezüge durch 

Algorithmen 

Computer erledigen heute einen Großteil der wiederkehrenden 

Berechnungen, das Rechnen an sich 

hat als Schlüsselqualifikation ausgedient. Dennoch 

kann man dies gar nicht auf die Mathematik 

ausdehnen: Mathematik ist eine Grundlage der 

modernen Wirtschaft und Industrie, Planung und 

Produktion sind ohne sie nicht zu bewerkstelligen. 

Offenbar gibt es hier eine große Diskrepanz 

zwischen der in der Schule erlebten Mathematik 

und der tatsächlichen, „echten“ Mathematik, so 

wie sie nachher gebraucht wird. Dies ist ein weiterer 

Faktor für die Schwierigkeiten, die in Schulen 

auftreten: „Das braucht doch eh keiner“ ist ein 

Vorwurf, der kaum zu entkräften ist! Glücklicherweise 

gibt es diverse Bestrebungen, diese Lücke 

wieder zu schließen, und authentisches mathematisches 

Arbeiten (vgl. u. a. Lutz-Westphal, 2006) 

in der Schule zu praktizieren. 

Hier sei noch einmal kurz betont, dass es nicht 

nur um anwendbare oder relevante Mathematik 

geht, sondern auch darum, das Lernen vom Mathematik 

dem Treiben von Mathematik im echten 

Leben nachzuempfinden. Die Beschäftigung mit 

mathematischen Inhalten in der Schule orientiert 

sich dabei an der Arbeitsweise von Mathematikern. 

Die Diskrete Mathematik stellt hierbei geeignete 

Inhalte zur Verfügung. Es sei auch auf den 

in diesem Band erschienen Artikel von Lambert 

& Selzer (2008) verwiesen, und dort insbesondere 

auf den Standpunkt für die Schule, auf der Basis 

von Bruder & Weigand (2005, S. 4). 

Diskrete Mathematik wird tatsächlich schon in 

der Schule betrieben – vor allem in der Grundschule. 

Propädeutisch werden bereits im mathematischen 

Anfangsunterricht Konzepte wie Graphen 

behandelt; das Haus vom Nikolaus taucht 

in Schulbüchern der 2. Klasse durchaus auf 

(Abb. 11.4). Später, in der 3./4. Klasse, werden


Abbildung 11.4: Propädeutische Einführung von Graphen in der 2. Klasse (Welt der Zahl) 

dann Autobahnkarten dazu verwendet, Rechenaufgaben 

zu stellen. Doch hier werden bereits 

die eigentlich interessanten mathematischen Fragestellungen 

ignoriert. Anstelle einer systematischen 

Behandlung des Problems tritt die ad-hoc 

Lösung von einzelnen ausgewählten Fragen – wie 

weit ist es von Berlin nach Hamburg, welche Stadt 

ist 229 Kilometer von München entfernt, etc. Die 

diskrete Mathematik dient hier als Vehikel für die 

Formulierung von Rechenaufgaben. 

Zwar ist gegen die Formulierung von Aufgaben 

in dieser Weise zunächst nichts einzuwenden, 

es wird aber die Chance vertan, die strukturelle 

Einsicht in solche Probleme zu unterrichten. 

Schülerinnen und Schüler müssen keine Strategie 

entwickeln, sie müssen keinen Modellbildungsprozess 

durchlaufen, sie erleben nicht den Sinn 

des Verständnisses, welches sie entwickeln könnten. 

Stattdessen trainieren sie Fähigkeiten, die im 

echten Leben bei der Lösung der gleichen Probleme 

durch den Computer übernommen werden. 

Mathematik ist überall – sie steckt beispielsweise 

auch in Routenplanern, denen sich immer 

mehr Menschen unterwerfen. Ist es nicht die 

Pflicht der Schule, hier die grundlegenden algorithmischen 

Prinzipien zu vermitteln, auf denen 

die Empfehlungen der Maschinen basieren? Diese 

sind nicht zu kompliziert für den Unterricht (wieder 

sei hier auf Lutz-Westphal (2006) hingewiesen), 

können ihn aber nachhaltig bereichern. 

Das DFG-Forschungszentrum MATHEON fördert 

in diesem Zusammenhang das Projekt Visage, 

welches geeignete Software für den Schuleinsatz 

im Bereich Graphenalgorithmen zur Verfügung 

stellen soll. Schülerinnen und Schüler können 

an selbst erstellten Beispielen Algorithmen 

ausprobieren, nachvollziehen und im Detail verstehen. 

Die Visualisierung der Algorithmen kann 

Schritt für Schritt für ein Beispiel erfolgen, oder 

es kann auch das Endergebnis des Algorithmus für 

verschiedene dynamisch veränderte Beispiele verfolgt 

werden (Kortenkamp, 2005a; Geschke et al., 

2005). 

Hier sollen die Grundzüge einer mit Visage 

gestalteten Lerneinheit grob geschildert werden, 

da an ihr die mathematikdidaktischen Möglichkeiten 

des Computereinsatzes deutlich werden. Die 

Lerneinheit „Wie fährt die Müllabfuhr“ Kortenkamp 

(2005b) führt aus einem klaren Umweltbezug 

– wie muss die Müllabfuhr fahren, damit sie 

möglichst geschickt alle Mülltonnen in einer Stadt 

einsammeln kann – auf ein verwandtes Problem: 

Wie muss eine Stadt aussehen, in der die Müllabfuhr 

ohne unnötige Wege alle Mülltonnen einsammeln 

kann? 

Dabei durchlaufen die Schülerinnen und 

Schüler verschiedene Abstraktionsstufen: Der 

Stadtplan, der an sich schon eine Abstraktion 

des Luftbildes (welches wiederum ein Abbild der 

Realität ist) darstellt, eignet sich nämlich nicht für 

die algorithmische Behandlung der Fragestellung. 

Er enthält zu viel Information: Die Länge der Straßen 

ist für das Müllauto nicht von Interesse, da jede 

Straße genau einmal durchfahren werden soll. 

Es interessiert nur die Topologie 6 der Straßen, ihre 

Kombinatorik, also nur die Information, welche 

Straßen an welchen Kreuzungen zusammentreffen. 

Das geeignete mathematische Modell sind 

Graphen, bestehend aus Ecken und Kanten. Sie 

sind den Kindern normalerweise auch schon aus 

Netzplänen für öffentliche Nahverkehrsmittel bekannt. 

Diese können auf einem Stadtplan eingezeichnet 

werden – wenn man dazu aber Stift und 

Papier einsetzt, so können auch andere Gebilde 

gezeichnet werden. In der computerbasierten Version 

zeichnen die Schülerinnen und Schüler mit 

dem Computer auf einem eingescannten Bild des 

6 Ich möchte aber davor warnen, die Diskrete Mathematik als Werkzeug der Topologie in der Schule einzuführen! Dies ist für 

Mathematiker gewiss eine richtige und elegante Einordnung, für Lehrerinnen und Lehrer aber eher abschreckend. Die Versuche in 

den 70er Jahren haben gezeigt, dass allein der Begriff „Topologie“ genügend unklar ist, um die Beschäftigung mit dem Thema zu 

verhindern. Stattdessen empfehle ich – das ist das Anliegen dieses Artikels – die Heranführung über algorithmisches Denken. 

81


Stadtplans, und die Visage-Software zwingt dazu, 

den Abstraktionsschritt zu vollziehen: Es können 

nur Graphen gezeichnet werden (siehe Abb. 11.5). 

Abbildung 11.5: Graphen-Modell auf Stadtplan. 

Kartenmaterial mit freundlicher Genehmigung 

der BVG verwendet. 

Wenn die Graphen dann in dieser Form vorliegen, 

dann kann damit auch direkt weitergearbeitet 

werden: Visage kann Standard-Algorithmen wie 

Breitensuche, Tiefensuche, kürzeste Wege oder 

auch Euler-Touren (im obigen Beispiel) auf den 

Graphen ablaufen lassen, und so können die Schülerinnen 

und Schüler mit ihren eigenen Werken 

experimentieren. 

2.3 Begriffsbildung durch Algorithmen 

Das dritte und letzte Beispiel in diesem Artikel ist 

geometrischer Natur – algorithmische Geometrie 

ohne Rechnen. 

Abbildung 11.6: Eine Punktmenge und ihre konvexe 

Hülle. Die Punkte sind weiß dargestellt, die 

konvexe Hülle ist die eingefärbte Fläche samt 

schwarzem Rand. 

Zur Erinnerung: Eine konvexe Menge C ist eine 

Menge mit der Eigenschaft, dass zu je zwei 

Punkten P,Q ∈ C auch die Strecke PQ vollständig 

in C enthalten ist. Die konvexe Hülle einer Menge 

M ist die kleinste konvexe Menge CH(M), die 

M enthält. Da die Schnittmenge zweier konvexer 

Mengen ebenfalls konvex ist, erhält man die konvexe 

Hülle auch als 

CH(M) = 

� 

C⊃M,C konvex 

C . 

Damit ist mathematisch alles gesagt. Algorithmisch 

hilft uns dies aber gar nicht: Gegeben eine 

Menge von Punkten in der Ebene – was ist dann 

ihre konvexe Hülle (Abb. 11.6)? Und wie können 

wir diese berechnen (oder auch nur darstellen)? 

Diese Fragestellungen werden in der Computational 

Geometry oder Algorithmischen Geometrie 

(siehe z.B. de Berg et al., 2000; Klein, 1997) betrachtet 

und gelöst. 

Bevor wir die algorithmische Lösung betrachten 

sei noch angemerkt, dass die Berechnung von 

konvexen Hüllen durchaus anwendungsbezogen 

ist. In der Computergraphik ist die konvexe Hülle 

ein grundlegendes Konzept, welches unter anderem 

für die Beschreibung von Polyedern benötigt 

wird Ziegler (1995). In der Optimierung werden 

sie unter anderem in der polyhedral optimization 

verwendet, bei der durch den Übergang zur konvexen 

Hülle oft Geschwindigkeitssteigerung in mehreren 

Größenordnungen möglich sind. In der Robotik 

benötigt man sie zum Beispiel bei der Vermeidung 

von Kollisionen. 

Ein schulisch weit relevanteres Beispiel ist das 

folgende: Im Themenkreis „Daten“ werden die 

Größen und Gewichte aller Mitschülerinnen und 

-schüler in ein Koordinatensystem eingetragen. 

Die größten, kleinsten, schwersten und leichtesten 

Schülerinnen und Schüler können so leicht identifiziert 

werden. Was ist aber, wenn man beide Dimensionen 

zugleich betrachten möchte? Was sind 

die „leichtesten größten“ oder „schwersten größten“ 

Kinder? Nur selten werden diese eindeutig 

festzustellen sein. Berechnet man aber die konvexe 

Hülle der Datenpunkte, so findet man die interessanten 

Datensätze als Ecken der konvexen Hülle! 

7 

Wie findet man nun die Punkte, die den Rand 

der konvexen Hülle bestimmen? Dazu muss zunächst 

geklärt werden, wann ein Punktepaar eine 

Seite der konvexen Hülle bestimmt. Mit ein wenig 

Überlegung oder mit der Unterstützung durch ein 

DGS findet man heraus, dass A und B genau dann 

benachbarte Ecken der konvexen Hülle sind, wenn 

alle anderen Punkte auf derselben Seite der Geraden 

AB liegen. Wir können also sofort einen einfachen 

Algorithmus angeben, der für eine Menge 

von Punkten S = {P1,P2,...,Pn} die Ecken der 

konvexen Hülle identifiziert – für jede Gerade PiPj 

7 Mir wurde inzwischen berichtet, dass solche Erhebungen in manchen Bundesländern nicht mehr zulässig sind, da sie die Persönlichkeitsrechte 

der Schülerinnen und Schüler verletzen. Schade! 

82

überprüfen wir die Lage aller restlichen Punkte. 

Sind diese alle auf einer Seite der Geraden, so liegen 

sie beide auf dem Rand der konvexen Hülle. 

Falls nicht, so können wir nichts über sie aussagen, 

doch wenn wir sämtliche n(n+1) 

2 Paare untersucht 

haben, so haben wir auf jeden Fall jedes Paar 

gefunden. 

Freundlicherweise müssen wir für den gerade 

beschriebenen Test nicht rechnen! Es genügt, für 

ein (nicht kollineares) Punktetripel A,B,C die Orientierung 

feststellen zu können – sind die Punkte 

im Uhrzeigersinn angeordnet, dann liegt C rechts 

der orientierten Geraden −→ AB, sonst links. 

Der Algorithmus ist einfach, aber mit einer 

Laufzeit von Θ(n3 ) auch nicht besonders effizient. 

Es gibt viele verschiedene bessere und dennoch 

einfache Algorithmen, die wesentlich schneller 

sind. Eine Möglichkeit ist der Graham Scan: Ausgehend 

von einem garantiert auf dem Rand der 

konvexen Hülle liegenden Punkt P (zum Beispiel 

der Punkt mit der kleinsten x-Koordinate) sortiert 

man alle anderen Punkte entsprechend ihrem Winkel 

zu P (auf die x-Achse bezogen). Danach kann 

man die Punkte der Reihe nach „ablaufen“. Trifft 

man nun auf drei Punkte Pi,Pi+1,Pi+2, die eine 

konkave Ecke bilden (also im Uhrzeigersinn orientiert 

sind!), dann weiß man, dass Pi+1 sicher 

nicht auf dem Rand der konvexen Hülle liegt. 

So entfernt man nach und nach „falsche“ Punkte. 

Schließlich bleiben nur noch die gesuchten Ecken 

der konvexen Hülle übrig. 

Der notwendige Sortiervorgang könnte über 

die (berechneten) Winkel der Punkte durchgeführt 

werden. Die üblichen Sortierverfahren (siehe 

auch den Artikel von Epkenhans (2008) in diesem 

Band, S. 59) basieren allerdings auf paarweisen 

Vergleichen – wir müssen also für zwei Punkte Pi 

und Pj nur feststellen, welcher von beiden zuerst 

auf dem Rand auftauchen könnte. Dies geht – wieder 

ohne „richtiges“ Rechnen – mit der Orientierung 

des Tripels P,Pi,Pj. Verläuft diese im Uhrzeigersinn, 

so muss Pj vor Pi auftauchen, sonst umgekehrt. 

Auch wenn diese Beschreibung sehr skizziert 

war – eine ausführlich beschriebene Unterrichtseinheit 

zu diesem Thema findet sich in Kortenkamp 

(2006) – der für unsere Betrachtung wesentliche 

Punkt tritt zutage: Über die algorithmische 

Fragestellung „wie finde ich heraus, welche Punkte 

die Ecken der konvexen Hülle bilden“ wird der 

entscheidende Grundbegriff erschlossen. Der Algorithmus 

kann mit einer einzigen Grundoperation 

(„finde die Orientierung von drei Punkten in 

der Ebene“ ) auskommen. Damit haben wir das 


Problem mathematisch charakterisiert. 8 

3 Zusammenfassung: 

Funktionen von Algorithmen 

Wie in den obigen Beispielen gesehen, können Algorithmen 

diverse Funktionen im Unterricht haben. 

Sie dienen 

• der Verdeutlichung und Visualisierung von 

Strukturen, 

• der Belebung von Modellen und 

• der Isolierung von Grundbegriffen und - 

operationen 

Diese Funktionen können sie in allen Jahrgangsstufen 

erfüllen. Da Algorithmen in gewisser Weise 

exakt formulierte Spielregeln darstellen, können 

sie auch in spielerischer Weise Eingang in den 

Unterricht finden. So bilden sie auch eine Grundlage 

für Handlungsorientierung im Mathematikunterricht. 

Da Algorithmen stets eine Beschreibung der 

möglichen Eingaben und der erwünschten Ausgaben 

mit sich bringen, stellen sie die Anwendung 

mathematischer Ideen in der Praxis geeignet 

dar. Gerade im Zusammenspiel mit der Diskreten 

Mathematik wird dies besonders deutlich. Gepaart 

mit der Exaktheit in der Beschreibung fokussieren 

sie das mathematische Denken der Schülerinnen 

und Schüler (und Lehrkräfte). 

Dieses exakte Beschreiben lässt sich noch verstärken, 

wenn man den Computer gezielt einsetzt, 

um Algorithmen zu formulieren und auszuprobieren. 

Diesen Tätigkeiten sei der letzte Abschnitt gewidmet. 

4 Schlussbemerkung: 

Programmieren und 

Mathematikunterricht 9 

Soll im Mathematikunterricht programmiert werden? 

Die kurze Antwort, ein uneingeschränktes 

„ja!“, sei vorweg gestellt. 

Die längere Antwort soll hier ohne eine umfassende 

Diskussion der bereits in der Didaktik 

der Informatik lange geführten Auseinandersetzung 

(dazu siehe z.B. Humbert (2005) und Schubert 

& Schwill (2004)), die ja auch in einer Arbeitsgruppe 

dieser Tagung (Haftendorn, 2008, S. 

171) Platz hatte, begründet werden. 

Natürlich kann man diese Frage nicht beantworten, 

ohne auf die Akteure und Situationen einzugehen. 

Die Verlage und Hersteller von Lernsoftware 

lassen wir außen vor; zur Produktion von digitalem 

Material, welches im „Algorithmenunter- 

8 In späteren Jahrgangsstufen (dieses Problem ist durchaus für die Sekundarstufe I geeignet) kann man dann auf diesen Grundbegriffen 

mit der Determinantenfunktion aufbauen. 

9 Anmerkung des Herausgebers: Zum Zeitpunkt der Endredaktion des Tagungsbandes war bereits bekannt, dass auf der Jahrestagung 

2007 des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik ein weiterer Beitrag zum Programmieren im Mathematikunterricht 

von Andreas Fest, Berlin, eingereicht wird, auf den hiermit ausdrücklich hingewiesen wird. 

83


richt“ eingesetzt werden könnte, ist eine gewisse 

Programmierkunst unabdingbar. 

Betrachten wir also zunächst die Lernenden. 

Es gibt diverse mathematische Programmierumgebungen, 

die alle Altersbereiche abdecken (Logo, 

Cinderella mit CindyScript, aber auch Computeralgebrasysteme 

wie Maple oder Mathematica). 

Weiterhin gibt es viele Programmiersprachen, 

die auch oder gerade für Anfänger geeignet 

sind. Insbesondere Scriptsprachen wie Python 

oder Ruby können gut im Unterricht gelehrt werden, 

aber auch „professionelle“ Sprachen wie Java 

sind lehrbar. Aber es soll ja kein Programmierkurs 

werden. . . 

Kein Programmierkurs?! Warum eigentlich 

nicht? Konzepte wie Schleifen, Prozeduren und 

insbesondere Variablen sind eigentlich unabdingbar 

und bieten Bildungschancen! Genauso wenig, 

wie es wichtig ist, dass ein normaler Mensch lange 

Zahlenkolonnen korrekt per schriftlicher Addition 

addiert, ist es wichtig, dass man eine spezielle 

Programmiersprache beherrscht. Aber es ist auch 

genauso wichtig, irgendeine Programmiersprache 

zum Verständnis dieser Konzepte benutzt zu haben, 

wie es notwendig ist, die schriftliche Addition 

als strukturiertes Verfahren in der Grundschule 

zu lernen. 

Die Forderung nach der Heranführung an das 

Programmieren in der Grundschule ist zwar alt, 

aber wohl doch auch unmodern, wie der aktuelle 

Zustand an Grundschulen vermuten lässt. Gefolgt 

von einer zwanglosen Vertiefung durch die Anwendung 

einer konkreten Programmiersprache, 

wann und wo immer es im Unterricht hilfreich erscheint, 

erscheint sie mir aber durchaus gerechtfertigt. 

Zurecht wird man nun anmerken, dass dies auf 

dem aktuellen Ausbildungsstand der Lehrkräfte, 

und zwar nicht nur derer, die schon vor dem Computerzeitalter 

das Referendariat abgeschlossen haben, 

sondern auch derer, die aktuell die Universitäten 

und Hochschulen verlassen, eine völlig unrealistische 

Forderung ist. Aus diesem Grund folgt 

hier eine weitere Forderung: Das Programmieren 

als gestalterische und strukturierende Tätigkeit 

muss in das Lehramtsstudium verankert werden, 

wenigstens für diejenigen, die später Mathematik 

lehren möchten. 

Die Gestaltung von Lehr-/Lernumgebungen 

ist eine Tätigkeit, die zu den Kernkompetenzen 

von Lehrerinnen und Lehrern gehört. Sind diese 

nicht fähig, ein Aufgabenblatt für ihren Unterricht 

zu erstellen, oder wenigstens eine Kopiervorlage 

anzupassen, so können sie diese Tätigkeit nicht 

ausüben. Da aber der Einsatz von „multimedialen“ 

Lehrmaterialien immer mehr gefordert wird 

(von Eltern, von den Lernenden, von den Kultusministerien) 

muss die Lehrkräfte auch solches 

84 

Material gestalten können — und nicht nur aus 

den vorgefertigten Edutainment-Titeln auswählen 

können. Die Fähigkeit, etwas verändern zu können, 

in den Unterricht aktiv eingreifen zu können, 

hat eine soziologisch-kognitive Bedeutung. 

Daher halte ich das Programmieren in der 

Lehramtsausbildung, so wie z.B. von Löthe 

(2008) in diesem Band beschrieben und praktiziert, 

für unerlässlich. 

Literatur 

de Berg, Mark, Marc van Kreveld, Mark Overmars & Otfried 

Schwarzkopf (2000): Computational Geometry. Springer- 

Verlag 

Bescherer, Christine (2005): Sicherheit im Umgang mit Informationstechnologie 

— Ein Konzept zur „FITness“ im Computerbereich. 

LOG-IN, 135, 42–45 

Brock, William H. & Michael H. Price (1980): Squared paper 

in the nineteenth century: Instrument of science and engineering, 

and symbol of reform in mathematical education. Educational 

Studies in Mathematics, 11, 365–381 

Bruder, Regina & Hans-Georg Weigand (2005): Problemlösen, 

Verstehen, Anwenden ... aber bitte diskret. mathematik lehren, 

129, 4–8 

Epkenhans, Martin (2008): Laufzeitanalysen, Wachstumsfunktionen 

und asymptotische Untersuchungen. In: Kortenkamp 

et al. (2008), 59–62 

Freudenthal, Hans (1972): Mathematik als pädagogische Aufgabe. 

Klett 

Geschke, Anne, Ulrich Kortenkamp, Brigitte Lutz-Westphal & 

Dirk Materlik (2005): Visage – Visualization of Algorithms in 

Discrete Mathematics. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 

37(5), 395–401 

Haftendorn, Dörte (2008): Wieviel Programmieren-Können 

braucht man in der Mathematiklehre? In: Kortenkamp et al. 

(2008), 171–173 

Hopcroft, John E., Rajeev Motwani & Jeffrey D. Ullman 

(2002): Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen 

und Komplexitätstheorie. München: Pearson Studium, 2., 

überarbeitete Auflage 

Humbert, Ludger (2005): Didaktik der Informatik – mit praxiserprobtem 

Unterrichtsmaterial. Wiesbaden: Teubner 

Klein, Rolf (1997): Algorithmische Geometrie. Addison Wesley 

KMK (2003): Bildungsstandards im Fach Mathematik für 

den Mittleren Schulabschluss. Bonn: Sekretariat der Ständigen 

Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik 

Deutschland Ref. IV A 

Kortenkamp, Ulrich (2005a): Visage – Visualisierung von 

Graphenalgorithmen. In: Beiträge zum Mathematikunterricht. 

Vorträge auf der 39. Tagung für Didaktik der Mathematik, Gesellschaft 

für Didaktik der Mathematik, Bielefeld: Franzbecker 

Kortenkamp, Ulrich (2005b): Wie fährt die Müllabfuhr? URL 

http://kortenkamps.net/Material/Eulertour 

Kortenkamp, Ulrich (2006): Algorithmische Geometrie im 

Unterricht. Der Mathematikunterricht, 52(1) 

Kortenkamp, Ulrich, Hans-Georg Weigand & Thomas Weth 

(Hg.) (2008): Informatische Ideen im Mathematikunterricht. 


und Informatik“, Hildesheim: Franzbecker 

Lambert, Anselm & Pia Selzer (2008): Schillernde Diskretisierung 

– eine Schnittstelle von Mathematik und Informatik. In: 

Kortenkamp et al. (2008), 87–100

Löthe, Herbert (2008): Erlebnis Mathematik mit Computer – 

Realisierung am Beispiel des Folgenbegriffs. In: Kortenkamp, 

Ulrich, Hans-Georg Weigand & Thomas Weth (Hg.): Informatische 

Ideen im Mathematikunterricht. Bericht über die 23. Arbeitstagung 

des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“, 


Lutz-Westphal, Brigitte (2006): Kombinatorische Optimierung 

– Inhalte und Methoden für einen authentischen Mathematikunterricht. 

Dissertation, Technische Universität Berlin, Berlin 




Vogel, Markus (2006): Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge 

mit multimediabasierter Supplantation. Dissertation, 

Pädagogische Hochschule Ludwigsburg 

Ziegler, Günter M. (1995): Lectures on Polytopes. Nummer 

152 in Graduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag 

85


86

• Schillernde Diskretisierung – eine Schnittstelle von 

Mathematik und Informatik 

Anselm Lambert und Pia Selzer, Saarbrücken 

Mathematik wird im Unterricht — wie im richtigen Leben — von Menschen gedacht und gemacht. 

Das Neue Medium und Werkzeug Computer erweitert dabei Möglichkeiten zur Darstellung von Objekten 

des mathematischen Tuns und des Operierens mit diesen — immer allerdings im Rahmen 

seiner prinzipiellen Grenzen. 

Ein Unterricht, der Wert auf eine verständige und reflektierende Verwendung unterschiedlicher Darstellungen 

legt und der den Computer als eine Erweiterung unserer Werkzeugpalette begreift, sollte 

dessen Grenzen mitdiskutieren, und kann dies ja auch, da jeder Computer, als Maschine gewordene 

Mathematik, auch mathematischer Beschreibung zugänglich ist. 

Hier kann der Computer eine reflexive Stärke demonstrieren: Er unterstützt durch seine Darstellungsund 

Operationsmöglichkeiten auch bei der Erkundung seiner eigenen prinzipiellen Grenzen. 

1 Einleitung 

Eine der Leitfragen der Tagung ist die nach zentralen, 

aktuellen und zukunftsweisenden Ideen der 

Informatik und deren Relevanz für den Mathematikunterricht. 

Um dieser Frage nachzugehen, ist es 

sinnvoll, zuerst einmal zu klären, was denn „Informatik“ 

bedeutet, bedeuten soll. Wieso das? Die 

Frage „Was ist Informatik?“ ist gewiss genauso 

schwer — wenn nicht gar genauso unmöglich — 

zu beantworten, wie die „Was ist Mathematik?“ 

— an der wir uns hier gar nicht erst versuchen 

wollen. 

Sicher hat jede Leserin, jeder Leser dennoch 

eine eigene, zumindest vage Vorstellung von einer 

Antwort. Wir gehen davon aus, dass diese Vorstellungen 

durchaus unterschiedlich (und von persönlichen 

Vorlieben geprägt), wenn auch großenteils 

konsensfähig sind. Um unserem Beitrag ein 

— besseres — Verstehen zu ermöglichen, scheint 

es uns also sinnvoll, unsere hier zugrunde liegende 

Vorstellung von Informatik zu klären. 

Auf Basis dieser als Arbeitshypothese gedachten, 

hier vorgenommenen Umschreibung, schlagen 

wir dann Diskretisierung als eine wesentliche 

Idee an einer Schnittstelle von Mathematik und 

Informatik vor, die helfen kann, die beiden Fächer 

in der Schule zu verbinden, wenn nicht sogar zu 

integrieren. Dies wollen wir dann zum Schluss anhand 

eines exemplarischen Beispiels für den Unterricht 

konkretisieren, um auf theoretischem Unterbau 

das oben Angekündigte einzulösen. 

2 Was bedeutet „Informatik“? 

Diese Frage lässt sich unter zwei sich ergänzenden 

Gesichtspunkten verstehen: 

1. Worauf verweist die Bezeichnung 

„Informatik“? 

2. Welche Bedeutung hat Informatik (oder sollte 

sie haben) 

• für die Gesellschaft? 

• für die Schule? 

Um Antworten darauf geben zu können, wählen 

wir verschiedene Ansätze. Zum einen werden wir 

hier Spuren des Wortes, der Bezeichnung „Informatik“ 

im Sprachgebrauch nachzeichnen, zum anderen 

werden wir die institutionalisierte Informatik 

selbst zu Wort kommen lassen. 

2.1 Ursprung und Ausbreitung der 

Bezeichnung „Informatik“ 

Die Bezeichnung „Informatik“ ist ein 1957 von 

Karl Steinbuch eingeführtes Kunstwort, gebildet 

aus „Information“ und „Automatik“ (vgl. Baumann, 

1990, 82 und für eine Betrachtung der beiden 

Wortstämme Humbert, 2005, 11f.). Sie weist 

auf die beiden wissenschaftlichen Traditionen hin, 

die hier zu einer neuen Wissenschaft verschmolzen 

wurden: 

eine mathematische Tradition und 

eine ingenieurwissenschaftliche. 

In dieser doppelten Tradtion ist Informatik sowohl 

Grundlagen- als auch Ingenieurwissenschaft. Was 

bedeutet das für den Unterricht in Informatik? 

Bisher hatte doch noch keine Ingenieurwissenschaft 

einen eigenen Platz im Fächerkanon der allgemeinbildenden 

Schulen (dazu später). 

Das Wort „Informatik“ verbreitete sich in 

Deutschland im öffentlichen Sprachgebrauch 

nach einer Rede des damaligen Forschungsministers 

Gerhard Stoltenberg im Jahr 1968 — in Anlehnung 

an das französische, von der Académie 

Française favorisierte «informatique». Im amerikanischen 

Raum etablierte sich dagegen die Bezeichnung 

„Computer Science“, die explizit auf 

den Computer verweist, da „Informatics“ durch 

einen Firmennamen bereits kommerziell besetzt 

war; in Deutschland hatte dagegen Karl Steinbuch 

auf die zunächst geschützten Namensrechte bald 

verzichtet (vgl. Baumann, 1990, 82f). 

87


Im skandinavischen Raum spricht man von 

Datalogie (Humbert, 2005, 9). 

2.2 Was steht hinter der Bezeichnung 

„Informatik“? 

Neben dem, was sich der Urheber bei „Informatik“ 

dachte, ist von Interesse, was man in der Zwischenzeit 

damit (bewusst) assoziiert. 

Die aktuelle Definition 

Die Gesellschaft für Informatik (GI) definiert heute 

ihre Disziplin weitgehend anerkannt selbst so 

(vgl. Schubert & Schwill, 2004, 2): Informatik 

ist die Wissenschaft, die sich mit der systematischen 

und automatischen Verarbeitung, Speicherung 

und Übertragung von Daten aus Sicht der 

Hardware, der Software, der Grundlagen und der 

Auswirkungen befasst. 

In der aktuellen Brochüre „Was bedeutet Informatik?“ 

finden wir als Selbstbestimmung(en): 

Und: 

Informatik - das ist die Faszination, 

sich die Welt der Information 

und des symbolisierten Wissens zu 

erschließen und dienstbar zu machen. 

(GI, 2005, 2) 

Inzwischen macht sie den Computer 

nicht mehr nur zur Arbeitsmaschine, 

sondern zugleich zum 

Medium, Wissensträger, Manager, 

Unterhaltungskünstler, Steuerungsinstrument 

und zu einer Art neuen 

Wahrnehmungsorgans für die meisten 

Wissenschaften. (GI, 2005, 2) 

Informatik ist also einerseits abstrakte Theorie 

formal gefassten Wissens. So ist etwa auch Logik 

heute an vielen Universitäten ein wissenschaftliches 

Teilgebiet der Informatik und nicht mehr eines 

der Mathematik. 

Und andererseits ist Informatik konkrete Praxis 

der Entwicklung des Computers — den man 

gewöhnlich unmittelbar mit ihr assoziert. 

Was bedeutet das für den Unterricht? Unter 

anderem: Abstrakte Theorie zeichnet sich durch 

eine gewisse Langlebigkeit aus; Computerpraxis 

überholt sich schnell. Dies muss bei der Auswahl 

der Inhalte eine entscheidende Rolle spielen. Vor 

allem verweist diese Unterscheidung aber darauf, 

dass Informatik mehr ist als Computer. 

Nebenbei bemerkt: Eine stärkere Berücksichtigung 

von Themen aus der theoretischen Informatik 

kommt (nach Humbert, 2005, 168) insbesondere 

auch den Interessen der Schülerinnen entgegen. 

88 

Begeisterung und Kritik 

Informatiksysteme verändern unsere Wirklichkeit 

direkt oder indem sie unsere Wahrnehmung dieser 

beeinflussen. Eigen ist der Informatik als immer 

noch jungstürmischer Wissenschaft eine besondere, 

bis heute nicht abgeebbte Begeisterung für die 

durch sie möglichen großen Veränderungen in naher 

Zukunft: 

In Zukunft werden die Menschen 

nicht nur über mehr materielle Güter 

und mehr Energie verfügen, sondern 

auch über sehr viel mehr Information. 

Der Besitz an Wissen 

wird mit unvorstellbarer Geschwindigkeit 

vergrößert werden [. . . ] das 

gesamte Wissen wird in riesigen, allen 

Menschen zugänglichen Informationsbanken 

gespeichert sein. Menschen 

werden mit Methoden belehrt, 

welche das Lernen zum Vergnügen 

machen [. . . ]. (Steinbuch, 1966, 338) 

Die Wissenschaften werden neue 

Erkenntnisse mehr und mehr unter 

Nutzung der Informatik gewinnen 

und mit der nächsten Welle der 

Informatikanwendungen werden wir 

in eine Welt der Sensoren eintreten, 

in der Information ständig erfasst 

wird und präsent ist — wir werden 

die mühselige Dateneingabe und Datenpflege 

hinter uns lassen und allein 

durch Sprechen und Verhalten 

schnell und zielgerichtet kommunizieren 

und handeln können. Und wieder 

neue Welten tun sich uns auf 

. . . (GI, 2005, 2) 

Mit Spannung erwarten wir die Sensoren, die neue 

philosophische Erkenntnisse ermöglichen ;-) 

Schon 1704 spottete Jonathan 

Swift in seiner Satire A Tale of a 

Tub über Gelehrte, die nicht lesen 

und denken, sondern lediglich sammeln, 

und nannte sie [. . . ] Computer. 

Später beschreibt und zeichnet er 

dann in Gullivers Reisen eine nach 

sorgfältiger Computation konstruierte 

und mittels 40 Kurbeln bedienbare 

Maschine, mit deren Hilfe «der unwissendste 

Mensch zu vernünftgem 

Preis und mit wenig Körperarbeit Bücher 

über Philosophie, Poesie, Politik, 

Recht, Mathematik und Theologie 

schreiben kann, ohne die mindeste 

Unterstützung durch Begabung 

und Fleiß». (Bauer-Wabnegg, 2001, 

32)

Schillernde Diskretisierung – eine Schnittstelle von Mathematik und Informatik 

Dennoch: Als (Ingenieur-)Wissenschaft gestaltet 

Informatik unser aller Leben ständig neu, 

aber viel bleibt unter der Oberfläche der Neuen 

Möglichkeiten verborgen: 

Als Menschen nehmen wir die 

Veränderung unseres Lebens durch 

Informatiksysteme [...] nicht so 

rauschhaft schnell wahr, wie sie eigentlich 

ist. (GI, 2005, 2) 

Ein Ziel eines allgemeinbildenden Unterrichts in 

Informatik muss u. a. die Fähigkeit und Bereitschaft 

zur Reflexion der Möglichkeiten und Grenzen 

von Informatiksystemen sein. 

Der Fächerkatalog der Informatik 

Ihre Probleme bewältig die Informatik (wie alle 

Wissenschaften) durch fachliche Spezialisierung. 

1976 verabschiedete der Fakultätentag als Akt definitorischer 

Selbstbestimmung einen Fächerkatalog 

(siehe unten, nach Baumann, 1990, 84f). Gewiss 

sind in der Praxis die Grenzen zwischen diesen 

Fächern durchaus fließend, dennoch leistet die 

vorgenommene Unterteilung der Aufgabenfelder 

auch für den Unterricht eine nützliche Orientierung. 

(Die ersten drei Katalogpunkte bilden die 

Kerninformatik.) 

1. Theoretische Informatik: Aus der Mathematik 

eingebrachte Forschungs- und Lehrgegenstände, 

z. B. Automatentheorie und formale Sprachen, 

Theorie der Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit, 

Codierungs- und Informationstheorie 

2. Praktische Informatik: Softwareorientierte Fächer, 

z. B. Architektur der Programmierung, 

Betrieb und Weiterentwicklung von Softwaresystemen 

3. Technische Informatik: Aus der Elektro- und 

Nachrichtentechnik eingebrachte hardwareorientierte 

Fächer 

4. Anwendungen der Informatik: Z. B. Wirtschaftsinformatik 

5. Gesellschaftliche Bezüge der Informatik: Hier 

beschäftigt man sich mit Bedingungen und 

Auswirkungen von Informatik 

6. Didaktik der Informatik 

Konkret kann das dann heute — die Breite der ersten 

vier Katalogpunkte ausschöpfend — an einer 

Universität so aussehen: In der Fachrichtung 

Informatik der Universität des Saarlandes (einem 

der ältesten Informatikstandorte in Deutschland) 

finden wir folgende Arbeitsgruppen: Reactive Systems, 

Nachrichtentechnik, Dependable Systems 

and Software, Informationssysteme, Bioinformatik, 

Rechnerarchitektur und Parallelrechner, Betriebssysteme, 

Computer Algebra, Theoretische 

Informatik, Multi-Agent Systems, Programmiersysteme, 

Computer Grafik, Künstliche Intelligenz, 

Mathematische Bildanalyse und Bildverarbeitung, 

Übersetzerbau, Softwaretechnik, Computer Datennetze, 

Sicherheit und Kryptographie (Stand 

September 2005). Teilweise sind diese Arbeitsgruppen 

in Mathematik und Informatik angesiedelt. 

Daneben gibt es in Saarbrücken noch informatischer 

Forschung gewidmete Max-Planck- 

Institute und das Deutsche Forschungsinstitut für 

Künstliche Intelligenz (DFKI). 

Nach dem fünften Punkt des Kataloges ist 

Reflexion von Informatik ein wissenschaftliches 

Teilgebiet, wenn dies auch in der an Universitäten 

institutionalisierten Informatik oft eine eher 

nebensächliche Rolle spielt; in den allgemeinbildenden 

Unterricht gehören entsprechende Fragen: 

Schulinformatik ist der allgemeinen 

Bildung verpflichtet. [. . . ] Ziel 

der Schulinformatik ist damit die 

Ausformung der — vom Standpunkt 

der Informatik aus — gebildeten Persönlichkeit. 

Dies äußert sich in dem 

kompetenten, kritischen Umgang mit 

Informatiksystemen [. . . ]. Die zu erwerbenden 

Kompetenzen umfassen 

ein weites Feld: sie reichen von Elementen 

der Kerninformatik über Fragen 

der Softwareergonomie bis in 

ethisch-moralische Bereiche. (Humbert, 

2005, 67) 

Spielen dabei ingenieurwissenschaftliche Aspekte 

eine allgemeine Rolle, so haben sie ihren Platz im 

Unterricht zu finden. 

Die Forderung nach einer eigenständigen Didaktik 

der Informatik ist mit diesem Katalog 

knapp dreißig Jahre alt, wenn auch bis heute 

kaum wissenschaftlich institutionalisiert — erst 

1996 gab es die erste Forschungsgruppe (Humbert, 

2005, 47), heute gibt es gerade einmal 13 universitäre 

Standorte (Stand Juli 2005 nach Humbert, 

2005, 56). 

2.3 Ein kurzer Rückblick auf die 

Institutionalisierung in Schule und 

Hochschule 

Seit 1968 ist Informatik Hochschuldisziplin in 

der Bundesrepubklik Deutschland; 1970 gab es 

Studiengänge zur Informatik an 10 Hochschulen. 

1972 wurde das Unterrichtsfach in der gymnasialen 

Oberstufe eingerichtet. 1986 konnte Informatik 

an 22 Universitäten und 27 Fachhochschulen 

studiert werden (nach Baumann, 1990, 83f). 

In den siebziger und achtziger Jahren durchlief 

die Schulinformatik verschiedene Phasen: Rechnerorientierung, 

Algorithmenortientierung, Anwendungsorientierung 

(im informatischen Sinn), 

Benutzungsorientierung, Gesellschaftsorientierung. 

1991 wurden die ersten deutschlandweit 

89


geltenden Prüfungsanforderungen für die Schule 

veröffentlicht (nach Humbert, 2005, 48 bzw. 52). 

Heute ist das Studienangebot flächendeckend. 

Die Studierendenzahl hat sich von etwa 2000 im 

Jahre 1972 in 30 Jahren auf über 80000 vervierzigfacht 

(vgl. Abbildung). 

In der Schule ist Informatik heute in der 

Sekundarstufe II eigenständiges Fach in allen 

Bundesländern (in Berlin, Brandenburg, Bremen, 

Hamburg, Hessen, NRW und im Saarland auch als 

LK), bleibt aber im Alltag des Kurssystems oft 

randständig. In der Sekundarstufe I gibt es Pflichtangebote 

in Bayern, Mecklenburg-Vorpommern 

und Sachsen, sonst meist Arbeitsgruppen im 

Wahlpflichtbereich oder „nur“ Eingliederung in 

andere Fächer (vgl. Schubert & Schwill, 2004, 

27). Oder Schulen setzen es zur Profilbildung ein. 

Dort, wo sich Informatik in der Sekundarstufe I 

durchsetzt, gehen die dazu nötigen Stunden i. d. 

