Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

20 Stationäre Prozesse
Beispiel 3.12. (X n ) n∈N0 seien unabhängige Zufallselemente in einem polnischen Raum
S (oE auf dem Folgenraum definiert), d.h.:
P ≡ P X = ⊗ P Xn .
n∈N 0
Dann gilt P(A) ∈ {0, 1} für A ∈ T ; d.h. der Shift ϕ := θ 1 ist ergodisch.
Beispiel 3.13 (Rotation des Kreises). Wie in 3.4 betrachten wir die Transformation
ϕ : Ω −→ Ω , ϕ(ω) := ω + θ (mod 1) ,
auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P) := ([0, 1), B[0, 1), λ ∣ ∣
F
) , wobei λ das Lebesguemaß
bezeichnet. Dann ist ϕ genau dann ergodisch, wenn θ irrational ist.
Beweis. ⇒“ Sei θ rational, also θ = m
” n
mit natürlichen Zahlen n ≥ m ≥ 1.
Ferner sei B ∈ F ≡ B[0, 1) mit 0 < λ(B) < 1 n . Dann ist A := ⋃ m−1
k=1 (B + k n )
invariant, aber 0 < λ(A) < 1.
⇐“ Dies kann man mit einem Fourierreihen-Argument zeigen; siehe z.B.
”
Shiryaev [Sh 95, p.408] oder auch Kallenberg [KB 97, p.174/9].
□
Beispiel 3.14. Sei (X n ) n∈N0 die kanonische Markovkette auf S := {1, 2, 3, 4} mit Übergangswahrscheinlichkeit
⎛
⎞
1 2
3 3
0 0
p :=
⎜
⎝
2
3
1
3
0 0
0 0
1
2
0 0
1
4
(p ist eine stochastische Matrix, da die Zeilensummen gleich 1 sind). Ein Maß µ auf S ist
invariant, falls gilt:
µ(j) =
1
2
3
4
⎟
⎠
4∑
p(i, j)µ(i) (j = 1, 2, 3, 4) .
i=1
Dies wird z.B. erfüllt durch die beiden Maße
µ 0 (1) = µ 0 (2) := 1 2 , µ 0(3) = µ 0 (4) := 0
und
µ 1 (1) = µ 1 (2) := 0 , µ 1 (3) := 1 3 , µ 1(4) := 2 3 .
Dann ist aber auch jedes
µ β := (1 − β)µ 0 + βµ 1 (0 ≤ β ≤ 1)
invariant. Bezüglich des kanonischen Shifts ϕ := θ 1 gilt nun:
A := {X n ∈ {1, 2}, n ∈ N 0 } ∈ I und B := {X n ∈ {3, 4}, n ∈ N 0 } ∈ I .
Hiermit gilt weiter: P µβ (A) = 1−β und P µβ (B) = β . Folglich ist ϕ genau dann ergodisch,
wenn β ∈ {0, 1} ist.