Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

28 Der Subadditive Ergodensatz (Kingman)
Lemma 5.6. Ist Z eine meßbare Funktion auf (Ω, F , P, ϕ) mit Z ≥ Z◦ϕ, so gilt Z = Z◦ϕ.
Ist insbesondere (Y n ) n∈N0 superadditiv und
so gilt:
Y := lim sup
n→∞
Y n
n
, bzw. Y := lim inf
n→∞
Y = Y ◦ ϕ , bzw. Y = Y ◦ ϕ .
Y n
n ,
Beweis. Wir zeigen zunächst die Aussage über Z und nehmen hierzu Z > Z◦ϕ
auf einer Menge positiver Masse an, also
für ein q ∈ Q . Dann folgt aber:
P( Z > q > Z ◦ ϕ ) > 0
P( Z < q )
ϕ m.t.
= P( Z ◦ ϕ < q )
= P( Z ◦ ϕ < q ≤ Z ) + P( Z ◦ ϕ < q , Z < q )
Z≥Z◦ϕ
= P( Z ◦ ϕ < q ≤ Z ) + P( Z < q )
} {{ }
>0
> P( Z < q ) ,
ein Widerspruch.
Wegen der ebengezeigten Behauptung ist nun nur noch zu sehen:
Y ≥ Y ◦ ϕ , bzw. Y ≥ Y ◦ ϕ ;
aufgrund der Superadditivität von (Y n ) n hat man nun:
Y n+1
n + 1
≥
=
Y 1
n + 1 + Y n ◦ ϕ
n + 1
Y 1
n + 1 +
n
n + 1
Y n
n ◦ ϕ .
□
Theorem 5.7 (Subadditiver Ergodensatz, Kingman).
Auf (Ω, F , P, ϕ) sei (Y n ) n∈N eine superadditive Folge integrierbarer ZV. Dann gilt:
Y n
n
P-f.s.
−−−−−−→
n→∞
sup
n∈N
Dabei ist γ genau dann integrierbar, wenn sup
n∈N
Y n
n
1
n E(Y n | I ) =: γ ≤ ∞ .
L 1 (P)
−−−−−−→ γ .
n→∞
1
n E(Y n) < ∞ ist. In diesem Fall gilt auch
Ferner existiert eine Menge ˜Ω ∈ I mit ˜Ω ⊂ ϕ
−1 ˜Ω und P(˜Ω) = 1, sodaß auch gilt:
Y n
n
−−−−→ n→∞ γ auf ˜Ω .