R. auf Kosten anderer Fächer: auf Kosten der Mathematik 

oder, in naturwissenschaftlichen Gymnasien, 

auf Kosten des Hauptfaches Physik (das seinerzeit 

die dritte Fremdsprache — oft das klassische 

Latein — verdrängte). 

2.4 Wie soll es in der Schule nun 

weitergehen? 

In welcher Form Informatik verbindlicher Gegenstand 

an allen allgemeinbildenden Schulen wird 

— langfristig und mit der gleichen Selbstverständlichkeit, 

mit der wir heute die im Laufe des 20. 

Jahrhunderts sich dort endgültig etablierenden naturwissenschaftlichen 

Fächer finden — lässt sich 

kaum vorhersagen. Die Wünsche dazu sind immer 

noch unterschiedlich. 

Auf der einen Seite finden wir exemplarisch 

bei einem der Pioniere informatischen Unterrichts 

in Deutschland, der bereits 1969 im Rahmen des 

Mathematikunterrichts Informatik unterrichtete : 

90 

Nun lässt sich begründen, dass 

es einerseits informatische Aspekte 

von allgemeinbildendem Wert gibt, 

dass aber für die schulische Umsetzung 

solcher Absichten kein eigenes 

Unterrichtsfach Informatik benötigt 

wird, [. . . ] unsere Gesellschaft kann 

nicht für jedes bildungsbedeutsame 

neue Gebiet ein eigenes neues Unterrichtsfach 

schaffen [. . . ]. (Hischer, 

2002, 101) 

„kann nicht [. . . ] schaffen“ sollte man hier im doppelten 

Sinn lesen: Um einer Kontinuität und Stabilität 

von Schule willen, sollte man erstens nicht 

im Hauruck . . . , und zweitens ist das System gar 

nicht in der Lage, dieses nichttriviale Ansinnen so 

einfach umzusetzen — wo sollen die benötigten 

Lehrpersonen auf einen Schlag herkommen? Und 

wir möchten oben hinzufügen: Ebenso wenig, wie 

für jedes andere arbeitsmarktbedeutsame (vgl. die 

Abbildung auf Basis der Daten des Statistischen 

Bundesamtes). 

Betriebswirtschaftlehre, Jura, Medizin sind 

auch Fächer mit einem hohen Studierendenbedarf 

und einer hohen Relevanz für unsere Gesellschaft 

(und — nebenbei bemerkt — einer emanzipierteren 

Quote von Studentinnen), aber keines davon 

ist i. d. R. in allgemeinbildenden Schulen am Start. 

Auf der anderen Seite sprechen sich etwa 

(Hubwieser, 2004), (Humbert, 2005) und (Schubert 

& Schwill, 2004) jeweils in ihrer „Didaktik 

der Informatik“ selbstverständlich explizit für ein 

eigenes allgemeinbildendes Fach Informatik aus. 

Gemeinsam ist beiden Seiten der Wunsch, Informatik 

verstärkt zu unterrichten. Folgende 

Möglichkeiten bieten sich dazu prinzipiell an (vgl. 

Schubert & Schwill, 2004, 28f.): 

• Informatik als eigenes Fach 

• Informatik integriert in das Leitfach Mathematik 

• Informatik verteilt auf mehrere Fächer 

• Informatikunterricht als fächerübergreifender 

Projektunterricht 

Klar sollte sein: Informatikunterricht an allgemeinbildenden 

Schulen kann sich nicht nur an zukünftige 

Informatikerinnen und Informatiker richten, 

sondern muss alle Schülerinnen und Schüler 

im Auge haben. Entsprechend muss die Organisationsform 

und auch der Stoff gewählt sein. 

Klafki weist darauf hin, dass Allgemeinbildung 

dem „Allgemeinen“ im dreifachen Sinn gilt 

(vgl. etwa Krüger, 1997, 71): 

• Allgemeinbildung als Bildung für alle 

• Bildung im Medium des Allgemeinen (orientiert 

an zentralen Schlüsselproblemen der gemeinsamen 

Gegenwart und der voraussehbaren 

Zukunft)


• Bildung als Entwicklung von Vielseitigkeit 

Die Neuen Informations- und Kommunikationstechniken 

gehören heute unumstritten zu diesen 

Schlüsselproblemen. Entlang der genannten Trias 

kann Informatik als 

Einführung in die Nutzung und in 

ein elementarisiertes Verständnis der 

modernen [. . . ] Kommunikations-, 

Informations- und Steuerungsmedien 

immer verbunden mit der Reflexion 

über ihre Wirkungen auf die sie benutzenden 

Menschen (Klafki, 1996, 

60) 

allgemeinbildend sein. Um aber diesem Anspruch 

gerecht zu werden, haben wir bei der Auswahl 

der allgemeinbildenden Unterrichtsinhalte die folgenden 

Fragen zu beantworten (siehe Hubwieser, 

2004, 57): 

• Lässt der (geplante) Inhalt zu, dass meine Schüler 

eine allgemeine Kenntnis erwerben können? 

• Lässt sich das Allgemeine an diesem Inhalt auch 

von meinen Schülern in dieser Lernsituation erfassen? 

Und nicht zuletzt: 

• Sollten meine Schüler dieses Allgemeine überhaupt 

erwerben? 

Nach unserer Auffassung lassen sich diese drei 

Fragen für die von uns im folgenden Abschnitt 

vorgestellte Idee Diskretisierung und die in Abschnitt 

4 folgenden exemplarischen Konkretisierungen 

für den Unterricht positiv beantworten. 

3 Zentrale, aktuelle und 

zukuftsweisende Ideen der 

Informatik 

Was für die Mathematik seit langem klar ist, wird 

inzwischen auch für die Informatik gesehen. Nun 

herrscht allgemein Konsens, daß 

die Fortschritte der Wissenschaft 

Informatik nicht mit gleicher Geschwindigkeit 

für den Schulunterricht 

zugänglich gemacht werden 

können. Daher müssen sich die Inhalte 

[. . . ] an den langlebigen Grundlagen 

der Wissenschaft orientieren. 

(Schwill, 1993, 1) 

Um der Frage nach den begründbar wünschenswerten 

Inhalten des Unterrichts nachgehen 

zu können, verallgemeinert man diese zunächst 

auf die Frage nach den fundamentalen Ideen des 

Faches. 

3.1 Fundamentale Ideen 

Fundamentale Ideen dienen der 

fachlichen Absicherung von Inhalten. 

(Humbert, 2005, 54) 

Sie funktionieren als spiraliges Strukturmoment 

(vgl. Schwill, 1993, 11-14) und helfen Zeitgeisterei 

im Unterricht verhindern. 

Fundamentale Ideen nach und vor Bruner 

Fundamentale Ideen haben eine gute Tradition als 

Rahmen für Untericht und wurden durch den amerikanischen 

Erziehungswissenschaftler Bruner fachunabhängig 

thematisiert und populär. 

Im Jahre 1960 formulierte [. . . ] 

Bruner das didaktische Prinzip, wonach 

sich Unterricht in erster Linie an 

Strukturen der zugrunde liegenden 

Wissenschaft orientieren soll. (Schubert 

& Schwill, 2004, 79) 

[Fundamentale Ideen] sind nicht 

Elemente der Wissenschaft an sich, 

sondern Produkte unseres Verstandes, 

die wir der Wissenschaft aufprägen. 

(Schubert & Schwill, 2004, 82) 

Bruner selbst gibt keine explizte 

Definition oder Charakterisierung des 

Begriffs, er überlässt es im wesentlichen 

dem Leser, sich anhand vieler 

Beispiele eine intuitive Vorstellung 

von fundamentalen Ideen zu verschaffen. 

(Schubert & Schwill, 2004, 

81) 

Um als solider Rahmen für Untericht dienen 

zu können, sollten Fundamentale Ideen gewissen 

Kriterien genügen (vgl. Schwill, 1993, 

8): Sie sollten (1) vielfältig erkennbar und anwendbar 

sein (Horizontalkriterium), (2) auf jedem 

intellektuellen Niveau — mit dem bekannten 

Wort Bruners: für jedem Menschen in jedem 

Alter — aufgezeigt und vermittelt werden 

können (Vertikalkriterium), (3) in der historischen 

Entwicklung längerfristig relevant sein 

(Zeitkriterium) und (4) Bezug zur alltäglichen 

Wirklichkeit besitzen (Sinnkriterium). In (Schubert 

& Schwill, 2004, 85f.) wird diese Liste noch 

um das Zielkriterium ergänzt, wonach Fundamentale 

Ideen als Annäherung an eine idealisierte 

Zielvorstellung dienen. 

Wir finden Fundamentale Ideen heute für den 

Mathematikunterricht explizit unter dem Namen 

Leitideen in den Bildungsstandards für die Sekundarstufe 

I: 

Folgende mathematische Leitideen 

sind zu Grunde gelegt: (L1) 

91


Zahl, (L2) Messen, (L3) Raum und 

Form, (L4) Funktionaler Zusammenhang, 

(L5) Daten und Zufall. 

Eine Leitidee vereinigt Inhalte 

verschiedener mathematischer Sachgebiete 

und durchzieht ein mathematisches 

Curriculum spiralförmig. 

(KMK, 2003, 13) 

Aber auch schon bereits in den Preußischen 

Richtlinien von 1925 in der Tradition der revidierten 

Meraner Lehrpläne von 1922 (nach Lietzmann, 

1926, 261f (Hervorhebungen nicht im Original), 

vgl. dazu auch Lambert, 2005a) können wir 

lesen: 

Allgemeines Lehrziel 

[. . . ] Erzielung der Fähigkeit, das 

Mathematische in Form, Maß, Zahl 

und Gesetzmäßigkeit an den Gegenständen 

und Erscheinungen der Umwelt 

zu erkennen und die gewonnene 

Erkenntnis selbständig anzuwenden; 

insbesondere Entwicklung 

des räumlichen Anschauungsvermögens 

und der Fertigkeit im mathematischen 

Auffassen der gegenseitigen 

Abhängigkeit veränderlicher Größenwerte. 

Die Idee Daten und Zufall war damals gerade aus 

dem Lehrplan gefallen, heute erlebt sie (dort?) 

wieder eine Renaissance. 

Fundamentale Ideen 

der Informatik 

(Baumann, 1990, 55) nennt den fundamentalen 

Begriff Algorithmus, die Idee der formalen 

Beschreibung und die Konstruktion künstlicher 

Sprachen, die weit in die Geistesgeschichte zurückgehen, 

und stellt fest: 

Die Entstehung der Informationsverarbeitung 

durch Computer beruht 

im wesentlichen auf drei fundamentalen 

Ideen, nämlich der Idee der Formalisierung, 

der Idee der Mechanisierung 

und der Idee der Programmsteuerung. 

(Baumann, 1990, 55) 

(Schwill, 1993) schlägt basierend auf seiner 

Analyse von Softwareentwicklung folgende drei 

Fundamentale Ideen als Masterideen vor: 

• Algorithmisierung, 

• Strukturierte Zerlegung, 

• Sprache, 

und eröffnet damit die breitere Diskussion um 

Fundamentale Ideen der Informatik für den Unterricht. 

92 

1994 hat die Tagung unseres „Arbeitskreises 

Mathematikunterricht und Informatik in der 

GDM“ das Thema: „Fundamentale Ideen – Zur 

Zielorientierung eines künftigen Mathematikunterrichts 

unter Berücksichtigung der Informatik“. 

Bender konstatiert dort: 

[D]ie drei [. . . ] Master-Ideen sind 

entweder sowieso fundamentale Ideen 

der [. . . ] Mathematik, oder aber 

[. . . ] informatische Verkörperungen 

solcher [. . . ]. (Bender, 1995, 12) 

Hier fließen offenbar zwei Überlegungen zusammen. 

Erstens: An Algorithmen war man schon 

lange vor der Erfindung des Computers interessiert 

und Mathematiktreibende sind maker of patterns 

(Hardy, 1967, 84) und Mathematik ist eine 

formale Sprache – man denke nur an Hilberts 

Programm. Und zweitens: Der Computer ist eine 

Maschine, auf die wir menschliche Denkfähigkeit 

mechanisiert auslagern (vgl. Hischer, 2002, 69f. 

bzw. Weigand & Weth, 2003, 1). 

In der Verbindung mit der Idee „Auslagerung 

auf einen Computer“ werden die historisch mathematischen 

Ideen Algorithmisierung, Strukturierte 

Zerlegung und Sprache also zu informatischen, 

und zu dieser Auslagerung ist Diskretisierung notwendig. 

Fasst man die Mathematik als die 

Wissenschaft vom „formal Denkbaren“ 

auf, so konzentriert sich die Informatik 

auf das „Realisierbare“, also 

auf Formalismen und Begriffe, die 

der maschinellen Verarbeitung zugänglich 

sind. (GI, 2005, 3) 

Die Untersuchungsobjekte der 

Mathematik unterliegen im Allgemeinen 

keinen Einschränkungen, 

während in der Informatik eine Bevorzugung 

diskreter Strukturen vorherrscht. 

(Claus, 1977, nach Schubert 

& Schwill, 2004, 14) 

Kurz: 

Mathematik ist die Wissenschaft von den 

denkbaren Mustern und Strukturen, und 

Informatik die von den computertechnisch 

machbaren, notwendig diskreten. 

3.2 Diskretisierung 

In Diskretisierung sehen wir eine zentrale, aktuelle 

und zukunftsweisende Idee an einer Schnittstelle 

von Mathematik und Informatik; nach unserer 

Auffassung erfüllt sie obige Kriterien an eine 

Fundamentale Idee und ist von allgemeinbildendem 

Wert. Sie spiegelt beide Traditionen der Informatik 

wider: Wir finden Sie in der Mathematik,


die sich auch schon vor dem Computer mit diskreten 

Strukturen auseinandersetzte, und sie hat als 

technische Notwendigkeit zwingenden Bezug zur 

Ingenieurwissensschaft. 

Diskrete Mathematik 

An der Brücke zwischen Mathematik und Informatik 

erlebt die Diskrete Mathematik heute ein – 

auch institutionell durch neue Professuren getragenes 

— Wiedererstarken. 

Ob Diskrete Mathematik ein eigenständiges 

Gebiet der Mathematik oder eine spezielle, klassische 

Gebiete verbindende Art, mathematisch zu 

denken, ist, darüber gehen die Meinungen auseinander. 

Letztlich wird dies tatsächlich erst die noch 

vor uns liegende geschichtliche Entwicklung entscheiden. 

Einerseits 

Diskrete Mathematik ist ein relativ 

junges Gebiet der Mathematik, 

das in einzigartiger Weise sogenannte 

„reine Mathematik“ mit „Anwendungen“ 

verbindet. Insbesondere seit 

der Einführung des Computers in der 

Mitte des 20. Jahrhunderts drängten 

sich Probleme der diskreten Mathematik 

in den Vordergrund. Im Gegensatz 

zu solchen Teilgebieten der 

Mathematik, die sich mit kontinuierlichen, 

„stetigen“ Phänomenen beschäftigen, 

wie z.B. die Analysis, ist 

es eine Herausforderung der diskreten 

Mathematik, Modelle zum Verständnis 

und zur Beherrschung von 

endlichen, eventuell allerdings sehr 

großen Phänomenen und Strukturen 

zu entwickeln. [. . . ] es werden Formeln 

und Algorithmen behandelt. Insofern 

sind die Übergänge zur Informatik 

fließend. (Beutelsbacher & 

Zschigener, 2004, Umschlagstext) 

Hier spricht der aktive Forscher, der in dem, was 

er tut, etwas Eigenes sieht. Interessant ist, dass wir 

auch hier die bereits oben schon von Bender getroffene 

Feststellung finden können, dass Formalisierung 

und Algorithmisierung sowohl zur Mathematik 

als auch zur Informatik gehören und diese 

verbinden. 

Andererseits 

Diskrete Mathematik ist ein Sammelname 

für verschiedene mathematische 

Teilgebiete, deren gemeinsamer 

Kern die Beschäftigung mit endlichen 

— bzw. diskreten — Mengen 

und darauf vereinbarten Relationen 

oder Strukturen ist. Hierzu gehö- 

ren Kombinatorik und Graphentheorie, 

insbesondere die diskrete Optimierung 

sowie die Codierungstheorie 

und Kryptographie. [. . . ] Diskrete 

Mathematik ist also kein eigenständiges 

mathematisches Teilgebiet 

wie Algebra, Geometrie oder Analysis. 

(Bruder & Weigand, 2005, 4) 

Dies ist ein Standpunkt für die Schule, für den 

Unterricht: Schule entwickelt sich langsam weiter 

und Neuerungen brauchen belastbare Anknüpfungspunkte. 

Wir sollten also das Diskrete zunächst 

bei Bekanntem suchen. 

Ein integrierender Zugang 

THESE: Die Übergänge zwischen Mathematik, 

Numerik und Informatik sind fließend, und so 

sollten sie auch in der Schule erscheinen. — Dies 

ist mit einer Integration informatischer Ideen in 

den Mathematikunterricht (der Sekundarstufe I) 

leichter möglich als mit einem abgespaltenen Fach 

Informatik. 

VORSCHLAG zur Diskussion: Es sollte in 

der Sekundarstufe I — ab Klasse 7, 8 oder 9? — 

ein integriertes Fach „Mathematik & Informatik“ 

eingerichtet werden. 

4 Exemplarisches Beispiel für 

den Unterricht 

Die in den vorherigen Abschnitten gelegten theoretischen 

Grundlagen zu allgemeiner Informatik 

und der Mathematik und Informatik verbindenden 

Idee Diskretisierung werden wir nun an beziehungshaltigen 

Beispielen für den Unterricht exemplarisch 

konkretisieren. Diese sind dabei so gewählt, 

dass sie in den derzeitigen alltäglichen Mathematikunterricht 

— im Rahmen der üblichen 

Lehrpläne der Sekundarstufe I — problemlos integriert 

werden können. 

4.1 Ein rund(?)er Anfang 

Der Computer vermittelt als Neues Medium und 

Werkzeug im Unterricht zwischen Mensch und 

Welt. Er erweitert mitprägend unsere Wahrnehmung. 

Konstruieren wir [. . . ] die Welt 

nach dem Bild des Computers, oder 

erschließen wir uns mit seiner Hilfe 

die Wirklichkeit? (Bauer-Wabnegg, 

2001, 33) 

Zeichnen wir mit einem DGS einen Kreis, erhalten 

wir ein Bild wie das folgende (hier: mit dem 

DGS des Casio Classpad 300): 

93


Wir sehen einen Kreis, weil wir bereits wissen, 

was ein Kreis ist. Wenn wir Objekte zeichnen, 

die wir noch nicht kennen, dann erkennen wir sie 

nicht. Man kann die Beobachtung machen, dass 

Schülerinnen und Schüler, die Parabeln noch nicht 

kennen — aufgrund der durch die Bildschirmauflösung 

notwendigen Treppen — Probleme haben, 

die Parabeln vom Display „genau“ abzuzeichnen 

(vgl. Lambert, 2005b, 260). 

Was steckt eigentlich hinter den Treppen? Genaues 

Hinsehen ergibt: Der Rechner hat nur endlich 

viele Zeichenpunkte zur Verfügung! Bei der 

Untersuchung des Phänomens können wir ein 

Tabellenkalkulationsprogramm nutzen. Das Programm 

offenbart sich dadurch als ein sehr mächtiges 

Werkzeug (dazu Hischer, 2002, 241), das auch 

Dinge kann, für die es ursprünglich gar nicht gedacht 

ist. 

Simulieren wir also die obige Kreisdarstellung 

(vgl. dazu auch Hubwieser, 2004, 137ff., 

wo durch Tabellenkalkulation Rastergrafik und 

Vektorgrafik veranschaulicht werden): Wir setzen 

einen Pixel, falls die Kreisgleichung annähernd 

erfüllt ist. 

Dazu können wir wie folgt vorgehen: In Zeile 

1 bzw. Spalte A haben wir x- bzw. y-Koordinaten 

eingetragen, In Zelle D3 bis D7 finden sich Mittelpunkt, 

Radius und Näherungsschranken für die 

Kreisberechnung. Der kurze Befehl für die in der 

Abbildung markierte Zelle X7 lautet: 

=WENN( 

UND( 

(X$1-$D$3)^2+($A1-$D$4)^2>=$D$5^2-$D$6; 

(X$1-$D$3)^2+($A1-$D$4)^2


Taschenrechner Mit dem Taschenrechner 

wurde die Präzision der Näherungen erhöht und 

das Bewusstsein über numerische Fehler reduziert. 

Einheitskreis Früher konnte man Einheitkreise 

als Unterrichtmaterialien in Gestalt von Funktionsanzeigern 

erwerben (aus Lietzmann, 1923, 

176). 

Heute können sich die Lernenden selbst mit einem 

DGS einen beweglichen Eindruck vom Einheitskreis 

zum Funktionsgraphen verschaffen. 

Funktionsgraph Biegbare Kurvenlineale und 

starre Schablonen halfen früher beim Darstellen 

glatter Graphen. Oder man ließ sich technisch unterstützen 

(mit direktem Bezug zu den entsprechenden 

physikalischen Aspekten): durch Oszilloskop 

bzw. x-t-Schreiber oder auch durch Stimmgabel 

und Rußplatte (Lietzmann, 1925, 145). 

Funktionsplots als Ergebnis mehrfacher Diskretisierung 

(vgl. Hischer, 2004, 40f) stellen heute 

Funktionsgraphen notwendig treppig dar. Aber 

es gibt auch einen wirklichen mediendidaktischen 

Durchbruch (vgl. Hischer, 2002, 249): Heute können 

wir Funktionsgraphen auf dem Computerbildschirm 

entstehen lassen (siehe oben) und über 

auf Formvariable wirkende virtuelle Schieberegler 

interaktiv bewegen. Für Letzteres eignet sich 

hervorragend das vom Lehrer Robert Triftshäuser 

programmierte, frei erhältliche und einfach handhabbare 

Paraplot2, das zu vom Nutzer verwendeten 

Formvariablen automatisch Schieberegler generiert. 

. . . und in der Sekundarstufe II 

Reihe Für die rigorose Analysis spielt es eine 

Rolle, dass sich der Sinus als unendliche Reihe 

sin(x) = 

∞ 

∑ 

k=0 

(−1) k x2k+1 (2k+1)! 

darstellen lässt; sie kann dies als Definition nehmen. 

Den Grenzübergang können wir uns heute 

leicht ansehen. 

Mathematische und andere Pendel Bei 

der Beschreibung von Schwingungen spielt die 

Sinusfunktion eine wichtige Rolle. Dabei erhalten 

wir in einer gegebenen Situation unterschiedliche 

Aussagen über das Verhalten eines Pendels, 

je nachdem was wir zur Lösung verwenden (wollen). 

Ein wirkliches (nicht angeregtes) Pendel 

schwingt, einmal angestoßen, natürlich mit fallender 

Amplitude, bis es schließlich zum Stillstand 

kommt. 

Das wie üblich zum mathematischen Pendel 

linearisierte — hier wird der Sinus im Ansatz 

durch seine lineare Näherung ersetzt, damit man 

eine exakte Lösung erhalten kann — Anfangswertproblem 

¨x(t) = −x(t), ˙x(0) = 1, x(0) = 0 

hingegen hat den ewig schwingenden Sinus als 

Lösung. 

Und lösen wir diese Differentialgleichung 

über das naiv — d. h. analysisfrei — diskretisierende 

Eulerverfahren numerisch (siehe unten, mit 

Maple), so wächst die Amplitude der Schwingung 

beständig. Durch Verkleinerung der Schrittweite, 

können wir diese Lösung zwar verbessern, aber 

letztlich wäre der Grenzübergang dann doch wieder 

kontinuierliche Analysis. 

f:=(t,x,y)->y; 

g:=(t,x,y)->-x; 

t[0]:=0; x[0]:=0; y[0]:=1; 

h:=0.1; schritte:=400; 

for k from 0 to schritte do 

t[k+1]:=t[k]+h; 

x[k+1]:=x[k]+h*f(t[k],x[k],y[k]); 

y[k+1]:=y[k]+h*g(t[k],x[k],y[k]) 

od: 

95


Das Beispiel zeigt auch, dass eine strikte Trennung 

von Mathematik- und Physikunterricht leider 

die Beziehungshaltigkeit vieler (auch hier 

nicht genannter) Aspekte des Begriffes Sinus reduziert, 

die exemplarisch für die Beziehungshaltigkeit 

von Mathematik und Physik stehen könnte. 

Periodisches Aliasing beim Plotten von 

Sinusfunktionen 

Funktionenplotter sind oft ein nützliches Werkzeug 

zum Erkennen von Funktionseigenschaften. 

Dabei ist ihnen durch die diskrete Auflösung der 

Funktionsgraphen in Pixel eine technische Grenze 

für Darstellungsmöglichkeiten gesetzt, die uns 

bewusst sein muss, damit wir uns nicht in die Irre 

führen lassen. Man kann sich leicht überlegen, 

dass es auf einem Bildschirm mit m mal n Pixeln, 

die nur die Werte Schwarz bzw. Weiß annehmen, 

genau 2 mn verschiedene Bilder gibt, gewiss zu wenig, 

um unendlich viele unterschiedliche Funktionen 

auch unterschiedlich darzustellen. 

Die Pixel bilden ein periodisches Raster, der 

Sinus ist eine periodische Funktion, da ist es nicht 

abwegig bei zwingend auftretenden Fehldarstellungen 

auch periodische Phänomene zu erwarten, 

Mathematik und Informatik haben schließlich System. 

Durch systematisches Probieren kann man 

entdecken: Der Funktionsplot auf dem TI Voyage 

200 etwa zeigt uns über dem Intervall [−π,π] 

und 

sin(x) = sin(239x) = sin(477x) = ··· 

sin(2x) = sin(240x) = sin(478x) = ··· 

usw. (vgl. Herget et al., 2002) und der auf dem 

Casio Classpad 300 (Lambert, 2005b, 262f) 

und 

sin(x) = sin(155x) = sin(309x) = ··· 

sin(2x) = sin(156x) = sin(310x) = ···. 

Wie kommt das zustande? Die Plotter berechnen 

und zeichnen die Werte an den durch ihre Bildschirmauflösung 

gegebenen Stützstellen. An diesen 

fallen die Werte der unterschiedlichen Funktionen 

offensichtlich zusammen. Offensichtlich — 

96 

aber warum? Ein Additionstheorem erhellt den 

Zusammenhang (vgl. Hischer, 2002, 58): 

sin((a+ks)xσ) 

= sin(axσ)cos(kσ2π)+cos(axσ)sin(kσ2π) 

für k ∈ Z, die Abtastrate s und die Stützstellen 

xσ = 2πσ 

s mit σ = 1...s. Darin ist cos(kσ2π) = 1 

und sin(kσ2π) = 0 für alle k und σ. Vom Term 

rechts des Gleichheitszeichens bleibt also tatsächlich 

nur sin(axσ) stehen, und das sehen wir. So 

lässt sich dann auch die Abtastrate s bestimmen. 

Haben wir das verstanden, so können wir eine erklärende 

Abbildung erzeugen — mit überschaubarer 

Frequenz des Sinus und passender Abtastrate 

in einer Wertetabelle (hier auf dem Casio 

Classpad 300): 

Spannend ist hier auch die letzte Zeile der Wertetabelle, 

die uns etwas über die interne (Un- 

)Genauigkeit der Maschine verrät. Vergleichbare 

Beobachtungen kann man auch leicht mit einer 

Tabellenkalkulation machen. 

Das Phänomen möglicher Fehldarstellungen 

bei äquidistanter Abtastung ist von hoher Anwendungsrelevanz: 

Es spielt z. B. eine wesentliche 

Rolle bei der Digitalisierung — also Diskretisierung 

— von Tonsignalen bei Audioaufnahmen. 

Als Ausweg haben wir Shannons Abtasttheorem, 

das sicherstellt, dass wir, wenn wir ein Signal mit 

einer Frequenz abtasten, die mehr als doppelt so 

groß ist wie die höchste der in dem abzutastenden 

Signal enthalten Frequenzen, das Originalsignal 

wieder vollständig rekonstruieren können. Dazu 

verwendet man die schnelle Fouriertransformation 

(FFT), die, in wenigen Zeilen programmierbar, 

im Untericht von der Lehrperson leicht demonstriert 

werden kann – man kann nicht alles die Lernenden 

selbst entdecken lassen. 

Oben haben wir die inzwischen historisch gewachsene 

Trennung von Mathematik- und Physikunterricht 

beim Thema Sinus bedauert. Eine Trennung 

von Mathematik- und Infomatikunterricht 

im Alltag würde noch vorhandene Chancen angebrachter 

Vernetzung — die hier exemplarisch angedeutet 

wurde — vergeben. (Zwischen-) Bilanzierend 

möchten wir hier festhalten:


Am Beispiel des Begriffs „Sinus“ lässt 

sich Diskretisierung im Zusammenspiel 

von Mathematik, Numerik & Informatik 

erkennen-erkunden-erfahren-erklären. 

4.3 Ein Modell von Modellbildung beim 

reflektierenden Einsatz von 

Computern im Mathematikunterricht 

In Erweiterung des Modells von Modellbildung 

von (Schupp, 1988, 11) für den anwendungsorien- 

Schupp hat den Modellbildungskreislauf 

strukturiert, indem er die Seiten Problem und Lösung 

und die Ebenen Welt und Mathematik bewusst 

unterscheidet. 

Wir möchten dem Modell beim Computereinsatz 

zwei weitere Ebenen hinzufügen: Die Ebene 

„Auf dem Computer“ und die Ebene „Im Computer“. 

Wir übersetzen (falls möglich!) unser mathematisches 

Modell so, dass wir es dem Computer 

übergeben können. Der übersetzt es sich wiederum 

so, dass er binär damit rechnen kann. Das 

Resultat seiner Rechnung transformiert er dann 

wieder in eine für uns verständliche Sprache zurück, 

woraus wir schließlich ein Ergebnis gewinnen 

können. 

Wir sehen bei der Nutzung eines CAS, das für 

uns algebraisch operiert, nicht, dass dies im Computer 

durch Binärarithmetik realisiert ist. 

Das Modell erinnert uns daran, dass wir in vielen 

Fällen zuerst Mathematisieren und dann Diskretisieren 

(sollten), und dass erst die Kenntnis der 

Möglichkeiten und Grenzen des Computers einen 

verständigen Umgang mit diesem ermöglicht. 

4.4 Pixelphänomene 

Diskrete Auflösung durch Pixel spielt noch an vielen 

weiteren Punkten in den Mathematik- und Informatikunterricht 

hinein. 

Phänomene die zwischen die Pixel fallen 

Auf Bildschirmen haben wir immer Diskretisierung 

vor Augen, die Phänomene des Unendlichen 

verendlicht. Ohne eine angemessene Reflexion 

der Situation lassen sich leicht Fehlschlüsse 

tierten Mathematikunterricht schlagen wir angeregt 

durch die Betrachtungen am exemplarischen 

Beispiel Sinus folgendes Modell für den entsprechenden 

Einsatz im Mathematik & Informatik - 

Unterricht vor; typisch informatische Anwendungen 

wie etwa Datenbanken sollen von diesem Modell 

nicht beschrieben werden. 

ziehen. 

Auf einen präzisen Grenzwertbegriff 

wird verzichtet. Dies geschieht 

auch in dem Zusammenhang, dass 

wir uns in einem Übergang vom 

industriellen Zeitalter ins Informationszeitalter 

befinden. Mathematische 

Grundlage für das industrielle Zeitalter 

war die traditionelle Analysis. 

Basis für das Informationszeitalter ist 

eher die diskrete Mathematik. (Weitendorf, 

2000) 

Untersuchen wir also nun etwa die Krümmung der 

recht simplen Funktion 

für 

f : R + → R, x ↦→ xln(x) 

x → 0. 

Ein Blick auf das Display des Classpad 300 zeigt 

uns den Plot über [−0,5..1,5] ×[−1..1] bzw. eine 

Auschnittsvergrößerung: 

97


Das Krümmungsverhalten scheint harmlos zu 

sein. Wie immer bei Funktionsplots differenzierbarer 

Funktionen ist das Bild lokal linear — was 

ja im Unterricht Funktionenmikroskope ermöglicht 

(vgl. Kirsch, 1979). Es suggeriert uns aber 

auch leicht Krümmung 0 – ein prinzipielles Problem. 

Ein Plot der zugehörigen Krümmungsfunktion 

lässt bei geschicktem Zoomen etwas Anderes 

möglich scheinen. Eine analytische Betrachtung 

— bei der ein CAS Arbeit abnimmt — verblüfft 

schließlich endgültig damit, dass für x gegen 0 die 

Krümmung gegen ∞ geht. 

Sie haben mal Leute zitiert, die 

behauptet haben, daß Newton und 

Leibniz die Differential- und Integralrechnung 

nicht erfunden hätten, 

wenn sie Taschenrechner gehabt hätten! 

Diese Aufgabe zeigt, was das für 

ein Unsinn ist. (Schülerin nach Steinberg, 

2005, 46) 

Übrigens: Wir leben im (Informations-) Zeitalter, 

in dem man dank Computer Schiller zitieren kann, 

ohne ihn wirklich selbst gelesen zu haben (vgl. 

auch Swift oben). Und so finden wir passend zum 

Schillerjahr leicht ein hier passendes Zitat: 

Theoretischerhaben ist ein Gegenstand, 

insofern er die Vorstellung 

der Unendlichkeit mit sich führet, deren 

Darstellung sich die Einbildungskraft 

nicht gewachsen fühlt. (Schiller, 

1793) 

Und deren Darstellung diskrete Computer nicht 

gewachsen sein können. 

Weitere Phänomene, die zwischen den 

Pixeln emporsteigen 

Aliasing beim Plotten des Sinus lässt sich als Phänomen 

bei der Überlagerung periodischer Strukturen 

beschreiben. Dies birgt für den Unterricht ein 

Verallgemeinerungspotential. Überlagerung periodischer 

Strukturen haben wir auch in der folgenden 

Situation: Der Scan eines leicht gedrehten 

Streifenmusters (mit einem Scanner, aber auch 

bei Bilschirmdarstellung) zeigt Moiré-Phänomene 

(vom frz. moiré: schillernd). 

Zur Untersuchung im Unterricht der Sekundarstufe 

I benötigen wir unterschiedliche Folien 

mit äquidistanten Steifenmustern, die wir leicht 

mit LATEX (oder auch einem Grafikprogramm) erzeugen: 

98 

\documentclass[12pt,a4paper]{article} 

\begin{document} 

\setlength{\unitlength}{1cm} 

\begin{picture}(5,15) 

\linethickness{0.1 cm} 

\multiput(0,0)(0.2,0){70}{\line(0,1){15}} 

\end{picture} 

\end{document} 

Dieser kurze Quellcode erzeugt ein Muster mit 

Streifenbreite 0,1 cm (Zeile 5) und der Periode 

0,2 cm (Zeile 6). 

Legt man zwei dieser Folien übereinander und 

verdreht sie gegeneinander, so kann man abhängig 

vom Drehwinkel und vom Frequenzverhältnis 

Streifen sehen, die in keiner der Folien selbst enthalten 

sind. 

Wir sehen hier den so genannten (1,−1)- 

Moiré für die Frequenzverhältnisse q = 1 bzw. 

q = 1,1 und einen Drehwinkel von etwa 6 ◦ (aus 

Selzer, 2005, 42). 

Die Sichtbarkeit im Folienexperiment ist auch 

abhängig davon, ob man in das Moiré hinein- oder 

aus ihm herausdreht (Selzer, 2005, 103). 

Aus mathematischer Sicht interessant ist die 

Frage, ob und wie man ggf. aus den Perioden der 

Ausgangsfolien und dem Drehwinkel den Moiré 

bestimmen kann. 

Ein möglicher Weg, der schließlich zu einer 

verständigen Simulation von Moirés bei Streifenmustern 

mit einem DGS führen kann, ist in (Lambert, 

2005a) beschrieben.


Was wir hier sehen ist eine didaktische Reduktion 

der Fourieranalyse: Links sind Richtung und 

Größe der jeweiligen Frequenzen dargestellt; Frequenz 

und Richtung des Moirés ergibt sich durch 

lineare Superposition (kennt man aus dem Physikunterricht 

von Kräften), also durch Vektoraddition. 

Bei anderen als dem (1,−1)-Moiré kommen 

entsprechende andere Vielfache der Vektoren zum 

Zug. 

Neben Streifenmustern können auch weitere 

periodische Muster betrachtet werden, was die 

visuelle Entdeckung ermöglicht, dass im Moiré 

Information aus den Ausgangssignalen zu sehen 

ist. Überlagern wir etwa zweifach periodisch angeordnete 

weiße Kreise auf schwarzen Grund 

mit zweifach periodisch angeordneten schwarzen 

Herzchen auf weißem Grund, so wird bei geringem 

Drehwinkel ein Moiré sichtbar, der verschwommen 

vergrößerte Herzen aufweist (vgl. 

Selzer, 2005, 88). 

Das Vergrößerungsphänomen hat man schon 

früher zur Qualitätsbestimmung von Seidenstoffen 

verwendet. Dort spielen Moirés auch bei der 

Herstellung von schillernden Stoffen eine Rolle 

— bereits im alten China (vgl. dazu Selzer, 2005, 

6). 

Mit dem Wissen um Moirés kann man diese 

dann auch im Alltag jenseits des Computers wiederfinden 

(Abb. aus Selzer, 2005, 5) — man sieht, 

was man weiß. 

4.5 Ein rund(?)es Ende 

Hat man die Idee der Diskretisierung verstanden, 

kann man sie schließlich selbst kreativ nutzen. Wir 

können dazu den impliziten 3D-Funktionenplotter 

DPGraph einsetzen, der leicht zu bedienen und 

preiswert zu erhalten ist, und der sich für mathematische 

Anwendungen und mathematische Spielereien 

im Unterricht eignet. 

graph3d.mesh:=false 

graph3d.resolution := 99 

graph3d.contrast := 0.6 

graph3d.highlight := 0.3 

graph3d.shading := 0.8 

graph3d.color := (x+y+z)/5 

graph3d.minimumx := -2 

graph3d.maximumx := 2 

graph3d.minimumy := -2 

graph3d.maximumy := 2 

graph3d.minimumz := -2 

graph3d.maximumz := 2 

graph3d( 

((x-3/2)^2+(y-3/2)^2+(z-3/2)^2=0.1875, 

x^2+y^2+z^2=0.4969, 

(x-3/4)^2+(y-3/4)^2+(z-3/4)^2=0.1875, 

(x+5/4)^2+(y+5/4)^2+(z+5/4)^2=2.8*0.1875) 

) 

Bei diesen vier Kugeln sind Mittelpunkte 

und Radien so gewählt, dass sie 

bei Reduktion des stützenden Gitters auf 

graph3d.resolution := 9 (fast) aussehen 

wie archimedische und platonische Körper 

— sehen sie als Kugeln eigentlich aus wie Kugeln? 

Literatur 

Bauer-Wabnegg, Walter (2001): Logische Tiefe und freundliche 

Oberflächen – Neue Mythen des Alltags. In: Bürdeck, 

Bernhard E. (Hg.): Der digitale Wahn, Suhrkamp, 29–43 

Baumann, Rüdeger (1990): Didaktik der Informatik. Stuttgart: 

Klett 

Bender, Peter (1995): Wo im Fächer-Kanon der allgemeinbildenden 

Schule soll die Informatik angesiedelt werden? In: Hischer, 

Horst (Hg.): Fundamentale Ideen – Zur Zielorientierung 

eines künftigen Mathematikunterrichts unter Berücksichtigung 

der Informatik, Hildesheim, 8–17 

Beutelsbacher, Albrecht & Marc-Alexander Zschigener 

(2004): Diskrete Mathematik für Einsteiger. Wiesbaden: 

Vieweg 

Bruder, Regina & Hans-Georg Weigand (2005): Problemlösen, 

Verstehen, Anwenden ... aber bitte diskret. mathematik lehren, 

129, 4–8 

Claus, Volker (1977): Informatik an der Schule: Begründungen 

und allgemeinbildender Kern. In: Heinrich, Bauersfeld, 

Michael Otte & Hans Georg Steiner (Hg.): Informatik im Unterricht 

der Sekundarstufe II, IDM, 19–33 

GI (2005): Was ist Informatik? Positionspapier der Gesellschaft 

für Informatik 

Hardy, G. H. (1967): A mathematician’s apology. Cambridge: 

At The University Press 

Herget, Wilfried, Karl-Heinz Keunecke, Elvira Malitte & Sibylle 

Stachniss-Carp (2002): Sinus-Graphen und Rechner- 

Grenzen. PM, 44(2), 65–68 

Hischer, Horst (2002): Mathematikunterricht und Neue Medien. 

Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und 

fachübergreifender Sicht. Hildesheim: Franzbecker 

Hischer, Horst (2004): Treppenfunktionen und Neue Medien – 

medienpädagogische Aspekte. MU, 50(6), 36–45 

Hubwieser, Peter (2004): Didaktik der Informatik – Grundlagen, 

Konzepte, Beispiele. Berlin, Heidelberg, New York: 

Springer 

Humbert, Ludger (2005): Didaktik der Informatik – mit praxiserprobtem 

Unterrichtsmaterial. Wiesbaden: Teubner 

99


Kirsch, Arnold (1979): Ein Vorschlag zur visuellen Vermittlung 

einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. MU, 25, 

25–41 

Klafki, Wolfgang (1996): Neue Studien zur Bildungstheorie 

und Didaktik– zeitgemäße Allgemeinbildung und kritischkonstruktive 

Didaktik. Weinheim und Basel: Beltz 





Krüger, Heinz-Hermann (1997): Einführung in Theorien und 

Methoden der Erziehungswissenschaft. Opladen: Leske + Budrich 

Lambert, Anselm (2003): Begriffsbildung im Mathematikunterricht. 

