Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

12 Invariante Maße und asymptotisches Verhalten
Beispiel 2.8. Auf S := {1, 2} definiert p :=
p 2n =
( 1 0
0 1
)
und p 2n+1 =
( 0 1
1 0
( 0 1
1 0
In diesem Fall liegt keine Konvergenz von p n (x, y) vor.
)
eine Übergangsmatrix. Dabei gilt:
)
≡ p (n ∈ N) .
Periodizität verhindert also Konvergenz gegen das invariantes Maß.
Definition 2.9. Zu einem rekurrenten x ∈ S sei 2
I x := {n ∈ N 0 : p n (x, x) > 0} .
Hiermit heißt d x := ggT(I x ) die Periode von x.
Wegen der Chapman-Kolmogorov-Gleichung ist I x eine Halbgruppe.
In obigem Beispiel 2.8 ist I 1 = I 2 = { gerade Zahlen} und d 1 = d 2 = 2.
Lemma 2.10. Es seien x, y ∈ S rekurrent mit x ∼ y. Dann ist d x = d y .
Beweis. Es wird gezeigt 3 : d y | d x . Da die folgende Argumentation symmetrisch
in x und y ist, folgt hieraus schon die Behauptung, denn nach Vertauschen
der Rollen ist damit auch d x | d y gezeigt.
Ohne Einschränkung gelte x ≠ y. Aufgrund der Äquivalenz x ∼ y ist daher
ρ xy > 0 und ρ yx > 0; insbesondere existieren m, n ∈ N mit p m (x, y) > 0 und
p n (y, x) > 0. Aus den Chapman-Kolmogorov-Gleichungen folgt hieraus:
p n+m (y, y) ≥ p n (y, x) p m (x, y) > 0 .
Aus obiger Definition ergibt sich daher d y | n + m .
Sei nun ein beliebiges k ∈ I x fixiert; wegen des eben gezeigten Zwischenschrittes
d y | n+m ist noch einzusehen, daß auch d y | n+m+k gilt, da aus diesen beiden
Aussagen d y | k und damit die Behauptung folgt. Mit Chapman-Kolmogorov
und k ∈ I x erhält man aber:
p n+k+m (y, y) ≥ p n (y, x) p k (x, x) p m (x, y) > 0 ,
und damit d y | n + k + m .
□
Definition 2.11. (a) Eine Zustand x ∈ S heißt aperiodisch, falls d x = 1 gilt.
(b) Eine irreduzible, rekurrente Markovkette heißt aperiodisch, falls jeder Zustand aperiodisch
ist.
Wie in obigem Beispiel angedeutet wird sich herausstellen, daß Aperiodizität ein Kriterium
für die Konvergenz der Übergangswahrscheinlichkeiten gegen das invariante Maß
ist. Der Beweis dieses Satzes wird vorbereitet durch folgendes Lemma:
2 Erinnerung: p n (x, y) ≡ P x(X n = y) für x, y ∈ S und n ∈ N 0.
3 Wie üblich ist ”
|“ die Abkürzung für ”
teilt“.