Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

48 Der Multiplikative Ergodensatz (Oseledets)
Fortsetzung des Beweises von 7.3. Als Orthoprojektionen P 1 , P 2 wählen
wir nun natürlich die Projektionen auf die gemäß 7.4 existierenden Räume
U 1 , U 2 . Wegen 7.2 und 7.4 folgt die Konvergenz
Insgesamt folgt also
P n
i
n→∞
−−−−→ P i (i = 1, 2) .
(Φ ∗ n Φ n ) 1/2n n→∞
−−−−→ e λ 1
P 1 + e λ 2
P 2 =: Ψ
Es ist also nur noch die Behauptung über die Lyapunov-Exponenten nachzuweisen;
hierbei ist V 2 = U 2 ⊂ R 2 = V 1 , sodaß nun noch zu zeigen ist:
1
x ∈ V 2 \ {0} =⇒ lim
n→∞
x ∈ R 2 \ V 2 =⇒ lim
n→∞
n log ‖Φ nx‖ = λ 2
1
n log ‖Φ nx‖ = λ 1 ;
wobei jeweils oE |x| = 1 angenommen werden kann.
x ∈ V 2 \ {0} ⇒ lim 1 n log |Φ nx| = λ 2 : Wir stellen x dar als
und
x = α n u n 1 + β n u n 2 ,
also wiederum
und daher
Φ n x = α n Φ n u n 1 + β n Φ n u n 2 = α n δ 1 (Φ n ) V n e 1 + β n δ 2 (Φ n ) V n e 2 ,
|β n | δ 2 (Φ n ) ≤ [ αn 2 δ 1 (Φ n ) 2 + βn 2 δ 2 (Φ n ) 2] 1/2
= |Φn x| ;
wie im Beweisteil 1) von 7.4 folgt aus 7.2: δ ( U2 n, U 2
n+1 )
= |αn | , da x ∈ V 2 = U 2
ist; also folgt wegen 7.4 auch:
lim sup
n→∞
1
n log |α 1
n| = lim sup
n→∞ n log δ( U2 n )
, U 2 ≤ λ2 − λ 1 < 0 ;
daher folgt:
und somit insgesamt:
β 2 n = 1 − α 2 n
n→∞
−−−→ 1 .
1
λ 2 = lim
n→∞ n log ( |β n| δ 2 (Φ n ) )
≤
= 1 2
lim inf
n→∞
lim sup
n→∞
1
n log |Φ nx| ≤ lim sup
n→∞
1
n log |Φ nx|
1
n log [ α 2 n δ 1 (Φ n ) 2 + β 2 n δ 2 (Φ n ) 2]
1
n log α2 n δ 1 (Φ n ) 2 , lim sup
n→∞
≤ 1 {lim
2 max sup
n→∞
≤ max { (λ 2 − λ 1 ) + λ 1 , 0 + λ 2 }
= λ 2 .
}
1
n log β2 n δ 2 (Φ n ) 2