In: Bender, Peter, Wilfried Herget, Hans-Georg Weigand 

& Thomas Weth (Hg.): Lehr- und Lernprogramme für 

den Mathematikunterricht, Hildesheim: Franzbecker, 91–104 

Lambert, Anselm (2005a): Bildung und Standards im Mathematikunterricht 

— oder: Was schon beim alten Lietzmann 

steht. In: Bender, Peter, Wilfried Herget, Hans-Georg Weigand 

& Thomas Weth (Hg.): Neue Medien und Bildungsstandards, 

Hildesheim: Franzbecker, 70–80 

Lambert, Anselm (2005b): Ich sehe was, was Du nicht siehst – 

Computerdarstellungen reflektieren. In: Barzel, Bärbel, Stefan 

Hussmann & Timo Leuders (Hg.): Computer, Internet & Co. 

Im Mathematikunterricht, Berlin: Cornelsen Scriptor, 256–268 

Lietzmann, Walther (1923): Methodik des mathematischen 

Unterichts. II. Teil: Didaktik der einzelnen Gebiete des mathematischen 

Unterrichts. Leipzig: Quelle & Meyer 

100 

Lietzmann, Walther (1925): Funktion und graphische Darstellung. 

Breslau: Ferdinant Hirt 

Lietzmann, Walther (1926): Methodik des mathematischen 

Unterichts. I. Teil: Organisation, Allgemeine Methode und 

Technik des Unterrichts. Leipzig: Quelle & Meyer 

Schiller, Friedrich (1793): Vom Erhabenen 



Schupp, Hans (1988): Anwendungsorientierter Mathematikunterricht 

in der Sekundarstufe I zwischen Tradition und neuen 

Impulsen. MU, 34(6), 5–16 

Schwill, Andreas (1993): Fundamentale Ideen der Informatik. 

URL www.informatikdidaktik.de/Forschung/ 

Schriften/ZDM.pdf 

Selzer, Pia (2005): Überraschende Phänomene bei der Darstellung 

von Funktionen — in naiver und mathematischer Sicht. 

Staatsexamensarbeit 

Steinberg, Günter (2005): Kurvendiskussionen: Wirklich Diskussion 

von Kurven? mathematica didactica, 28(1), 44–57 

Steinbuch, Karl (1966): Die informierte Gesellschaft. Stuttgart: 

DVA 

Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2003): Computer im 

Mathematikunterricht. Neue Wege zu alten Zielen. Heidelberg, 

Berlin: Spektrum Akademischer Verlag 

Weitendorf, Jens (2000): Realitätsbezogener Analysisunterricht 

für die Klasse 11. URL www.erzwiss. 

uni-hamburg.de/Personal/Gkaiser/db83. 

html#ch242

• Erlebnis Mathematik mit Computer — Realisierung am 

Beispiel des Folgenbegriffs 

Herbert Löthe, Ludwigsburg 

In diesem Artikel wird ein prozessorientierter Ansatz für die Anwendung des Computers in der 

Mathematik-Lehramtsausbildung vorgestellt, der an der PH Ludwigsburg entwickelt und erprobt 

wurde. 

1 Einleitung 

Das Gebiet „Mathematik mit Computer“ ist schon 

fast nicht mehr diskutierbar, da bei Argumenten 

sehr verschiedene didaktische Situationen gemeint 

sein können; es ist also leicht aneinander 

vorbei zu reden. So meinen wir im Folgenden 

nicht etwa die Rolle, die die Mathematik pragmatischerweise 

bei der Vermittlung von Basiskenntnissen 

und -fähigkeiten der Informationstechnologie 

— etwa nach dem FITness-Curriculum (Fluency 

with Information Technology) — immer 

noch spielt oder spielen muss, solange es ein 

durchgreifendes Fach Informatik noch nicht gibt. 

Wobei hier offen bleiben kann, ob es dies überhaupt 

geben sollte. 

Wir denken im Folgenden auch nicht an die 

Nutzung von Anwendersoftware im Mathematikunterricht. 

Wie immer ist die im Unterricht verwendete 

Software gegenüber inhaltlichen Vorgaben 

dominierend und in der Regel werden didaktische 

Urteile von ihr beeinflusst. Man denke nur 

an Tabellen-, Geometrie- oder Algebrasysteme, 

die jeweils schon fast eine eigene Mediendidaktik 

innerhalb der Mathematikdidaktik induzieren. 

Auch die Frage, welche informatischen Inhalte, 

Denkweisen und Techniken im Mathematikunterricht 

mit Erfolg nutzbar sind, stellt ein weites Feld 

didaktisch-methodischer Diskussionen dar. Während 

ein iterativ algorithmisches Denken schon etwas 

in das Blickfeld der Schulmathematik gekommen 

ist, sieht es bei echt rekursiven Denken noch 

eher düster aus. Auch das Vermeiden von Indices, 

die ja eine Technik der statisch verstandenen 

Mathematik darstellen, wird kaum zur Stärkung 

eines mehr dynamisch mathematischen Denkens 

genutzt. Wir werden dazu später ein Beispiel mit 

dem Folgenbegriff haben. 

All dies soll jedoch im Folgenden nicht im 

Vordergrund stehen. 

2 Von Inhalten zu Prozessen 

Das Grundproblem, das wir zur Zeit sehen ist, wie 

bringen wir es fertig von inhaltsbezogenem didaktischen 

Denken zu einem Denken in prozessorientierten 

Arbeits- und Lernstilen im Mathematikunterricht 

zu kommen? 

Dass dies dem gegenwärtigen Einsichten in 

der Didaktik der Mathematik entspricht, ist nach 

TIMSS, PISA etc., den NCTM-Standards (1978 

bis 2000), den zur Zeit sich entwickelnden Bildungsstandards 

und nicht zuletzt diversen Projekten 

wie SINUS usw. offensichtlich. Formulliert ist 

diese Form des mathematischen Lernens und aktiven 

Arbeitens als Prozess in den Prozessstandards 

der NCTM, die ja auch in den Bildungsstandards 

bei uns einige Spuren hinterlassen haben. 

Das Problem dabei ist — besonders in 

Deutschland und vor allem am Gymnasium — 

wie implementiert man ensprechende Lehr- und 

Lernstile in den Schulen. Es gibt sicherlich den 

guten Willen dazu, aber die Lehrer sind über 

das Wie eher ratlos. Lehrende können nur dann 

methodische Fantasie für ihren Unterricht entwickeln, 

wenn sie auf ein entsprechendes eigenes 

Lernerlebnis zurückgreifen können. Im Lehramtsstudium 

stehen leider genau wie im Schulunterricht 

eher die Inhalte und weniger die Prozesse 

mathematischen Arbeitens und Lernens im Vordergrund. 

Wesentlich ist also das Erleben von Mathematik 

und weniger das Wissen über Mathematik. 

Leider ist es aber so, dass nur wenige Studierende 

daran gewöhnt sind eigeninitiativ und aktiv 

Mathematik zu betreiben, indem sie Vorlesungen 

nacharbeiten, Übungen aktiv durchführen und 

sich die Mathematik zur „eigenen Sache“ zu machen. 

Es besteht also die Aufgabe für Studium und 

Schule Lernumgebungen für zentrale Inhalte der 

Mathematik zu gestalten und Studierende dafür zu 

gewinnen. 

Für diese Aufgabe sind die didaktischen Ideen 

Seymour Paperts (und der ihn umgebenden 

Projekte seit 1968) immer noch (oder gerade erst 

richtig) aktuell. Eine Möglichkeit methodisch zu 

arbeiten kann darin bestehen, dass man Lernen 

durch aktive explorative Arbeit in einer mathematikhaltigen 

Softwareumgebung organisiert. 

An der Pädagogischen Hochschule wurden in 

den letzten 15 Jahren eine Reihe von Vorlesungen 

für das Grundstudium mit Übungen und Computerübungen 

entwickelt, wobei letztere eine Lernumgebung 

darstellen sollten. Basis ist jeweils 

ein Skript, das relativ straff die Inhalte darstellt 

und rechte Seiten, die für aktive Arbeit während 

der Vorlesung Anregungen und Platz bieten. Hinzu 

treten von Tutoren geleitete klassische Papier- 

Bleistift-Übungen und Computerübungen. Beide 

Übungsformen leiden unter der Inaktivität vieler 

101


Studierender, die sich mit dem Anhören der Vorlesung 

und Absitzen der Übungen erst einmal zufrieden 

geben. Es bleibt also die Frage, ob man 

nicht unter Ausnutzung von informatischen Techniken 

mehr Studierende in eine aktiv explorierende 

Lernhaltung „hineinziehen“ kann. Dabei kann 

es sich nicht nur um Demonstrationen des Vortragenden 

(etwa durch Beamer) handeln. Nach unseren 

Erfahrungen werden solche Demonstrationen 

eher inaktiv konsumiert als produktiv als Arbeitsanreiz 

für die spätere Übung verstanden. Es ist sogar 

so, dass Lernende gar keinen Anlass mehr sehen 

aktiv arbeitend sich mit Problemen am Computer 

auseinander zu setzen, wenn sie meinen, 

oberflächlich eine Demonstration verstanden zu 

haben. 

Soweit unsere eher ernüchternde Erfahrungen 

aus dem Lehrbetrieb. Dies hat jedoch meinen Ludwigsburger 

Kollegen Siegfried Krauter nicht davon 

abgehalten ein Lehrbuch „Erlebnis Geometrie“ 

zu schreiben, in dem der Leser durchgehend 

aufgefordert wird, Experimente mit einem Dynamischen 

Geometriesystem zu machen (Krauter, 

2005). Es wird dabei vom Lernenden erwartet, 

dass er aktiv lesend sich den geometrischen Inhalt 

erschließt, indem er Experimente am Computer 

macht. 

3 Die Lernumgebung „Folgen“ 

Im folgende soll ein Schritt weiter gegangen und 

ein konkretes Beispiel beschrieben werden, wie 

man unter Ausnutzung informatischer Techniken 

vielleicht den Abstand zwischen Buch oder Skript 

einerseits und der Lernumgebung auf dem Computer 

verkleinern kann, indem man nämlich die 

Lernumgebung mit dem Computer in das Skript 

(als pdf-File) integriert. Zur verwendeten Technik 

wird später noch einiges ausgeführt. 

Als Pilotvorhaben haben wir den Folgenbegriff 

ausgewählt, wie er etwa in der Analysis auftritt. 

Das klassische Vorgehen in der Analysis ist 

für Lernen unter der didaktischen Leitidee „Lernumgebung 

für aktives, explorierendes Lernen“ 

wenig geeignet. Es handelt sich um typische veröffentlichte 

Mathematik ohne viel Möglichkeiten 

zum Explorieren, auch Schulbücher sind hier 

nicht besser. Die übliche Analysis bietet vorgeprägte 

Lösungsrezepte und ermutigt Routine und 

Klapperatismus. 

Schon die übliche Definition der Folge als 

Funktion von N in irgendwas (z.B. R) koppelt die 

Indizierung an den Begriff, obwohl wir die Folge 

eher als ein eigenständiges Abstraktum verstehen 

sollten, damit das Denken nicht primär 

durch das Ausdenken geschickter Indizierungen 

belastet wird. Man benötigt Folgen um jegliche 

diskrete oder diskret modellierten Prozesse darzustellen, 

z.B. Wachstum, Finanzprozesse, Inter- 

102 

agieren von Populationen, Schweine-Zyklus etc. 

Man stellt numerische Verfahren mit Folgen dar 

und untersucht ihr Verhalten, indem man die Folge 

der Näherungswerte als Ganzes definiert und danach 

untersucht, wie das Konvergenzverhalten ist. 

Sogar begrifflich Abstraktes wie der Aufbau der 

reelle Zahlen als Fundamentalfolgen oder durch 

Intervallschachtelungen kann mit Folgen geschehen, 

wobei in allen Fällen die Indizierung für die 

praktische Arbeit unwesentlich ist. Erst bei infinitesimalen 

Beweistechniken erhält sie einige Berechtigung. 

Man macht sich für praktische Arbeit von der 

Indizierung frei, indem man Folgen als potentiell 

unendliche Datenstruktur versteht und als Denkstil 

eine iterativ algorithmische Vorstellung heranzieht. 

Technisch ist dies durch „lazy evaluation“ 

möglich. In Scheme ist dies durch „streams“ geschehen, 

in LUCS benutzen wir eine folgenspezifische 

Terminologie. 

Im Anhang sind die ersten beiden Seiten des 

Skripts, ein pdf-File, zu Folgen abgedruckt. 

In der linken Spalte gibt es jeweils ein Link 

„Praxis“. Beim Anklicken wird dann die Originalsoftware 

LUCS (Otto, 2000) mit einer Lernumgebung 

aufgerufen. Die Praxis beginnt mit dem Vorspielen 

von explorierendem Verhalten zum Abtasten 

von Begriffen und Zusammenhängen und endet 

mit der Aufforderung weiter zu arbeiten. Im 

Anhang ist jeweils für die ersten zwei Seiten das 

„Drehbuch“ für den Einstieg in die Lernumgebung 

angegeben. Der Text wird in der Endversion gesprochen 

und als Audiofile synchron an die Vorführung 

zu gekoppelt. 

Auch dieses Lehr-Lern-Arrangement sollte 

man eher nüchtern beurteilen. Es gilt weiterhin für 

die Lernenden: Wer nicht ernsthaft liest, nicht die 

Praxis aufruft, nicht aktiv mitdenkt, nicht weiterarbeitet, 

der lernt nichts! 

4 Technische Realisierung 

Die technische Realisierung geschieht mit der 

Software Clever PHL, die auf jacareto (java capture 

and replay tool) beruht. Die von Christian 

Spannagel entwickelten Systeme (siehe dazu auch 

Schroeder & Spannagel, 2004; Spannagel et al., 

2005) können bei jeder in Java geschriebenen 

Software jede Aktion aufzeichnen, z.B. also eine 

Lehrervorführung. Diese Aufzeichnung kann authentisch 

in der Java-Software wieder abgespielt 

werden, z.B. also durch den Praxis-Link im pdf- 

File. Authentisch heisst dabei, dass es sich um 

eine wirkliche Neuausführung der Aktionen und 

nicht um eine Video-Abspielung handelt. Lernende 

können folglich damit weiterarbeiten und auch 

für eigene Aktionen die Vorführung unterbrechen, 

in der augenblicklichen Umgebung experimentieren 

und dann fortsetzen. Die bisherigen Einsätze

Erlebnis Mathematik mit Computer — Realisierung am Beispiel des Folgenbegriffs 

von jacareto in Ludwigsburg waren alle im Forschungskontext. 

Christian Spannagel untersuchte 

mit Clever PHL das Verhalten von Schülern bei 

Modellierungen mit einem Tabellensystem, Dieter 

Klaudt nutzte MSW-Logo mit Clever PHL als 

Werkzeug zur Erforschung des mentalen Zahlenstrahls 

von Erstklässlern. 

Literatur 

Krauter, Siegfried (2005): Erlebnis Geometrie. Spektrum Akademischer 

Verlag 

Otto, Marcus (2000): Eine Computersprache für die Lehrerausbildung 

in Mathematik. In: Vorträge auf der 34. Tagung 

für Didaktik der Mathematik, Beiträge zum Mathematikunterricht, 

Hildesheim: Franzbecker, 482–485, URL http:// 

www.ph-ludwigsburg.de/download.html 

Schroeder, Ulrik & Christian Spannagel (2004): The case for 

action-oriented e-learning. In: Cantoni, L. & C. McLoughlin 

(Hg.): World Conference on Educational Multimedia, Hypermedia 

and Telecommunications 2004(1), Norfolk, VA: AACE, 

2449–2454 

Spannagel, Christian, Michaela Gläser-Zikuda & Ulrik 

Schroeder (2005): Application of qualitative content analysis 

in user-program interaction research. Forum Qualitative 

Sozialforschung / Forum: Qualitative Social Research, 

6(2), URL http://www.qualitative-research. 

net/fqs-texte/2-05/05-2-29-e.htm 

103


Anhang 

Im Anhang finden Sie die „Drehbücher“ für die ersten zwei Seiten des Scriptes, sowie die daraus produzierten 

Script-Seiten. 

Drehbuch 1 

Wir haben eine Funktion vordefiniert, die eine Folge mit Zufallsziffern von 0 bis 9 liefert. Der Aufbau ist 

für Sie derzeit völlig uninteressant. 

Wir definieren eine Beispielsfolge mit Namen z im Schreibfenster 

(def z (zzif)) 

Die definierten Objekte werden übersetzt durch Anklicken des grünen Pfeils. 

In der Eingabe können wir jetzt Beispiele ausführen lassen: 

• schauen wir nach was sich bei der Ausführung von z ergibt: irgendeine interne Darstellung, die wir nicht 

deuten können und auch nicht deuten müssen — ein abstraktes Objekt. 

• Es sollte uns die Folge in einer anschaulichen Weise für unsere Augen gezeigt werden. 

Ein Beispiel wäre die Aufzählung mit Kommas: 

(zgf z) "Zeige die Folge z" (erste zehn Glieder von z) 

Die Folge hat ja gar nicht unendlich viele Glieder, sondern nur 10. Dies liegt aber nicht an der Folge z, 

sondern an der Ausgabe 

• Dem können wir abhelfen: 

(zgf z 20) "Zeige die ersten 20 Glieder von z" 

oder auch die ersten 100 Glieder: 

(zgf z 100) 

• Diese Form der Ausgabe ist jedoch nur eine Möglichkeit. Die Zufallsfolge mit Ziffern könnte ja von 

einem Dezimalbruch stammen. 

• Dann wollen wir die Ziffern lückenlos hintereinander ausgedruckt haben: 

(zgzf z) "Zeige die ersten 10 Glieder als Ziffernfolge" 

(zgzf z 90) "Zeige die ersten 90 Glieder als Ziffernfolge" 

Für jeden Zweck muss man sich eine geeignete Ausgabe entwickeln, so wie es für unser Auge geeignet 

ist. 

• Eine Folge ist ja aus Kopfglied und Restfolge aufgebaut: Schauen wir uns das Kopfglied an: 

(kopfglied z) "Kopfglied von z" 

ok, wir können mit diesem Funktionswert natürlich auch rechnen, z.B. 

(10 * (kopfglied z)) 

• Schauen wir uns die Restfolge von z an: 

(restfolge z) "Restfolge von z" 

Ok, aber dies ist ja die interne Darstellung einer Folge, also benötigen wir wieder „Zeige Folge“: 

(zgf (restfolge z)) "Zeigen der Restfolge, die ersten 10 Glieder" 

• Folgen sind ein eigener Datentyp in LUCS, der von anderen getrennt angesprochen werden kann. Mit 

einem Prädikat kann man testen, ob etwas eine Folge ist oder nicht: 

(folge? z) Prädidikat, das "wahr" ergibt, wenn z eine Folge ist 

(folge? 123) sonst "falsch" 

Arbeiten Sie kurz weiter: Wie erhalten Sie das zweite Glied einer Folge, wie das dritte Glied? 

104

Drehbuch 2 


Wir wollen jetzt Folgen konstruieren und definieren. Dazu müssen wir das Kopfglied und die Restfolge 

festlegen. Der Konstruktor folge baut daraus eine Folge zusammen. 

Das einfachste Beispiel ist die Konstantenfolge, d.h. eine Folge, deren Glieder alle gleich sind. Dann ist 

nämlich die Restfolge gleich der Folge selbst: 

• Führen wir dies beispielsweise mit der 5 durch 

(def konstantenfolgen5 (folge 5 konstantenfolge5)) 

• Lassen wir uns die Folge anzeigen: 

(zgf konstangenfolge5) 

• Die Verallgemeinerung für eine beliebige Konstante ist offensichtlich 

(def (konstantenfolge k) (folge k (konstantenfolge k))) 

Es handelt sich also um eine Funktion, die nach Angabe des konstanten Gliedes k eine Konstantenfolge mit 

diesem Glied erzeugt. Ein Beispiel ist die Folgen-Eins, die wir später noch benötigen: 

(def folgen1 (konstantenfolge 1)) 

Betrachten wir die Veranschaulichung für ein anderes Verfahren zur Konstruktion einer Folge, und zwar 

durch eine Iterationsregel, hier im Beispiel „+3“. Das jeweilige Glied entsteht aus dem vorhergehenden 

durch Addition von 3. Irgendwo muss man anfangen: Anfangsglied a (im Beispiel 5). „5 plus 3 gibt 8 plus 

3 gibt 11 plus 3 gibt 14 und so weiter“ 

Man nennt dies eine arithmetische Folge: Anfangsglied a, Differenz zum nächsten Glied d: 

(def (arith-folge-ab a d) 

Sicher ist die Restfolge nicht identisch mit der Folge selbst, sie ist jedoch um d „verschoben“ zu ihr: 

(folge a (arith-folge-ab (a + d) d))) 

Alle Glieder der Restfolge sind um d größer als die der Folge selbst. Lassen wir uns die arithmetische Folge 

ab 5 mit Differenz 3 anzeigen: 

(zgf (arith-folge-ab 5 3)30) 

Die wichtigste arithmetische Folge sind die natürlichen Zahlen: 

(def nat (arith-folge-ab 1 1)) 

(zgf nat 100) 

Verallgemeinern wir noch einmal: multiplizieren statt addieren. Dies gibt die geometrische Folge mit Anfangsglied 

a und Quotient q (aus nächstem Glied und aktuellem Glied). 

(def (geom-folge-ab a q) 

Das nächste Glied entsteht durch Multiplikation mit q: 

(folge a (geom-folge-ab (a * q) q))) 

Bei Anfangsglied a = 4 und Quotient q = 2 ergibt sich: 

(zgf (geom-folge-ab 4 2)) 

Bearbeiten Sie jetzt die Aufgaben. 

105


Script Seite 1 

106

Script Seite 2 


107


108

• Gute Seiten, schlechte Seiten — Internetangebote für den 


Georg Hauck, Markus Mann, Weingarten 

Moderne Unterrichtsvorbereitung und -gestaltung mit Hilfe des Internet wird für Lehrer und Lehramtsstudierende 

zunehmend interessanter. Wie findet man allerdings spannende und für den MU 

nützliche Internetangebote? Welche Seiten gibt es? Und wie gut sind diese? 

Bisher liegen keine systematisierten Übersichten und kein transparentes Bewertungssystem vor, anhand 

dessen Internetnutzer effizient entscheiden können, welche der vielfältigen Internetangebote 

den von ihnen intendierten Zwecken dienen. 

In einem Kooperationsseminar von Mathematik- und Mediendidaktik erarbeiteten im Sommer 2005 

Lehramtsstudierende der Pädagogischen Hochschule Weingarten Kriterien zur Bewertung von Internetangeboten 

für den Mathematikunterricht. Die Kriterien generieren sich sowohl aus fachdidaktischen 

Aspekten des Mathematikunterrichts und aus mediendidaktischen Aspekten der Webgestaltung, 

als auch aus der intuitiven Bewertung der Lehramtsstudierenden. Ziel der Veranstaltung war 

weiter der Aufbau einer Datenbank, welche die im Seminar recherchierten Seiten sowie deren Beurteilung 

auf Grundlage des erarbeiteten Bewertungssystems erfasst und kategorisiert. 

Inzwischen liegen ein Bewertungssystem in Form eines Fragenkatalogs sowie erste Ergebnisse der 

Bewertungsarbeit vor. 

1 Ausgangslage und Ziele 

Lehrerinnen und Lehrer kennen das Problem. Sie 

möchten zur Vorbereitung einer Unterrichtsstunde 

das Internet nutzen, verwerfen dieses Vorhaben 

aber wieder, nachdem die ersten zwanzig 

bis dreißig „besten“ Suchergebnisse bei Google 

(http://www.google.de) oder einer anderen 

Suchmaschine nichts Brauchbares hervor gebracht 

haben. Dies führt dann zu wenig verwunderlichen 

Aussagen bezüglich des Interneteinsatzes 

im Mathematikunterricht, wie etwa folgenden: 

„In der Regel finde ich nie das, was ich suche!“ 

oder „Wenn ich endlich mal vernünftiges Material 

gefunden habe, dann habe ich dafür so lange 

gebraucht, dass ich es gleich selbst hätte erstellen 

können.“ 

1.1 Ansatz 

Die diesen Aussagen zu Grunde liegenden Probleme 

sind darin zu sehen, dass es inzwischen 

trotz oder gerade wegen der übergroßen Fülle an 

Internetangeboten für den Mathematikunterricht 

(man gebe z.B. die Suchbegriffe Mathematik oder 

Mathematikunterricht in eine Suchmaschine ein) 

enorm schwierig ist, die guten Angebote heraus 

zu filtern. Dazu muss man sich darüber im Klaren 

sein, was denn unter einem guten Angebot überhaupt 

zu verstehen ist, wodurch es sich auszeichnet 

und wie man es erkennen kann. Welche Anforderungen 

sind zu stellen? Welche Kriterien zu 

Grunde zu legen? Außerdem kann man fragen, ob 

denn nicht schon andere (Lehr-)Personen vor einem 

selbst Material zu genau demselben Zweck 

gesucht und gefunden haben. 

Mit diesen und ähnlichen Fragen befasste sich 

auch eine Arbeitsgruppe auf der Tagung des Arbeitskreises 

Mathematikunterricht und Informatik 

2001 und erarbeitete dabei Vorschläge für die 

Gestaltung mathematikdidaktischer Internetseiten 

(„Wie soll die Mathematikdidaktik im Netz erscheinen?“ 

). Als wichtig werden u. a. die Nennung 

des Adressatenkreises, eine leichte Nutzung 

sowie ergiebige Suchergebnisse heraus gestellt. 

Auch soll nach Ansicht der Teilnehmer der Informationsgehalt 

von Internetangeboten im Vordergrund 

stehen. „Für die Schule geeignete mathematische 

Themen sollen didaktisch aufbereitet und 

zur eigenständigen Erarbeitung für die Schüler bereitgestellt 

werden“ (Hartmann & Ludwig, 2002) 

Dabei sollte die Aufbereitung altersgemäß, sachlich 

strukturiert, anwendungsbezogen und leicht 

zugänglich sein. 

1.2 Internet im Mathematikunterricht 

Die oben geschilderte Problematik lässt sich von 

der Frage des Interneteinsatzes zur Unterrichtsvorbereitung 

übertragen auf Fragen zum Einsatz 

von mathematischen Internetangeboten im Mathematikunterricht 

1 . Sieht man ab von den bekannten 

und vielfach genutzten Möglichkeiten der Beschaffung 

von Datenmaterial, der Recherche und 

der Kommunikation, so kann das Internet auch 

an vielen anderen Stellen im Unterricht eingesetzt 

werden. Als Beispiele sind downloadbare Abbildungen 

zu Präsentationszwecken, Applets, Bastelvorlagen, 

Aufgabensammlungen und Arbeitsblätter 

oder auch ganze Unterrichtsentwürfe zu nennen. 

Das Auffinden solcher Materialien, welche 

geeignet erscheinen und eine hohe Qualität auf- 

1 Es sei an dieser Stelle auch an das Tagungsthema „WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet“ des Arbeitskreises 

Mathematikunterricht und Informatik im Jahr 2003 erinnert 

109


weisen, gestaltet sich oft schwierig. 

Es bleibt insgesamt fest zu halten, dass es bisher 

sowohl an sinnvoll konzipierten Übersichtsangeboten 

als auch an einem transparenten Bewertungssystem 

fehlt. Daher ist es schwierig und 

aufwendig, sich im Internet zurechtzufinden und 

Material für den Unterricht aufzuspüren — auch 

wenn dieses in großer Anzahl und guter Qualität 

existiert. 

1.3 Zielsetzungen des Projekts: 

Internetangebote für den 


Damit sind zwei Kernpunkte genannt, die es 

durchaus lohnenswert erscheinen lassen, sich mit 

ihnen zu befassen: ein Bewertungssystems für mathematische 

Internetangebote und ein Übersichtsangebot, 

beispielsweise in Form einer Rangliste. 

Ein solches Ranking kann später insbesondere 

(angehenden) Lehrern eine Hilfe anbieten, welche 

es erleichtert, geeignete Internetangebote für 

die Unterrichtsvorbereitung und den Unterrichtseinsatz 

auszuwählen. Durch eine detaillierte Erfassung 

angebotsspezifischer Daten (z.B. inhaltliche 

Fragen, Medienangebot, Zielgruppe, usw.) 

sollte es außerdem möglich sein, eine Vorauswahl 

bzw. eine Einschränkung der Rangliste nach gewissen, 

vom Nutzer wählbaren Kriterien zu treffen. 

2 Seminarkonzept 

Um die angesprochenen Ziele zu verfolgen wurde 

im Sommersemester 2005 an der Pädagogischen 

Hochschule Weingarten ein Seminar durchgeführt, 

das die Beurteilung von Internetangeboten 

aus dem Bereich der Mathematik und deren 

Einsatzmöglichkeiten für den Mathematikunterricht 

thematisierte. Das Kooperationsseminar 

von Mathematikdidaktik und Mediendidaktik 

sollte ein Beurteilungsraster erarbeiten, das den 

Teilnehmern einerseits ermöglicht, Internetangebote 

zur Mathematik auf Grundlage transparenter 

Kriterien zu beurteilen. Damit sollte den Studierenden 

die Bedeutung einer kriterienorientierten 

Bewertung von Lernangeboten verdeutlicht 

werden. Andererseits stand eine erste Begutachtung 

eines Ausschnitts aus der Vielzahl mathematischer 

Internetangebote im Fokus. 

Trotz Hochschulkontext stellen die Bewertungen 

das Urteil professioneller Nutzer dar, die 

kriterienbezogen Rückmeldung über die Qualität 

des Angebots geben. Die Ergebnisdarstellung 

soll über das Gesamturteil hinaus die Bewertung 

in den einzelnen Kriterien transparent 

machen, und es den Nutzern ermöglichen, die 

Benotung von Einzelfragen einzusehen. Insofern 

stellt das Ranking derzeit zwar einen auf 

110 

2 Unter dieser Adresse kann auch das Befragungsinstrument eingesehen werden 

geringer Stichprobe basierenden Teilausschnitt 

aus einer kaum überschaubaren Gesamtmenge 

von mathematischen Internetangeboten dar, kann 

aber als ein im Aufbau befindliches Informationsangebot 

für den Einsatz einzelner Netzangebote 

für den Mathematikunterricht verstanden 

werden. Das tagesaktuelle Ranking kann eingesehen 

werden unter http://mathematik. 

ph-weingarten.de/mathetopten/ 2 . 

2.1 Didaktisches Konzept 

Bezug nehmend auf konstruktivistische Lerntheorien 

(Gruber et al., 1996; Henninger & Mandl, 

2003) wurde in dem Seminar auf eine erfahrungsbasierte 

Herangehensweise Wert gelegt. Die 

Studierenden erarbeiteten gemeinsam mit den 

Seminarleitern den Kriterienkatalog in dem sie 

in speziellen Arbeitsaufträgen Internetrecherchen 

durchführten und auf dieser Erfahrungsgrundlage 

die Kriterien definierten, die ihren Einschätzungen 

zu Grunde lagen. Dieser Prozess wurde durch 

Input-Referate zu Themen der Mathematikdidaktik 

und der Mediendidaktik unterstützt. 

2.2 Inhaltliche Aspekte 

Im Bereich Mathematikdidaktik wurden zunächst 

die verschiedenen Möglichkeiten des Computereinsatzes 

im Mathematikunterricht diskutiert 

(Weigand & Weth, 2001), um anschließend speziell 

den Interneteinsatz im Mathematikunterricht 

in den Fokus zu rücken. Den Studierenden wurde 

so zunächst vermittelt, welche Möglichkeiten 

es grundsätzlich gibt, den Computer einzusetzen 

und wo jeweils deren Vor- und Nachteile gesehen 

werden können. Einen wesentlichen Aspekt stellte 

dabei der Werkzeugcharakter von Dynamischen 

Geometrie Systemen und von Computeralgebrasystemen 

dar, aber auch deren Potential für experimentelles 

und erforschendes Vorgehen. 

Weiter wurden Möglichkeiten des Interneteinsatzes 

im Unterricht allgemein sowie im Mathematikunterricht 

im Speziellen vorgestellt (für eine 

Übersichtsdarstellung siehe Schumann, 2003; 

Schuman, 2003; Weigand & Weth, 2001). Insbesondere 

kam dabei die Kombination von Dynamischen 

Geometrie Systemen bzw. von Computeralgebrasystemen 

mit dem Internet in Form von 

Applets und Online-Tools zur Sprache. Präsentiert 

wurden in diesem Zusammenhang Beispiele 

für den Einsatz von multimedialen Elementen in 

Form interaktiver Arbeitsblätter mit dem Geometriesystem 

Cinderella (Richter-Gebert & Kortenkamp, 

1999) und mit den Online-Versionen der 

Computeralgebrasysteme webMathematica und 

LiveMath (Mann et al., 2004, vgl.). Anschließend 

wurde ihre Bedeutung für didaktische Unterrichtskonzepte 

herausgearbeitet. 

Im Themenbereich Mediendidaktik wurden

Gute Seiten, schlechte Seiten — Internetangebote für den Mathematikunterricht 

auf Grundlage aktueller kognitiver Prozessmodelle 

(Mayer, 1997; Mayer & Moreno, 2003) 

und Theorien zur multimedialen Informationsverarbeitung 

(Baddeley, 2000; Chandler & Sweller, 

1991; Schnotz et al., 2001) Designvorschläge vorgestellt, 

die Ansprüche an die Gestaltung von medial 

aufbereiteten Lehr-Lernangeboten formulieren. 

Zentrale Aspekte waren dabei Überlegungen 

zur Interaktivität, zur Integration von Text und 

Bildinformationen, die Kombination multimodal 

präsentierter Lernmaterialien und die Segmentierung 

des Lernstoffes in nutzergesteuerten Einheiten. 

2.3 Kriterien zur Bewertung 

Auf dieser Basis erarbeitete die genannte Projektgruppe 

Bewertungskriterien, aus denen drei Kriterienblöcke 

resultierten: 

• Gestaltung und Layout, 

• mathematikdidaktische Kriterien und 

• mediendidaktische Kriterien. 

Der erste Block erfasst die Bewertung von allgemeinen 

Kriterien der Websitegestaltung wie der 

Menügliederung, der Link-Struktur oder der Aktualität 

des Angebots. Im zweiten Block stehen 

didaktische Aspekte aus Sicht des Mathematikunterrichts 

im Zentrum. Hier werden u. a. die dargestellten 

Inhalte bewertet, deren didaktische Aufbereitung 

und ihr Nutzwert für den Mathematikunterricht. 

Im letzten Kriterienblock geht es dann 

um die mediendidaktische Perspektive. Es werden 

die Informationsgliederung, die Interaktivität des 

Lernmaterials und die mediale Aufbereitung und 

Unterstützung beurteilt. Am Ende soll eine Abschlussbewertung 

vorgenommen werden, die den 

Gesamteindruck der Bewertenden vom zu bewertenden 

Internetangebot wiedergibt. 

2.4 Durchführung als hybrides Seminar 

Das Seminar wurde über das gesamte Semester 

hinweg virtuell unterstützt. Dazu stand die 

virtuelle Lernplattform „ComVironment“ 3 zur 

Verfügung . Neben dem Austausch von Daten 

diente diese Plattform zur Besprechung wesentlicher 

Fragestellungen in einem Diskussionsforum 

(vgl. Abb. 14.1). Außerdem stellte sie die Funktionalität 

zur Verfügung, welche benötigt wird, um 

ein Befragungsinstrument mittels eines Online- 

Fragebogens erstellen und später auswerten zu 

können. 

3 Das Befragungsinstrument 

Die internetbasierte Befragung 4 startet mit einer 

kurzen Einleitung in der die Ziele der Be- 

fragung und der Umgang mit dem Befragungsinstrument 

dargestellt werden (Abb. 14.2). Des 

Weiteren werden Kontaktadressen und Ansprechpartner 

für Rückfragen genannt. Im Anschluss 

muss die Adresse der zu bewertenden Internetseite 

eingetragen oder aus einem Pool an bereits 

registrierten Angeboten ausgewählt werden. Danach 

soll der bewertende User kurz in eigenen 

Worten beschreiben, womit sich die betreffende 

Seite beschäftigt. Im nächsten Schritt folgen 

die drei Kriterienblöcke. Dabei können generell 

zwei Arten von Items unterschieden werden: Bewertungsfragen 

und Auswahlfragen. Die Bewertungsfragen 

sind so aufgebaut, dass die einzelnen 

Kriterien zunächst benannt (z.B. „Interaktivität“, 

vgl. Abb. 14.3) und dann durch einen erläuternden 

Text (Zielformulierung) definiert werden 

(Beispiel: „Das Angebot bietet hohe Interaktionsmöglichkeiten 

(Berechnungen, Graphengenerierung, 

veränderbare Kurvenverläufe, Puzzles, 

etc. sind integriert). Die Steuerungsmöglichkeiten 

sind eindeutig erklärt und funktional sinnvoll.“ ). 

Die Bewertung des Angebots hinsichtlich der Kriterien 

kann anhand einer elfstufigen Notenskala 

(Schulnoten 1–6 mit Zwischennoten) vorgenommen 

werden (die Bewertungsskala wurde ebenfalls 

in Abstimmung mit den Leitern des Seminars 

von der Projektgruppe erarbeitet). 

Diese Fragen bilden die Grundlage für die Berechnung 

der Gesamtbewertung eines Internetangebots. 

Neben den Benotungsfragen gibt es eine 

zweite Klasse von Items, die Auswahlfragen, 

bei denen von vorgegebenen Antwortalternativen 

die jeweils zutreffenden angekreuzt werden sollen 

(z.B. „Zielgruppe: Lehrer, Studierende, Schüler, 

Dozierende, nicht erkennbar, Sonstige“ ). 

Hier stellt beispielsweise die Angabe, welches 

inhaltliche Angebot eine Seite macht, eine wertvolle 

Information zur späteren Kategorisierung in 

Themengebieten dar. Ein Lehrer, der sich auf der 

Suche nach Angeboten mit geometrischen Inhalten 

befindet, kann sich somit nur die hierfür in Frage 

kommenden Seiten anzeigen lassen. 5 In der Ergebnisaufbereitung 

sollen diese Kriterien als Basis 

für eine Suchfunktion herangezogen werden 

und einen gezielten Zugriff auf Daten speziell ausgewählter 

Angebote erlauben. Damit wird ein Zugriff 

aus unterschiedlichen Motivationslagen realisiert. 

Suchen Nutzer eine besonders gute Seite zu 

ganz speziellen Anforderungen, kann dann über 

die Suchfunktion das Angebot so eingeschränkt 

werden, dass nur relevante Treffer erscheinen. 

Zum Ende der Beurteilung wird wie bereits 

erwähnt eine Abschlussbewertung für den Ge- 

3 http://comvironment.de/ 

4 Die vollständige Fassung des Fragebogens ist kann unter http://mathematik.ph-weingarten.de/mathetopten/ 

eingesehen oder als PDF-Datei herunter geladen werden 

5 In der aktuell vorliegenden Version (31.10.2005) ist die Suchfunktion noch nicht integriert 

111


112 

Abbildung 14.1: Die Lernplattform zur virtuellen Unterstützung des Seminars 

Abbildung 14.2: Startseite des internetgestützten Fragebogens


Abbildung 14.3: Ausschnitt aus dem Fragebogen: mediendidaktische Kriterien 

samteindruck abgegeben. 

Tab. 14.1 zeigt die derzeitige Ergebnisausgabe 

des Rankings. Zu sehen sind die Durchschnittsnoten 

der drei Kriterienblöcke und die berechnete 

Gesamtnote, in die die Einzelnoten mit unterschiedlicher 

Gewichtung eingehen. Durch die Gewichtung 

soll die wesentliche Bedeutung der fachdidaktischen 

Aspekte hervorgehoben werden. 

3.1 Praktische Durchführbarkeit 

Bei der Entwicklung des beschriebenen Befragungsinstruments 

spielten auch pragmatische 

Aspekte eine Rolle, d.h. die Praktikabilität und 

Durchführbarkeit der eigentlichen Bewertungsarbeit. 

Diese sollte stets auch für Personengruppen 

wie Studenten und Lehrer gewährleistet sein, die 

in der Regel nicht als fach- und mediendidaktische 

Experten anzusehen sind. Auch die Dauer für eine 

vollständige Bewertung muss überschaubar bleiben. 

Die Erfahrungen mit dem Fragebogen zeigen, 

dass dies auch gewährleistet ist. Zwar wurden 

auch bis zu 45 Minute zur Bewertung einer 

Seite benötigt, dies jedoch nur dann, wenn sowohl 

der Bewertungsbogen als auch das Internetangebot 

unbekannt waren. Denn dann muss sich die 

bewertende Person zunächst einen Überblick über 

das Angebot verschaffen, ehe sie überhaupt mit 

der eigentlichen Durchführung beginnen kann. In 

den Fällen, in denen den Studierenden sowohl der 

Fragebogen, als auch das Internetangebot bereits 

vertraut waren, reduzierte sich die Dauer eines Bewertungsdurchlaufs 

auf etwa zehn bis fünfzehn 

Minuten. 

4 Erste Ergebnisse 

Das Projekt Internetangebote für den Mathematikunterricht 

lieferte bisher zwei wesentliche Ergebnisse: 

den Bewertungsbogen selbst und eine erste 

Übersicht über bereits bewertete Internetangebote 

in Form einer Rangliste. Dieses tagesaktuelle 

Ranking kann unter der oben genannten Adresse 

eingesehen werden. Die Autoren wollen darauf 

hinweisen, dass die Bewertung nicht repräsentativ 

ist (oder sein will) und das Ranking in seiner 

derzeitigen Form auf eine geringe Stichprobe 

zurück zuführen ist. Aktuell liegen Bewertungen 

für 25 verschiedene Internetangebote aus dem 

Themenfeld Mathematik vor, welche mit dem vorgestellten 

Befragungsinstrument erstellt wurden. 

Dabei wurden bisher lediglich fünf dieser Angebote 

mehrfach bewertet. Dies verdeutlicht die angesprochene 

geringe Datenbasis. 

