Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

2 Markovketten
Ferner setzt sich P n fort zu einem Maß auf der von dem Ring r(R n ) erzeugten σ-Algebra
(
σ (r(R n )) =
}
S ⊗ ·
{{
· · ⊗ S
}
≡ S n+1 S poln.
)
= B(S n+1 ) .
(n+1)-mal
Beweis. P n induziert einen (endlichen) Inhalt auf dem Ring r(R n ). Nach Caratheodory
muß zur Fortsetzung auf σ (r(R n )) gezeigt werden, daß P n σ-additiv
auf dem Ring ist. Da P n endlicher Inhalt ist, ist die σ-Additivität äquivalent
zur Stetigkeit von oben“, die im folgenden gezeigt wird; wegen Rekursion und
”
Bemerkung 1.2 genügt es dabei, den Fall n = 1 zu betrachten:
Sei (A k ) k∈N eine Folge in r(R 1 ) mit A k ↘ ∅, so ist zu zeigen: P 1 (A k ) −−−→ k→∞ 0.
Bezeichnet man den Schnitt durch ein A ∈ r(R 1 ) bei x ∈ S mit
so folgt wegen A k ↘ ∅ für alle x ∈ S :
A x := {y ∈ S : (x, y) ∈ A} ,
(A k ) x ↘ ∅ (k → ∞) .
Aufgrund der ”
Stetigkeit von oben“ des Maßes p 1 (x, . ) folgt daraus
p 1 (x, (A k ) x ) k→∞ −−−→ 0 (x ∈ S)
und somit wegen majorierter Konvergenz:
∫
P 1 (A k ) = p 1 (x, (A k ) x ) µ(dx) −−−→ k→∞ 0 .
S
Das nächste Ziel ist nun, eine Markovkette auf S N 0
mit Übergangswahrscheinlichkeiten
(p n ) n∈N und Startwahrscheinlichkeit µ zu konstruieren; hierbei sei S weiterhin polnisch,
versehen mit der Borel-σ-Algebra B(S) =: S . Dazu wird die Konsistenzbedingung von
Kolmogorov für (P n ) n∈N0 nachgewiesen. Hierfür dienen folgende Definitionen:
Zu F, G ⊂ N 0 mit F ⊂ G sei
π G,F : S G −→ S F
(x i ) i∈G ↦−→ (x i ) i∈F
die Projektion auf die die kleinere Indexmenge und hiermit π F
setze zu m, n ∈ N 0 mit m ≤ n
:= π N0 ,F ; entsprechend
π n,m : S n+1 −→ S m+1
(x 0 , . . . , x n ) ↦−→ (x 0 , . . . , x m )
und zu m ∈ N 0
π m : S N 0
−→ S m+1
(x i ) i∈N0 ↦−→ (x 0 , . . . , x m ) .