Schwingungslehre-Prüfungsaufgaben - gilligan-online

(d) Die Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems lassen sich
darstellen als
−δ t
y = y ˆ 0 ⋅e
cos( ωdt
+ ϕ 0 )
ˆ −δ t
0 d ϕ 0
oder y = y ⋅ e sin( ω t + )
Für das Abklingen der Auslenkungen braucht man jeweils nur die einhüllende
Exponentialfunktion zu untersuchen; also den Zeitverlauf von
oder
y
y
yˆ
= y 0
einh
ˆ
einh
0
= e
⋅e
−δt
−δt
Logarithmieren liefert
y
ln[
yˆ
einh
0
] = ln[ e
−δ t
] = −δt
Unter der, später zu überprüfenden, Annahme für den Dämpfungsgrad 0 < D≤ 0,1 wird
mit Td ≈ T 0 für das Zeitintervall t = 10⋅T0
das Verhältnis der Auslenkungen
y
p = y
einh =
ˆ0
Es wird also
2
3
2
ln[ ] = − δ ⋅10
⋅ 0,90 s
3
Der Abklingkoeffizient ergibt sich daraus zu
ln(2) − ln(3) 0,693 −1,099
δ = − [
] = − [
]
9,00 s
9,00 s
= 4,50 ⋅10
− 2 −1
s
Der Dämpfungsgrad ist definiert als
D =
δ
ω
0
=
−2
−1
4,50
⋅10
s
−3
= 0,0065 = 6,5 ⋅10
−1
7,0 s
Damit ist auch die oben gemachte Annahme einer ‘schwachen Dämpfung’, also dir
Forderung D ≤ 0,1 , erfüllt.
Schwingungslehre -5-
Prüfungsaufgabe 06