Wie in Tab. 14.1 ersichtlich reicht die durchschnittliche 

Bewertung (Durchschnittsnote) von 

einer Gesamtnote von 1,21 bis zu einer Gesamtnote 

von 5,24. Dies verdeutlicht, dass in der Bewertung 

die Spannbreite, die durch das halbstufige 

Schulnotensystem möglich ist, auch tatsächlich 

ausgenutzt wird. 

4.1 Der Spitzenreiter 

Die derzeit am besten bewertete Seite ist ein Angebot 

der Universität Bayreuth zum Thema Goldener 

Schnitt (vgl. Abb. 14.4). Was bei diesem In- 

113


ternetangebot besonders hervorzuheben ist, ist eine 

klare Segmentierung der Inhalte in kleine, gut 

nachvollziehbare Schritte, die sinnvoll aufeinander 

aufbauen und referieren. Durch Vor- und Zurückbuttons 

ist eine Lernersteuerung realisiert, die 

jedem Lernenden ein individuelles Lerntempo ermöglicht. 

Das Angebot ist übersichtlich gestaltet 

und bleibt in seinen wesentlichen Steuerungsmodulen 

über alle Unterseiten hinweg konstant. Das 

heißt, die Nutzer müssen sich nicht mit jedem 

Klick an eine neue Umgebung gewöhnen und finden 

Menü- und Steuerungselemente immer an der 

gleichen Stelle. Die Texte sind zielgruppengerecht 

formuliert und bieten alle notwendigen Informationen. 

Sehr gelungen ist bei der Beweisführung 

eine Art graphisches Signaling, bei dem sich entsprechende 

Text- und graphische Teile bei Kontakt 

mit dem Mauszeiger identisch einfärben. Der 

Lernende kann somit leicht informationsäquivalente 

Strukturen identifizieren und in Zusammenhang 

bringen. Dies spiegelt sich in der sehr guten 

Bewertung von Gestaltung und Layout (Note 

1,25) sowie der mediendidaktischen Bewertung 

(Note 1,5) wieder. 

Aber auch die inhaltliche und mathematikdidaktische 

Bewertung des Angebots ist sehr gut: 

die mathematikdidaktischen Charakteristika wurden 

durchschnittlich mit 1,08 bewertet. Diese Bewertung 

begründet sich im z.B. klaren Aufbau. 

Die Seite beginnt mit einem motivierenden Einstieg, 

beschäftigt sich anschließend mit den inhaltlichen 

Aspekten und stellt zum Abschluss 

Anwendungsaspekte des goldenen Schnitts vor. 

Diese werden in Form eines Umweltbezugs für 

das Auftreten des goldenen Schnitts in Natur 

und in der Kunst aufgezeigt. Fachlich wird zunächst 

die Konstruktion schrittweise erklärt, wobei 

dies in jedem Schritt mit Hilfe von integrierten 

dynamischen Geometrieelementen nachvollzogen 

werden kann. Anschließend ist dann eine 

Überprüfung vorgesehen, wozu ein Online- 

Taschenrechner zur Verfügung gestellt wird, bevor 

der anspruchsvolle algebraische Beweis geführt 

wird. Schüler können somit auf ganz unterschiedlichen 

Niveaustufen an den goldenen Schnitt herangeführt 

werden. Für Lehrer finden sich eine Reihe 

von Demonstrationselementen. Auch ein Ein- 

114 

Tabelle 14.1: Ausschnitt aus der der Rangliste 

satz des Angebots im Unterricht (im Computerraum) 

ist gut vorstellbar. 

Den zweiten Platz in der Rangliste belegt mit 

einer Durchschnittsnote von 1,42 eine weitere Seite 

der Universität Bayreuth zum Thema Achsenspiegelung, 

Platz drei nimmt aktuell das Angebot 

„MADIN — Mathematikdidaktik im Netz“ 

mit einer Durchschnittsnote von 1,48 ein, welches 

als Kooperationsprojekt der Universitäten 

Braunschweig, Erlangen / Nürnberg, Münster und 

Würzburg entstand. 

4.2 Umgang mit dem Ranking 

Das unter http://mathematik.ph-weingarten. 

de/mathetopten vorliegende Ranking stellt 

aus Sicht der Autoren ein offenes Angebot an 

Lehrpersonen, Studierende und Interessierte dar. 

Wie können diese mit den Ergebnissen einer 

Bewertungsrangliste umgehen? Im Allgemeinen 

wird man sich nur in den wenigsten Fällen bei der 

Einsicht eines Rankings spontan für den Spitzenplatz 

entscheiden. Vielmehr wird man doch hinterfragen, 

was denn diesen Spitzenplatz ausmacht. 

Man wird sich informieren, wie das Ergebnis zustande 

gekommen ist und sich möglicherweise 

einige der Teilkriterien genauer betrachten, für 

sich selbst werten oder gewichten. Ausgehend 

von solch einer subjektiven, zweckgebundenen 

Analyse wird man sich schließlich für die daraus 

resultierenden Ergebnisse entscheiden. Somit 

stellt das Ranking sicher eine Hilfe und einen ersten 

Anhaltspunkt dar, es wird aber in der Regel 

auch auf einen zweiten Blick darauf ankommen. 

Auch das hier vorgestellte Ranking kann in dieser 

Art genutzt werden. Da alle Teilergebnisse sowie 

der Fragenkatalog offen einsehbar bzw. frei 

verfügbar sind, kann jeder Nutzer nach ganz bestimmten 

Kriterien fahnden, diese für sich bewerten 

und somit beispielsweise auch Einträge aus 

dem Ranking übergehen. Unsere Intention liegt 

darin, je nach persönlicher Suche ein passendes 

und lohnendes Internetangebot anzubieten. Das 

eigenständige Überprüfen des Angebots kann aus 

Sicht der Autoren nicht ausbleiben. 

5 Ausblick 

Die vorangegangenen Ausführungen zeigen, dass 

das aktuelle Ranking gewissermaßen „Work-in-


Abbildung 14.4: Startseite des Spitzenreiters „Der goldene Schnitt“ 6 

progress“ darstellt. Die momentane Datenbasis ist 

noch klein, liefert aber bereits interessante Eindrücke 

von einer beachtenswerten Anzahl an Internetangeboten. 

Ziel ist, die Bewertungsgrundlage 

durch zukünftige Beurteilungen weiter auszubauen 

und somit zu aussagekräftigen Mehrfachbewertungen 

zu gelangen. Ferner ist es wie bereits 

erwähnt angedacht, die Ergebnisdarstellung 

dahingehend zu erweitern, dass durch ein gezieltes 

Anklicken einer gerankten Seite differenzierte 

Auskünfte über das Abschneiden dieses Angebots 

auf den jeweiligen Kriterien nachzulesen ist. Dies 

erfordert allerdings zusätzliche Programmierleistung 

und ist derzeit noch nicht zu realisieren. Bei 

dieser Erweiterung wird auch eine Suchfunktion 

integriert werden. Dies würde über die reine Vergleichsmöglichkeit 

unterschiedlicher Mathematikangebote 

im Internet auch eine gezielte Suche 

nach speziellen Angeboten ermöglichen. Es wäre 

dann beispielsweise möglich, eingeschränkt nach 

Arbeitsmaterialien zu bestimmten Themen zu suchen 

und sich nur diejenigen Seiten anzeigen zu 

lassen, die ein solches Angebot machen. 

Ein Problem, das derzeit noch nicht endgültig 

gelöst ist, stellen die unterschiedlichen Auflösungsgrade 

der bewerteten Internetangebote dar. 

Während die genannten Angebote der Universität 

Bayreuth ein thematisch stark eingegrenztes 

Spektrum bieten, stellt zum Beispiel MADIN 

ein sehr breites, umfassendes Angebot zur Mathematikdidaktik 

dar. Andererseits sind die im 

Ranking aufgeführten Wikipedia-Einträge lediglich 

Teilaspekte eines umfassenden Lexikons, das 

nicht schwerpunktmäßig mathematische Inhalte 

aufweist. Zusammengefasst bedeutet das, dass 

die unterschiedlichen Bewertungsobjekte unterschiedliche 

Anforderungen befriedigen. Für eine 

Bewertung auf Basis der erarbeiteten Kriterien ist 

das kein wirkliches Problem. Alle Kriterien können 

sowohl an einzelne, sehr spezifisch ausgerichtete 

Seiten angelegt werden, als auch an umfassendere 

Informationsangebote. Es kann allerdings 

nicht dokumentiert werden, wie viele Informationen 

bei der Bewertung größerer Internetangebote 

tatsächlich in die Bewertung mit einfließen 

und inwieweit die jeweilige Bewertung somit 

auf das Gesamtangebot oder lediglich auf einen 

Ausschnitt daraus referiert. Der Umgang mit diesem 

Phänomen wird in der Autorengruppe diskutiert. 

Zusammenfassend kann der aktuelle Stand 

des Projektes als ein interessanter Einstieg in die 

kriterienorientierte Bewertung von Internetangeboten 

zur Nutzung im Mathematikunterricht verstanden 

werden. 

5.1 Ausbau des Rankings 

Aus unserer Sicht ist mit den vorgestellten Ergebnissen 

ein erster Schritt getan — weitere sollen 

jedoch folgen. Zunächst wird es darum gehen, die 

Anzahl der Bewertungen, die für ein Internetangebot 

abgegeben wurden, zu erhöhen. Gleichzeitig 

muss auch die Anzahl der verschiedenen bewerteten 

Seiten steigen, um die Auswahl an Angeboten 

115


zu erhöhen und die Such- bzw. Filterfunktionen 

ergiebig zu gestalten. Weiterhin wird das zugehörige 

Internetangebot detaillierter werden, so dass 

verschiedene Such- und Sortiermöglichkeiten angeboten 

werden und alle verfügbaren Daten für 

Besucher zu Verfügung stehen. Schließlich sollen 

die Ergebnisse in einem weiteren Seminar überprüft 

werden. 

Literatur 

Baddeley, Alan (2000): The Episodic Buffer: a new component 

of working memory? Trends in Cognitive Science, 4(11), 

417–423 

Chandler, Paul & John Sweller (1991): Cognitive Load Theory 

and the format of instruction. Cognition and Instruction, 8, 

293–332 

Gruber, Hans, L.-C. Law, Heinz Mandl & A. Renkl (1996): Situated 

learning and transfer: State of the art. In: Reimann, P. 

& H. Spada (Hg.): Learning in humans and machines, Oxford: 

Pergammon, 168–188 

Hartmann, Mutfried & Matthias Ludwig (2002): Mathematikdidaktische 

Seiten im Netz. In: Herget, Wilfried, R. Sommer, 

Hans-Georg Weigand & Thomas Weth (Hg.): Medien verbreiten 

Mathematik. Bericht über die 19. Arbeitstagung des Arbeitskreises 

„Mathematikunterricht und Informatik“, Hildesheim: 


Henninger, Michael & Heinz Mandl (2003): Zuhören — Verstehen 

— Miteinander reden. Verlag Hans Huber 

116 

Mann, Markus, Wolfgang Weigel & Gerald Wittmann (2004): 

Das Projekt MaDiN — Die Module „Didaktik der Analysis“ 

und „Computereinsatz im Mathematikunterricht“. In: Reiss, 

Kristina (Hg.): Beiträge zum Mathematikunterricht, Franzbecker 

Mayer, Richard E. (1997): Multimedia Learning: Are we asking 

the right questions? Educational Psychologist, 32, 1–19 

Mayer, Richard E. & R. Moreno (2003): Nine Ways to Reduce 

Cognitive Load in Multimedia Learning. Educational Psychologist, 

38(1), 43–52 

Richter-Gebert, Jürgen & Ulrich Kortenkamp (1999): The Interactive 

Geometry Software Cinderella. Berlin, Heidelberg: 

Springer-Verlag, URL http://cinderella.de 

Schnotz, Wolfgang, T. Seufert & M. Bannert (2001): Lernen 

mit Multimedia: Pädagogische Verheißungen aus kognitionspsychologischer 

Sicht. In: Silbereisen, R.K. & M. Reitzle 

(Hg.): Psychologie 2000. Bericht über den 42. Kongress der 

Deutschen Gesellschaft für Psychologie in Jena 2000, Lengerich: 

Pabst, 457–467 

Schuman, Heinz (2003): Mathematikunterricht und Internet. 

Ein Überblick über den Inhalt des Themenheftes MU 4, 2003. 

In: Bender, Peter, Wilfried Herget, Hans-Georg Weigand & 

Thomas Weth (Hg.): Lehren und Lernen im Internet, Bericht 

über die 21. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht 


Schumann, Heinz (2003): Internet und Mathematikunterricht 

— eine Übersicht. Der Mathematikunterricht, 49(4), 7–26 

Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2001): Computer im 

Mathematikunterricht. Heidelberg: Spektrum Akademischer 

Verlag

• Papageiengeplapper versus verstandene 

Sprachproduktion 

Fritz Nestle 

Bei einer Metabetrachtung sind Esoterik, Fußball, Informatik, Mathematik, . . . als Lernstoff weitgehend 

austauschbar. 

Während früher wesentliche Teile des mathematischen SI-Schulstoffs für den Alltag relevant waren, 

trifft dies heute nur noch in geringem Maß zu. Die Bedeutung des Mathematiklernens im Kindesund 

Jugendalter ist überwiegend auf ein kognitives Konditionstraining reduziert und in dieser Funktion 

durch andere Lerngebiete ersetzbar geworden. Solche können aus der Informatik kommen, zum 

Beispiel auch heute noch Programmieraufgaben und als Voraussetzung dazu Strukturierungsaufgaben. 

Die Programmierungsaufgaben sind — auch bei der Verwendung von Programmgeneratoren - 

mit etwas höherem Anspruch denen des Zahlenrechnens vergleichbar. Die Strukturierungsaufgaben 

sind eine Verallgemeinerung von Mathematisierungsproblemen. 

Neben der praktischen Nutzbarkeit des Inhalts ist ein wichtiges Kriterium für die Auswahl, auf 

welchem taxonomischen Niveau Anwendungen möglich sind. Die Spannweite reicht von verständnislosem 

Papageiengeplapper bis zur verstandenen Sprachproduktion. 

1 Die Inflation der Lernstoffe 

Es vergeht kaum einen Woche, in der nicht irgend 

ein Interessenverband die Aufnahme neuer 

Themen in den Schulunterricht fordert. Einmal 

soll die Schule für Verkehrserziehung und Führerscheine 

zuständig sein, ein anderes Mal sind 

es Psychologie, Politik, Wirtschaft oder — aktuell 

für uns - die Integration informatischer Ideen 

in den Mathematikunterricht oder gar ein eigenes 

Fach Informatik. 

Während sich rasch Gruppen finden, die Forderungen 

dieser Art unterstützen, bleibt es merkwürdig 

still um einige Fragen, die mit der Umsetzung 

zusammenhängen. Auf einen Teil davon will 

dieser Beitrag eingehen: 

• Wie können wir ein Lernthema charakterisieren; 

liefert dies Kriterien zur Auswahl? 

• Welche Ziele wollen wir bei den Lernenden erreichen? 

• Welche Ziele könnten wir im Rahmen der Lernfähigkeit 

und -willigkeit erreichen? 

• Welche Ziele erreichen wir tatsächlich und auf 

welchem Niveau? 

2 Lernthemen der Gegenwart 

Kanon der klassischen Schulfächer: 

• Deutsch 

• „alte“ Fremdsprachen (Latein, Griechisch, Althebräisch, 

Aramäisch, . . . ) 

• „neue“ Fremdsprachen (Chinesisch, Englisch, 

Französisch, Spanisch, Türkisch, . . . ) 

• Mathematik 

• Musische Fächer 

• Naturwissenschaften 

• Sozial- und Geisteswissenschaften 

• Sport 

Was davon dauerhaft vermittelt wird, bleibt 

weitgehend unbekannt. Der kleine Spalt, durch 

den TIMSS und PISA einen Lichtstrahl geworfen 

haben, wurde in Deutschland schnell durch 

die sogenannten Bildungs-“ Standards“ (KMK, 

2003) wieder geschlossen. Den Sachverständigen 

der KMK ist es gelungen, die Forderungen der 

Bildungspläne zusätzlich zu vernebeln statt sie 

zu konkretisieren; mit der Gründung des IQB 

hat die KMK wieder ein paar Jahre Zeit gewonnen. 

Ob die Kultusminister aus Unkenntnis 

oder aus anderen Motiven getönt haben, dass mit 

den Bildungs-“ Standards“ der Übergang zur Outputsteuerung 

im Schulwesen gelungen sei und 

jetzt klar sei, welche Forderungen an die Schüler 

gestellt werden, ist nicht feststellbar und nicht 

richtig (oder welche Präzision erkennt die Lehrkraft 

in Wortgeklingel wie „Die Schülerinnen 

und Schüler.entwickeln sinntragende Vorstellungen 

von . . . Zahlen und nutzen diese entsprechend 

der Verwendungsnotwendigkeit ““?) 

Einen gewissen Einblick in die Vorstellungen 

von Didaktikern über Ergebnisse des 

Mathematik- und Informatiklernens, der dringend 

vertieft und besser abgesichert werden sollte, 

vermittelt www.bildungsoptionen.de/ifragen.htm 

oder mein Beitrag „Fragebogenaktion: Vorstellungen 

über Lernziele und Lernergebnisse in diesem 

Buch.“ 

Wie weit schulisches Lernen Langzeitergebnisse 

bewirkt, zeigt eine Selbstbeobachtung des 

Autors: Ich muß einräumen, dass ich erst seit kurzem 

nicht mehr zuverlässig aus dem Gedächtnis 

auf die in der Schule vor mehr als sechzig Jahren 

gelernten Gedichte, Gesangbuchverse, Stammreihen 

unregelmäßiger altgriechischer Verben, Geschichtszahlen 

aus dem Mittelalter, . . . zugreifen 

kann. Sogar manche mathematische Beweise fal- 

117

Fritz Nestle 

len mir nicht mehr auf Anhieb ein. Dieses Wissen 

war mir in der Schule eigentlich als dauerhafter 

Besitz vermittelt worden. Dazu kontrastiert, 

dass manche Didaktiker der Auffassung sind, man 

dürfe in Klasse 8 nicht auf das Bruchrechnen, 

bei Abiturienten nicht auf Prozentrechnen zurückgreifen! 

Tatsache ist, dass fast durchgehend die Fiktion 

aufrecht erhalten wird, Bildung sei um so 

erfolgreicher, je länger sie dauert, unabhängig 

davon, was als dauerhaftes Wissen oder Fähigkeit 

übrig bleibt.. Tatsache ist ferner, dass viele 

der oft als bildungsschwach abklassifizierten 

Hauptschüler in schulfremden Gebieten (Computerspiele, 

Fußballergeb-nisse und -spieler, . . . ) 

erstaunlich leistungsfähig sind. Die unbefriedigenden 

Leistungen der Hauptschüler sind unter 

Umständen weit mehr ein Problem der Motivation 

als eine Frage der Lernfähigkeit! (Siehe auch 

www.bildungsoptionen.de/handy.htm) 

3 Neue Lernstoffe 

Es muss nicht gerade Esoterik sein mit Magnetpunkten 

in den Schuhen oder im Armreif oder 

die Beachtung des auf- und absteigenden Mondes 

sein, obwohl viele unserer Zeitgenossen, auch 

Akademiker, überzeugt sind, damit ihr Leben 

verbessern zu können. Es gibt tatsächlich viele 

neue Anforderungen, z.B. aus Politik, Wirtschaft 

und natürlich Informatik, bei denen erörtert 

werden muss, ob die Schule damit befasst werden 

soll oder nicht. Interessenvertreter der klassischen 

Schulfächer lehnen vielfach aus Fachegoismus 

neue Fächer ab, wenn dafür bei etablierten 

Fächern gekürzt werden müsste. Sie folgen dem 

Prinzip „Nicht für das Leben, für die Schule lernen 

wir!“, das längst das alte lateinische Prinzip 

„Non scolae sed vitae discimus“ an vielen Stellen 

abgelöst hat. 

Zeitweise — zeitweise auch nicht — geht man 

auch im kognitiven Bereich davon aus, dass es 

formale Bildung gibt und diese das Lernen neuer 

Inhalte fördert. (Bei Sport oder Musik geht 

man immer davon aus, dass intensives Training 

die Grundlage jeden Erfolgs ist.) 

Wenn man nach dem Beispiel des Sports formalem 

Lernen Bedeutung beimisst, muss man 

auch im kognitiven Bereich prüfen, welche 

Lernthemen Kindern und Jugendlichen angeboten 

werden sollen: 

4 Charakterisierung kognitiver 

Lernthemen und Kriterien der 

Auswahl 

4.1 Umfang des Vokabulars 

Das Vokabular kann endlich oder unendlich sein. 

Je weniger „Vokabeln“ zu einem Themengebiet 

118 

gehören, desto schneller sind Lernerfolge zu erwarten. 

Dienes, der im letzten Jahrhundert viel Mathematikdidaktiker 

— und Kinder — begeistert hat, 

hat bei seinen Vorführstunden stets Themen gewählt, 

zu denen die Voraussetzungen in wenigen 

Minuten geschaffen werden konnten. Sehr wenig 

Vokabeln gibt es beim Einstieg in eine endliche 

Geometrie. Die vielen Schriftzeichen in Sprachen 

wie Chinesisch oder Japanisch — allein die 

Grundschrift Kanji benützt mehr als 6 000 Zeichen 

— machen es dagegen dem Europäer schwer, 

über die Schrift in eine solche Sprache einzudringen. 

4.2 Regeln und logische 

Verknüpfungsmöglichkeiten 

Die die einzelnen Vokabeln können voneinander 

unabhängig sein oder Beziehungen untereinander 

haben und einem Regelwerk unterliegen; durch 

Verknüpfung von Vokabeln können neue Vokabeln 

entstehen. Die Erfahrung zeigt, dass die Einstiegsschwelle 

schnell sehr hoch zu liegen kommt, 

schon wenn nur wenige Regeln zu beachten sind. 

Erfolgreiche Computerspiele, wie zum Beispiel 

die zahlreichen Tetris- oder Moorhuhnvarianten, 

treffen hierbei das richtige Maß. 

Die Bruchrechnung zeigt unter anderem, dass 

viele Kinder schnell überfordert sind, wenn zwei 

Regeln hintereinander angewendet werden müssen. 

Entsprechend ist von der Prozentrechnung 

bekannt, dass schon der Prozentbegriff selbst 

wegen seiner Nähe zur Bruchrechnung Schwierigkeiten 

macht. Die Zuordnung von Daten zu 

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz ist bereits 

stark von der Reihenfolge der Nennung der 

Daten abhängig und kann häufig inhaltlich nicht 

gedeutet werden. (So haben vielfach auch Akademiker 

nicht verstanden, dass die 25% des Kirchhoffmodells 

für die Steuer vor der Bundestagswahl 

2005 nicht bedeuten, dass die Steuersumme 

für alle Bürger gleich ist, wie auch früher schon in 

der Quellensteuerdiskussion viele Leute meinten, 

dass jährlich 15% des Vermögens (und nicht der 

Einkünfte aus dem Vermögen) weggesteuert werden 

sollten.) 

Noch schwerer ist es für viele, einen axiomatischen 

Aufbau mit abstrakten Grundbegriffen 

anhand von Regeln nachzuvollziehen. Vor mehr 

als 100 Jahren hat sich schon Hilbert damit auseinandersetzen 

müssen, dass die Äquivalenz des 

Begriffspaars Punkt-Gerade mit dem Begriffspaar 

Bierseidel-Tabakspfeifen bei sonst gleichen Axiomen 

seine Umwelt zum Teil auch in Fachkreisen 

überfordert hat. 

Wenn es um formale Bildung geht, ist daher 

die Auswahl von Lernthemen mit adressatengerechten 

Systemen von Regeln ein entscheidender 

Gesichtspunkt — und ebenso der Mode unterwor-

fen wie im Publikumssport die aktuellen Sportgeräte 

(2005 nordic walking, . . . ). 

4.3 Alltagsrelevanz 

Der Lernbereich kann — subjektiv — irrelevant 

sein oder für das Subjekt gesellschaftlich, emotional 

oder kognitiv von Bedeutung sein. 

Vor hundert Jahren gab es eine Unterscheidung 

zwischen dem Rechenunterricht mit bürgerlichem 

Rechnen, geometrischen Zeichnen, . . . für 

die „niederen Stände“ und dem Mathematikunterricht 

für die höheren. Die Gegenstände des 

Rechenunterrichts waren ausgewählt unter dem 

Gesichtspunkt der Anwendbarkeit im Arbeitsleben. 

Der Mathematikunterricht gab vor, wissenschaftliche 

Erkenntnisse und Einsichten unabhängig 

von ihrer praktischen Nutzbarkeit zu vermitteln, 

blieb aber dann doch an der sphärischen Trigonometrie 

für Astronomen und Kapitäne sowie 

an der Analysis der Ingenieurwissenschaften hängen. 

Der Rechenunterricht wurde in der zweiten 

Hälfte des letztenJahrhunderts in Mathematik umbenannt, 

die Oberschulen in Gymnasien. Inhaltlich 

hatte sich zunächst dadurch nichts geändert. 

Der Drill früherer Jahrzehnte und die intensive 

Übung wurden vermindert — eigentlich in der 

Absicht, den Nachdruck auf verständiges Lernen 

zu legen. Dies wäre eine sinnvolle Grundlage für 

die Nutzung von Hilfsmitteln, ist indessen vermutlich 

nur in geringem Maß gelungen. Inzwischen 

sind auch Ziele im Bereich der elementaren 

Fähigkeiten, teilweise zurecht, aufgegeben worden: 

Auf das große Einmaleins wird verzichtet; 

beim Divisionsalgorithmus beschränkt man sich 

auf zweistellige Divisoren, ; Beweisen, sphärische 

Trigonometrie oder darstellende Geometrie sind 

zu Orchideenangeboten geworden. Die Bedeutung 

solcher Themen ist von der inhaltichen Relevanz 

auf ein reines Kognitionstraining geschrumpft; die 

Themen selbst könnten daher durch andere Themen 

mit vergleichbarer kognitiver Struktur ersetzt 

werden. 

Die frei werdende Lernkapazität würde Raum 

schaffen für die Begegnung mit zeitgemäßen 

Hilfsmitteln wie CAS, DGS oder Tabellenkalkulation. 

Leider bleibt der Zugang dazu vielen Schülern 

— und an den Hochschulen den Studierenden 

einschlägiger Fächer - bis heute sowohl als 

Erweiterung der Arbeits- und Denkmöglichkeiten 

als auch als Abenteuerspielplatz verschlossen. 

4.4 „Lernbarkeit“ 

Die Anforderungen an den Lernenden können gering, 

mäßig oder unüberwindbar hoch sein. Entscheidend 

sind — neben der Lernmotivation — 

die Kriterien Umfang des Vokabulars und Regelwerk. 

Bei zu geringen Anforderungen in der Schule 

Papageiengeplapper versus verstandene Sprachproduktion 

suchen die Kinder und Jugendlichen andere Möglichkeiten, 

etwas zu leisten, oder sie verfallen in 

Lethargie. Lethargie ist vielfach auch das Ergebnis 

der Arbeit der Schule bei Überforderung. In 

diesem Fall haben die Lehrkräfte das Problem, 

wie sie mangelhafte Unterrichtsergebnisse durch 

gute Noten kaschieren. Dies ist bekanntlich solange 

einfach, wie keine klassenübergreifenden, externen 

Maßstäbe angewendet werden. 

4.5 Tradition 

Die Dominanz dieses Kriteriums bei der Auswahl 

der Lernstoffe für die allgemeinbildenden Schulen 

ist offenkundig. 

5 Lern- bzw. Arbeitsziele 

5.1 Initiationsritus 

Lernen kann als Initiationsritus verstanden werden, 

mit dessen Hilfe sich Erwachsene vor Heranwachsenden 

oder „bessere“ gesellschaftliche 

Gruppen vor anderen schützen. 

Dieser Aspekt ist um so bedeutsamer, je länger 

die Bildungsdauer ist. Durch das Vergessen 

nimmt der Nettolernzuwachs asymptotisch gegen 

Null ab. (Die Aufnahme neuer Information ist näherungsweise 

linear; die aufgenommene Information 

zerfällt nach einem Exponentialgesetz. Die 

„Konstante“ ist individuell verschieden und vermutlich 

themenabhängig.) 

5.2 „formale“ Bildung 

Im Sport ist die formale Bildung unumstritten. Für 

Schifahren oder Fußball ist begleitende Gymnastik 

unerlässlich. 

Das Urteil darüber, ob es auch im kognitiven 

Bereich formale Bildung gibt und diese das Lernen 

neuer Inhalte fördert, ist der Mode unterworfen. 

5.3 Dauererwerb von nützlichen 

Kenntnissen und Fähigkeiten 

Im elementaren Bereich — laufen, lesen, schreiben, 

rechnen lernen — findet man schnell einen 

Konsens darüber, dass da dauerhafte Fähigkeiten 

erworben werden sollen. Unter Mathematikdidaktikern 

scheint es auch einen Konsens darin zu 

geben, das das kleine Einmaleins nicht für für drei 

Wochen am Ende von Klasse 3 sondern lebenslang 

verfügbar sein sollte (Siehe auch http:// 

www.bildungsoptionen.de/ifragen. 

htm#m1). Beim Bruchrechnen wird dagegen hingenommen, 

dass ein halbes Jahr intensiver Arbeit 

nicht nur beim Rechnen sondern auch beim 

Bruchbegriff nur bei wenigen einen nachhaltigen 

Erfolg zeitigt. Bekannt ist der Fußballer, dem 

in der Frühzeit des Profifußballs ein Drittel des 

Reinerlöses seines Vereins angeboten wurde. Er 

war damit nicht zufrieden und verlangte mindestens 

ein Viertel. Ähnliches gilt für Prozent- und 

119

Fritz Nestle 

Zinsrechnung. Bei einer Umfage unter Experten 

glaubt mehr als die Hälfte, dass weniger als die 

Hälfte der Abiturienten eine normale Aufgabe aus 

der Zinsrechnung richtig bearbeiten wird — und 

die anderen sind wohl hoffnungsvolle Optimisten 

(http://www.bildungsoptionen. 

de/ifragen.htm#m3). Das alte lateinische 

Prinzip „non multa, sed multum“ - besser weniges 

richtig als vielerlei unzureichend — wird in der 

heutigen Sekundarstufe kaum mehr berücksichtigt 

mit der Folge, dass die Bildungszeit immer 

länger, das Ergebnis jedoch immer weniger tragfähig 

wird. Im Hochschulstudium müssen daher 

die BWLer versuchen, die Prozentrechnung zu 

verstehen, in den Ingenieurwissenschaften geht es 

um eine Pysik für Biologen, Maschinenbauer, . . . , 

die nach den Lehrplänen zu einem beträchtlichen 

Teil bereits in der Mittelstufe des Gymnasiums 

erarbeitet sein sollte. Bei Geschichte, Biologie, 

Geographie dürfte es nicht viel besser aussehen. 

Viele Lehrer und Hochschullehrer in der Lehrerbildung 

retteten sich in der Zeit, in der die programmierte 

Instruktion im Mittelpunkt der Diskussion 

stand, in die These, dass man die wahre 

Bildung nicht mit kleinlichen Details verdunkeln 

dürfe: „Bildung ist das, was übrig bleibt, wenn 

man alles Schulwissen vergessen hat.“ 

Zum Überleben in einer globalen Zivilisation 

genügt das freilich nicht. Unsere Kinder müssen 

später mit Kindern konkurrieren, die in effektiveren 

Bildungsystemen aufwachsen. Was in der 

Kindheit versäumt wird, kann später nur noch mit 

größter Anstrengung oder gar nicht ausgeglichen 

werden. 

Wenn wir eine effektivere Lernorganisation 

wollen, muß am Anfang das Problem gelöst werden: 

Wie kontrolliert man das Lernergebnis? Vor 

200 Jahren war die einzige Lösung dafür, dass 

Hunderte oder Tausende von Mathematiklehrern 

in handwerklicher Einzelarbeit ihre Lernkontrollen 

entwickeln. Standardisierung erfolgte nur sehr 

begrenzt über Unterrichtsvisitationen. Im Zeitalter 

der schnellen Datenübertragung und des 

Internet ist dieses Vorgehen ein teurer und ineffektiver 

Anachronismus. Das Dortmunder Manifest 

(www.bildungsoptionen.de/manifest.htm) 

schlägt einen Weg vor, wie man heute 

vorgehen könnte; eine Präzisierung 

mit Programmbeispiel findet man hier 

(www.bildungsoptionen.de/dilli/fuchsorg.htm). 

Beiden Vorschlägen gemeinsam ist eine Vergrößerung 

der Chancengerechtigkeit im Bildungswesen 

und die Unterstützung selbstorganisierten 

Lernens. 

6 Taxonomische Betrachtungen 

Taxonomien beschreiben, auf welchem Niveau die 

Auseinandersetzung mit einem Problem und die 

120 

Ausführung eines Auftrags erfolgen. Die meisten 

Taxonomievorschläge sind Variationen des Ansatzes 

von Bloom und viele erliegen dem Fehler, mit 

einer Taxonomie ließen sich Aufgaben charakterisieren. 

In Wirklichkeit hängt die Einordnung in 

eine der Kategorien von Bloom 

• Wissen 

• Verstehen 

• Anwendung 

• Analyse 

• Synthese 

• Bewertung 

nicht monokausal mit den Anforderungen zusammen,sondern 

wird wesentlich vom Lernstand des 

Individuums bestimmt. 

Ein Beispiel zeigt dies: Wer weiß, wie es geht, 

löst die Aufgabe, vier kongruente gleichseitige 

Dreiecke aus sechs Streichhölzern zu bilden, auf 

der Ebene des Wissens; wer es nicht weiß, hat unter 

Umständer erst nach mühsamer Synthese die 

Lösung gefunden (Hinweis: Tetraeder). 

Zwei andere Beispiele: Viele Schülerinnen 

und Schüler lösen eine Aufgabe, vor allem in Fächern 

wie Physik, Chemie, . . . wie Google. Sie suchen 

in ihrem Gedächtnis nach Umgebungen eines 

Stichworts aus der Aufgabe. Diese Umgebung 

reproduzieren sie. In einer Biologiestunde bat ich 

einmal einen Schüler in einer neu übernommenen 

Klasse, mir an einem menschlichen Skelett das 

Stirnbein zu zeigen. Als Antwort war er bereit, mir 

wie ein Papagei oder ein Tonband die Namen aller 

Knochen des menschlichen Körpers herzusagen, 

konnte jedoch von keinem einzigen die Lage im 

Körper zeigen. 

Vor einigen Jahren hatte einmal die Firma 

IBM zur Vorführung eines Computerprogramms 

eingeladen, das Freiantworten auswerten sollte. 

Ich durfte die Frage „Wie heißt die Hauptstadt von 

Baden-Württemberg?“ beantworten und schrieb 

„Stuttgart ist nicht die Hauptstadt von Baden- 

Württemberg.“ Der Computer lobte mich für diesen 

Satz und erklärte ihn für richtig. Zwischenzeitlich 

sind die Programme natürlich besser geworden; 

mit einer falschen Antwort, die durch simple 

Negation der richtigen Antwort entsteht, lassen sie 

sich nicht mehr täuschen. 

Mit diesen Beispielen soll nicht der Wert des 

Wissens herabgesetzt werden. Auf — auch mechanisches 

- Wissen als Grundlage kann bei keinem 

Lernthema verzichtet werden. Beim menschlichen 

Lernen sollte freilich die Anwendung des 

Wissens zur Problemlösung auf verschiedenen Niveaus 

im Vordergrund stehen, das heißt die Produktion 

von Sprache mit dem einschlägigen Vokabular. 

Zur Erläuterung betrachten wir das Problem, 

eine HTML-Seite zu schreiben, auf der eine Ant-

worten auf Fragen angefordert und anschließend 

ausgewertet werden sollen. 

Bei der synthetischen Lösung müssen aus der 

Gesamtheit der Sprachelemente die benötigten 

ausgewählt und in der richtigen Syntax aneinandergefügt 

werden. Dies ist recht mühsam bei 

Sprachen mit vielen Elementen; es erfordert ein 

Durchforsten eines großen Teils des Vokabulars, 

bis passende Befehle gefunden worden sind. Die 

Syntax schafft zusätzliche Schwierigkeiten. Trotzdem 

werden immer noch viele Fremd- und Programmiersprachen 

auf diese Weise gelehrt. 

Bei anderem Vorgehen nähert man sich dem 

Problem mit fertigen „Sätzen“, die ein analoges 

Problem lösen. Entsprechend dem Erlernen der 

Muttersprache werden diese Sätze für das neue 

Problem nur adaptiert. Das hat den großen Vorteil, 

dass man die Syntax einfach übernehmen kann. 

Der Kode für ein primitives Formular in 

Abb. 15.1 zeigt das Vorgehen: 

 

 

Formular mit Pflichtfeldern 

 

 

 

Klicken Sie das Feld an und tragen 

Sie den Namen ein: 

 

 

Wenn Sie 

 

anklicken, sehen Sie, ob Ihre Einsetzung 

angemommen wurde. 

 

 

 

 

Abbildung 15.1: HTML-Datei mit einem Eingabefeld 

Der Satz „Klicken Sie in das Feld und tragen 

Sie den Namen ein“ wird wörtlich so auf der 

Webseite angezeigt. Dieser könnte ersetzt werden 

durch “ Wie heißt das allgemeinste punktsymmetrische 

Viereck?“, “ Wie lang ist die Hypotenuse 

eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten 

5 und 12 cm lang sind?“ oder eine andere Lernanforderung. 

Das klassische Formular ist also strukturgleich 

mit üblichen Abfragen. 

In spitzen Klammern stehen neben Formatierungsangaben 

die Befehle für das Anfordern 

Papageiengeplapper versus verstandene Sprachproduktion 

der Eingabe und das Abschicken. Sie werden 

in der durch „action“ aufgerufenen Datei 

0te.PHP durch PHP-Anweisungen ausgewertet 

(Abb. 15.2). 

 

 


 

 

 

Ihr Name: 

 

 

 

 

Abbildung 15.2: Die Datei zur Auswertung der 

Eingabe 

Wenn Sie mit diesen beiden Dateien spielen 

wollen, müssen Sie diese in das gleiche Verzeichnis 

im Netz bei einem Provider einstellen, der 

PHP unterstützt oder auf Ihrem Rechner einen eigenen 

Server mit PHP (z.B. Xampp) installieren. 

Im Gegensatz zum Papageiengeplapper des 

Knochenbeispiels zeigt das Formularbeispiel eine 

verstandene Sprachproduktion, wobei das rein 

synthetische Vorgehen schwieriger ist als das 

analytisch-synthetische. Letzteres wurde unter anderem 

dazu benützt, um mit einer Seniorengruppe 

(www.senioren-ulm.de), die für gemeinnützige 

Einrichtungen Internetseiten erstellt, Anmeldeformulare 

für eine Jugendkunstschule zu erarbeiten. 

Was Senioren leisten können, schaffen auch 

Schüler — wenn man sie dazu motiviert. Das ist 

viel einfacher, als viele Kollegen denken. Dann 

gilt für die Schüler: „Docendo discimus“. (Wenn 

man eine Sache lehrt, wird man sie irgendwann 

einmal auch verstehen.): Wohl die effektivste 

Form des Lernens! 

Literatur 





121


122

• Vom Nutzen und vom Nachteil der Informatik für den 


Reinhard Oldenburg, Heidelberg 

Wenn ein Titel auf Friedrich Nietzsche anspielt, kann man zu Recht erwarten, dass der Autor provozieren 

will — dies war im vorliegenden Fall ursprünglich auch beabsichtigt. Es zeigte sich aber im 

Verlauf der Arbeitskreis-Tagung, dass die Positionen zu Fragen der Einbeziehung informatorischer 

Inhalte in den Mathematikunterricht extrem weit auseinander liegen, so dass auch die hier aufgestellten 

Thesen recht unterschiedlich bewertet wurden und werden. Die Überlegungen folgenden 

dicht dem Tagungsthema. Es soll diskutiert werden, welche Inhalte und Methoden der Informatik 

den Mathematikunterricht bereichern können. 

1 Ausgangspunkte 

Computer sind in unserer Gesellschaft ein extrem 

leistungsfähiges Hilfsmittel zur Problemlösung, 

Problemanalyse und manchmal auch Problemgenerierung 

geworden. Eine kurze Recherche im Internet 

und die Beachtung der enormen Dynamik 

dieser Entwicklung sollte Teil a) der folgenden 

These bestätigen: 

These: a) Der wechselseitige Einfluss 

von Computern und Mathematik wird 

— gerade in der Schule — immer 

noch unterschätzt. b) Deshalb werden 

die Möglichkeiten des PCs zur Problemlösung 

im Schulunterricht nicht 

adäquat abgebildet. 

Teil b) der These ist problematischer. Natürlich 

müssen Schüler Einblicke erhalten in die technologische 

Basis unserer Gesellschaft, und im Mathematikunterricht 

ist es Aufgabe, die mathematischen 

Anteile daran transparent zu machen. Wie 

viel es aber dazu bedarf, wie konkret Schüler die 

Lösung mathematischer Probleme mit dem Computer 

und die Nutzung in Anwendungen kennen 

lernen müssen, bedarf der didaktischen Diskussion. 

Während die Fachwissenschaft Mathematik 

mitsamt ihren Vernetzungen ein dynamischer Prozess 

ist, ist die Schulmathematik eher starr und 

immer noch stark im 19. Jh. verwurzelt. Dies soll 

an zwei Fragestellungen der analytischen Geometrie 

exemplarisch kontrastiert werden: 

Traditionelle Fragestellung Welcher Anteil des 

Volumens eines Tetraeders nimmt die einbeschriebene 

Kugel ein? Steigerung: Wie 

hoch steigt der Anteil, wenn auch die vier 

freien Ecken mit je einem Kügelchen maximaler 

Größe ausgefüllt werden? 

