Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

10 Invariante Maße und asymptotisches Verhalten
Theorem 2.4 (Eindeutigkeit stationärer Maße). (X n ) n∈N0 sei irreduzibel, d.h. S
bestehe aus einer einzigen Äquivalenzklasse rekurrenter Zustände. Dann ist das stationäre
Maß µ aus Theorem 2.3 bis auf Multiplikation mit Konstanten eindeutig.
Beweis. Sei a ∈ S ein rekurrenter Zustand und µ das zu a gemäß 2.3 gebildete
stationäre Maß. Bezeichnet ν ein weiteres stationäres Maß, so ist zu zeigen:
ν(z) = µ(z) · ν(a) (z ∈ S) .
Aus der Stationarität von ν folgt iterativ für z ∈ S :
ν(z) = ∑ y∈S
ν(y) p(y, z)
= ν(a) p(a, z) + ∑ y≠a
ν(y) p(y, z)
= ν(a) p(a, z) + ∑ ( )
∑
ν(x) p(x, y)
y≠a x∈S
p(y, z)
= ν(a) p(a, z) + ∑ y≠a
ν(a) p(a, y) p(y, z) + ∑ y≠a
∑
ν(x) p(x, y) p(y, z)
= ν(a) P a (X 1 = z) + ∑ ν(a) P a (X 1 ≠ a , X 2 = z)
y≠a
+ P ν (X 0 ≠ a , X 1 ≠ a , X 2 = z)
= · · · =
n∑
= ν(a) P a (X k ≠ a für 1 ≤ k < m , X m = z)
m=1
+ P ν (X 0 ≠ a , X 1 ≠ a , . . . , X n−1 ≠ a , X n = z)
≥ ν(a) · µ(z)
(n → ∞) nach der Definition von µ; daher folgt für n ∈ N :
ν(a) = ∑ ν(z) p n (z, a) ≥ ν(a) ∑ µ(z) p n (z, a) = ν(a) µ(a) = ν(a) .
z∈S
z∈S
x≠a
In der davor erhaltenen Abschätzung ν(z) ≥ ν(a) µ(z) kann >“ also nur gelten,
”
wenn p n (z, a) = 0 für jedes n ∈ N ist. Aufgrund der Irreduzibilität existiert aber
zu jedem z ein n ∈ N mit p n (z, a) > 0. Daher ist ν(z) = ν(a) µ(z) . □
Nun wird eine notwendige Bedingung für die Normierbarkeit stationärer Maße gegeben:
Satz 2.5. Existiert ein invariantes Maß µ, so sind alle Zustände y mit µ(y) > 0 rekurrent.
Beweis. Für n ∈ N gilt wegen der Stationarität µ = µp n , also mit Fubini
∞∑
∞∑
µ(x)
n=1
µ(y) = ∑ x∈S
n=1
p n (x, y) 1.10 = ∑ x∈S
µ(x)
ρ xy
1 − ρ yy
≤ µ(S)
1 − ρ yy
.
Nach Voraussetzung sind ∑ ∞
n=1 µ(y) = ∞ und µ(S) = 1 < ∞, also ρ yy = 1. □