Aktuelle Fragestellung Eine Videokamera 

nimmt Bilder vorbeifahrender Autos und 

ihrer Fahrer auf. Daraus soll ein 3D-Modell 

der Gesichtsoberflächen berechnet werden, 

aus dem sich biometrische Daten extrahieren 

lassen. Das grundlegende Verfahren zur 

Lösung dieser Fragestellung kann im Unterricht 

vollständig behandelt werden. Die 

Schüler lernen dabei zweierlei, zum einen, 

wie man an Fördergelder des Bundesinnenministeriums 

herankommt, und zum 

zweiten, wie man gesellschaftlich-kritisch 

denkt. 

2 Mathematik und Informatik — 

ein schwieriges Verhältnis 

Die Mathematik stellt eine der wichtigsten Wurzeln 

der Informatik dar, für die nicht Hardwaregebundenen 

Teile sogar die wichtigste. In der rasanten 

Entwicklung dieses Fachs hat die Informatik 

aber einen erheblichen Bestand an eigenen 

Methoden und Inhalten hervorgebracht, der 

die Eigenständigkeit als universitäres Fach wie als 

Schulfach eindrucksvoll unterstreicht. Für die Didaktik 

der Informatik gilt ähnliches. Insbesondere 

im Zuge der didaktischen Aufarbeitung der Methoden 

des Designs von Informatiksystemen, wie 

sie besonders am Vordringen der Objektorientierten 

Modellierung (OOM) in den Informatikunterricht 

sichtbar wird, hat sich eine Mathematikferne 

Grundhaltung etabliert. Dies spiegelt sich 

wieder in den deutlichen Worten der Abgrenzung 

zur Mathematik, wie man sie in der Literatur der 

Informatikdidaktik findet. So argumentieren beispielsweise 

(Schubert & Schwill, 2004): „..Mathematik 

[arbeitet] meist mit kontinuierlichen und 

elementaren Größen. . . Informatik . . . mit strukturierten 

Objekten. . . ?. Eine solche Unterscheidung 

ist für die Fachwissenschaft falsch, man denke etwa 

an reich strukturierte mathematische Begriffe 

wie Vektorraumbündel oder Tensorkategorien. 

Sie ist tendenziell richtiger im Bereich der Schulmathematik, 

aber auch dort muss widersprochen 

werden, denn beispielsweise sind Funktionsgraphen 

keineswegs elementar, und eine Reklamation 

des ganzen Gebietes der diskreten Mathematik für 

die Informatik kann auch nicht im Sinne des Mathematikunterrichts 

sein, zumal in einer Zeit, in 

der dieses Gebiet im Mathematikunterricht zunehmend 

Unterstützung erfährt. These: Eine deontologische 

Abgrenzung kann wegen zu enger Ver- 

123


wandtschaft der Fächer nicht gelingen. 

Damit soll nicht gesagt werden, dass es nicht 

Inhalte gäbe, die man eindeutig in einem der Fächer 

verorten kann, aber die Fachcharakteristika 

ermöglichen keine klare Trennlinie, und es gibt 

daher einen riesigen Überschneidungsbereich. Es 

ist daher sinnvoll, wenn es beide Fächer gibt, und 

wenn die Aufgabenverteilung nach pragmatischen 

Kriterien, wie der Verfügbarkeit von Lehrkräften, 

den organisatorischen Rahmenbedingungen (z.B. 

Informatik als Wahl(pflicht)fach oder als Pflichtfach) 

und natürlich nicht zuletzt nach inhaltlichen 

Bildungszielen erfolgt. 

Das angesprochene Überschneidungsgebiet 

soll nun durch eine unvollständige Aufzählung 

etwas belichtet werden: Logik, Berechenbarkeit, 

Komplexität, Korrektheitsbeweise, Zahlentheorie, 

Kryptographie, Informationstheorie, Datenkompression, 

diskrete Mathematik, Graphentheorie, 

Kombinatorik, Optimierung, Numerik, Computeralgebra, 

Computergrafik, Virtual Reality, 

Künstliche Intelligenz, Bildverarbeitung, künstliches 

Sehen, Robotik, Statistik, Monte-Carlo- 

Simulationen. 

Neben dieser großen Grauzone zwischen den 

Fächern gibt es genuin mathematische Gebiete, 

beispielsweise die Topologie, und genuin informatorische 

Gebiete, wie Softwaredesign, OOM, 

Echtzeitsysteme, Theorie der Betriebssysteme 

u.s.w.. Die Eigenständigkeit dieser Gebiete untermauert 

die Stellung der Informatik als eigenes 

Fach. 

Neben inhaltlichen Anregungen kann der Mathematikunterricht 

auch methodischen Input von 

der Informatik nutzen. Im Informatikunterricht ist 

der Projektunterricht eine tragende Form. Das ist 

möglich, weil der Computer den Schülerinnen 

weitreichende Handlungsmöglichkeiten eröffnet. 

Für den Mathematikunterricht gilt analog das gleiche. 

Es ist bedenkenswert, ob man unter diesem 

Gesichtspunkt die Inhalte des gegenwärtigen Mathematikunterrichtes 

überdenken muss, denn Unterricht 

wird nicht nur durch Inhalte legitimiert, 

sondern auch durch die Methoden und Prozesse, 

die in ihm möglich sind. 

3 Algorithmen sind gut! 

Algorithmisierung ist allgemein als fundamentale 

Idee der Mathematik anerkannt (siehe z.B. Tietze 

et al., 1997, 38ff) Bedauerlicherweise verzichten 

allerdings die KMK-Bildungsstandards für den 

mittleren Schulabschluss (KMK, 2003) auf eine 

entsprechende Würdigung des Algorithmenbegriffs. 

Möglicherweise liegt dies begründet in 

der Beobachtung, dass im Mathematikunterricht 

das kalkülhafte Arbeiten einen zu hohen Stellenwert 

einnimmt. Man beachte aber, dass Algorith- 

124 

1 http://www.gimp.org 

misierung als fundamentale Idee im Mathematikunterricht 

nicht dazu führen sollte, dass die Schüler 

wiederholt Algorithmen ausführen. Satt dessen 

sollen sie Algorithmen entwerfen, bewerten und 

über ihre Korrektheit und angemessene Nutzung 

kritisch reflektieren. Für eine sinnvolle Nutzung 

sollte die Algorithmisierung im Mathematikunterricht 

wirklich als Prozess erlebbar werden. Algorithmen 

kodieren und kombinieren Erkenntnisse. 

Dazu müssen Erfahrungen gesammelt, zu mathematischen 

Aussagen verdichtet und in ein Verfahren 

übersetzt werden, das wieder Gegenstand mathematischer 

Reflexion sein wird. Exemplarisch 

soll dies am Beispiel des Euklidischen Algorithmus 

zur Bestimmung des größten gemeinsamen 

Teilers zweier Zahlen erläutert werden. Die Phasen 

des Algorithmisierungsprozesses können sein: 

1. Erfahrung: 

Zahlenbeispiele werden gesammelt 

2. Beobachtungen werden zu Regeln verdichtet: 

ggT(n,n) = n, ggT(n,1) = 1, ggT(n,m) = 

ggT(m,n), ggT(n,m) = ggT(n,m − n) 

3. Umsetzung in einen Algorithmus: 

ggT(n,m):= 

if n>m : ggT(m,n) 

else if n=1 : 1 

else if n=m : n 

else : ggT(n,m-n) 

4. Korrektheitsbeweis 

Wenn Schüler einen solchen Prozess durchlaufen 

können, ist das Zitat „Algorithmen sind gut!? von 

(Freudenthal, 1972) bestätigt. 

4 Mathematik als 

Zuliefer-Wissenschaft 

Schüler kennen in der Regel viele Anwendungen, 

in denen mathematische Verfahren angewendet 

werden, beispielsweise Bildverarbeitungsprogramme 

und Soundeditoren. Eine Strategie des 

Mathematikunterrichts kann darin bestehen, solche 

Programme punktuell zu öffnen und die mathematischen 

Grundlagen den Schülern direkt zugänglich 

zu machen. 

Bildbearbeitungsprogramme bieten viele 

Möglichkeiten, Helligkeit und Kontrast eines Bildes 

zu ändern. Dabei wird eine Funktion bestimmt, 

die die Menge der Helligkeitswerte (also 

die ganzen Zahlen von 0 bis 255) auf sich 

selbst abbildet. Im kostenlosen Bildbearbeitungsprogramm 

Gimp 1 kann diese Funktion (genauer 

gesagt, ihr Funktionsgraph) explizit angezeigt und 

sogar mit der Maus verändert werden (siehe Abb. 

16.1). Viele Computeralgebraprogramme (Mu- 

PAD, Maple, Mathematica) oder ein kleines Programm 

(siehe Abb. 16.2) des Autors ermöglichen 

auch, die Transformationsfunktion algebraisch zu

Vom Nutzen und vom Nachteil der Informatik für den Mathematikunterricht 

Abbildung 16.1: Einstellung der Helligkeitswerte in GIMP 

Abbildung 16.2: Anwenden einer durch einen Term gegebenen Funktion auf die Helligkeitswerte eines 

Bildes 

125


spezifizieren. Dies ermöglicht eine schöne Darstellung 

des Simultanaspektes von Funktionen. 

In eine ähnliche Richtung geht die Verwendung 

von Funktionstermen zur Modellierung von 

Klängen. Mit einem vom Autor erhältlichen Zusatzmodul 

kann das CAS MuPAD Funktionen 

als Schalldruckpegel eines zu erzeugenden Tonsignals 

verstehen. Beispielsweise erzeugt 

PlayFunction( 

0.5*(sin(2*PI*441*t) 

+sin(2*PI*440*t)), 

t=0..2.0) 

eine zwei Sekunden lange Schwebung. Schülern 

machen solche und auch einfachere Beispiele (etwa 

ein Ton, dessen Frequenz langsam ansteigt) 

von Schallmodellierung viel Spaß. Algebra wird 

zum Mittel, es lustig piepsen zu lassen. 

Ein weiteres Beispiel bilden die in Mailprogrammen 

integrierten Spamfilter. Welche Mail als 

Spam gilt, hängt vom Nutzer ab, es ist eine individuelle 

Entscheidung. Deswegen sollten Spamfilter 

lernfähig sein. Zum Lernen aus Erfahrung 

bietet sich die Bayesstatistik an, die ermöglicht, 

aus der beobachteten Häufigkeit eines bestimmten 

Wortes in der bisher als Spam klassifizierten 

Mail zu errechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit 

eine einkommende Mail, in der dieses Wort 

gefunden wurde, Spam ist: 

P(Spam|„Viagra“ ) = 

P(„Viagra“ |Spam) 

P(„Viagra“ |Spam)+P(„Viagra“ |Ham) 

Natürlich stützt man sich in der Praxis nicht 

nur auf ein Wort, sondern auf viele, und auch über 

deren geschickte Auswahl kann man statistisch argumentieren. 

Eine große Klasse von realen Anwendungen 

erschließt sich der Mathematikunterricht, 

wenn er Optimierungsalgorithmen behandelt, 

da dies in Oldenburg (2006) ausführlich dargestellt 

werden soll, bleibt es hier bei diesem Hinweis. 

4.1 Simulationen 

Simulationen können den MU an vielen Stellen 

bereichern, vor allem bei Versuchen zur Wahrscheinlichkeitstheorie. 

Dabei können fertige Programme 

eine wichtige Rolle spielen. Besser ist 

aber, wenn die Schüler lernen, mit einem Werkzeug 

beliebige Fragestellungen simulieren zu können. 

Dies kann z.B. mit einer Tabellenkalkulation 

erfolgen. Dabei treten allerdings technische 

Schwierigkeiten (z.B. das Auszählen von Erfolgen 

in einer Spalte) auf, die den Problemen beim Programmieren 

u.U. ebenbürtig sein können. Gänzlich 

an seine Grenzen stößt ein solches Werkzeug, 

wenn sehr große Versuchszahlen durchzuführen 

126 

sind. Beispielsweise zeigt Meyer (2006) wie der 

für Anwendungen extrem wichtige t-Test auf Basis 

von mit Simulationen gewonnen Erkenntnissen 

angewendet werden kann, ohne wesentliche Teile 

der traditionellen Theorie zu benötigen. Dazu sind 

allerdings große Anzahlen (> 10 6 ) von Versuchsdurchführungen 

nötig, und das ist mit einer Tabellenkalkulation 

unmöglich. Natürlich ist es nicht 

prinzipiell nötig, dass jeder Schüler ein solches 

Simulationsprogramm selbst schreibt, man sollte 

aber bedenken, dass eine solche Simulation nur 

dann Überzeugungskraft hat, wenn die Simulationsprinzipien 

vollkommen klar sind und im Vorfeld 

ausreichend vertrauensbildende Maßnahmen 

durchgeführt wurden. Ein Weg dazu ist das eigenständige 

Programmieren. Eine Bewertung dieses 

Weges im Vergleich zu Alternativen steht aus. 

Hier soll ein weiteres Themengebiet vorgestellt 

werden, das durch Simulation behandelt 

werden kann, und das sich durch den Fächerübergriff 

von Mathematik, Informatik und Physik 

auszeichnet. Unter dem Begriff Perkolation 

fasst man eine Reihe statistischer Modelle zusammen. 

Das einfachste Perkolations-Modell besteht 

aus einem zweidimensionalen Quadratgitter, dessen 

Knoten mit einer bestimmten vorgegebenen 

Besetzungswahrscheinlichkeit als besetzt (sonst 

als frei) markiert werden. In einem Realmodell 

kann man eine Mischung von Glas- und Stahlkugeln 

herstellen und in eine zweidimensionale 

Schicht bringen. Eine sinnvolle Frage ist dann, 

ob eine elektrische Verbindung über die Stahlkugeln 

vom linken zum rechten Rand der Schicht 

hergestellt wird. Natürlich ist sofort klar, dass die 

Wahrscheinlichkeit P einer leitenden Verbindung 

mit der Besetzungswahrscheinlichkeit p (Stahlkugelanteil) 

steigt. Das — für viele überraschende 

— Simulationsergebnis ist, dass P unstetig von 

p abhängt, für kleine Werte von p ist P = 0, bei 

einem Schwellenwert aber springt P auf 1, d.h. 

das Modell zeigt einen Phasenübergang. Eine Erkenntnis, 

die enorme praktische Rückwirkungen 

hat bei Fragen der Ausbreitung von Waldbränden 

oder beim Einschluss von Erdgas in porösen Gesteinsschichten. 

Das Simulationsprogramm (siehe 

Abb. 16.3) zeigt auch, dass an der Sprungstelle 

fraktale leitende Gebilde entstehen.


Abbildung 16.3: Fraktalbildung bei Perkolation 

4.2 Working Models — das Prinzip 

verstehen 

Für viele gängige und bekannte Programmarten, 

z.B. Compiler, Interpreter, Browser, Dynamische 

Geometrie, Computeralgebra, Klassensystem, 

Chatserver, können im Informatikunterricht 

„Working models“ also Funktionsmodelle erstellt 

werden. Diese Programme sollen nicht trivial sein, 

sondern wirklich funktionieren, dabei aber soweit 

reduziert sein, dass ihre Arbeitsweise im Detail 

verstanden werden kann. Ziel ist Transparenz herzustellen 

und eine Grundlage für Aktivitäten der 

Schüler zu geben, die dabei Einsicht in reale Probleme 

der Softwareentwicklung gewinnen können. 

Aus dem Sicht des Mathematikunterrichts 

ist es beispielsweise interessant, wenn im Informatikunterricht 

ein Dynamisches Geometrieprogramm 

(DGS) erstellt wird. In diesem Fall 

bringt die Mathematik die Beschreibungsmethoden 

für Graden, Strecken und Kreise und die Berechnungsmethoden 

für Lote, Schnittpunkte und 

ggf. auch Tangenten u.ä. in den Informatikunterricht 

ein. Der Informatikunterricht dagegen wird 

an diesem Beispiel vor allem schätzen, dass die 

OOM daran überzeugend dargestellt werden kann. 

Dies zeigt einmal mehr, dass MU und IU unterschiedliche 

Ziele verfolgen. Im MU kann das 

Thema auch ohne eigenes Programmieren genutzt 

werden. Die Arbeitsweise eines DGS kann dekonstruiert 

werden, d.h. die Schüler beschreiben umgangssprachlich, 

nach welchem Algorithmus und 

auf Basis welcher Informationen die neue Konfiguration 

im Zugmodus aus der alten berechnet 

werden kann. 

Eine ähnliche Quelle von Anregungen bietet 

die 3D-Computergrafik, deren Nützlichkeit für 

den Mathematikunterricht von Andreas Filler gegenwärtig 

gründlich untersucht wird (siehe Filler, 

2008, in diesem Band, S. 63). 

5 Prozess-Objekt-Dualität 

Auf den ersten Blick ist klar, was Daten (Objekte) 

und was Prozeduren sind. Interessanterweise hält 

dies einem zweiten Blick nicht stand: Datenstrukturen 

und Prozeduren können identifiziert werden. 

In der Informatik kennt man schon seit fast 30 

Jahren die Entstehung von Objekten aus Prozeduren 

(Operationen) und nutzt sie z.B. bei der Implementation 

von Klassensystemen in Lisp. In der 

Mathematikdidaktik hat diese Erkenntnis verspätet 

und unabhängig Einzug gehalten. Die Lehre 

aus dieser Beobachtung ist, dass die Informatik 

in der Lage ist, sinnvolle metaphorische Beschreibungen 

von Lernprozessen im Mathematikunterricht 

zu liefern. Ein konkretes Beispiel ist die Repräsentation 

von nichtabbrechenden Dezimalbrüchen. 

Schüler haben regelmäßig ontologische Probleme 

mit Dezimalzahlen mit unendlich vielen, 

nichtperiodischen Stellen, die ja nie vollständig 

angegeben werden können. Eine informatorische 

Modellierung einer solchen Dezimalzahl ist gegeben 

durch eine realisierbare Funktion (also durch 

einen Algorithmus), die als Eingabe die Anzahl 

der zu berechnenden Stellen nimmt und einen entsprechenden 

Näherungswert produziert. Ähnlich 

wie auch bei der Beherrschung des Grenzwertbegriffs 

werden die „unendlich vielen“ Stellen durch 

„beliebig viele“ Stellen ersetzt. 

Eine weitere metaphorische Leistung der Informatik 

liegt im Bereich der Begriffsbildung. Angenommen, 

es soll der folgende größte gemeinsame 

Teiler berechnet werden: ggT(1,1111 4 444). 

In den meisten Programmiersprachen würden zunächst 

die Argumente ausgewertet, das heißt die 

Exponentiation wird ausgerechnet — eine erhebliche 

Arbeit mit riesigem Ergebnis. Dieser Wert 

wird allerdings gar nicht benötigt, denn die erste 

Zahl im Aufruf von ggT ist 1 und also muss 

auch der ggT selbst 1 sein. Aus der Einsicht, 

dass solche Situationen auch in weniger künstlichen 

Situationen vorkommen können, wurden 

funktionale Programmiersprachen mit sogenannter 

lazy evaluation entwickelt. Diese schieben die 

Auswertung von Ausdrücken solange wie möglich 

auf. Genau das passiert auch bei der Begriffsbildung: 

5/2 und √ 3 sind zunächst Handlungsanweisungen. 

Die löbliche Faulheit besteht darin, 

diese Operationen zunächst nicht auszuführen, die 

Operationen also „einzufrieren“, so dass sie zu einem 

handhabbaren Eisblock (Objekt) werden. Bei 

Bedarf kann dieser aufgetaut werden — und dann 

zeigt sich seine Bedeutung. Dies liefert ein durch 

die Informatik gestütztes Modell der Begriffsbildung, 

das wichtige Erkenntnisse stützt, die bereits 

auf anderem Wege gewonnen wurden, etwa das 

Begriffsbildung kein schneller Prozess ähnlich ei- 

127


ner mathematischen Definition sondern ein aktiver 

Konstruktionsschritt ist. Nicht ganz so offensichtlich 

ist die Folgerung, zum Zwecke der Begriffsbildung 

Aktivität zu Gunsten von Reflexion 

gezielt zurück zu stellen. 

6 Methoden-Werkzeugkasten 

Methoden der Informatik können nicht nur als 

Metapher in didaktischen Überlegungen nützlich 

sein, sondern u.U. lassen sie sich unmittelbar im 

Unterricht einsetzen. Hier sollen einige Beispiele 

zur Algebra zusammen gestellt werden. 

Kortenkamps Klammergebirge (siehe Kortenkamp, 

2008, in diesem Band, S. 77) nutzen Methoden 

wie sie auch bei der Programmierung von 

Parsern verwendet werden, um Schülern beim 

Umgang mit geklammerten Termen zu helfen. 

Graphische Beschreibungsmethoden erleben in 

der Informatik eine Blüte, im Mathematikunterricht 

sind dagegen die Termbäume so selten geworden, 

dass sich viele Lehramtsstudenten nicht 

mehr daran erinnern. 

Objekte für den schnellen Zugriff zu sortieren 

ist eine bekannte Technik. Interessante Diskussionen 

mit Schülern habe ich angesichts der Ordnung 

in einer Formelsammlung erlebt zur Frage, wie 

man Terme (alphabetisch?) sortieren kann. Dies 

ist eine wunderbare offene Aufgabe, bei der viel 

sonst nur implizites Wissen über den Aufbau von 

Termen explizit gemacht werden muss. 

Eine weit verbreitete Strategie der Softwareentwicklung 

ist die Model-View-Abstraktion, d.h. 

die Daten und Methoden, die die Modellbeschreibung 

betreffen, sollen getrennt werden von denen, 

die die Darstellung betreffen. Der gleiche Term, 

verschiedene Schreibweisen, das kennt die Mathematik 

schon lange, hier aber noch mal eine neue 

Anregung über Termschreibweisen und die Übersetzung 

zwischen ihnen nachzudenken. 

Ähnliches gilt für Normalformen und kanonische 

Formen von Termen. Wenn die Schüler im 

Sinne der Metakognition über ihre Möglichkeiten 

zur Termumformung reflektieren, helfen diese Begriffe 

aus dem Bereich der Computeralgebra bei 

der Systematisierung! 

Ebenfalls aus der Computeralgebra bekannt ist 

das Pattern-Matching, also die Problemstellung, 

einen Term an ein bestimmtes Muster anzupassen. 

Das liefert viele Aufgabenstellungen unterschiedlichen 

Schwierigkeitsgrades. Eine eher einfache 

Aufgabe ist: Passt der Term 5 − x auf das Muster 

Ax+B? 

7 Problematische Aspekte 

In einer unvoreingenommen Diskussion dürfen 

Punkte nicht ausgespart bleiben, bei denen die 

Informatik einen problematischen Einfluss ausübt. 

In der mathematischen Praxis geht man an 

128 

vielen Stellen flexibel mit Begriffen um. Kanonische 

Isomorphien werden oft vergessen, etwa 

wenn die konstanten Funktionen mit den reellen 

Zahlen identifiziert werden, oder, ähnlich gelagert, 

wenn zwischen Funktion und Funktionsterm 

nicht konsequent unterschieden wird. In der Informatik 

muss man solche Fragen etwas strenger 

sehen, um die passenden Datentypen auswählen 

zu können. Andererseits werden auch mathematisch 

traditionell unterschiedene Objekte in Informatiksystemen 

oft gleich repräsentiert(z.B Listendarstellung 

sowohl von Vektoren als auch von Teilern 

einer Zahl). Auch bei der Anwendung von Informatiksystemen 

ist zu beachten, dass in der Mathematik 

häufig vorgenommene Identifizierungen 

nicht gelten, so gilt etwa in vielen Geometriesystemen, 

dass eine Parabel als Funktionsgraph etwas 

andere ist als eine Parabel als Kegelschnitt. 

Die Informatik erfordert präzise Beschreibungen 

und sorgfältige Planungen, und der Informatikunterricht 

fordert diese ein. Dies geht teilweise 

parallel zu Zielen des Mathematikunterrichts, 

aber es gibt auch Differenzen. Der Mathematikunterricht 

versucht u.a. auch zu einem experimentellen, 

interaktiven Arbeiten anzuregen. Dies 

sind Arbeitsweisen, die in der informatorischen 

Praxis zwar auch vorkommen, die aber von der 

stark durch Theorie geleiteten Informatikdidaktik 

als defizitär angesehen werden. Zwar gibt es auf 

diesem Feld eine leichte Entspannung, aber das 

Ziel der konsequenten Objektorientierten Modellierung 

vor der (und oft auch ohne) Realisierung 

ist doch bestimmend. Experimentelle Aktivitäten 

mit dem Rechner müssen im Mathematikunterricht 

deshalb bewusst als Gegenmodell zur Praxis 

des Informatikunterrichts angeboten werden. 

Im Zusammenhang damit steht die seit 100 

Jahren im Mathematikunterricht propagierte fundamentale 

Idee des funktionalen Zusammenhangs. 

In der Informatik hat funktionales Denken 

zwar auch wichtige Spuren hinterlassen, der 

Informatikunterricht setzt gegenwärtig aber stärker 

auf objektorientierte denn auf funktionale Modellierung. 

Wenn sich die Lehrer beider Fächer 

über diese unterschiedliche Schwerpunktsetzung 

im klaren sind, muss daraus aber kein Nachteil 

erwachsen, im Gegenteil, Methodenpluralismus 

kann fruchtbar wirken! Allerdings zeigt gerade 

die Objektorientierte Modellierung die Ambivalenz 

der Beziehung der beiden Schulfächer. 

Aus dem Mathematikunterricht ist die Mengenlehre 

wieder weitgehend verschwunden, ihre informatorische 

Übersetzung (Klasse=Menge, Objekt=Element, 

Unterklasse=Teilmenge, abstrakte 

Klasse=Kategorie) aber schickt sich gerade an, 

in die (bayerische) Sekundarstufe I einzudringen. 

Die Freude, hier mathematische Konzepte im Informatikunterricht 

zu sehen, weicht der Ernüch-


terung, dass dieser Ansatz Gefahr laufen könnte, 

ähnlich zu scheitern wie die mathematische Mengenlehre. 

Einige der Ansätze in diese Richtung 

laufen darauf hinaus, dass die Schüler eine Sprache 

lernen (es gibt konsequenter Weise auch Abschnitte 

zum Lernen der „Vokabeln?), für die es 

keinen wirklichen Bedarf gibt. Aber etwas Neues 

zu lernen, nur um bekannte Dinge anders beschreiben 

zu können, motiviert Schüler nicht dauerhaft, 

es muss mit den neuen Werkzeugen auch 

wirklich etwas getan werden. 

8 Abschlussthesen 

Dieser Aufsatz hat versucht zu belegen, dass der 

Mathematikunterricht von vielen Ideen der Informatik 

profitieren kann, sowohl auf inhaltlicher wie 

auf methodischer Ebene. Vieles davon ist ohne 

Programmierkenntnisse der Schüler und Schülerinnen 

möglich. Für einige Anwendungen sind 

diese aber nützlich, um im Sinne eines handlungsorientierten, 

auf Konstruktion gerichteten Unterrichts 

nennenswerte Eigentätigkeit zu ermöglichen. 

Das ist vor allem auch deshalb sinnvoll, 

weil der Informatikunterricht sich weit von seinen 

mathematischen Wurzeln entfernt hat. Dabei 

haben neue, eigenständig informatorische Inhalte 

viele traditionelle mathematische Programme 

verdrängt. Wenn Schüler mathematische Algorithmen, 

wie das Sieb des Erathostenes, das Heron- 

verfahren, den Euklidischen Algorithmus oder die 

Bisektion zur Lösung von Gleichungen kennen 

lernen sollen, ist das exklusiv eine Aufgabe des 

Mathematikunterrichts. 

Literatur 

Filler, Andreas (2008): Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen: 

Generieren von Bewegungsbahnen sowie von 

Geraden und Kurven als Punktmengen. In: Kortenkamp et al. 

(2008), 63–72 

Freudenthal, Hans (1972): Mathematik als pädagogische Aufgabe. 

Klett 





Kortenkamp, Ulrich (2008): Algorithmen im Mathematikunterricht. 

In: Kortenkamp et al. (2008), 77–86 

Kortenkamp, Ulrich, Hans-Georg Weigand & Thomas Weth 

(Hg.) (2008): Informatische Ideen im Mathematikunterricht. 



Meyer, Jörg (2006): Ein einfacher Zugang zu t-Tests. In: 

ISTRON-Band, Franzbecker 

Oldenburg, Reinhard (2006): Numerische Optimierung — ein 

schneller Weg zur Modellbildung. In: ISTRON-Band, Franzbecker 



Tietze, Uwe, Manfred Klika & H. Wolpers (1997): Mathematikunterricht 

in der Sekundarstufe II 

129


130

• Dynamik von DGS — Wozu und wie sollte man sie nutzen? 

Jürgen Roth, Würzburg 

In der Literatur zum Einsatz von dynamischer Geometriesoftware (DGS) im Unterricht wird immer 

wieder darauf verwiesen, dass der wesentliche Vorteil dieser Software die Möglichkeit ist, sehr 

einfach Bewegungen bzw. Veränderungen von Konfigurationen realisieren zu können. Es stellt sich 

allerdings die Frage, bei welchen Inhalten diese Möglichkeit sinnvoll eingestetzt werden kann. Selbst 

nach einer Beantwortung bleibt weiterhin zunächst offen, wie ein Einsatz von DGS im Unterricht 

aussehen sollte, um diese Möglichkeiten auch auszuschöpfen. Ferner darf die Entwicklungsarbeit 

nicht unterschätzt werden, die notwendig ist, um entsprechende DGS-Dateien zu erzeugen. Diese 

Problemstellungen werden hier diskutiert. Dabei wird deutlich, dass Konzeptionen zum DGS- 

Einsatz zwei Dimensionen berücksichtigen müssen. Dies ist zum einen die „Inhaltsdimension“, die 

den Zweck des Einsatzes betrifft und zum anderen die „Unterstützungsdimension“, die den Grad der 

zur Verfügung gestellten Fokussierungshilfen betrifft. Es wird an konkreten Beispielen dargestellt, 

welche Aspekte diese beiden Dimensionen beinhalten und wie sie ineinander greifen. 

1 Alte Idee der beweglichen 

Konfigurationen 

Die alte Idee, sich Konfigurationen beweglich vorzustellen 

und dies als Argumentationsgrundlage 

zu nutzen, wird spätestens seit der Meraner Reform 

immer wieder in der didaktischen Diskussion 

aufgegriffen und für den Geometrieunterricht 

(GU) propagiert (vgl. etwa Bender, 1989). 

Auswirkungen auf den realen Mathematikunterricht 

waren bisher allerdings kaum festzustellen. 

Krüger (2000) spricht diesbezüglich sogar vom 

„Scheitern der Meraner Reform“. Als ein Grund 

dafür wird angeführt, dass es früher schwierig 

war, derartige Bewegungen zu visualisieren oder 

der Aufwand zur Herstellung von entsprechenden 

Medien, z.B. Mathematikfilme oder gegenständliche 

Modelle, ganz erheblich ist bzw. war. Darüber 

hinaus haben Unterrichtsfilme den Nachteil, 

dass Eingriffe in den Ablauf eines einmal erstellten 

Films nur in geringem Umfang durchführbar 

sind. Damit sind aber entdeckendes Lernen und 

das Beschreiten eigener Lernwege nur sehr eingeschränkt 

möglich. Diese Problematik hat sich 

durch die Verfügbarkeit von Computern und die 

Entwicklung von dynamischer Geometriesoftware 

(DGS) grundlegend geändert. Mit ihrer Hilfe 

können Visualisierungen mathematischer Konfigurationen 

relativ einfach erzeugt und dynamisch 

variiert werden. Wichtig ist dabei die Möglichkeit, 

einzelne Variable der Konfiguration gezielt und 

stetig bzw. „quasistetig“ zu verändern. Diese Variation 

kann z.B. mit Hilfe von Schiebereglern realisiert 

werden. Diese Vorgehensweise bietet sich 

dann an, wenn viele verschiedene, vorab bereits 

feststehende Veränderungsmöglichkeiten nebeneinander 

zur Verfügung gestellt werden sollen. 

Darüber hinaus bietet DGS infolge des Zugmodus 

große Freiheiten in den Variationsmöglichkeiten 

und ist einfach und intuitiv zu bedienen. Der 

letztgenannte Aspekt ist insbesondere im Hinblick 

darauf, dass das Arbeiten mit Bewegungen und 

Veränderungen meiner Ansicht nach den Mathematikunterricht 

spätestens ab der 5. Jahrgangsstufe 

begleiten sollte, ein entscheidendes Kriterium 

beim Einsatz von Computern im Unterricht. 

2 Funktionen des DGS-Einsatzes 

(Wozu?) 

Die Tatsache, dass Veränderungen mit Hilfe geeigneter 

Computerprogramme sehr einfach durchgeführt 

und von Schülerinnen und Schülern in gewissen 

Grenzen selbst gesteuert werden können, 

birgt alleine allerdings noch keinen didaktischen 

Vorteil. Die Bewegung bzw. Veränderung muss 

zwar nicht mehr hineingesehen werden, weil sie 

bereits bildhaft vor dem Auge der Schülerin bzw. 

des Schülers abläuft, um aber aus dieser Bewegung 

Informationen oder Ideen für eine Argumentation 

zu erhalten, ist eine intensive Auseinandersetzung 

mit der Problematik notwendig, die nicht 

einfach durch oberflächliches Betrachten von Bewegungen 

erreicht wird. Genau genommen setzt 

ein Gewinn bringender Einsatz von Software, die 

„benutzergesteuerte“ dynamische Veränderungen 

zulässt, bereits die Fähigkeiten des Beweglichen 

Denkens (Roth, 2005a) voraus. Es handelt sich dabei 

um folgende drei Fähigkeiten: 

1. Bewegung hineinsehen und damit argumentieren 

Hier geht es um die Fähigkeit, in ein (statisches) 

Phänomen eine Bewegung bzw. eine 

Veränderung hineinsehen zu können. Darüber 

hinaus gehört zu dieser Komponente des 

Beweglichen Denkens aber auch die Fähigkeit, 

diese vorgestellte Bewegung bzw. Veränderung 

zur Argumentation beim Lösen von 

Problemen, Entdecken von Zusammenhängen 

und ganz allgemein beim Erforschen von (mathematischen) 

Phänomenen benutzen zu können. 

2. Gesamtkonfiguration erfassen und analysieren 

131


Zum Beweglichen Denken gehört die Fähigkeit, 

eine reale bzw. vorgestellte („hineingesehene“ 

) Bewegung/Veränderung in ihren Auswirkungen 

auf die Gesamtkonfiguration erfassen 

und analysieren zu können. Dies erfordert, 

die Fokussierung auf bestimmte Aspekte 

wechseln und so jeweils für gerade betrachtete 

Fragestellungen relevante Veränderungen bzw. 

Invarianten in den Blick nehmen zu können. 

3. Änderungsverhalten erfassen und beschreiben 

Der dritte Aspekt des Beweglichen Denkens 

ist die Fähigkeit, die Frage nach der Art und 

Weise der Veränderung beantworten, also das 

Änderungsverhalten qualitativ erfassen und beschreiben 

zu können. 

Für einen Menschen, der versiert im Beweglichen 

Denken ist, kann der Computer mit entsprechender 

Software drei wesentliche Funktionen erfüllen: 

1. Kontrollinstanz 

Er ist eine externe Kontrollinstanz, mit der im 

Kopf abgelaufene bewegliche Denkvorgänge 

auf ihre Tragfähigkeit hin überprüft und kritisch 

hinterfragt werden können. 

2. „Denkzeug“ 

Der Computer ist ein Werkzeug, das das Bewegliche 

Denken unterstützt, in Anlehnung an 

Dörfler (1991) also ein „Denkzeug“, weil er bei 

komplexen Problemstellungen, die nicht mehr 

im Kopf erfassbar sind, dazu dient, die Komplexität 

in den Griff zu bekommen. Dies geschieht 

dadurch, dass das Gedächtnis entlastet 

wird und einzelne Fähigkeitsaspekte des Beweglichen 

Denkens an den Rechner delegiert 

werden. Folgende Aspekte sind hier zu nennen: 

132 

• Am Computer arbeitende Menschen benötigen 

die Fähigkeit „Bewegung hineinsehen“ 

nicht mehr im gleichen Umfang wie jene ohne 

Werkzeug, da die Bewegung zwar noch 

geplant, aber nicht mehr mental realisiert 

werden muss. 

• Das Gedächtnis wird nicht mehr so stark 

belastet, weil die Gesamtkonfiguration ständig 

zur Verfügung steht und nötige Fokussierungen 

auf jeweils relevante Details nur 

noch antizipiert werden müssen. Geeignete 

Hilfsmittel, die das Computerprogramm bietet, 

können zur Konzentration der Aufmerksamkeit 

auf diesen Aspekt genutzt werden. 

• Diese Entlastung in den genannten kognitiven 

Bereichen erlaubt beim Problemlösen 

mit Hilfe des Beweglichen Denkens die Konzentration 

auf Aspekte der Planung, Interpretation, 

Analyse und Argumentation. Voraussetzung 

dazu ist allerdings die Fähigkeit, mit 

der jeweiligen Software umgehen und ihren 

zielgerichteten Einsatz planen und im Laufe 

des verteilten Denkprozesses ggf. auch reorganisieren 

zu können. 

3. Kommunikationsmittel 

Der Computer ist ein Hilfsmittel, um Ergebnisse 

beweglicher Denkvorgänge und ihr Zustandekommen 

gerade auch solchen Menschen 

zu vermitteln, deren Fähigkeit zum Beweglichen 

Denken weniger stark ausgeprägt ist. Dabei 

spielen die Möglichkeiten des dynamischen 

„Vorführens“ von Veränderungen und der Aufmerksamkeitsfokussierung 

eine wichtige Rolle. 

Diese drei genannten Funktionen des Computers 

gelten für Personen, deren kognitives Standardrepertoire 

das Bewegliche Denken als selbstverständlichen 

Bestandteil umfasst. Sie eröffnen aber 

auch einen Zugang zu sinnvollen Einsatzmöglichkeiten 

des Computers im Mathematikunterricht, 

wenn es um die Entwicklung Beweglichen Denkens 

geht. Dabei sind zwei wesentliche Zielrichtungen, 

dass die Schülerinnen und Schüler auch 

mit Hilfe des Computereinsatzes dazu befähigt 

werden, 

• ohne Computer, also im Kopf, Bewegungen hineinzusehen, 

zu analysieren und Änderungsverhalten 

zu erfassen, sowie 

• bei komplexeren Gegebenheiten einen geeigneten 

Computereinsatz zu planen, vorzustrukturieren 

und während des Denkprozesses ggf. zu reorganisieren. 

3 Fokussierungshilfen 

Auf dem Weg zu diesen Zielen ermöglicht der 

Einsatz des Computers der Lehrkraft die Komplexität 

des beweglichen Denkprozesses dadurch zu 

reduzieren, dass Strukturierungs- bzw. Fokussierungshilfen 

bereits in eine Lernumgebung eingebaut 

werden und den Schülerinnen und Schülern 

so eine Konzentration auf Analyse- und Argumentationsprozesse 

ermöglicht wird. Dabei wird man 

im Zuge der Entwicklung des Beweglichen Denkens 

die Strukturierungshilfen in den Lernumgebungen 

schrittweise verringern. In der Endform 

erzeugen die Schülerinnen und Schüler die zu untersuchenden 

Konfigurationen mit Hilfe von DGS 

komplett selbst, planen selbstständig Fokussierungshilfen 

und setzen sie um bzw. nutzen DGS 

zur Kontrolle der Ergebnisse des im Kopf abgelaufenen 

Beweglichen Denkens. Diese Endform 

kann aber nur das Ziel eines langfristigen, sich 

über mehrere Jahre erstreckenden Prozesses sein. 

Für diesen Zeitraum müssen von Lehrern und Didaktikern 

auf DGS basierende Lernumgebungen 

entwickelt werden, die jeweils angemessene Fokussierungshilfen 

enthalten. Die Gestaltung von 

Fokussierungshilfen erfordert dabei einen erheblichen 

und nicht zu unterschätzenden Aufwand

im Hinblick auf die Konzeption, aber auch auf 

die Umsetzung der gewünschten Fokussierungshilfen. 

Oft sind dazu trickreiche und nicht nahe 

liegende Konstruktionen notwendig, die ein DGS 

so nicht unmittelbar zur Verfügung stellt. Auch 

wäre eine einzelne Lehrkraft überfordert, wollte 

sie zu allen Themen des Lehrplanes geeignete 

auf DGS basierende Lernumgebungen entwickeln. 

Hier ist eine Internet-Plattform notwendig, 

auf der bereits fertige Lernumgebungen zu 

verschiedenen Themen vorliegen. Dort findet man 

— im Idealfall — bereits eine Umsetzung zu einem 

gewünschten Thema, die man als Lehrkraft 

an die eigenen Bedürfnisse anpassen kann, oder 

man erhält zumindest Anregungen dazu, wie eigene 

Ideen mit Hilfe von DGS umgesetzt werden 

können. Einen Ansatz dazu stellt meine Homepage 

http://www.juergen-roth.de dar. 

Hier stelle ich unter der Rubrik „EUKLID DynaGeo“ 

eine ganze Reihe von Lernumgebungen 

zur Verfügung, die von mir konzipiert und umgesetzt 

wurden und die auf DynaGeoX-Applets basieren. 

Sie können online genutzt, aber auch heruntergeladen 

und gemäß den eigenen Vorstellungen 

und Bedürfnissen geändert werden. Außerdem 

zeigen sie exemplarisch, welche Arten von 

Fokussierungshilfen möglich sind. 

Grundsätzlich kann man drei Stufen der Fokussierungshilfen 

unterscheiden: 

1. Eine Konfiguration ist vollständig vorgegeben. 

• Für die wesentlichen zu beobachtenden 

Aspekte sind bereits Fokussierungshilfen 

(z.B. durch Farbgebung, Linienstärken, die 

Mitführung von Messwerten u.ä.) enthalten. 

• Evtl. sind Variationsmöglichkeiten an der 

Konfiguration bewusst eingeschränkt. 

• Evtl. können einzelne Elemente ein- und 

ausgeblendet werden. 

Beispiele hierfür sind in Abb. 17.1 und 

Abb.17.2 wiedergegeben. Die zugehörigen 

DynaGeoX-Applets findet man unter 

http://www.juergen-roth.de → 

EUKLID DynaGeo und dort unter → N → 

Nebenwinkel bzw. → S → Schachtel. 

Abbildung 17.1: Scheitel- und Nebenwinkel (Eigenschaften) 

Dynamik von DGS — Wozu und wie sollte man sie nutzen? 

Abbildung 17.2: Oben offene Schachtel 

2. Eine veränderbare (Teil-)Konfiguration ist vorgegeben. 

• Sie kann (bzw. muss) ergänzt oder verändert 

werden. 

• Es sind nur einzelne Fokussierungshilfen 

vorhanden. 

Ein Beispiel hierfür ist in Abb.17.3 wiedergegeben. 

Das zugehörige DynaGeoX- 

Applet findet man unter http:// 

www.juergen-roth.de → EUKLID 

DynaGeo→ D → Dreiecksgrundformen → 

gleichschenkliges Dreieck. 

Abbildung 17.3: Begriffsumfang: „Gleichseitiges 

Dreieck“ 

3. Es wird mit einer leeren, unstrukturierten 

DGS-Datei gearbeitet, eine dynamische Geometriesoftware 

wird völlig selbstständig und 

ohne Vorgaben als Werkzeug benutzt. 

Insgesamt muss darauf hingearbeitet werden, 

dass die Schülerinnen und Schüler sich beim Arbeiten 

mit dem Computer intensiv mit den beobachtbaren 

Veränderungen und Invarianten auseinander 

setzen und auch beginnen ihr Vorgehen 

(Welche Veränderungen sollten als nächstes 

mit welchem Ziel untersucht werden?) zu planen. 

Geschieht dies nämlich nicht, besteht die Gefahr, 

dass der Computereinsatz die Entwicklung 

des Beweglichen Denkens nicht nur nicht unterstützt, 

sondern ggf. sogar kontraproduktiv wirkt, 

133


weil evtl. nur „wild mit der Maus gezogen wird“, 

man nette Effekte auf dem Bildschirm betrachtet 

(Computerspiel!) und kein Denkvorgang einsetzt. 

Erleben die Schülerinnen und Schüler aber nicht, 

dass man mit Bewegungen argumentieren kann 

und sie das Verständnis unterstützen, so wird der 

Computereinsatz an dieser Stelle immer nur als 

„Spielerei“ eingeordnet und der erwünschte Aufbau 

der Fähigkeiten des Beweglichen Denkens 

findet nicht statt. 

Neben den oben angesprochenen Hilfen zur 

Aufmerksamkeitsfokussierung wird versucht, die 

Auseinandersetzung mit den beobachteten Veränderungen 

dadurch zu intensivieren, dass Vorhersagen, 

Begründungen und Ergebnisfixierungen 

in Wort und Schrift eingefordert werden. Darüber 

hinaus ist es notwendig, die Schülerinnen 

und Schüler durch regelmäßiges Aufgreifen und 

explizites Ansprechen an heuristische Strategien 

bzw. Arbeitsstrategien zu gewöhnen, die charakteristisch 

für das Arbeiten im Sinne des Beweglichen 

Denkens sind. Solche Strategien sind z.B.: 

1. In ein statisch formuliertes Phänomen eine Bewegung 

hineinsehen. 

2. Bedingungen jeweils einzeln und kontrolliert 

variieren. 

3. Veränderungen bewusst bis hin zu Extremlagen 

ausführen. 

4 Sinnvoller Einsatz der 

dynamischen Möglichkeiten 

von DGS (Wie?) 

Im Folgenden werden verschiedene Einsatzweisen 

für eine DGS im Rahmen eines Unterrichts beschrieben, 

der das Bewegliche Denken der Schülerinnen 

und Schüler fördern will. 

4.1 Kommunikation einer Idee 

Eine DGS wird genutzt, um die Idee einer Argumentation 

zu kommunizieren, die Elemente des 

Beweglichen Denkens nutzt. Ich möchte dies an- 

134 

Abbildung 17.4: Eigenschaften von Achsenpunkten 

hand des Beweises zu folgendem Satz knapp erläutern: 

Satz: Jeder Punkt P, der nicht auf der 

Achse a liegt, ist unterschiedlich weit 

von einem Punkt A und dessen Bildpunkt 

A ′ bei Achsenspiegelung an der 

Achse a entfernt. 

Eine mit einer DGS erzeugte Konfiguration 

wird im Unterricht als dynamische Grundlage für 

ein Unterrichtsgespräch genutzt (vgl. Abb. 17.4). 

Das zugehörige DynaGeoX-Applet findet man 

unter http://www.juergen-roth.de → 

EUKLID DynaGeo → K → Kongruenzabbildungen 

→ Eigenschaften von Achsenpunkten 

Dabei werden bewusst Fokussierungshilfen 

verwendet. (Hier dienen die unterschiedliche Färbung 

der Strecken [AP] und [A ′ P] sowie das Einzeichnen 

des Schnittpunktes S von [AP] bzw. [A ′ P] 

und der Achse a als Fokussierungshilfen.) Im Unterrichtsgespräch 

wird herausgearbeitet, welchen 

Vorteil die Vorstellung der Bewegung für die Argumentation 

bietet. Bereits die einfache Strategie, 

zunächst Grenzlagen zu erzeugen und wieder zu 

verlassen, führt auf die entscheidende Idee. Bewegt 

man nämlich P von a weg, so stellt man fest, 

dass abhängig von der Bewegungsrichtung eine 

der beiden Strecken [AP] oder [A ′ P] die Achse a 

im Punkt S schneidet. Als Achsenpunkt ist er von 

A und A ′ gleich weit entfernt. Die Strecke [A ′ P] 

in Abb. 17.4 (links) lässt sich also aus den Seiten 

[AS] und [SP] des Dreiecks ΔASP zusammensetzen. 

Die Summe dieser beiden Streckenlängen ist 

größer als [AP] (Dreiecksungleichung). Damit ist 

aber der Satz bereits bewiesen, weil das dynamische 

Argument sofort ergibt, dass jede Bewegung 

von P von der Achse a weg einen Schnittpunkt S 

erzeugt. 

Weitere interessante Beispiele findet man z.B. 

bei Danckwerts & Vogel (2003). Abb. 17.4 kann 

noch in einer anderen Weise als oben gedeutet 

werden:

4.2 Vermittlung einer Beweisidde 

Mit einer DGS erzeugte dynamische Konfigurationen 

können bei Beweisen dazu eingesetzt werden, 

die gesamte Beweisidee zu vermitteln, sie also 

„auf einen Blick“ erfass- und verstehbar zu machen. 

Abbildung 17.5: Satz des Pythagoras — da Vinci- 

Beweis 

Wenn man sich vor Augen hält, wie schwierig 

es oft für Lernende (nicht nur in der Schule!) ist, 

eine Beweisidee (d.h. den „roten Faden“ des Beweisganges) 

zu erfassen, wird deutlich, welches 

Potenzial das Bewegliche Denken und (mit einer 

DGS erzeugte) dynamische Konfigurationen hier 

eröffnen. Ein anderes Beispiel für eine über Bewegungen 

eingefangene und dem Verständnis zugänglich 

gemachte Beweisidee ist in Abb. 17.5 für 

einen auf da Vinci zurückgehenden Beweis des 

Satzes des Pythagoras angedeutet. Das zugehörige 

DynaGeoX-Applet findet man unter http:// 

www.juergen-roth.de → EUKLID Dyna- 

Geo → P → Pythagoras → Beweis des Leonardo 

da Vinci. 

Elschenbroich (2001) geht auf weitere Aspekte 

beim Einsatz von DGS im Zusammenhang mit 

dem Beweisen ein. Wichtig ist dabei insbesondere 

auch der unten unter „experimentelles Arbeiten“ 

aufgeführte Aspekt „Finden von Ideen im Problemlöseprozess“. 

4.3 Dynamische Verständnisgrundlage 

Mit einer DGS konstruierte Konfigurationen können 

dynamische, weil variierbare und damit in 

ihrem Umfang und in ihren Grenzen besser erfassbare 

Verständnisgrundlagen für Begriffe und 

ihre Eigenschaften sein. Abb. 17.6 zeigt dies exemplarisch 

für die Winkeltypen und die zugehörigen 

Winkelsätze an Parallelenkreuzungen. 


Abbildung 17.6: Verständnisgrundlage für Winkel 

an Parallelenkreuzungen 

Das zugehörige DynaGeoX-Applet findet man 


EUKLID DynaGeo → P → Parallelenkreuzung 

→ Merkfigur. 

Zu beachten ist dabei, dass diese dynamischen 

Verständnisgrundlagen den Schülerinnen 

und Schülern erst nach einer Erarbeitungsphase 

(im Sinne von Postorganizern nach Ausubel) 

zur Verfügung gestellt werden. Ein weiteres Beispiel 

hierzu zeigt Abb. 17.7. Das DynaGeoX- 

Applet zu Begriffen am Dreieck findet man 


EUKLID DynaGeo→ D → Dreieck. 

Abbildung 17.7: Verständnisgrundlage für Begriffe 

am Dreieck 

Es geht dabei insbesonder um den Aufbau und 

die Entwicklung von Grundvorstellungen zu mathematischen 

Begriffen (hier Begriffen am Dreieck) 

im Sinne von vom Hofe (1995). 

4.4 Experimentelles Arbeiten 

Mit DGS kann man im Hinblick auf Bewegliches 

Denken experimentell arbeiten. Auf diese Weise 

können Zusammenhänge entdeckt werden. Dies 

erfolgt mit Hilfe von DGS-Dateien, die die zu erarbeitenden 

Beziehungen nicht bereits durch Fokussierungshilfen 

wie z.B. die Farbgebung, mitgeführte 

Messwerte u.ä. nahe legen. In Abb. 17.8 

wird beispielsweise eine Konfiguration gezeigt, 

135


mit deren Hilfe Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit 

die Eigenschaften der Achsenspiegelung 

erarbeiten. Wichtig ist dabei, von Anfang an 

sehr viel Wert auf Begründungen von entdeckten 

Zusammenhängen zu legen. Dies erhöht die 

Chance auf eine intensive Auseinandersetzung. 

Das DynaGeoX-Applet zu diesem Beispiel findet 

man unter http://www.juergen-roth.de 

→ EUKLID DynaGeo → K → Kongruenzabbildungen 

→ Eigenschaften der Achsenspiegelung. 

Abbildung 17.8: Erarbeitung der Eigenschaften 

der Achsenspiegelung 

Ein weiteres Beispiel zeigt Abb. 17.9. Dort 

wird in direkter Gegenüberstellung ein Dreieck 

jeweils verschiedenen Kongruenzabbildungen 

und einer schiefen Achsenspiegelung unterworfen. 

Durch dynamische Exploration wird den 

Schülerinnen und Schülern die Entdeckung ermöglicht, 

dass Längen-, Winkel- und Geradentreue 

als Abbildungseigenschaften etwas besonderes 

sind, und dass der rechte Winkel zwischen der 

Verbindungsstrecke von Punkt und Bildpunkt und 

der Symmetrieachse bei der Achsenspiegelung für 

diese Eigenschaften wesentlich ist. 

Abbildung 17.9: „Längen-, Winkel- und Geradentreue“ 

Auch das Finden von Ideen im Problemlöseprozess 

geschieht im Rahmen eines experimentellen, 

zielgerichteten Arbeitens. Zur Illustration soll 

folgendes Problem dienen (vgl. Abb. 17.10): 

136 

Abbildung 17.10: „Halbierter Rechter“ — Ideen 

finden beim Problemlösen 

Die Winkelhalbierende des rechten Winkels 

in einem rechtwinkligen Dreieck teilt das Quadrat 

über der Hypotenuse in zwei Teilflächen gleichen 

Flächeninhalts. Hier hilft es weiter, wenn 

man sich die oben bereits erwähnten Strategien 

in Erinnerung ruft: Den Einfluss der Bedingungen 

auf ein Problem, kann man am einfachsten 

abschätzen, wenn man sie jeweils einzeln variiert 

und dabei die anderen Bedingungen konstant 

hält. Eine der möglichen Variationen, nämlich die 

Bewegung des Scheitelpunkt des rechten Winkels 

auf dem Thaleskreis führt zu einer entscheidenden 

Idee. Bei dieser Bewegung ändert sich auch die 

Lage der Winkelhalbierenden des rechten Winkels. 

Man kann vermuten, dass es sich um eine 

Drehung handelt. Es stellt sich die Frage, um welchen 

Punkt diese Drehung erfolgt. Oft hilft es — 

zur Klärung von Fragen wie dieser — die Veränderungen 

bis hin zu Extremlagen auszuführen. 

Wendet man diese Strategie auf die hier betrachtete 

Bewegung an, so bedeutet das, den Punkt auf 

dem Thaleskreis so weit zu ziehen, dass er (fast) 

mit den Endpunkten der Hypotenuse zur Deckung 

kommt. In diesen Lagen scheint die Winkelhalbierende 

jeweils (näherungsweise) mit einer der Diagonalen 

des Hypotenusenquadrates zusammenzufallen. 

Die Diagonalen schneiden sich aber im 

Mittelpunkt des Quadrates. Dies legt die Vermutung 

nahe, dass der Drehpunkt der Winkelhalbierenden 

der Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates 

ist. Das ist besonders deshalb interessant, 

weil sich in diesem Punkt auch die Mittelsenk-

echte der Hypotenuse und der Thaleskreis schneiden. 

Diese Vermutung ist der Kern der Problemlösung. 

Alles weitere lässt sich nun mit einer einfachen 

Kongruenzüberlegung (Die Gerade durch 

den Scheitel des rechten Winkels und den Mittelpunkt 

des Quadrats halbiert die Quadratfläche.) 

bzw. mit Winkelbetrachtungen an gleichschenkligen 

Hilfsdreiecken (Die Gerade durch den Scheitel 

des rechten Winkels und den Mittelpunkt des 

Quadrats ist die Winkelhalbierende des rechten 

Winkels.) zeigen. Das DynaGeoX-Applet zu diesem 

Beispiel findet man unter http://www. 

juergen-roth.de → EUKLID DynaGeo → 

K → Knobelaufgabe. 

Weitere Beispiele zum experimentellen und 

heuristischen Arbeiten mit DGS findet man etwa 

in Weth (2002). 

4.5 Reflexion von 

Problemlöseprozessen 

Ein wesentlicher Aspekt des Einsatzes dynamischer 

Visualisierungen liegt in der Reflexion von 

Problemlöseprozessen, in denen ohne (Computer- 

)Werkzeug gearbeitet wird und bei denen Heuristiken 

und Fähigkeiten des Beweglichen Denkens 

eingesetzt werden. Dabei werden die Schülerinnen 

und Schüler mit Problemen konfrontiert und 

erhalten als Werkzeuge (zunächst) nur Papier und 

Bleistift. Beim anschließenden Computereinsatz 

stehen drei Gesichtspunkte im Mittelpunkt, nämlich 

• die Kontrolle der Richtigkeit der dynamischen 

Argumentation, 

• die Kommunikation von Gedankengängen und 

Ergebnissen und 

• die Reflexion über eingesetzte heuristische Strategien 

und deren Verallgemeinerbarkeit. 

Abbildung 17.11: „Dreieckssehne“ — Reflexion 

von Problemlöseprozessen 

Zur Illustration soll das Problem der Längenänderung 

einer „Sehne“ im gleichseitigen Dreieck 

dienen. Dabei wird ein Endpunkt der Sehne 

festgehalten und der andere wird gleichmäßig 


(mit konstanter Bahngeschwindigkeit) entlang der 

Dreiecksperipherie bewegt. Wie ändert sich dabei 

die Länge der Sehne (vgl. Abb. 17.11)? Eine 

ausführliche Darstellung des Problems und seiner 

Lösung findet man in Roth (2005b). Dynamische 

Arbeitsblätter zur zugehörigen Unterrichtssequenz 

stehen im Netz unter http://www. 

juergen-roth.de → EUKLID DynaGeo → 

S → Kurvenerzeugende Sehnen. 

5 Dimensionen des Einsatzes 

von DGS 

Liest man die vorstehende Liste von Einsatzmöglichkeiten 

für eine DGS im Rahmen eines auf Bewegliches 

Denken ausgerichteten Mathematikunterrichts, 

so wird deutlich, dass (fast) bei jedem 

Punkt graduelle „Feineinstellungen“ insbesondere 

im Hinblick auf Fokussierungshilfen möglich 

und nötig sind. Dies liegt darin begründet, dass 

der Einsatz von DGS (nicht nur) im Zusammenhang 

mit Beweglichem Denken zwei unabhängige 

Dimensionen besitzt, nämlich die „Inhaltsdimension“, 

die das Ziel des DGS-Einsatzes betrifft 

und die „Unterstützungsdimension“, die den 

Grad der Fokussierungshilfen umfasst. In Tabelle 

1 wird für jeden Verwendungszweck durch ein 

„Kreuz“ X gekennzeichnet, welcher Grad der Fokussierungshilfen 

jeweils angemessen sein kann. 

Die in Klammern gesetzten „Kreuze“ (X) in der 

Spalte „Leere, unstrukturierte DGS-Datei“ bedeuten, 

dass hier geeignete Dateien zwar von fortgeschrittenen 

Schülerinnen und Schülern selbst erstellt 

werden können, der Einsatz im Hinblick auf 

das Inhaltsziel aber einen anderen Grad der Fokussierungshilfe 

erforderlich macht. 

Literatur 

Bender, Peter (1989): Anschauliches Beweisen im Geometrieunterricht 

— unter besonderer Berücksichtigung von (stetigen) 

Bewegungen bzw. Verformungen. In: Kautschitsch & Metzler 

(Hg.): Anschauliches Beweisen. 7. und 8. Workshop zur „Visualisierung 

in der Mathematik“ in Klagenfurt im Juli 1987 

und 1988, Stuttgart: Teubner, 95–145 

Danckwerts, Rainer & Dankwart Vogel (2003): Dynamisches 

Visualisieren und Mathematikunterricht — Ein Ausloten der 

Chancen an zwei Beispielen. mathematik lehren, 117, 19–22, 

39 

Dörfler, Willibald (1991): Der Computer als kognitives Werkzeug 

und kognitives Medium. In: Dörfler, Willibald (Hg.): 

Computer — Mensch — Mathematik: Beiträge zum 6. Internationalen 

Symposium zur Didaktik der Mathematik, Stuttgart: 

Teubner, 51–75 

Elschenbroich, Hans-Jürgen (2001): DGS als Werkzeug zum 

präformalen visuellen Beweisen. In: Elschenbroich, Hans- 

Jürgen, Thomas Gawlick & Hans-Wolfgang Henn (Hg.): 

Zeichnung — Figur — Zugfigur, Hildesheim: Franzbecker, 

41–53 

vom Hofe, Rudolf (1995): Grundvorstellungen mathematischer 

Inhalte. Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum Akademischer 

Verlag 

Krüger, Katja (2000): Erziehung zum Funktionalen Denken 

— Zur Begriffsgeschichte eines Didaktischen Prinzips. Berlin: 

Logos Verlag 

137


Ziel des DGS-Einsatzes 

Fertig vorgegebene 

Konfiguration (evtl. 

Möglichkeit zum 

Ein- und 

Ausblenden von 

Elementen) 

Grad der Fokussierungshilfen 

Veränderbare 

Konfiguration mit 

einzelnen Fokussierungshilfen 

Leere, 

unstrukturierte 

DGS-Datei 

Bewegliche Argumentation kommunizieren 

X (X) 

Beweisideen vermitteln X (X) 

Verständnisgrundlagen für Begriffe 

und ihre Eigenschaften bilden 

Experimentelles Arbeiten / Entdecken 

von Zusammenhängen 

Experimentelles Arbeiten / Finden 

von Ideen im Problemlöseprozess 

Reflexion von Problemlöseprozessen 

Roth, Jürgen (2005a): Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. 

Hildesheim: Franzbecker 

Roth, Jürgen (2005b): Kurvenerzeugende Sehnen — Kurvendiskussion 

einmal anders. mathematik lehren, (130), 8–10 

138 

X X (X) 

X X X 

X X 

X X 

Tabelle 17.1: Einsatzmöglichkeiten von DGS 

Weth, Thomas (2002): Der Computer als heuristisches Werkzeug 

im Geometrieunterricht. In: Peschek, Werner (Hg.): Beiträge 

zum Mathematikunterricht, Franzbecker, 511–514

• Lineare Gleichungssysteme im Unterricht mit 

CAS-Rechnern 

Reinhold Thode, Kiel 

• Im Unterricht — auch und gerade im Leistungsfach Mathematik — werden zunehmend Inhalte 

der Linearen Algebra zu Gunsten der Analytischen Geometrie verdrängt, nach meinem Empfinden 

eine eher unglückliche Entwicklung. 

• Schüler beurteilen immer wieder eine numerische Lösung von Gleichungen oder Gleichungssystemen 

als minderwertig, nachgerade „unanständig“. Sie erwarten — und nur das halten sie für 

„mathematisch angemessen“ — eine geschlossene Lösung. Unser Unterricht hauptsächlich in der 

Mittelstufe scheint die Schüler zu verbilden. 

• Numerische Verfahren bieten sich natürlich zur Programmierung an. In der Programmierung 

selbst liegt dann allerdings kaum noch Erkenntniszugewinn für den mathematischen Inhalt. CAS- 

Systeme erlauben eine „halbautomatische“ Lösung, die oft das Lösungsverfahren der Wahl darstellen 

können. 

Der Artikel beschäftigt sich mit den drei genannten Aspekten und berichtet über einen Unterrichtsversuch 

im Leistungskurs Mathematik unter Einbeziehung des ClassPad 300 von Casio. Zentrum 

der Darstellung ist das numerische Lösen von Linearen Gleichungssystemen. 

Ergebnisse und auch „Arbeitsaufträge“ aus dem zugehörigen Arbeitskreis während der Tagung werden 

— so weit vorhanden — in diese Ausführungen eingearbeitet. 

Vita brevis arithmetica longa 

Mein alter Lateinlehrer schrieb mir diesen 

Spruch als Widmung in ein Buch über diskrete 

Mathematik, das er mir schenkte. 

Diese Weisheit ist sicher bedeutsam, aber es 

gibt doch immer wieder Zeiten, in denen auch für 

Mathematiker das Leben die wirkliche Relevanz 

darstellt, siehe Abb. 18.1. 

Abbildung 18.1: Meine Enkelin Larissa bei ihren 

ersten Kommunikationsversuchen mit ihrem 

Großvater. 

1 Vorbemerkung 

Ich werde nicht müde, immer wieder die folgenden 

beiden Thesen zu vertreten und mich damit 

bewusst zu wiederholen: 

These1: Der Einsatz mächtiger Software hätte 

mindestens Teile des Unterrichtes revolutionieren 

müssen. 

Damit ist i. W. gemeint: 

• Computeralgebra-System 

• Dynamisches Geometriesystem 

• Tabellenkalkulation 

• Interaktive Internetseiten 

• Internetrecherche 

• Eigene Programmierung 

• Lernprogramme 

Die Reihenfolge der aufgeführten Tools 

möchte ich als Ranking interpretiert wissen. 

Andererseits denke ich: 

These 2: Dies ist jedenfalls flächendeckend — 

wenn überhaupt — nur in geringem Umfang eingetreten. 

Wesentliche Gründe dafür liegen: 

• im Bereich der KollegInnen 

• im Bereich Ministerium, Fachaufsicht, z.T. 

Fortbildungsinstitute 

• in der nicht gegebenen permanenten Verfügbarkeit 

der Software 

Der dritte Unterpunkt ist die entscheidende 

Motivation, mich mit CAS-Rechnern, hier dem 

ClassPad 300 von Casio, zu beschäftigen. 

Erst kürzlich beklagte die Fachaufsicht in 

Schleswig-Holstein, dass trotz aller Bemühungen 

der Einsatz von CAS und DGS offenbar nicht 

Standard im Mathematikunterricht sei. Es soll erneut 

ein diesmal größer angelegter Modellversuch 

angestoßen werden, bei dem die neuen Medien 

139


und insbesondere auch CAS- und DGS-Rechner 

eine gewichtige Rolle spielen sollen (vgl. meinen 

Betrag in dieser Reihe aus dem Jahre 2002, ich berichtete 

dort über einen Unterrichtsversuch in den 

Jahren 1993-95). 

2 Eine Unterrichtseinheit zu 

linearen Gleichungssystemen 

Im folgenden wird über eine Unterrichtseinheit 

berichtet, die die drei Fragen 

• Können wir auf die Lineare Algebra zunehmend 

verzichten? 

• Brauchen wir immer geschlossene Auflösungsformeln? 

• Müssen wir immer numerische Verfahren programmieren? 

aus der Ankündigung aufgreift. Dabei werden 

immer wieder Aspekte des Tagungsthemas „Informatorische 

Ideen im Mathematikunterricht“ eine 

wesentliche Rolle spielen. 

2.1 Unterrichtliche Voraussetzungen 

Es handelte sich um einen Leistungskurs Mathematik 

des 12. Jahrgangs. Der Kurs wurde auf der 

Basis des aktuellen Lehrplans, der in Schleswig- 

Holstein spiralig aufgebaut ist, unter wesentlicher 

Verwendung neuer Medien durchgeführt. 

D.h. den Schülern stand im Unterricht und 

zu Hause je ein Casio ClassPad 300 zur Verfügung. 

Wahlweise fand der Unterricht auch im Medienraum 

statt, so dass darüber hinaus Internetzugang 

sowie Derive und Excel zum Einsatz kommen 

konnte. (CAS und Tabellenkalkulation gehören 

natürlich auch zum Softwareumfang des ClassPad). 

Die Schule besitzt Campuslizenzen für alle 

angegebenen Softwaretools, so dass auch bei 

der häuslichen Arbeit die Schüler über den Einsatz 

des geeigneten Mediums selbst entscheiden 

konnten. 

Inhaltliche Voraussetzung für das vorgegebene 

Thema war u.a.: 

Lösen von Linearen Gleichungssystemen 

aufbauend auf den Kenntnissen der Mittelstufe 

etwa im Zusammenhang mit der 

analytischen Geometrie 

Elementarer Umgang mit Matrizen etwas im 

Zusammenhang mit dem Gauss-Verfahren 

Numerische Lösung von Gleichungen 

Newton-Verfahren, Iteration etc. 

Zu den Unterpunkten jeweils einige kurze Bemerkungen 

— insbesondere auch in Hinblick auf 

den Einsatz des ClassPad 300: 

• Eine herkömmliche Eingabe eines LGS, wie 

man es von der Mittelstufe her kennt, wäre auf 

dem ClassPad wie in Abb. 18.2 zu erledigen. 

140 

Abbildung 18.2: Eingabe eines LGS auf dem 

ClassPAD 

• Das Gauss-Verfahren steckt hinter dem 

ClassPad-Befehl ref(A), das Jordan- 

Verfahren (vollständige Überführung der Koeffizientenmatrix 

in die Einheitsmatrix) hinter 

dem Befehl rref(A). 

• Wenn den Schülern die Darstellung eines LGS 

in der Form A�x =�c und die entsprechende Umformung 

(bei regulären Matrizen)�x = A −1 �c bekannt 

ist, lässt sich dies direkt auf den ClassPad 

übertragen. Die Abb. 18.3 zeigt Beispiele. 

• Numerische Verfahren sollten an Beispielen 

eingeführt werden, bei denen man (ehrlich!) 

keine Chance hat, der Lösung anders beizukommen. 

Im Unterricht lautete das einführenden 

Beispiel: Welches ist die Lösung der Gleichung 

x + lnx = 0? (Diese existiert offensichtlich 

— wie der Graph in Abb. 18.2 zeigt —, die 

Gleichung ist aber geschlossen nicht lösbar.) 

Abbildung 18.4: Der Graph von x+lnx

Weitere Einzelheiten des vorangegangenen 

Unterrichtsgeschehen sollen hier — da nicht unbedingt 

zum Thema gehörig — nicht detailliert 

dargestellt werden. Insbesondere die Diskussion 

Gauss- vs. Jordan-Verfahren oder die Frage, welches 

numerische Verfahren wann angebracht ist, 

soll hier nicht vertieft werden. 

Ich komme aber z. T. im folgenden darauf zurück! 

2.2 Eine Kontextaufgabe 

Es ist heute üblich geworden, Aufgaben aus einem 

zunächst nichtmathematischen Kontext heraus 

zu stellen. Dieses (oft vernünftige) Vorgehen 

nimmt nach meiner Auffassung manchmal schon 

fast zwanghafte Züge an. Ich bin nicht der Meinung, 

dass innermathematische Fragestellungen 

nachrangig oder gar nicht behandelt werden sollten. 

Viele interessante und weiterführende Problemlösungen 

haben kein Pendant außerhalb der 

Mathematik. Diese ist eben nicht nur Anwendung 

bzw. Hilfswissenschaft! Das dürfen Schülern gern 

erfahren und erleben! 

Hierin liegt nach m.E. auch eine wesentliche 

Begründung (vgl. die einführende Fragestellung) 

für das Hintanstellen von Inhalten der Linearen 

Algebra gegenüber solchen der Analytischen 

Geometrie. Interessanterweise habe ich die 

Erfahrung gemacht, dass etliche Kollegen keinen 

Unterschied zwischen den Gebieten sehen. Das 

finde ich erstaunlich, es sei denn, diese Kollegen 

empfinden die Analytische Geometrie als Teil- 

(Anwendungs-)gebiet der Linearen Algebra. Dadurch 

würde allerdings der geometrische Aspekt, 

der mir ohnehin in der Schule zu kurz kommt, 

wiederum weiter zurückgedrängt. 

Wie auch immer, ein Beispiel für eine kontextbezogene 

Aufgabe, wie sie im Unterricht (eigent- 

Lineare Gleichungssysteme im Unterricht mit CAS-Rechnern 

Abbildung 18.3: Lösung von LGS mit dem ClassPad 

lich zu Wiederholungszwecken) auftauchte, soll 

auch hier aufgeführt werden. 

Die vorgegebene Rechnung (Abb. 18.5) war 

einer echten Rechnung der Kieler Stadtwerke 

nachempfunden. Die Schüler hinterfragten dies, 

verwiesen auf die physikalischen Ungereimtheiten, 

insbesondere was die Einheiten anlangt, und 

machten sich auf die Suche nach den Tarifbedingungen. 

Auf den Internetseiten der Stadtwerke 

wurden sie fündig und konnten dann mit den dort 

enthaltenen Informationen die offenen Fragen beantworten 

(Abb. 18.6). 

2.3 Gedanken zum unterschiedlichen 

Einsatz des Gauss-Verfahrens im 

Unterricht 

Wenn der Gauss-Algorithmus den Schülern nahe 

gebracht wird, muss ihnen zumindest intuitiv klar 

sein, dass elementare Matrixumformungen nichts 

an der Lösungsmenge ändern. Bei Zeilen- und 

Spaltenvertauschungen ist das ja auch evident, bei 

Ersatz einer Zeile oder Spalte durch eine Linearkombination 

anderer müsste man eigentlich erst 

etwas genauer hinschauen. 

Wie auch immer, der Algorithmus selbst ist 

von der Begrifflichkeit her für Schüler kein Problem. 

Sollen sie aber ein gegebenes System nach 

der Methode händisch lösen, scheitern sie (natürlich) 

reihenweise an Rechenfehlern. 

Hier kann ein CAS-Rechner Abhilfe schaffen. 

Der ClassPad stellt dazu u.a. Befehle zum Zeilentausch 

(swap), zur Zeilenaddition (RowAdd), 

zur S-Multiplikation einer Zeile (mRow) und 

zur S-Multiplikation mit anschließender Addition 

(mRowAdd) zur Verfügung. 

Das Beispiel in Abb. 18.7 zeigt die Verwendung. 

Später bei einer reinen Anwendung wird 

man selbstverständlich auf die Befehle ref und 

141


Rechnung 

Jahresabrechnung 

Mehrfamilienhaus 

Waldstr. 42 

24768 Rendsburg 

Verbrauchsunabhängiger Grundpreis pro Einheit 221,34 �. 

Verbrauchsabhängige Leistungen 

Familie 

Meier 

Niebuhr 

Umwali 

Gas / KWh 

25.000 

30.000 

24.000 

Strom / KWh 

2.000 

2.800 

3.000 

Zahlbar bis Ende des laufenden Quartals. 

Wasser / m 3 

80 

70 

70 

Endpreis / � 

2.343,54 

2.699,76 

2.406,04 

Knooper Weg 

24114 Kiel 

Was kann man 

sich fragen? 

Fingierte 

Rechnung?? 

Gas, Strom in KWh?? 

Was ist mit dem 

Grundbetrag? 

Was kosten die 

Einheiten jeweils? 

Ist das günstig? 

Sind die im richtigen 

Tarif? 

Die allgemeinen Preise der Grundversorgung entsprechen den Allgemeinen Tarifen für die Versorgung mit Gas (Kieler 

Gastarife) der Stadtwerke Kiel AG. Die Allgemeinen Preise für die Versorgung mit Gas gelten bis auf weiteres auch für die 

Ersatzversorgung. 

142 

Abbildung 18.5: Eine „Rechnung“


Abbildung 18.6: Tarifinformation der Kieler Stadtwerke 

143


rref (vgl. oben) zurückgreifen. 

Abbildung 18.7: Elementare Matrixoperationen 

Aus geometrischen Überlegungen, etwa Interpretation 

eines 2 × 2-LGS als Schnitt zweier Geraden 

oder eines 3 × 3-Systems als Schnitt dreier 

Ebenen, ist den Schülern klar, dass die Fälle 

1. genau eine Lösung, 2. keine Lösung oder 3. 

unendlich viele Lösungen auftreten können. Am 

Beispiel mit den Ebenen ist auch sofort klar, dass 

PROGRAM Gauss_Elimination; 

USES Crt; 

CONST Max = 10; 

TYPE Matrix = ARRAY [1..Max,1..Max+1] OF REAL; 

Vektor = ARRAY [1..max] OF REAL; 

VAR A : Matrix; 

x : Vektor; 

v : ARRAY [1..max] OF INTEGER; 

n, i : INTEGER; 

das Lösungsgebilde in diesem Fall die Dimension 

Null (Punkt), Eins (Gerade) oder Zwei (Ebene) 

annehmen, also die Aussage „unendlich viele Lösungen“ 

weiter präzisiert werden kann. 

Auf die Theorie der Lösungsmannigfaltigkeiten 

gehe ich weiter unten noch kurz ein. Zu diesem 

Zeitpunkt ist im Unterricht klar (ohne Thematisierung 

der Begriffe Dimension oder Rang 

u.ä.), dass das Verfahren scheitert, wenn in die 

betreffende Diagonalstelle (auch nach Tausch von 

Spalten) kein Element ungleich Null mehr hingeschafft 

werden kann. In diesem Fall ist das LGS 

offensichtlich nicht eindeutig lösbar. 

Hiermit könnte man es sein Bewenden sein 

lassen. In der „Vor-CAS-Zeit“ allerdings wurde 

in vielen Fällen das Gauss-Verfahren (in irgendeinem 

Programmentwicklungssystem) programmiert. 

Die Frage ist, welchen Gewinn bei welchem 

Aufwand das für den Mathematikunterricht 

bringt? 

Ein Algorithmus beispielsweise in Pascal 

(oder Delphi) könnte wie folgt aussehen: 

PROCEDURE Eingabe; 

VAR i, j, k : INTEGER; 

BEGIN 

Write(’Geben Sie die Anzahl der Unbekannten ein (


h : Vektor; 

BEGIN 

i := Stelle+1; 

WHILE (A[Stelle,i]=0) AND (i


Kriterien entwickelt. 

• „pragmatisch“: nicht zu beseitigende Nullen 

in der Hauptdiagonalen etwa beim Gauss- 

Algorithmus. Benutzt man die ClassPad- 

Befehle ref und rref in Verbindung mit 

der erweiterten Koeffizientenmatrix, können die 

Schüler direkt ablesen, ob das Gleichungssystem 

unlösbar oder mehrdeutig ist. 

• „theoretisch“: Lineare Abhängigkeit der 

Spalten- oder Zeilenvektoren. Wenn im Unterricht 

die Theorie der Lösungsmannigfaltigkeit 

behandelt wurde, wissen die Schüler, 

dass die Lösung des Systems in der Form 

�x =�x0 + λ�x1 + μ�x2 gegeben ist, also durch eine 

spezielle Lösung des inhomogenen und die 

allgemeine Lösung des homogenen Systems. 

Mit rref angewandt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix 

sieht das beispielsweise auf dem 

ClassPad wie in Abb. 18.8. 

Abbildung 18.8: Anwendung auf die erweiterte 

Koeffizientenmatrix 

Abbildung 18.9: Schlecht konditionierte LGS 

Das LGS ist schlecht konditioniert 

Geometrisch: Die Geraden haben schleifenden 

Schnitt. Algebraisch: Die Zeilenvektoren sind 

„fast“ linear abhängig. 

Welche Bedeutung haben diese Fälle? 

• bei ungenau gegebenen Koeffizienten, etwa aus 

Messungen, ist höchste Aufmerksamkeit und 

kritische Bewertung der Ergebnisse angezeigt! 

146 

• Ggf. kann Akkumulation von Rundungsfehlern 

ein „Katastrophe“ auslösen! 

Was schafft Abhilfe? 

• Pivotisierung (War diesmal nicht Gegenstand 

des Unterrichtes) 

• selbstkorrigierende Iterationsverfahren (s.u.) 

Zeitverhalten und Speichereffizienz sind 

nicht optimal 

Bei einigen Anwendungen kann das Gleichungssystem 

exorbitant groß werden, z.B. 

• wirtschaftliche Verflechtungsmatrizen 

• meteorologische Gleichungssysteme 

• Computertomographie (hier bis zu 106 Gleichungen) 

Wie oben erwähnt, wächst etwa beim Gauss- 

Algorithmus der Zeitaufwand mit der dritten Potenz 

der Anzahl der Variablen. Nimmt man etwa 

für ein LGS mit 10 Variablen eine Bearbeitungszeit 

von 0,01s an, so ergibt sich bei 105 Variablen 

eine Rechenzeit von mehr als 300 Jahren! Zudem 

sind die dauernd zu berechnenden Matrizen sehr 

speicherintensiv! 

Was schafft Abhilfe? 

• Nutzung besonderer Eigenschaften der LGSe 

(z.B. Dreiecksform, Tridiagonalität, als Koeffizienten 

kommen nur Nullen oder Einsen vor 

(wie bei Tomographie) etc.) 

• selbstkorrigierende Iterationsverfahren 

Letzteres war eingehend Thema des Unterrichtes, 

auch — vgl. die Eingangsfragestellung — 

um den Schülern zu verdeutlichen, dass numerische 

und insbesondere näherungsweise Lösung 

ein normales, gleichwertiges und oft vorkommendes 

Verfahren darstellt. 

3 Iteratives Lösen von 

Gleichungssystemen 

Als Vorübung wurde zum Finden des Algorithmus 

ein einfaches Gleichungssystem gegeben. 

Die Schüler erhielten den Auftrag das LGS gleichsam 

durch „solve by inspection“, ohne große 

Rechnungen, jedenfalls ohne Anwendung eines 

der ihnen bekannten Verfahren zu lösen. 

Es entwickelte sich eine lebhafte Diskussion 

wie in Abb. 18.10 dargestellt. 

Diese Idee eines iterativen Algorithmus führt 

zu folgender theoretischer Umsetzung: 

Gegeben sei ein LGS in der Form Ax = c, wobei 

A = (ai j) regulär ist. Dann kann ohne Beschränkung 

der Allgemeinheit angenommen — 

mindestens erreicht — werden, dass alle Hauptdiagonalelemente 

von Null verschieden sind, aii �= 

0 für alle i.

Wir ersetzen A durch B − C, wobei B = (bi j) 

wie folgt gewählt wird: 

bii = aii,bi j = 0 für i �= j . 

B enthält also nur die Diagonalelemente von A. 

Damit ist C = (ci j) mit 

cii = 0,ci j = −ai j für i �= j . 

C enthält damit im Prinzip die restlichen Elemente 

von A. 

Ax = (B −C)x = Bx −Cx = c bzw. Bx = Cx+ 

c. 

Die inverse Matrix von B lässt sich nach deren 

Wahl leicht angeben, nämlich B−1 = (b ′ i j ) mit 

b ′ ii = 1/aii,b ′ i j = 0 für i �= j . 

Daher folgt weiter x = B −1 Cx + B −1 c bzw. 

x = Hx + b, mit H = B −1 C und b = B −1 c, dabei 

gilt H = (hi j) mit hi j = −ai j/aii für i �= j und 

hii = 0 bzw. bi = ci/aii. 

Die letzte Gleichung x = Hx+b erinnert deutlich 

an die entsprechende — den Schülern bekannte 

— Besserungsfunktion aus dem Thema 

„Numerisches Lösen einer Gleichung durch Iteration“. 

Wir erzeugen daher einen Näherungsfolge 

durch die Zuordnung xn+1 = Hxn + b bzw. 

dynamisch x := Hx + b bzw. in der ClassPad- 

Schreibweise H x + b ==> x. 

Nach der obigen Umformung gilt offenbar der 

Satz: Wenn das Verfahren konvergiert, also einen 

Fixpunkt besitzt, dann ist dieser Fixpunkt Lösung 

des gegebenen Gleichungssystems. 

Anschließend wird die Theorie auf dem ClassPad 

umgesetzt. Der besseren Übersicht halber 


Abbildung 18.10: Diskussion unter Schülern 

wird der Algorithmus in Abb. 18.11 nicht als 

Hardcopy wiedergegeben, sondern als normaler 

Text. 

Diese BASIC-Version des ClassPad ist weitgehend 

selbsterklärend. Dennoch einige Hinweise: 

• Es gibt keine eigentliche Variablenvereinbarung, 

Festlegung von Name und Typ geschieht 

über Belegung einer Variablen. 

• Dies geschieht hier durch Unterprogramme 

(Subroutinen, s.u.) 

• Die Goto-Anweisungen in der Case- 

Anweisung sind notwendig, da die Implementation 

von Case fehlerhaft ist (wurde an Casio 

gemeldet) 

• Für Schüler mit Programmierkenntnissen etwas 

gewöhnungsbedürftig ist die Wertzuweisung 

a := b („a gesetzt gleich b“ ), die (natürlich) 

in der ClassPad-Philosophie b ==> a 

(„b wird zugewiesen a“ ) lautet. 

• Der ClassPad unterscheidet durchgängig zwischen 

kleinen und großen Buchstaben, weswegen 

Matrix B und Vektor b nebeneinander benutzt 

werden können. 

Eine Analyse des Algorithmus ergibt, dass das 

Zeitverhalten dieses Verfahrens proportional zu 

z · n 2 ist, dabei ist n die Anzahl der Variablen, 

z die der Iterationen. Bei größeren, schnell konvergierenden 

Systemen also deutlich schneller als 

Gauss- oder Jordanverfahren. Zudem ist das Verfahren 

— wenn es denn konvergiert — selbst korrigierend, 

also weitgehend unempfindlich gegenüber 

Rundungsfehlern oder schlechter Konditionierung. 

Neben der Belegungs-Subroutine zeigen die 

147


’LGS Iterativ’ 

’Eingabe’ 

ClrText 

Input d, "Dimension(2-4)?", "LGS Iterativ" 

’Variablenvereinbarung’ 

Switch d 

Case 2 

SDIM2(): Goto Ende 

Case 3 

SDIM3(): Goto Ende 

Default 

SDIM4() 

SwitchEnd 

Lbl Ende 

For 1 ==> i To d 

For 1 ==> j TO d 

Input A[i,j], "A[i,j]?", Koef.-Mat. Zeilenweise" 

Next 

Next 


Input c[i], "c[i]?", "Konstantenvektor" 

Next 

’Initialisierung’ 


A[i,j] ==> B[i,j] 

Next 


For 1 ==> j TO d 

If i ? j 

Then 

- A[i,j] ==> C[i,j] 

IfEnd 

Next 

Next 

B^-1*C ==> H: B^-1*c ==> b 

’Iteration’ 

Input n, "Wieviele Schritte" 

For 1 ==> i To n 

H*x + b ==> x 

Next 

’Ausgabe’ 

SetDecimal 

Print 

Print "Ergebnis" 

Print x 

148 

Abbildung 18.11: Iterative Lösung eines Gleichungssystem auf dem ClassPad in BASIC


Abbildung 18.12: Iterative Lösung von Gleichungssystemen 

149


Hardcopys in Abb. 18.12 Teile des Programmlaufes. 

3.1 Eine weitere Anwendungsaufgabe 

Die drei Systemhäuser Ahrendsen, Becker und 

Clausen vereinbaren eine Kooperation derart, 

dass sie sich zeitweise gegenseitig nach Bedarf mit 

Arbeitsstunden unterstützen. Das vermeidet ggf. 

teure Überstunden und ein kurzfristiges „hire and 

fire“. 

Am Ende des Jahres zahlt die Fa. Ahrendsen 

bei 10.000 eigenen Arbeitsstunden, 2.000 von 

Becker und 1.500 von Clausene1,080 Mill. Lohn. 

Becker hat entsprechend bei 8.000 eigenen Stunden, 

1.500 von Ahrendsen und 2.000 von Clausen 

Lohnkosten vone0,805 Mill. und schließlich 

Clausen mit 9.000 eigenen Stunden, 2.500 von Ahrendsen 

und 1.000 von Becker solche vone1,040 

Mill.. 

Man kann sich z.B. fragen, ob die Firmen gleichen 

Lohn bezahlen. Dann müsste man etwa folgendes 

Gleichungssystem lösen: 

⎛ 

10000 

⎜ 

⎝ 1500 

2000 

8000 

⎞ ⎛ ⎞ 

1500 10800000 

⎟ ⎜ ⎟ 

2000 ⎠�x = ⎝ 80500 ⎠ 

2500 1000 9000 1062500 

Die Lösung lautet exakt 

⎛ ⎞ 

80 

⎜ ⎟ 

�x = ⎝ 75 ⎠ . 

85 

In diesem Beispiel sind etliche Iterationsschritte 

zur Lösung notwendig. Zusammen mit 

dem Einführungsbeispiel entsteht bei den Schülern 

die Vermutung, dass eine Dominanz der 

Hauptdiagonalelemente für Konvergenz hinreichend 

sein könnte. Je stärker diese Dominanz, um 

so schneller die Konvergenz. 

Nach der Einführung geeigneter Normen kann 

man (im Leistungskurs) das Zeilensummen- bzw. 

das Spaltensummenkriterium beweisen, die genau 

die Vermutung der Schüler bestätigen. Auf 

die (bekannten bzw. in der Literatur nachlesbaren) 

Beweise kann hier verzichtet werden. 

Mit Hilfe der ClassPad-Befehle rowNorm 

und colNorm, die jeweils die maximale absolute 

Summe einer Zeile bzw. Spalte angeben, kann 

eine Überprüfung auf diese Kriterien erfolgen. 

150 

Abbildung 18.13: Zeilensummen und Spaltensummenkriterium 

4 Schlussbemerkung 

Schleswig-Holstein hat sich sehr zu meinem Leidwesen 

nun auch spät (zu spät) entschieden das 

Zentralabitur in fast allen wesentlichen Fächern 

einzuführen. 

Ich habe den Beitrag mit einem lateinischen 

Spruch begonnen in Abwandlung des bekannten 

Zitates des alten Cato möchte ich auch so enden: 

Ceterum censeo: 

abituram communem prohibendam esse! 

Das Zentralabitur ist aus meiner Sicht der 

natürliche Feind der neuen Aufgabenkultur und 

des Einsatzes neuer Medien im Mathematik- 

Unterricht 

Letzten Herbst in Dillingen habe ich mich 

noch für eine Kompromisslösung aus zentralem 

Fundamentum und unterrichtsbezogenem Additum 

stark gemacht. 

Zum diesjährigen schriftlichen Abitur gab es 

aus dem Ministerium die Aufforderung, unsere 

Aufgaben sollten u.a. sicher stellen, dass sie den 

Nachweis führen, die Schüler hätten Sozialkompetenz 

erworben. Das fand ich eher absurd und 

habe daher für die Fachaufsicht unter meinen Aufgabenvorschlag 

folgende Bemerkung gesetzt: 

Ich bin der Überzeugung, dass der geforderte 

Nachweis von Selbst- und Sozialkompetenz durch 

eine übliche Aufgabenstellung nicht oder nur teilweise 

gelingen kann. . . .

Wenn man die o.a. Kompetenzen und zusätzlich 

die in den Standards genannten Fähigkeiten 

wie Argumentieren, Modellieren, Präsentieren 

etc. abprüfen will, muss man sich von der bisherigen 

Art der individualistischen, schriftlichen Einzelprüfung 

komplett verabschieden, weil sie nicht 

das Messinstrument für derlei Fähigkeiten darstellt. 

Auch und gerade das Zentralabitur ist in 

diesem Sinne rückschrittig und kontraproduktiv. 

Andere Vorstellungen von Prüfungen, wie sie 

etwa außerhalb der Schule Anwendung finden, geben 

Hinweise, wie man vorgehen könnte. Ich wäre 

dankbar, wenn hierüber ein Gespräch (möglicherweise 

mündend in einen Modellversuch) mit der 

Fachaufsicht stattfinden könnte. 

Seit dem Schreiben der zweiten Seite dieses 

Berichtes bis zum Schreiben dieser Seite ist (leider) 

viel Zeit vergangen. 1 In dieser Zeit hat sich 

allerdings einiges Erfreuliches getan. 

In Schleswig-Holstein wird — beginnend mit 

dem kommenden Schuljahr — ein neuer Modellversuch 

CIMS-SH (ein ähnlicher Versuch läuft 

in Hamburg) durchgeführt, in dem es wesentlich 

um den Einsatz neuer Medien im Mathematik- 

Unterricht geht. 

Es gibt Hinweise und gewisse Chancen, dass 

1 Dank für die Geduld an die Herausgeber! 


es evtl. möglich ist, tatsächlich diesem Modellversuch 

eine neue weitere Facette zu geben, nämlich 

die Entwicklung und Erprobung alternativer Prüfungsformen, 

etwa in der Richtung, die ich oben 

gefordert habe. Sollte dies so kommen, werde ich 

vor der MU&I berichten. 

Literatur 

Gjone, Gunnar & Tor Andersen (2004): Form und Zahl. Eine 

Einführung zum Einsatz des ClassPad 300 im Mathematikunterricht. 

Norderstedt: Casio Europe 

Kowalsky, Hans-Joachim (1974): Einführung in die Lineare 

Algebra. Berlin: Walter de Gruyter 

Padlitz, Ludwig (2004): Mathematische Modelle und 

wissenschaftlich-technische Anwendungen. Norderstedt: 

Casio Europe, Bildungsverlag E1NS 

Thode, Reinhold (1992): Numerische Algorithmen. Hannover: 

Metzler 

Thode, Reinhold (2001): Neue Medien im Mathematikunterricht 

— Erfahrungsbericht aus dem SSchulalltag". In: Herget, 

Wilfried & Rolf Sommer (Hg.): Lernen im Mathematikunterricht 

mit Neuen Medien, Hildesheim: Franzbecker, 21–28 

Thode, Reinhold (2004): Beispiele für den Einsatz des ClassPad 

300 im Unterricht. In: Bender, Peter, Wilfried Herget, 

Hans-Georg Weigand & Thomas Weth (Hg.): Neue Medien 

und Bildungsstandards, Hildesheim: Franzbecker, 128–136 

Todd, Philip, Michael Siebold & Brian Maguire (2002): Wie 

Sie das Meiste aus dem ClassPad machen. Beaverton, OR, 

USA: Saltire Software 

151


152

• Objektorientierung im Mathematikunterricht 

Bert Xylander, Gera 

Eine Übertragung objektorientierter Denkweisen in den Mathematikunterricht eröffnet den Schülerinnen 

und Schülern oftmals eine veränderte Sicht auf mathematische Inhalte und erweitert ihr 

methodisches Repertoire. In den Vordergrund treten stoffbezogene sowie stoffübergreifende Zusammenhänge 

und Analogien; es werden strukturierende und systematisierende Arbeitsweisen entwickelt 

und ein analytisches und synthetisierendes Denken gefördert. Der Artikel skizziert grundlegende 

informatische Konzepte der Objektorientierung, überträgt anschließend die begrifflichen und 

konzeptuellen Grundgedanken in die Sprache und Denkweise der Mathematik und gewinnt somit 

einen geeigneten Ausgangspunkt für eine beispielbezogene Diskussion der inhaltlichen, methodischen 

und didaktischen Konsequenzen, die eine objektorientierte Durchdringung des Mathematikunterrichtes 

mit sich führt. 

1 Einleitung 

Objektorientierung ist ein weitläufiger Begriff, 

der in vielen Fachgebieten anwendbar ist und 

auch angewendet wird. Besondere Bedeutung erwächst 

jedoch in der Informatik, in der Objektorientierung 

als eine der grundlegenden Leitideen 

erscheint. Objektorientierung durchdringt dabei 

nicht nur das Feld der Programmierung — 

auf das es oftmals reduziert wird — sondern umspannt 

viel mehr: Denkweisen, Interpretationsmuster 

und Modellierungsprozesse. Wie in der Fachwissenschaft, 

sind auch im Informatikunterricht 

objektorientierte Herangehensweisen von grundlegender 

Bedeutung. Allerdings differieren die didaktischen 

Auffassungen über Zeitpunkt, Umfang 

und Tiefe der unterrichtlichen Behandlung. 1 

Warum aber erfolgt hier nun eine Diskussion 

über Objektorientierung im Mathematikunterricht? 

Es gibt wichtige Gründe. Objektorientierung 

zeichnet sich durch strukturierende und systematisierende 

Denk- und Arbeitsweisen aus; charakteristisch 

ist ebenso der inhaltliche und methodische 

Transfer zwischen vergleichbaren Strukturen. 

Dies sind fundamentale Kompetenzen, die 

auch im Mathematikunterricht eine große Bedeutung 

besitzen und eben dort entwickelt und erworben 

werden sollen. Mithin lässt sich Objektorientierung 

als eine Komponente des Mathematikunterrichtes 

verstehen, die mit ihren Ansätzen 

und Herangehensweisen den Schülerinnen 

und Schülern die ureigene mathematische Denkweise 

zumindest ein Stück näher bringt. Allein 

dieses Ansinnen rechtfertigt bereits eine Auseinandersetzung 

mit den informatischen Konzepten. 

Hinzu tritt aber noch, dass eine objektorientierte 

Sichtweise den Mathematikunterricht bereichern 

kann und interessante Ansätze für das Erkennen 

und Entwickeln von inhaltlichen Zusammenhän- 

gen bietet, wie in nachfolgenden Beispielen gezeigt 

werden kann. 

Die folgenden Ausführungen beleuchten zunächst 

grundlegende informatische Konzepte der 

Objektorientierung. Im zweiten Schritt werden 

diese Konzeptideen durch Begriffe und Inhalte aus 

der Mathematik interpretiert, um damit einen Ausgangspunkt 

für die inhaltliche Übertragung der 

Objektorientierung in den Mathematikunterricht 

und die damit verbundene Diskussion der didaktischen 

und methodischen Konsequenzen zu haben. 

Zuletzt wird eine Unterrichtseinheit vorgestellt, 

mit der aus objektorientierter Sicht die Polygone 

abschließend in der Klasse 7 bzw. 8 behandelt 

und systematisiert werden können. 

2 Informatische Konzepte der 

Objektorientierung 

In der Informatik stellt sich Objektorientierung 

als ein facettenreiches Konzeptgefüge dar, das 

oft auf ein Programmierparadigma reduziert wird 

(Beschreiben, Strukturieren und Lösen informatischer 

Probleme), oft aber auch in einem umfassenderen 

Zusammenhang mit informatorischen 

Interpretations- und Denkmustern steht. Die Verständigung 

über den Begriff der Objektorientierung 

zeigt sich dadurch erschwert, dass die objektorientierten 

Konzepte je nach Betrachtung eine 

unterschiedliche Wichtung erfahren, und dass 

darüber hinaus ein und dasselbe Konzept unterschiedlich 

interpretiert werden kann. 

Im Folgenden werden einige grundlegende 

Konzepte der Objektorientierung 2 skizziert, damit 

die sich anschließende Diskussion der objektorientierten 

Ausgestaltung des Mathematikunterrichtes 

eine begriffliche Basis erhält. Das Konzept 

der Objekte: Objekte sind gegenständliche 

Eigenschaftsstrukturen, die sowohl realer als auch 

künstlicher, d. h. theoretisch-abstrakter Natur sein 

1Die Stellung und die Behandlung objektorientierter Konzepte im Informatikunterricht werden etwa bei Schulte (2001) und Thomas 

(2004) diskutiert. 

2Eine vertiefende Darstellung der Objektorientierung, ihrer Konzepte und der damit verbundenen Spannungsfelder finden sich z. 

B. bei Berard (1998), Balzert (2000) und Forbrigg (2002). 

153


können. Ein Objekt zeichnet sich durch einen definierten 

Zustand aus. Führt eine äußere Einwirkung 

zu einer Zustandsänderung, so wird das Objekt 

als passives Objekt bezeichnet; erfolgt eine 

Zustandsänderung von innen heraus, handelt es 

sich um ein aktives Objekt. 

Das Konzept der Klassen und Instanzen Das 

Konzept der Klassen unterliegt in der Informatik 

drei verschiedenen Bedeutungszuweisungen 

(Berard, 1998): Klassen werden 

betrachtet als ein Muster von strukturell 

identischen Dingen, den Instanzen, die unter 

Benutzung der Klasse erzeugt werden. 

Berard spricht diesbezüglich von einer Vorstellung 

eines „cookie cutter“. Die zweite 

Sichtweise auf eine Klasse beschreibt die 

Klasse als „Instanzenfabrik“: ein System, 

bestehend aus einem Muster und einem 

Mechanismus, in dem der Mechanismus 

dem Muster entsprechende Gegenstände 

(Instanzen) generiert. Die dritte Interpretation 

sieht eine Klasse als die Menge aller 

Instanzen eines bestimmten Musters. 

Die Kapselung von Informationen Ein Objekt 

ist nach außen durch seine Eigenschaftsstruktur 

charakterisiert. Verborgen bleibt allerdings, 

wie diese Struktur im Inneren des 

Objektes organisiert (implementiert) wird. 

Dieses Verstecken der objektimmanenten 

und existentiellen Informationen wird als 

Kapselung bezeichnet. Die Kapsel schirmt 

das Objekt gegen eine externe Manipulation 

der internen Informationen und Abläufe 

ab und verhindert somit eine Destabilisierung 

des Objektzustandes. Das Konzept 

der Kapselung sieht gleichzeitig eine Bereitstellung 

definierter Schnittstellen vor, an 

denen objekt- und gesamtsystemrelevante 

Information ausgetauscht werden können. 

Das Konzept der Schnittstellen Für eine monound 

bidirektionale Kommunikation mit seiner 

Umgebung stellt ein Objekt eine öffentliche 

Schnittstelle zur Verfügung. Eine 

Schnittstelle kann drei Informationskategorien 

realisieren: Daten (auch bezeichnet 

als Werte oder Konstanten), Methoden 

(auch bezeichnet als Operationen oder 

Prozesse) und Ausnahmen (auch bezeichnet 

als Exceptions bzw. Fehler). Die Daten 

in der Schnittstelle besitzen mit festen 

Inhalten einen konstanten Status. Demgegenüber 

können Methoden einer Schnitt- 

stelle einen dynamischeren Status aufweisen. 

Vorstellbar sind Methoden, die nur statisch 

Daten austauschen, bis hin zu Methoden, 

die Prozesse auslösen und den Zustand 

des Objektes verändern. 3 Die Ausnahmen 

in der Schnittstelle charakterisieren undefinierte 

Zustände des Objektes. Mit diesen 

Informationen können das Objekt und die 

Umgebung des Objektes irreguläre Situationen 

behandeln und verarbeiten. 

Das Konzept der Vererbung Die Vererbung 

(auch als Spezialisierung oder Ableitung 

bezeichnet) beschreibt die Übertragung wesentlicher 

Eigenschaften eines Objektes auf 

ein neues Objekt. Dabei kann das neue Objekt 

um weitere Eigenschaften erweitert (d. 

h. ergänzt) werden. In der Objektorientierung 

wird das Konzept der Vererbung zumeist 

im Zusammenhang mit Klassenstrukturen 

verwendet. 

Das Konzept der abstrakten Klassen Abstrakte 

Klassen sind unvollständig definierte Klassen 

mit einer verallgemeinerten Eigenschaftsstruktur. 

Sie dienen als Grundlage 

und Muster für die Vererbung. Mit den 

Konzepten der abstrakten Klassen und der 

Vererbung wird das das Prinzip einer hierarchischen 

Strukturierung in der Objektorientierung 

begründet. 4 

3 Mathematische 

Interpretationen der 

objektorientierten 

Konzeptideen 

Auf dem Weg der Objektorientierung von der 

informatorischen Idee hin zu einer gestaltenden 

Sichtweise im Mathematikunterricht ist es 

unerlässlich, die begrifflichen und konzeptuellen 

Grundgedanken der Informatik in die Sprache 

und Denkweise der Mathematik zu übertragen. 

Dabei erweist sich eine mathematisierende 

Herangehensweise an die Objektorientierung und 

die sie durchsetzenden informatischen Konzepte, 

d. h., der Versuch, Objektorientierung und ihre 

Konzepte mit mathematischen Begriffen und 

Strukturen zu beschreiben, als durchaus problematisch. 

Es stellt sich nämlich heraus, dass es 

nicht immer möglich ist, eine wirklich angemessene 

und deckungsgleiche mathematische Beschreibung 

der informatischen Gedanken zu finden. 

Deshalb wird im Folgenden mit Bedacht der Begriff 

der Interpretation gebraucht. 

3 Im Zusammenhang mit Objektmethoden ist zu beachten, dass die öffentlich zugänglichen Methoden der Objektschnittstelle von 

den internen, gekapselten Methoden eines Objektes zu unterscheiden sind. 

4 Neben den skizzierten kennt die Informatik weitere Konzepte, die für die Objektorientierung von Bedeutung sind, so z. B. die 

Komposition und Aggregation von Objekten, die Bildung von Objektsystemen und die Kopplung und innere Bindung von Objekten. 

Da diese und andere Konzepte in den nachfolgenden Betrachtungen nicht untersucht werden, wird hier auf eine weitere Diskussion 

verzichtet. 

154

Objekte lassen sich in der Mathematik in vielerlei 

Gestalt identifizieren. Seien es scheinbar 

einfache Objekte wie eine einzelne Zahl oder sehr 

komplex aufgebaute Objekte wie eine Funktion. 

Allen mathematischen Objekten ist gemein, dass 

sie durch ein Eigenschaftsgefüge gekennzeichnet 

sind, das sie einerseits von Objekten gleichen 

Typs unterscheidet und mit dem anderseits unterschiedliche 

Objekttypen charakterisiert werden 

können. Die Suche nach einer mathematischen Interpretation 

des Objektes im informatischen Sinne 

führt zu einer Mengensichtweise. Objekte können 

als Elemente einer Menge betrachtet werden, 

die sich durch eine gleichartige Eigenschaftsstruktur 

auszeichnen, voneinander dennoch wohlunterscheidbar 

sind durch eine charakteristische Variation 

in eben dieser Eigenschaftsstruktur. 

Diese mathematische Interpretation fortschreibend, 

lässt sich in Anlehnung an die Mengentheorie 

eine Klasse in der Objektorientierung 

auffassen als eine Menge von Objekten. Die Klasse 

stellt sich dann dar als die Menge aller ihrer 

Instanzen, d. h. als die Menge aller der durch sie 

erzeugten Objekte mit identischer Eigenschaftsstruktur. 

Die mengentheoretische Interpretation der 

Objekte und Klassen deckt wesentliche Bestandteile 

der informatischen Inhalte beider Begriffe 

ab, versagt teilweise jedoch bei einer genaueren 

Betrachtung der Objekteigenschaften und ihrer 

Veröffentlichung in Form der Objektschnittstellen. 

Daten eines mathematischen Objektes können 

als statische Eigenschaften eines Mengenelementes 

interpretiert werden und Ausnahmen finden 

z. B. in der Form von Definitionsbereichsgrenzen 

bei komplexeren mathematischen Objekten 

eine Sinnentsprechung. 

Interpretationsprobleme bereiten die Methoden, 

die mit der Objektschnittstelle verbunden 

sind. Die damit verbundene Möglichkeit einer aktiven 

oder passiven Zustandsänderung der Objekte 

lässt sich oft nur schwer im mathematischen Kontext 

wieder finden. Ein Beispiel für eine solche dynamische 

Methode eines mathematischen Objektes 

ist die Wirkung einer Abbildung auf ein ebenes 

Polygon (Abb. 19.1). 

Ebenfalls Mühe bereitet der Versuch, das informatische 

Konzept der Kapselung, d. h. der Informationsabschirmung 

nach außen, in mathematischen 

Ausdrucksformen darzustellen. Eine inhaltliche 

Ähnlichkeit findet sich vielleicht am ehesten 

in der Mathematik bei algorithmischen Verfahren. 

Algorithmen sind charakterisiert durch 

Startbedingungen, durch eine Folge elementarer 

Handlungen die zu einer Problemlösung führen 

und durch einen Endzustand. Die Folge der elementaren 

Handlungen lässt sich nun auffassen als 

diejenigen Informationen, die definiert existieren, 

Objektorientierung im Mathematikunterricht 

ohne dass von außen in den Ablauf des Verfahrens 

eingegriffen werden muss oder kann. Damit erscheint 

dieser Teil des gesamten Algorithmus als 

gekapselt. Startbedingungen und Endzustand würden 

dann der Objektschnittstelle zugeordnet werden. 

Allerdings widerspricht diese Interpretation 

der realen Bedeutung des algorithmischen Verfahrens 

in der Mathematik, da im Allgemeinen 

gerade die elementaren Schritte und ihre Abfolge 

eigentlicher Mittelpunkt der Untersuchungen 

und Betrachtungen sind. Eine weitere Interpretationsmöglichkeit 

der Kapselung findet sich in dem 

Ansatz, zwei verschiedene Zustände eines mathematischen 

Objektes zu betrachten und den Prozess 

zwischen Anfang und Ende als gekapselte Informationen 

und Methoden aufzufassen. Der Prozess 

wird dann als einheitliches Ganzes, mithin als 

Kapsel, angesehen. 

Die Konzepte der Vererbung und der abstrakten 

Klassen führen eine Strukturierung in die (informatische) 

Objektorientierung ein, mit der eine 

Klassenhierarchie geschaffen werden kann. Dem 

und der Mengeninterpretation der Klassen entsprechend, 

lässt sich Vererbung in der Mathematik 

als eine Ordnungsrelation auffassen, die zu einer 

Mengenhierarchie führt. Die abstrakten Klassen 

stellen in diesem Sinnzusammenhang die Wurzeln 

der Hierarchiestrukturen dar. Vererbung darf dabei 

nicht als eine Teilmengenrelation betrachtet werden, 

denn gerade die Strukturgestaltung von den 

verallgemeinerten (abstrakten) hin zu den konkreten 

Eigenschaftsgefügen, die gegenüber den Wurzeln 

um zusätzliche Eigenschaften erweitert werden 

können, stehen dieser Sicht diametral entgegen. 

4 Objektorientierung im 


Nachdem wesentliche informatische Konzepte der 

Objektorientierung benannt und die Konzeptideen 

mathematischen Begriffen und Denkweisen 

zumindest teilweise zugeordnet werden konnten, 

wird nun untersucht, welche objektorientierten 

Sichtweisen im Mathematikunterricht bedeutsam 

sind und wie Schülerinnen und Schüler einen Zugang 

zu diesen Sichtweisen gewinnen. Eine Begründung 

für die Integration der Objektorientierung 

als Idee im Mathematikunterricht ergibt sich 

dann aus eben dieser Diskussion. 

Die Betrachtung mathematischer Objekte im 

Unterricht wird die Eigenschaftsstruktur der Objekte 

in den Vordergrund rücken. Hervorgehoben 

werden die charakterisierenden Objekteigenschaften 

in der Absicht, auf das Wesentliche und Wichtige 

zu fokussieren. Am Beispiel lässt sich diese 

Vorgehensweise nachvollziehen. Das Objekt regelmäßiges 

Fünfeck wird betrachtet mit seinen 

fünf gleichlangen Seiten und seinen fünf gleich- 

155


Abbildung 19.1: Eine Abbildungsoperation als mathematische Interpretation einer Objektmethode. Das Polygon, 

hier im Beispiel ein regelmäßiges Fünfeck, ist das mathematische Objekt. Die charakterisierenden 

Eigenschaften sind neben den typischen Eigenschaften regelmäßiger Fünfecke auch die Seitenlänge a und 

die konkrete Lage in der Ebene. Wird eine Abbildung (hier eine Spiegelung an der Spiegelgeraden g) auf die 

Ebene angewendet, so kann die Abbildungsoperation als eine Objektmethode des regelmäßigen Fünfecks 

aufgefasst werden. Die Wirkung der Methode (die Spiegelung) verändert die konkrete Lage des Polygons 

und mithin den Zustand des mathematisches Objektes. 

großen Innenwinkeln von jeweils 108deg Größe. 

Diskutiert werden kann die Bedeutung einer 

konkreten Seitenlänge a für ein konkretes Fünfeckobjekt 

in einer Ebene. Eine Veränderung in 

a erzeugt dann ein neues Fünfeckobjekt. Diskutiert 

werden kann auch die Bedeutung der gleichgroßen 

Innenwinkel im Hinblick auf zwei voneinander 

verschiedene regelmäßige Fünfecke. Ein 

tieferes Eindringen in das Spannungsfeld der charakterisierenden 

Eigenschaften lässt sich erreichen, 

wenn zudem zwei unterschiedliche Definitionsansätze 

gegenübergestellt und diskutiert werden: 

Das regelmäßige Fünfeck, das bestimmt ist 

durch seine gleichlangen Seiten und gleichgroßen 

Innenwinkel, wird gegenübergestellt dem regelmäßigen 

Fünfeck, dessen Eckpunkte alle auf einem 

Kreis um einen Punkt M mit einem Radius 

r liegen, wobei die Kreissehnen zwischen jeweils 

zwei benachbarten Eckpunkten die Basisseiten 

von fünf kongruenten gleichschenkligen Dreiecken 

mit dem gemeinsamen Scheitelpunkt M bilden 

(Abb. 19.2). Aus einer solchen Diskussion erwächst 

den Schülerinnen und Schülern unmittelbar 

ein Gespür für unterschiedliche Definitionsformen, 

für eine geeignete und ungeeignete Beschreibung 

und Bestimmung mathematischer Objekte. 

Im Mathematikunterricht treten Klassen zumeist 

als Mengen mathematischer Objekte in Erscheinung. 

Klassen lassen sich daher bilden und 

untersuchen als verallgemeinerte Eigenschafts- 

strukturen ihrer Objekte: Von konkreten Objekten 

ausgehend, abstrahieren die Schülerinnen und 

Schüler das allgemeine Objektmuster (die Klasse) 

bzw. aus der allgemeinen Klassenstruktur wird 

das konkrete Einzelobjekt spezialisiert. Eine zweite 

unterrichtliche Herangehensweise ist das vergleichende 

Betrachten von Klassen: die vergleichende 

Analyse des Beziehungsgefüges zwischen 

Klassen und Objekten sowie die Einordnung der 

Klassen in Hierarchien. Eine besondere Bedeutung 

gewinnen hierbei die abstrakten Klassen und 

die Vererbung und die damit verbundene Generalisierung 

und Spezialisierung innerhalb der Klassenhierarchien. 

Wie auch im nachfolgenden Beispiel deutlich 

wird, führt das Behandeln von Klassen im Mathematikunterricht 

aus didaktischer Sicht zur Systematisierung 

von Wissensinhalten. Ein zweiter 

wichtiger Aspekt ist die Analogiebildung: Der 

Vergleich zweier Klassen und die Erzeugung einer 

neuen Klasse durch Vererbung überträgt das 

inhaltliche Gefüge einer Klassenstruktur auf eine 

zweite Klasse. Die Untersuchung von Polygonen 

erfolgt im Mathematikunterricht gemeinhin 

an den Dreiecken und Vierecken. Vielecke dagegen 

werden oftmals nur in ihrer Regelmäßigkeit 

betrachtet. Eine objektorientierte Sichtweise 

auf die Klassen der Polygone könnte in gewohnter 

Manier bei den einzelnen Dreieck- und Viereckklassen 

ansetzen. Betrachtet werden etwa die 

Klassen der unregelmäßigen, gleichschenkligen 

5 Im streng mathematischen Sinne handelt es sich bei der Ordnung der Dreiecke nach ihren Seitenlängen um eine Teilmengenbeziehung, 

wohingegen die Einteilung nach den Winkelgrößen eine echte Äquivalenzklasseneinteilung der Dreiecke darstellt. Zu beachten 

ist daher hier und im Nachhinein der informatisch geprägte Sprachgebrauch von den Klassen der Dreiecke und Vierecke. 

156


Abbildung 19.2: Zwei unterschiedliche Definitionsansätze für das Objekt regelmäßiges Fünfeck. 

und gleichseitigen Dreiecke oder die Klassen der 

spitz-, recht- und stumpfwinkligen Dreiecke. 5 Von 

diesen konkreten Dreieckklassen ausgehend, lässt 

sich eine allgemeine Dreieckklasse inhaltlich ergründen. 

In ähnlicher Weise wird aus den Klassen 

der Quadrate, Rhomben, Rechtecke, Trapeze bis 

hin zur Klasse der unregelmäßigen Vierecke eine 

allgemeine Viereckklasse entwickelt. Die Klasse 

der regelmäßigen Fünfecke, Sechsecke usw. 

ergänzt die einfache objektorientierte Umsetzung 

der üblichen unterrichtlichen Vorgehensweise. 

Mit der gerade beschriebenen Inhaltskonstruktion 

wird aber nur eine Facette der objektorientierten 

Denkweise im Hinblick auf die Polygonklassen 

beleuchtet. Eine konsequente Anwendung der 

objektorientierten Konzepte ruft geradezu nach 

einer umfänglichen Strukturierung der Polygonklassen 

in einer Klassenhierarchie. Denkbar wäre 

eine Erarbeitung, die von der einzelnen konkreten 

Polygonklasse (etwa der Klasse der gleichseitigen 

Dreiecke) ausgeht und zu einer vollständigen 

Systematik der Polygonklassen gelangt. Dabei 

stellt die (allgemeine) Klasse der Polygone 

eine abstrakte Klasse dar, von der im zweiten 

Schritt ausgehend, durch Vererbung und Erweiterung 

um zusätzliche Eigenschaften weitere abstrakte 

und konkrete Klassen abgeleitet werden. 

Somit lässt sich die Hierarchie der Polygonklassen 

von der Wurzel her durchlaufen (Abb. 19.3). 

Bedeutsam ist in dieser objektorientierten Sichtweise 

eine möglichst vollständige Erfassung der 

ableitbaren Klassen, so dass etwa unregelmäßige 

Vielecke ebenso thematisiert werden können 

wie Punkte und Strecken als eine Form entarteter 

Polygonklassen. In diesem Zusammenhang muss 

aber betont werden, dass eine vollständige Systematisierung 

der Polygonklassen, die z. B. in Form 

eines Hierarchiebaumes 6 entwickelt wird, von die 

Schülerinnen und Schüler ein hohes Maß an Abstraktionsvermögen 

einfordert, was sich insbesondere 

bei den Überlegungen zu den entarteten Polygonen 

zeigt. 

Das Behandeln der Polygonklassen be- 

schränkt sich natürlich nicht nur auf ein systematisches 

Erarbeiten der gesamten Klassenstruktur. 

Gerade die (objektorientiert motivierte) vergleichende 

Untersuchung von Klassen der gleichen 

Hierarchiestufe — etwa von Dreiecken und Vierecken 

— führt durch Analogiebetrachtungen zu 

überraschenden Einsichten, die mit den bisherigen 

Klassifikations- und Eigenschaftsbetrachtungen 

im Mathematikunterricht in der Deutlichkeit 

nicht in Erscheinung traten. Solche Zusammenhänge 

und Erkenntnisse werden exemplarisch im 

folgenden Abschnitt vorgestellt und erläutert. 

Das Konzept der Kapselung ist im Mathematikunterricht 

nur in ausgewählten Situationen und 

nur behutsam thematisierbar. Der bereits beschriebene 

Vergleich zwischen einem Ausgangszustand 

und einem Endzustand eines Objektes kann die 

Schülerinnen und Schüler zu der Frage nach dem 

„Dazwischen“ führen. Damit lässt sich die Einsicht 

gewinnen, dass bei einer Zustandsänderung 

eines mathematischen Objektes nicht alle Teilschritte 

eines Prozesses (oder nicht alle Teile eines 

Algorithmus) bekannt sein müssen, und dennoch 

das gesamte inhaltliche Gefüge genau bestimmbar 

und auch einer Untersuchung zugänglich 

ist. Das Beispiel der Kongruenz zweier Polygone 

führt zu einer solchen Diskussion. Beide Polygone 

lassen sich als Anfangszustand und Endzustand 

ein und desselben mathematischen Objektes 

auffassen. Beide Zustände werden mit einer 

Lageveränderung, die auf einer Bewegungsabbildung 

beruht, ineinander übergeführt. Diese Lageveränderung 

lässt sich genau analysieren und etwa 

als Verschiebung, als Drehung oder als Spiegelung 

in der Ebene identifizieren. Genauso gut lässt 

sich die Abbildung aber auch als Folge von Spiegelungen 

auffassen (Dreispiegelungssatz). Für die 

Untersuchung der Kongruenz der beiden Polygonzustände, 

d. h., für die Untersuchung des Objektes 

an sich, ist die Form der Abbildung unerheblich; 

wesentlich ist vielmehr ihre Wirkung. Deshalb 

können die Informationen über die Abbildungsoperation 

und der dynamische Prozess, der 

6 Mit den Möglichkeiten der Strukturierung, Systematisierung und Darstellung von Wissensinhalten setzt sich tiefgründig die formale 

Begriffsanalyse auseinander, vgl. dazu etwa Dahlberg (1987) und Wille (1987). 

157


Abbildung 19.3: Eine Hierarchie der Polygonklassen. Die Darstellung der Klassenstruktur beschränkt sich 

hier auf die Einteilung der Dreiecke, die nach verschiedenen Eigenschaftskomponenten, etwa nach Seitenlängen 

und Winkelgrößen, erfolgt. 

mit der Abbildung verbunden ist, als gekapselt 

aufgefasst werden. Dieses Beispiel unterscheidet 

sich im Übrigen von dem oben verwendeten Beispiel 

der Spiegelung als Objektmethode, da hier 

die Abbildung gerade nicht betrachtet wird. 

Das Behandeln des objektorientierten Schnittstellenkonzeptes 

kann im Mathematikunterricht 

vielgestaltig erfolgen. Statische Werte eines mathematischen 

Objektes sind Gegenstand des Unterrichts, 

sobald statische Eigenschaften des mathematischen 

Gegenstandes ermittelt und berechnet 

werden. Objektmethoden erscheinen im Fokus 

der Schülerinnen und Schüler, sobald Parameter 

eines mathematischen Objektes bestimmt werden 

und ihr Einfluss auf den Objektzustand untersucht 

wird. Ausnahmen widerspiegeln die Suche 

nach den Definitionsbereichen der mathematischen 

Objekte. Insgesamt sind Eigenschaften, 

Parameter und Definitionsbereiche von mathematischen 

Sachverhalten (Objekten) grundlegende 

und zentrale Inhalte des mathematischen Unterrichts. 

Entsprechend umfassend gestaltet sich aber 

auch das didaktisch-methodische Repertoire, mit 

dem diese Konzeptideen bereits im Unterricht verankert 

sind, so dass hier außerhalb des nachfolgenden 

Beispiels nicht tiefgründig darauf eingegangen 

werden muss. 

Ein regelmäßiges Fünfeck als mathematisches 

Objekt weist sich in seinen statischen Eigenschaften 

wie etwa dem Umfang oder dem Flächeninhalt 

oder auch seiner konkreten Lage aus. Diese 

und viele andere Fünfeckeigenschaften, die nicht 

nur als Zahlenwerte erfassbar sein müssen, stellen 

die Werte der Objektschnittstelle dar. Wird 

das Objekt nun so konstruiert, dass mittels Methoden 

der Objektzustand veränderbar ist, dann 

enthalten diese Methoden zumeist Parameterwer- 

158 

te, die den Zustand des Fünfecks dynamisieren. 

Denkbar wäre die Vorgabe einer neuen Seitenlänge 

oder auch die Vorgabe eines neuen Flächeninhaltes, 

so dass durch die Objektmethoden, die 

in der öffentlichen Schnittstelle zugänglich sind, 

eine Zustandsänderung des Objektes erfolgt. Hier 

entstehen zugleich auch Ansatzpunkte für die Behandlung 

von Ausnahmen, die etwa als Folge negativer 

Seitenlängen- und Flächeninhaltsvorgaben 

resultieren. In den vorangegangenen Ausführungen 

sollte insgesamt offenkundig geworden sein, 

dass die beschriebenen Vorgehensweisen im Mathematikunterricht 

natürlich nicht neuartig sind. 

Der Anspruch gerade des Mathematikunterrichtes 

war und ist, Zusammenhänge offen zu legen, 

Analogien und Transfermöglichkeiten aufzuzeigen, 

das Abstraktionsvermögen zu entwickeln sowie 

analytisches und synthetisches Denken zu fördern. 

Zusammenfassend betrachtet, findet sich die 

Bedeutung und der Vorzug der Objektorientierung 

hauptsächlich darin begründet, dass sie hilft, diese 

Denk- und Vorgehensweisen methodisch zu bündeln 

und didaktisch zu beschreiben. 

5 Skizze einer 

„objektorientierten“ 

Unterrichtseinheit 

Nach den überwiegend theoretischen Überlegungen 

zu den informatischen Konzepten der Objektorientierung, 

ihren mathematischen Entsprechungen 

und ihrer unterrichtspraktischen Umsetzung 

soll nun eine konkrete Unterrichtseinheit vorgestellt 

werden. Konzipiert ist die Unterrichtseinheit 

als ein zusammenfassender und systematisierender 

Abschluss des Unterrichtszyklus über 

die ebene Geometrie der Polygone, im Allgemeinen 

angesiedelt in der Klassenstufe 7 und 8. Un-

terrichtsgegenstand sind die Dreiecke, Vierecke 

und regelmäßigen Vielecke sowie die Kongruenz 

und die Ähnlichkeit von Polygonen. Inhaltlich sollen 

die Schülerinnen und Schüler in der Unterrichtseinheit 

grundlegende Eigenschaften der Polygone 

erkennen und festigen, ein Beziehungsgefüge 

zwischen unterschiedlichen Polygonklassen 

entwickeln und eine Systematik der Polygone 

erarbeiten. Aus didaktischer Sicht stehen 

die Vernetzung bereits vorhandener Wissensinhalte 

und deren Transfer auf neu zu erschließende 

Wissensinhalte im Mittelpunkt. Methodisch wird 

die Unterrichteinheit gestaltet mit einer kooperativen 

Phase in Form einer Gruppenarbeit und mit 

einer Auswertungs- und Systematisierungsphase, 

die im gesamten Klassenverband stattfindet. 

5.1 Beschreibung der Gruppenphase 

Die Arbeit an den Polygonen führen die Schülerinnen 

und Schüler in Gruppen durch. Die Zusammensetzung 

der Gruppen sollte leistungshomogen 

erfolgen, damit die beteiligten Schülerinnen 

und Schüler sich in gleichem Maße inhaltlich 

und kreativ einbringen können und müssen. 

Zu Beginn der Zusammenarbeit einigen sich die 

Angehörigen einer Gruppe auf eine Funktionsverteilung; 

benötigt werden ein Moderator, ein Sprecher, 

ein Hilfesuchender sowie ein Zeit- und Regelmanager. 

7 Dem Moderator obliegt die Diskussionsführung, 

der Sprecher präsentiert in der Auswertungsphase 

die Gruppenergebnisse, der Hilfesuchende 

kontaktiert bei Bedarf den Lehrenden, 

um Hinweise und Tipps als Impulse für die Gruppenarbeit 

einzufordern, und der Zeit- und Regelmanager 

überwacht die Einhaltung vorgegebener 

Zeitabläufe und Organisationsregeln. 

Gebildet werden wenigstens sechs Gruppen, 

denen nach dem Leistungsvermögen der Gruppe 

unterschiedliche Aufgabenkomplexe zugeteilt 

werden. Die erste Gruppe setzt sich mit der Einteilung 

der Dreiecke und Vierecke nach ihren Seitenlängen 

auseinander. Die zweite Gruppe klassifiziert 

Dreiecke und Vierecke nach ihren Innenwinkelgrößen. 

8 Die dritte Gruppe untersucht regelmäßige 

Vielecke und versucht einen Zusammenhang 

zwischen der Eckpunktanzahl und der Innenwinkelsumme 

zu ermitteln. Die vierte Gruppe überträgt 

die Kongruenzsätze für Dreiecke auf Vierecke 

und regelmäßige Vielecke. Die fünfte Gruppe 

überträgt die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke 

auf Vierecke und regelmäßige Vielecke. Die sechste 

Gruppe bestimmt Kriterien für die Konstruierbarkeit 

von Dreiecken, Vierecken und regelmäßi- 


gen Vielecken. 9 

Die Aufgabenkomplexe für die Gruppen sind 

mehrteilig gestaltet (Abb. 19.4). Aus objektorientierter 

Sicht enthalten die Komplexe solche Aufgaben, 

die die Schülerinnen und Schüler zu klassenstrukturierenden 

Erkenntnissen führen sollen. 

Diese werden aus der Entwicklung verschiedener 

Klassifikationskriterien der betrachteten Polygone 

und aus der Formulierung allgemeiner Eigenschaften 

der entsprechenden Polygonklassen gewonnen. 

Weiterhin werden die Schülerinnen und 

Schüler mit Konstruktionsaufgaben konfrontiert, 

anhand derer sie konkrete Objekte realisieren und 

zwischen den allgemeinen klassendefinierenden 

und den konkreten objektkonstituierenden Eigenschaften 

unterscheiden lernen sollen. Zum Dritten 

reflektieren die Schülerinnen und Schüler grundlegende 

Eigenschaften der von ihnen untersuchten 

Klassen und Objekte. Damit gewinnen sie einen 

Zugang zum objektorientierten Schnittstellenkonzept, 

da diese statischen und auch dynamischen 

Eigenschaften die öffentlich zugänglichen Daten 

und Methoden der Polygonklassen und Polygonobjekte 

darstellen. 

Die Gruppenarbeit wird vom Lehrenden begleitet, 

indem auf Nachfragen des Hilfesuchenden 

einer Gruppe mit Impulsen reagiert wird. Diese 

Impulse werden zum Teil gestuft eingebracht, so 

dass die Gruppe fortwährend in ihrer eigenständigen 

Arbeit gefordert ist (Abb. 19.5) 

Die Ergebnisse ihrer Arbeit werden durch die 

Gruppen auf einem Poster festgehalten, das in 

der sich anschließenden Auswertungsphase präsentiert 

wird. Die Gruppenphase endet nach einer 

festgelegten Zeiteinheit — etwa nach 45 Minuten. 

5.2 Beschreibung der Auswertungs- und 

Systematisierungsphase 

Die Auswertungsphase im Klassenverband gestaltet 

sich im Allgemeinen sehr zeitintensiv, da allen 

Gruppen Raum gegeben werden muss, ihre Ergebnisse 

ausführlich darzustellen. Der Grund für 

die umfängliche Präsentation ist die parallel dazu 

erfolgende Systematisierung der Polygonklassen 

in Form eines hierarchischen Schemas, dessen 

gemeinsame Entwicklung ein zentraler Bestandteil 

und zugleich krönender Abschluss der gesamten 

Unterrichtseinheit ist. Die hintergründige Verankerung 

der objektorientierten Konzeptideen in 

den Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler 

erfordert vom Lehrenden, die Präsentationen dahingehend 

behutsam zu kommentieren. Zugleich 

führt er mit Hilfe von Beobachtungs- und Bewer- 

7Mehr als vier Mitglieder sollte eine Gruppe jedoch nicht umfassen, um eine intensive Arbeitsphase, in der sich alle Gruppenmitglieder 

einbringen müssen, zu ermöglichen. 

8Aus mathematischer Sicht führt die Systematisierung der Vierecke im Unterschied zur Einteilung der Dreiecke in beiden Fällen 

(Seitenlängen und Winkelgrößen) zu einer Ordnung entsprechend einer Teilmengenrelation. 

9Für eine vertiefende Auseinandersetzung mit den schulmathematisch relevanten Inhalten der ebenen Geometrie empfiehlt sich u. 

a. Hilbert (1986). 

159


160 

Gruppe 1: Dreiecke und Vierecke und ihre Seitenlängen 

1. Sammelt Kriterien und formuliert eine Vorschrift, mit der Dreiecke nach ihren Seitenlängen 

eingeteilt werden können. 

2. Sammelt Kriterien und formuliert eine Vorschrift, mit der Vierecke nach ihren Seitenlängen 

eingeteilt werden können. 

3. Beschreibt Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Dreiecken und Vierecken! 

4. Konstruiert für jede „Seitenlängen-Klasse“ von Dreiecken und Vierecken zwei selbst 

gewählte Beispiele! 

5. Ermittelt die kleinste Anzahl der Größen, die für die jeweiligen Konstruktionen vorher 

festgelegt werden müssen! Welche Größen sind das? Gibt es mehrere Möglichkeiten? 

6. Formuliert wichtige Eigenschaften der Dreiecke und Vierecke (z. B. Umfang, Flächeninhalt, 

Winkelgrößen, besondere geometrische Punkte, Strecken und Geraden 

usw.) speziell für die einzelnen Dreieck- und Viereckklassen! 

Fasst Eure Ergebnisse übersichtlich auf einem Poster zusammen (mit Konstruktionsbeispielen). 

Präsentiert und erläutert Eure Ergebnisse mit dem Poster vor der Klasse. 

Abbildung 19.4: Aufgabenkomplex für die Gruppenarbeit. 

Gruppe 1: Dreiecke und Vierecke und ihre Seitenlängen — Arbeitsimpulse 

1. (a) Vergleicht die Längen der drei Seiten eines beliebigen Dreieckes miteinander! 

(b) Welche Möglichkeiten der Längenverhältnisse zueinander gibt es (Gleichheit, 

Ungleichheit)? 

(c) Formuliert eine entsprechende Einteilung, nach der Dreiecke sortiert werden 

können! 

2. Verfahrt wie bei den Dreiecken entsprechend mit den Seitenlängen eines Vierecks. 

3. Stellt beide Vorschriften in möglichst gleichem Wortlaut dar! 

4. Denkt Euch selbst die Größen aus (Seitenlängen und/oder Winkelgrößen), die Ihr für 

eine Konstruktion benötigt. 

5. (a) Gibt es die Möglichkeit, die Beispiele nur mit einer vorgegebenen Größe zu 

konstruieren? 

(b) Benötigt Ihr zwei Größen? Oder drei? . . . 

(c) Welche Größen sind das? 

Abbildung 19.5: Arbeitsimpulse für die Gruppenarbeit

tungsaufgaben die nicht an der jeweiligen Präsentation 

beteiligten Gruppen zur Ergänzung des systematischen 

Überblicks über die Polygonklassen. 

Grundlegender Bestandteil der Auswertungsphase 

sollte natürlich eine Bewertung der Arbeitsleistungen 

aller Mitglieder einer Gruppe untereinander 

sein. Unterrichtspraktische Erfahrungen zeigen, 

dass die Schülerinnen und Schüler hierbei 

durchaus verantwortlich und auch selbstkritisch 

mit diesem Bewertungsinstrument umgehen. Insgesamt 

sollte für die Auswertungs- und Systematisierungsphase 

ein Zeitrahmen von 60 bis 90 Minuten 

vorgesehen werden. Ausgewählte Ergebnisse 

der Gruppenarbeit. Die Unterrichtseinheit zeigt 

mit ihrer unterrichtspraktischen Umsetzung überraschende 

Ergebnisse gerade in der Systematik 

der Vierecke, die in dieser Form üblicherweise 

nicht Gegenstand des Mathematikunterrichts sind. 

Dies erscheint umso verwunderlicher, da es sich 

um eine einfache Übertragung der Dreiecksystematisierung 

auf die Klassen der Vierecke handelt 

und es sich im mathematischen Sinne um Erkenntnisse 

handelt, die hautsächlich aus dem Umkehrschluss 

der üblichen Betrachtungsweise gewonnen 

werden. Hinzu tritt, dass auf diese Weise 

übergreifende Zusammenhänge und Beziehungen 

anschaulich geometrisch nachvollziehbar gestaltet 

werden. Die betreffenden Ergebnisse werden ausgehend 

von den Bezeichnungen im Viereck (Abb. 

19.6 in den folgenden Tabellen dargestellt (Tab. 

19.1 und 19.2). 

Abbildung 19.6: Bezeichnung der Winkelgrößen 

und Seitenlängen im Viereck 

Dabei handelt es sich, ausgehend von den 

gleichseitigen, gleichschenkligen und unregelmäßigen 

Dreiecken, um eine ähnliche Systematik 

für die Vierecke, die gleichseitige, gleichschenklige 

und unregelmäßige Vierecke konkretisiert und 

speziellen Vierecktypen zuweist (Abb. 19.1). In 

ähnlicher Weise lassen sich die Vierecke systematisieren, 

wenn von der Größe ihrer Innenwinkel 

ausgehend, rechtwinklige, stumpfwinklige 

und spitzwinklige Vierecke untersucht werden 

(Tab. 4). 


Durch das Hinzunehmen weiterer charakterisierender 

Eigenschaften können die Einteilungen 

nach den Seitenlängen und den Winkelgrößen 

noch verfeinert werden. So lassen sich aus den 

Lagen der Diagonalen, der Parallelität der Viereckseiten 

oder wechselseitig aus den Winkelgrößen 

(in der Einteilung nach den Seitenlängen) und 

den Seitenlängen (in der Einteilung nach den Winkeln) 

weitere Vierecktypen den Klassen zuordnen. 

Die Vermittlung der objektorientierten Konzepte 

in der gesamten Unterrichtseinheit erfolgt 

mittelbar. Die Schülerinnen und Schüler setzen 

sich intensiv mit den Eigenschaften der Polygone 

auseinander und erlangen so — fast intuitiv — 

eine Vorstellung von einem Polygon als mathematischem 

Objekt. Dreiecke, Vierecke und regelmäßige 

Vielecke werden bewusst als Mengen (Klassen) 

mathematischer Objekte untersucht und miteinander 

verglichen. Der Vergleich und die Übertragung 

der an einer Klasse gewonnenen Erkenntnisse 

auf eine andere Polygonklasse führen die 

Schülerinnen und Schüler zu einem tieferen Verständnis 

von komplexen Objektstrukturen, mithin 

von Klassen. Letztendlich geleitet die Systematisierung 

der Polygonklassen in Form einer Klassenhierarchie 

zu einer grundlegenden Einsicht in 

die strukturierenden Ordnungsprinzipien der Objektorientierung: 

Vererbung, Ableitung und Eigenschaftserweiterung. 

6 Fazit 

Der Wert einer objektorientierten Herangehensweise 

im Mathematikunterricht erwächst aus 

zwei Betrachtungsrichtungen. Aus informatorischer 

Sicht werden Grundlagen geschaffen für ein 

späteres Verstehen und Entwerfen objektorientierter 

Konzepte und Problemlösungen. Für den Mathematikunterricht 

selbst ist bedeutsam, dass eine 

objektorientierte Sicht auf Mathematik zum Teil 

ungewohnte, insgesamt aber bereichernde Einsichten 

und Zusammenhänge offenbaren kann. 

Dass die objektorientierte Herangehensweise so 

neu nicht ist und oftmals in einem anderen Kontext 

unter anderer Bezeichnung so oder so ähnlich 

bereits umgesetzt wird, ist sicherlich ebenfalls offenkundig. 

Die informatischen Konzepte der Objektorientierung 

lassen sich zum Teil nur mühsam in das 

inhaltliche und konzeptuelle Gefüge der Mathematik 

und damit auch des Mathematikunterrichtes 

einbringen. Andererseits ist es auch gar nicht notwendig, 

die vollständige Umsetzung der Konzeptideen 

im Mathematikunterricht anzustreben. Die 

Schülerinnen und Schüler sollen vielmehr angeregt 

werden, objektorientierte Denkmuster auszubilden 

als Ergänzung ihrer im bisherigen Lernprozess 

erworbenen kognitiven Strategien. 

Das didaktisch-methodische Potenzial der Ob- 

161


Vierecke Klassendefinierende 

Eigenschaften 

Gleichseitige 

Vierecke 

Gleichschenklige 

Vierecke 

Unregelmäßige 

Vierecke 

Typisierung 

a = b = c = d Quadrat, Rhombus 

a = b = c Kein spezielles 

Viereck 

a = b; c = d Drachenviereck 

a = c; b = d Rechteck, 

Parallelogramm 

a = b Kein spezielles 

Viereck 

a = c Kein spezielles 

Viereck 

a �= b; a �= c; a �= d; 

b �= c; b �= d; c �= d 

Kein spezielles 

Viereck 

Tabelle 19.1: Systematisierung nach Viereckseiten. O. B. d. A. werden in der Tabelle die klassendefinierenden 

Eigenschaften beginnend mit der Seitenlänge a formuliert. 

Vierecke Klassendefinierende 

Eigenschaften 

Rechtwinklige 

Vierecke 

Stumpfwinklige 

Vierecke 

Spitzwinklige 

Vierecke 

Spezialfälle Typisierung 

α = β = γ = δ = 90deg Quadrat, Rechteck 

α = β = γ = 90deg Quadrat, Rechteck 

α = β = 90deg Rechtwinkliges 

Trapez 

α = γ = 90deg Sehnenviereck 

α = 90deg Viereck 

α,β,γ,δ > 90deg Kein Viereck! 

α,β > 90deg Viereck 

α + γ = β + δ = 

180deg 

Sehnenviereck 

α,γ > 90deg Viereck 

α = γ; β = δ Rhombus, 

Parallelogramm 

α > 90deg Viereck 

α,β,γ,δ < 90deg α,β,γ,δ < 90deg Kein Viereck! 

Tabelle 19.2: Systematisierung nach Viereckwinkelgrößen. O. B. d. A. werden in der Tabelle die klassendefinierenden 

Eigenschaften beginnend mit dem Winkel α formuliert. 

162

jektorientierung liegt zweifellos in dem Vermögen, 

Zusammenhänge und Analogien herstellen, 

ergründen und darstellen zu können sowie in der 

Fähigkeit, inhaltliche und methodische Strukturen 

auf vertraute und neue Wissensbereiche übertragen 

zu können. Objektorientierung sollte dabei 

verstanden werden als eine der vielen Möglichkeiten, 

einen modernen Mathematikunterricht zu 

entwickeln: weniger Inhalte vermitteln und mehr 

mathematisches Denken befördern. 

Literatur 

Balzert, H. (2000): Objektorientierung in 7 Tagen. Spektrum 

Akademischer Verlag 

Berard, E. V. (1998): Basic Object-Oriented Concepts. URL 

http://www.toa.com 


Dahlberg, I. (1987): Die gegenstandsbezogene, analytische 

Begriffstheorie und ihre Definitionsarten. In: Ganter, B., Rudolf 

Wille & K. Wolff (Hg.): Beiträge zur Begriffsanalyse, 

Mannheim, Wien, Zürich: BI Wissenschaftsverlag, 9–22 

Forbrigg, P. (2002): Objektorientierte Softwareentwicklung 

mit UML. Leipzig: Fachbuchverlag 

Hilbert, A. (1986): Ebene Geometrie. Fachbuchverlag 

Schulte, Carsten (2001): Vom Modellieren zum Gestalten 

— Objektorientierung als Impuls für einen neuen Informatikunterricht? 

informatica didactica, 3, URL http://www. 

informatica-didactica.de 

Thomas, Marco (2004): Objektorientierung und informatische 

Bildung: Stellenwert und Konkretisierung im Unterricht — mit 

BlueJ. LOG-IN, 128, 26–31 

Wille, Rudolf (1987): Bedeutung von Begriffsverbänden. In: 

Ganter, B., Rudolf Wille & K. Wolff (Hg.): Beiträge zur Begriffsanalyse, 

Mannheim, Wien, Zürich: BI Wissenschaftsverlag, 

161–211 

163


164

Teil III 

Arbeitsgruppen 

165

• Arbeitsgruppe: Computergrafik und Mathematikunterricht 


1996 gab es auf der 14. Arbeitskreistagung des Arbeitskreises MU & I in Wolfenbüttel eine Arbeitsgruppe 

„Computergrafik als Bindeglied zwischen Mathematik- und Informatikunterricht“. Seitdem 

wurden auf Arbeitskreistagungen viele Vorträge zur Einbeziehung der Computergrafik in den Mathematikunterricht 

gehalten — mit unterschiedlichen Herangehensweisen und Zielen — sowie einschlägige 

Unterrichtserfahrungen gesammelt. Die Arbeitsgruppe „Computergrafik und Mathematikunterricht“ 

auf der Arbeitskreistagung 2005 setzte sich das Ziel, eine Zwischenbilanz zu Zielen 

und Möglichkeiten der Einbeziehung der Computergrafik in den MU zu ziehen. Entsprechend dem 

Thema der Tagung „Informatische Ideen im MU“ sollten dabei auch Fragen der Berücksichtigung 

informatischer Aspekte bei der Erstellung von Computergrafiken und -animationen berücksichtigt 

werden. 

Es bestand in der Arbeitsgruppe Einigkeit darüber, 

dass Elemente der Computergrafik vor allem 

in der Sekundarstufe II und hier insbesondere im 

Stoffgebiet „Analytische Geometrie“ zum Tragen 

kommen können. 

Die „Basisfunktion“ der Einbeziehung von 

Elementen der (insbesondere dreidimensionalen) 

Computergrafik ist die Anfertigung von Visualisierungen 

räumlicher Sachverhalte. Dadurch lassen 

sich Inhalte der analytischen Geometrie des 

Raumes veranschaulichen, für welche dies ohne 

Computerhilfe oftmals schwierig ist, wenngleich 

traditionelle Anschauungsmodelle weiterhin verwendet 

werden sollten. 

Hervorgehoben wurde die Motivierung, welche 

die Erstellung (insbesondere fotorealistischer) 

Computergrafiken und -animationen durch die 

Schüler bewirken kann. Diese, für viele Schüler 

ausgesprochen interessanten, Gegenstandsbereiche 

eignen sich sehr gut, um den Realitätsbezug 

und die anwendungspraktische Relevanz von 

Inhalten der analytischen Geometrie für die Schüler 

anhand aktiver Tätigkeiten deutlich werden zu 

lassen. Voraussetzung dafür ist natürlich die Verwendung 

einer Software, welche analytische Beschreibungen 

geometrischer Objekte und Szenen 

erfordert, um Grafiken bzw. Animationen zu generieren. 

Die Arbeitsgruppe diskutierte über die Auswahl 

einer für die Nutzung im Stoffgebiet „Analytische 

Geometrie“ geeigneten Software, mit deren 

Hilfe dreidimensionale grafische Darstellungen 

erstellt werden können. Aus dem bereits genannten 

Grunde, dass die Schüler bei der Arbeit 

mit der Software geometrische Objekte analytisch 

beschreiben sollten, kommen Programme, die für 

den Raumgeometrieunterricht der Sekundarstufe I 

entwickelt wurden, sowie die meisten kommerziellen 

3D-Grafiksysteme nicht in Frage. Die Auswahl 

der Software hängt von der Zielsetzung und 

vom Umfang der Einbeziehung der Computergrafik 

in den Unterricht ab. 

• Sollen lediglich Visualisierungen zu den Stan- 

dardinhalten des gegenwärtigen Unterrichts angefertigt 

werden, so bietet sich die Nutzung spezieller, 

für das Stoffgebiet „Analytische Geometrie“ 

entwickelter und sehr einfach zu erlernender, 

Software wie z. B. DreiDGeo an. Allerdings 

können in diesem Falle auch Computeralgebrasysteme 

(CAS) zum Einsatz kommen, deren 

grafische Möglichkeiten in den vergangenen 

Jahren erheblich ausgebaut wurden. Dies ist vor 

allem dann sinnvoll, wenn die Schüler bereits 

mit CAS gearbeitet haben. 

• Die Betrachtung nichtlinearer Objekte wie Kurven 

und Flächen ist sowohl mithilfe von CAS 

als auch unter Verwendung der durch eine 

Szenenbeschreibungssprache gesteuerten 3D- 

Grafiksoftware POV-Ray möglich. Auch elementare 

Programmierkonstrukte (wie Schleifen 

und Verzweigungen) lassen sich sowohl in POV- 

Ray als auch in CAS wie MuPAD, Maple oder 

Mathematica nutzen. Alle diese Softwarepakete 

ermöglichen auch die Erstellung von Animationen. 

• Sollen mathematische Grundlagen der 3D- 

Computergrafik thematisiert werden, so ist dies 

vor allem anhand des in Bezug auf seine 

Funktionsweise relativ einfach verständlichen 

Raytracing-Verfahrens möglich. Da POV-Ray 

nach diesem Verfahren arbeitet, bietet sich dabei 

die Verwendung dieser Software an. Ein 

weiteres Argument für die Nutzung von POV- 

Ray besteht im Fotorealismus der erzeugten 

Darstellungen. Es wurde in der Arbeitsgruppe 

hervorgehoben, dass die von der verwendeten 

Software erzeugten Darstellungen hinreichend 

„schön“ sein sollten, da für die Motivierung 

der Schüler durch die Arbeit mit computergrafischen 

Darstellungen die ästhetische Komponente 

eine wichtige Bedeutung hat. Auch die 

Tatsache, dass die von POV-Ray erzeugten Bilder 

nicht an mathematische Illustrationen, sondern 

eher an computergenerierte Spielfilme oder 

Zeitschriftenbilder erinnern, wurde als motivierender 

Aspekt angeführt, da die Schüler hierbei 

167


erkennen, dass auch hinter diesen nicht „mathematisch 

aussehenden“ Bildern Mathematik 

steht. Allerdings ist zur Verwendung von POV- 

Ray anzumerken, dass sich die Nutzung dieser 

Software nur dann „lohnt“, wenn die Schüler 

nicht nur die Standardinhalte des Unterrichts 

in analytischer Geometrie visualisieren, sondern 

auch einige der Realität nachempfundene Objekte 

durch Koordinaten- bzw. Gleichungsbeschreibungen 

modellieren, was natürlich Unterrichtszeit 

erfordert. 

Die Teilnehmer an der Arbeitsgruppe vertraten 

einhellig die Auffassung, dass die (in etwas größerem 

Umfang erfolgende) Einbeziehung von Elementen 

der 3D-Computergrafik in den Unterricht 

in starkem Maße projektorientierte Arbeitsformen 

impliziert. Schüler sollten an etwas umfangreiche- 

168 

ren Projekten arbeiten, deren Inhalt sie selbst mitbestimmen 

können. Die mathematische Beschreibung 

dreidimensionaler Objekte und Szenen und 

die auf dieser Grundlage erfolgende Erstellung 

von Computergrafiken bzw. -animationen kann Inhalt 

vieler unterschiedlicher Unterrichtsprojekte 

sein. 

Ohne diese Thematik vertiefen zu können, 

stellten die Teilnehmer fest, dass die Untersuchung 

von Kurven und Flächen übergreifendes 

Element des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe 

II sein könnte und dabei reichhaltige 

Ansatzpunkte für die Einbeziehung von Elementen 

der Computergrafik gegeben wären. Bedauert 

wurde, dass die gegenwärtigen Rahmenpläne die 

Behandlung von Kurven und Flächen im Stoffgebiet 

„Analytische Geometrie“ höchstens am Rande 

zulassen.

• Arbeitsgruppe: Konstruktion korrekturgünstiger Aufgaben 

— auch mit sofortiger automatischer Auswertung 

Fritz Nestle, Ludwigsburg 

1 Konstruktion 

korrekturgünstiger Aufgaben 

Zusammenstellung, Durchführung und Bewertung 

schriftlicher Lernkontrollen beanspruchen im 

Fach Mathematik bei vielen Kollegen 10% bis 

20% ihrer gesamten Arbeitszeit — ein erster 

Grund, sich mit dem Thema näher zu befassen und 

sich mit den Rationalisierungsreserven in diesem 

Bereich auseinanderzusetzen. 1 

Ein zweiter Grund ist das Thema Korrekturgerechtigkeit. 

Nicht nur bei Aufsätzen sondern auch 

bei Mathematikklassenarbeiten (Schulaufgaben) 

hängt bei der derzeitigen Praxis die Bewertung unter 

anderem ab von der Reihenfolge der Korrektur 

(der Maßstab bleibt nicht konstant während der 

Korrektur), der Kondition des Korrigierenden und 

natürlich in besonderem Maß vom Korrigierenden 

selbst. 2 Die Erkenntnis, dass dies unter dem Gesichtspunkt 

der Chancengleichheit für die Lernenden 

eigentlich unerträglich ist, ist wenig verbreitet. 

Das Bild zeigt einen Ausschnitt aus der oben 

angegebenen URL, die Bearbeitung eines Schülers 

zu Aufgabe 5 der betrachteten Klassenarbeit: 

Abbildung 21.1: Schülerlösung zur Aufgabe 5): 

Ein Händler kauft zwei teure und drei billige Fahrräder 

für zusammen 694 DM. Was kostet eines der 

billigen Fahrräder, wenn ein teures Fahrrad 158 

DM kostet? 

Wie will man diesem Schüler gerecht werden? 

Die Punktsumme für diese Bearbeitung 

schwankt — nach intensiv diskutierter Normierung 

— bei Korrektur durch 73 erfahrene 

Lehrer zwischen 9 und 16, die Note zwischen 

2,5 und 4. Wo bleibt die Gerechtigkeit? 

Wie will man diese Bearbeitung diagnostisch 

auswerten, damit man für den Schüler geeignete 

Therapiemaßnahmen ergreifen kann? Eine 

Trennung der Anforderungen in Gedächtnisleistungen, 

Formel/Rechenwegauswahl, Zahlenrechnungen, 

Übersetzungsprobleme, Textanalyse, 

. . . erleichtert Korrektur und Diagnostik und bringt 

mehr Gerechtigkeit. 

Schließlich ist in naher oder ferner Zukunft 

damit zu rechnen, dass die Vorteile von online- 

Lernkontrollen sowohl für Lehrende als auch besonders 

für Lernende genutzt werden. Wenn auf 

selbstorganisiertes Lernen Wert gelegt wird, sind 

sie unverzichtbar. Sie lassen sich heute im Internet 

(oder lokal) leicht erstellen; durch Kooperation 

unter den Lehrkräften würde sich der Zeitaufwand 

innerhalb eines Schuljahres amortisieren, 

wenn man das open-source-Verfahren anwendet 

3 . 

2 Online-Lernkontrollen 

Auf Wunsch der Teilnehmer lag der Schwerpunkt 

in der Arbeitsgruppe bei online-Lernkontrollen. 

Sie haben die Struktur eines online-Formulars in 

HTML das mit einer PHP-Datei ausgewertet werden 

kann. 

Durch Variation des Beispiels entstand so eine 

Lernkontrolle mit 2 Eingaben, wie in den Abbildungen 

dargestellt. 

Unter http://www.bildungsoptionen.de/ 

dilli2/2te.htm finden Sie das Beispiel, unter http:// 

www.bildungsoptionen.de/dilli/fuchsorg. 

htm weitere Erläuterungen zum Vorgehen. 

1 Siehe dazu http://www.BildungsOptionen.de/200mio.htm 

2 Siehe dazu http://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t01/user_files/ 

personal/nestle/alternativen/kap1.htm#16. Die Note entsteht in vier Willkürschritten: Auswahl der Anforderungen, 

Bewertung der Anforderungen, Zuweisung von Punkten, Umsetzung der Punkte in eine Schulnote. 

3 Siehe dazu auch http://www.bildungsoptionen.de/opens.htm 

169

Fritz Nestle, Ludwigsburg 

 

 


 

 

 

Klicken Sie das Feld an und tragen 

Sie den Namen ein: 

 

 

Wenn Sie 

 



 

 

 

 

 

 


 

 

 

Ihr Name: 

 

 

 

 

Abbildung 21.2: Beispieldateien für eine online-Lernkontrolle 

 

 

Wie heißt das allgemeinste Viereck 

ABCD mit einem Paar paralleler Seiten? 

 

 

 

Obiges Viereck soll zusätzlich 

punktsymmetrisch sein. Wie heißt jetzt 

das allgemeinste Viereck dieser Art? 

 

 

Wenn Sie 

 



 

170 

 

 

Deine Antwort ist 

 

Diese Antwort ist 

 

Abbildung 21.3: Änderungen an den Beispieldateien.

• Arbeitsgruppe: Wieviel Programmieren-Können braucht 

man in der Mathematiklehre? 


Teilnehmer: Martin Epkenhans, Wolfgang Friebe, Dörte Haftendorn, Andreas Meier, Hartwig Meißner, 

Marianne Moormann, Reinhard Oldenburg, Wolfgang Schulz, Siegfried Zseby. 

1 Fragestellungen 

Wir haben uns den folgenden Fragen gewidmet: 

1. Was ist eigentlich Programmieren in mathematischem 

Zusammenhang? 

2. Welche Elemente der Programmierung sind 

wesentlich? 

3. Welche Werkzeuge eignen sich? 

4. Warum sollte man das können? 

5. Welche Mathematik-Lehrenden verstehen genug? 

6. Wie kann man Akzeptanz von MU mit Computer 

steigern? 

Dabei ging es vor allem um die Sicht auf 

Lehrende und Lehramt-Studierende. Ob die Lernenden 

dann auch programmieren, haben wir 

als nachrangig eingestuft. In Abwandlung des 

Themas hätten wir wohl bescheidenener von 

„Programmier-Verständnis“ reden sollen. 

1.1 Was ist eigentlich Programmieren in 

mathematischem Zusammenhang? 

Am ehesten werden die Lehrenden in Excel- (oder 

anderen TK-) Tabellen Formeln einfügen. Schon 

Schieberegler in Excel sind zwar sehr nützlich 

aber nicht verbreitet. In den CAS ist der Einsatz 

eines Folgenoperators noch einigermaßen üblich. 

Das Schreiben von eigenen internetfähigen 

HTML-Seiten, eigener Abfragen und Prozeduren 

in Excel oder den CAS liegt wohl allenfalls den 

Mathmatiklehrenden nahe, die auch Informatik 

als Fach haben. Das Programmieren in einer Programmiersprache 

(LOGO, Java, Visual Basic. . . ) 

wird von diesen vielleicht sogar dann gemacht, 

wenn es in dem verfügbaren CAS oder TK viel 

einfacher ginge. Jedenfalls soll mit dem Programmieren 

grundsätzlich eine ganze Klasse von Problemen 

gelöst werden. Die Ziele werden bei 4. erläutert. 

1.2 Welche Elemente der 

Programmierung sind wesentlich? 

• Zählschleifen 

• Einfacher Folgenoperator 

• Zugriff auf Folgenelemente 

• Anwendung von Funktionen auf Folgen 

• Bedingte Schleifen 

• While, Repeat, Loop 

• Verzweigungen 

• If . . . Then . . . Else . . . . 

• Moduln, Prozeduren, Funktionen, Makros 

• Eingabe-Parameter, Eingabebedingungen 

• Lokale und globale Variable 

• Rückgabe 

• Elemente Objektorientierter Programmierung 

• Methoden, Eigenschaften, Vererbung, Zugriff 

auf Objekte 

• Speicherung, Datentransport, Datensicherung, 

. . . 

Vermutlich können die meisten heutigen 

Mathematik-Lehrenden damit wenig anfangen. 

Sie sollten sich allerdings klarmachen, dass „Windows“, 

Elemente im Malprogramm, Graphen im 

CAS, Kreise im DGS,. . . — so gut wie alles was 

heutige Computer bieten, „Objekte“ sind. Man 

kann ja wohl nicht annehmen, dass die Verantwortung 

für die Bildung eines entsprechenden 

Verständnisses vornehmlich bei den Nicht- 

Mathematik-Lehrenden liegt. Es geht nicht um 

das „Unterrichten“ dieser Elemente, das wird man 

einem eventuell stattfindenden Informatikunterricht 

überlassen, sondern um das adäquate Bewusstsein 

und Handeln der Lehrenden, wann immer 

solche Elemente vorkommen. 

1.3 Welche Wekzeuge eignen sich? 

• GTR, Graphenzeichner: Graphische TR, Matheass, 

Turboplot,. . . . 

• TK , Tabellenkalkulation: Excel, Starcalc, . . . 

• DMS, Dynamische-Mathematik-Systeme: Geo- 

Gebra 

• DGS, Dynamische-Geometrie-Systeme: Euklid 

Dynageo, Cabri Geomètre,. . . 

• CAS, Computer-Algebra-Systeme in der üblichen 

Art: MuPAD, Derive, Maple, . . . 

• CAS, als Programmierwerkzeug: MuPAD, s.o. 

. . . 

• Programmiersprachen: Visual-Basic, Excel, Javascript, 

Applets, Logo, Java,. . . 

1.4 Warum sollten Mathematik-Lehrende 

das können oder zumindest 

verstehen? 

Sowie man überhaupt Mathematik mit Computern 

betreibt, steht man vor solchen Fragen: 

• Wie werte ich den Term für mehrere Einsetzungen 

aus? 

• Wie erzeuge ich eine Folge von Bildern, die 

meine Unterrichtsidee unterstützen? 

171


• Wie baue ich mir Hilfen für das Finden und Testen 

von Aufgaben? 

• Wie prüfe ich bei der Korrektur arbeitsökonomisch, 

ob der Prüfling folgerichtig weitergearbeitet 

hat? 

• Wie gebe ich den Objekten die Farben und 

Strickdicken, die man Projizieren oder Drucken 

kann? 

• Wie erzeuge ich einen hinreichend großen Karohintergrund, 

auf dem die Lernenden dann 

weitere Einzeichnungen machen können? 

• Wie erstelle ich Material zum Erkunden? 

• Wie visualisiere ich mein Lehrvorhaben? 

• Und wenn die Schüler selbst am Computer arbeiten: 

– Wie erstelle ich ein elektronisches Arbeitsblatt? 

– Wie gelangt es vor die Augen der Schüler? 

– Wie ermögliche ich interaktive Eingriffe der 

Schüler? 

– Wie schütze ich mein Vorhaben gegen unbeabsichtigte 

und mutwillige Fehlbedienung? 

– Wie sorge ich für Ergebnissicherung, passende 

Speicherung, arbeitsökonomische Beurteilung 

und Rückmeldung. 

1.5 Welche Mathematik-Lehrenden 

verstehen genug? 

Die Mathematik in Schule und Hochschule wird 

durch Computer enorm bereichert. Dieses ist für 

die Teilnehmer dieser Tagung oft schon eine anderthalb 

Jahrzehnte alte Erfahrung und hat vor 

vielen Jahren zum „Arbeitskreis für Mathematikunterricht 

und Informatik“ geführt. 

Aber „im Lande“ ist diese Erkenntnis noch 

nicht hinreichend weit verbreitet. Er gibt bedeutende 

regionale Unterschiede, aber auch an ein 

und derselben Schule ist das Erfahrungsspektrum 

mitunter breit. Auch nach Schularten muss man 

unterscheiden. 

Leider gehören oft auch die jüngeren Lehrkräfte 

zu den Unerfahrenen, denn an den Hochschulen 

ist die Wichtigkeit einer entsprechenden 

Ausbildungskomponete zum Teil auch heute noch 

nicht erkannt. Man hat den Eindruck, dass „die 

Schulen“ da sogar weiter sind als die Hochschulen 

im Allgemeinen. 

Häufig mangelt es trotz entsprechender Angebote 

der Hochschulen in der Lehrerausbildung 

auch am Interesse der Studierenden. Sie glauben, 

Schule könne so bleiben, wie sie sie selbst erlebt 

haben. Es gibt auch Studierende, die das Lehramt 

wählen um „dem Computer“ zu entkommen. 

Als Schreibwerkzeug ist der Computer heute 

unumstritten, als Mathematikwerkzeug ist sein 

Potenzial bei weitem nicht ausgelotet. Das übertriebene 

„Einbimsen“ von Fertigkeiten, die man 

mit Computer in wenigen Minuten erledigt, ga- 

172 

rantiert keine mathematische Kompetenz. Das Argument, 

dass die „Abnehmer“ das so wollten, ist 

zwar leider wahr, aber dennoch eine Ausflucht, 

denn man hat es versäumt, die „Abnehmer“ in der 

Wandlungsprozess von Mathematikunterricht einzubeziehen. 

Außerdem ist ?so die Teilnehmer dieser 

Arbeitsgruppe- ja sogar anzunehmen, dass bei 

gewandeltem Unterricht auch die von den „Abnehmern“ 

nachgefragten Kompetenzen erworben 

würden. 

Viele gute Ansätze sind aber zu beobachten 

und die in dieser Hinsicht innovativen Lehrkräfte 

an Schule und Hochschule erweitern langsam 

aber stetig ihren Wirkungskreis. 

Soweit zur Verbreitung des Einsatzes von 

Computern im MU. Wenn man allerdings das 

Programmieren-Können oder das Programmier- 

Verständnis im Sinne der obigen Ausführungen 

betrachtet, so reduziert sich die Zahl der entsprechend 

kompetenten Lehrenden wohl nochmals 

drastisch. Sogar unter denen mit Fakultas 

für Mathematik und Informatik gibt es 

leider viele, die keine oder kaum Computer- 

Mathematikwerkzeuge einsetzen. 

Programmier-Kompetenzen aber geben dem 

Lehrenden Freiheit für eigene Ideen und das ist 

allemal gut für nachhaltiges Lernen. 

1.6 Wie kann man Akzeptanz und 

Verständnis steigern? 

Hier geht es also überhaupt erstmal um Comptereinsatz 

im MU. Das Progammier-Verständnis ist 

sicher nachgeordnet. Um dessen eventuelle Vermittlung 

hat sich diese Arbeitsgruppe noch keine 

Gedanken gemacht. 

• Computereinsatz im MU muss in der Lehrerausbildung 

verpflichtendes Element werden, am 

besten integriert in alle Veranstaltungen. Das 

ist durchaus möglich: siehe http://www. 

mathematik-verstehen.de 

• Die Prägung der Lehramt-Studierenden durch 

den erlebten MU ist aufzubrechen. 

• Die Studienseminare sollten die Kompetenzen 

der Referendare gezielt fördern. 

• Schulinterne LFB regen das Gespräch unter den 

Kollgen an. Die psychologische Schwelle kann 

im Kreis der Kollegen erniedrigt werden. Der 

Austausch von Erfahrungen und Material am eigenen 

Arbeitsplatz ist sehr effektiv. 

• Tagungen (MNU, GDM, Lehrertag auf der 

GDM-Tagung,. . . ) ermutigen die innovationsbereiten 

Lehrkräfte und haben eine wichtige 

Multiplikatorenwirkung. 

• Unterstützung seitens der Schulleitungen, der 

Schulämter und Kultusministerien ist unerlässlich. 

Sie müssen in die Pflicht genommen werden, 

ihre im Amt befindlichen Lehrer weiterzubilden.

Arbeitsgruppe: Wieviel Programmieren-Können braucht man in der Mathematiklehre? 

• Durch Landeslizenzen könnte der finanzielle 

Druck auf die einzelnen Schule gemildert werden. 

• Materialien sind hilfreich. Es ist inzwischen 

viel Gutes erschienen, oft in Zusammenarbeit 

mit Teilnehmern gerade dieses Arbeitskreises 

der GDM. Eine wichtige Quelle für Publikationen 

ist die T 3 -Gruppe (http://www. 

t3deutschland.de). 

• Die Richtlinien und die Schulbücher müssen 

dementsprechende Anregungen geben und die 

allgemein verfügbaren Werkzeuge (GTR,TK, 

CAS, DMS, DGS) integrieren. 

• Die Zentralen Prüfungen müssen Aufgabentypen 

enthalten, die besser bewältigt werden, 

wenn der Unterricht Coputerwerkzeuge eingesetzt 

hat. 

• Eine wesentliche Komponente der Mathematik- 

Werkzeuge ist die Ermöglichung von Erkundung 

und selbstbestimmem Lernen. 

Als Fazit wurde festgestellt, dass durch „PI- 

SA“ in der Öffentlichkeit gerade ein für Wandlungen 

im MU offenes Klima herrscht, das man im 

Sinne der genannten Ziele nutzen müsse. 

173

Informatische Ideen im Mathematikunterricht - Gesellschaft für ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?